理论数学  >> Vol. 10 No. 5 (May 2020)

非线性延迟波动方程的两类差分格式
Two Difference Schemes for Nonlinear Wave Equations with Delay

DOI: 10.12677/PM.2020.105062, PDF, HTML, XML, 下载: 70  浏览: 143  国家自然科学基金支持

作者: 陈景良, 邓定文:南昌航空大学,数学与信息科学学院,江西 南昌

关键词: 非线性延迟波动方程显式差分方法收敛性Nonlinear Wave Equation with Delay Explicit Difference Methods Convergence

摘要: 本文对一类非线性延迟波动方程建立了两类显式差分格式。运用能量法,证明了在最大模意义下它们在时、空方向上均有二阶收敛率。数值结果验证了算法的精度和有效性。
Abstract: This study is concerned with numerical solutions of delayed wave equations by explicit finite dif-ference methods. By using the discrete energy method, it is shown that both of them are temporally and spatially second-order convergent in maximum norm. Numerical findings confirm the accuracy and efficiency of the algorithms.

文章引用: 陈景良, 邓定文. 非线性延迟波动方程的两类差分格式[J]. 理论数学, 2020, 10(5): 508-517. https://doi.org/10.12677/PM.2020.105062

1. 引言

在许多实际问题中,需要利用系统过去时刻的状态,因而提出了延迟微分方程模型。延迟微分方程也称时滞微分方程,属于泛函微分方程。它们在图形处理、计算机科学、生态、经济、物理、人口动力学、生物医学等各个科学领域有着广泛的应用。正因为延迟微分方程具有很强的应用背景,它们的研究受到了人们的长期关注(见文献 [1] - [6] 及其参考文献)。与经典微分方程相比,它们的解不仅与当前的状态有关,还受过去一段时间的影响。延迟项的存在不仅给理论研究带来困难,也给数值研究带来了挑战。近些年来,在延迟抛物方程的数值研究方面,已有不少成果。文献 [2] [3] 研究了非线性延迟抛物方程的紧致差分法及其理论。文献 [4] 研究了变系数时滞反应扩散方程的紧致差分法。文献 [5] 研究了时间分数阶变系数时滞抛物方程的紧致差分法及其收敛性。然而,人们对延迟双曲方程的数值研究关注不多。文献 [6] 研究了一维时滞波动的紧致差分法及其Richardson外推法。

显式差分法虽然是条件稳定的,但是由于不需要解线性方程组,程序易于实现、计算量小等优势受到人们的青睐。特别对二阶波动来说,稳定条件是可接受的,并不苛刻。此外,为了克服抛物方程显式差分法的稳定条件的限制,提出无条件稳定的 Du Fort-Frankel格式。本文推广经典波动方程的显式差分格式,对如下非线性延迟波动方程

u t t a 2 u x x = f ( u ( x , t ) , u ( x , t s ) , x , t ) , b 1 < x b 2 , 0 < t T , (1a)

u ( x , t ) = ϕ ( x , t ) , b 1 < x b 2 , s t 0 , (1b)

u ( b 1 , t ) = φ ( t ) , u ( b 2 , t ) = ψ ( t ) , 0 t T , (1c)

建立两类差分格式及其算法理论。

2. 差分格式

2.1. 记号

为了用差分方法求解问题(1a)~(1c),我们对 Ω = { ( x , t ) | b 1 x b 2 , s t T } 做剖分。将空间区间 [ b 1 , b 2 ] 剖分m等份(m为整数),记空间步长 h x ( h x = ( b 2 b 1 ) / m )。在时间方向上,采用限制性网格时间步长 h t ( h t = s / n 1 = T / n ), n 1 , n 均为整数,记 x i = b 1 + i h x t k = k h t 0 i m n 1 k n i , k 均为整数。在结点 ( x i , t k ) 处的精确解和数值解分别记为 U i k u i k 。记网格剖分区域 Ω h = { ( x i , t k ) | 0 i m , n 1 k n } ,定义网格函数空间 u h = { u | u = { u i | 0 i m } , u 0 = u m = 0 } ,对任意 u k u h ,引用差分算子,内积和范数如下

δ t 2 u i k = 1 h t 2 ( u i k + 1 2 u i k + u i k 1 ) , δ t ^ u i k = 1 2 h t ( u i k + 1 u i k 1 ) , δ t u i k 1 2 = 1 h t ( u i k u i k 1 ) ,

δ x 2 u i k = 1 h x 2 ( u i + 1 k 2 u i k + u i 1 k ) , ( u , v ) = h x i = 1 m 1 u i v i , ( u , v ) 1 = h x i = 1 m 1 ( δ x u i 1 2 ) ( δ x v i 1 2 ) ,

u = ( u , u ) , | u | 1 = ( u , u ) 1 , | u | 1 = ( u , u ) 1 .

2.2. 两类差分格式的建立

由泰勒展式可知

u t t ( x i , t k ) = δ t 2 U i k h t 2 12 4 u ( x i , η i k ) t 4 , u x x ( x i , t k ) = δ x 2 U i k h x 2 12 4 u ( ξ i k , t k ) x 4 .

从而,在结点 ( x i , t k ) 处用差分算子 δ t 2 U i k δ x 2 U i k 离散 u t t ( x i , t k ) u x x ( x i , t k ) 可得

δ t 2 U i k a 2 δ x 2 U i k = f ( U i k , U i k n 1 , x i , t k ) + ( R 1 ) i k , 0 < i m , 0 < k n , (2)

其中,

( R 1 ) i k = ( h t 2 4 u ( x i , η i k ) t 4 a 2 h x 2 4 u ( ξ i k , t k ) x 4 ) / 12 , 0 < i m , 0 < k n . (3)

u i k 代替 U i k ,略去小量项 ( R 1 ) i k ,得到第一个差分格式

δ t 2 u i k a 2 δ x 2 u i k = f ( u i k , u i k n 1 , x i , t k ) , 0 < i m , 0 < k n , (4a)

u i k = ϕ ( x i , t k ) , 0 < i m , n 1 k 0 , (4b)

u 0 k = φ ( t k ) , u 0 k = ψ ( t k ) , 0 k n . (4c)

记网格步长比 r = ( | a | h t ) / h x ,对差分算子 δ x 2 U i k 做如下处理

δ x 2 U i k = 1 h x 2 ( U i + 1 k 2 U i k + U i 1 k ) = 1 h x 2 [ U i + 1 k 2 ( U i k + 1 + U i k 1 2 h t 2 2 2 u ( x i , ς i k ) t 2 ) + U i 1 k ] = 1 h x 2 ( U i + 1 k + U i 1 k ) 2 h x 2 U i k 1 h x 2 ( U i k + 1 + U i k 1 ) + 2 h x 2 U i k + h t 2 h x 2 2 u ( x i , ς i k ) t 2 = δ x 2 U i k h t 2 h x 2 δ t 2 U i k + h t 2 h x 2 2 u ( x i , ς i k ) t 2 . (5)

将(5)式代入(2)式中得

( 1 + r 2 ) δ t 2 U i k δ x 2 U i k = f ( U i k , U i k n 1 , x i , t k ) + ( R 2 ) i k , 0 < i m , 0 < k n , (6)

其中

( R 2 ) i k = ( R 1 ) i k + r 2 2 u ( x i , ς i k ) t 2 , 0 < i m , 0 < k n . (7)

舍去(6)式的 ( R 2 ) i k 项,用 u i k 代替 U i k ,便得到了第二个差分格式

( 1 + r 2 ) δ t 2 u i k a 2 δ x 2 u i k = f ( u i k , u i k n 1 , x i , t k ) , 0 < i m , 0 < k n , (8a)

u i k = ϕ ( x i , t k ) , 0 < i m , n 1 k 0 , (8b)

u 0 k = φ ( t k ) , u 0 k = ψ ( t k ) , 0 k n . (8c)

2.3. 差分格式的收敛性分析

为研究上述两个差分格式的收敛性,我们现引入两个引理。

引理2.1 [7] 设 v u h ,则有下列不等式成立

( δ x 2 v , v ) = δ x v 2 , v b 2 b 1 2 | v | 1 ,

v b 2 b 1 6 | v | 1 , h x δ x v 2 4 v 2 .

引理2.2 [8] 设A和B是非负常数, { F k | k 0 } 是非负序列且满足

F k + 1 A + B h t k = 0 K F k , 则 max 0 k K + 1 F k A exp ( B ( K + 1 ) h t )

此外,若 F k + 1 A + B h t k = 0 K + 1 F k ,则 max 0 k K + 1 F k A exp ( 2 B ( K + 1 ) h t ) 。其中 h t 足够小,使得 B h t 1 / 2

另外,存在常数 c 1 , c 2 ,使得

| ( R 1 ) i k | c 1 ( h t 2 + h x 2 ) , 0 i m , n 1 k n , (9)

| ( R 2 ) i k | c 2 ( h t 2 + h x 2 + h t 2 h x 2 ) , 0 i m , n 1 k n , (10)

成立。

假设 f ( u , v , x , t ) 满足局部Lipschitz条件。设u,v为问题方程(1a)~(1c)的真解,且存在正常数 c 3 ε 0 ,当 | ε i | < ε 0 ,( i = 1 , 2 ),函数 f ( u , v , x , t ) 满足如下等式

| f ( u + ε 1 , v + ε 2 , x , t ) f ( u , v , x , t ) | c 3 ( | ε 1 | + | ε 2 | ) (11)

成立,其中 c 3 为Lipschitz常数。

定理2.1 设问题(1a)~(1c)在节点 ( x i , t k ) 的精确解为 U i k u i k 为差分格式 (4a)~(4c)的解。记 U i k u i k = e i k 。当 r < 1 时且步长满足以下条件

h t ε 0 c 4 ( b 2 b 1 ) , h x ε 0 c 4 ( b 2 b 1 ) ,

则有,当 [ 8 + 4 c 3 2 ( b 2 b 1 ) 2 3 ( 1 r 2 ) 2 a 2 ] h t 1 时,下列估计

| e k | 1 2 c 4 ( h t 2 + h x 2 ) 2 , n 1 k n , (12a)

e k ( b 2 b 1 ) c 4 2 ( h t 2 + h x 2 ) , n 1 k n , (12b)

成立。此处 c 4 = ( b 2 b 1 ) c 1 2 T a 2 ( 1 r 2 ) 2 exp { [ 8 + 4 3 ( c 3 ( b 2 b 1 ) a ( 1 r 2 ) ) 2 ] T }

证明 将方程(2)式与(4a)式相减,得到误差方程

δ t 2 e i k a 2 δ x 2 e i k = f ( U i k , U i k n 1 , x i , t k ) f ( u i k , u i k n 1 , x i , t k ) + ( R 1 ) i k , 1 i m , 1 k n 1 , (13a)

e i k = 0 , 0 i m , n 1 k 0 , (13b)

e i k = 0 , i = 0 i = m 0 k n . (13c)

n 1 k 0 时, e i k = 0 ,显然(12a)式与(12b)式成立。

假设当 k = 1 , 2 , 3 , , l 时,(12a)式成立,则当步长满足 h x h t ε 0 / c 4 ( b 2 b 1 ) 时,应用引理2.1可知

e k b 2 b 1 2 | e k | 1 ε 0 , 1 k l .

f ( U i k , U i k n 1 , x i , t k ) f ( U i k ) f ( u i k , u i k n 1 , x i , t k ) f ( u i k ) 。运用不等式 ( a + b ) 2 2 ( a 2 + b 2 ) 和(11) 式可得

f ( U k ) f ( u k ) 2 2 c 3 2 ( e i k 2 + e i k n 1 2 ) , 1 k l . (14)

H k = δ t e k + 1 2 2 + a 2 ( δ x e i + 1 2 k , δ x e i + 1 2 k + 1 ) 。当 r < 1 时,对(13a)式两端同时与 2 δ t ^ e k 做內积,运用引理2.1得

1 h t ( H k H k 1 ) = ( [ f ( U k ) f ( u k ) ] , 2 δ t ^ e k ) + ( ( R 1 ) i k , 2 δ t ^ e k ) . (15)

运用等式 a b = 1 4 [ ( a + b ) 2 ( a b ) 2 ] 和引理2.1,可得

H k = δ t e k + 1 2 2 + a 2 | e k + 1 2 | 1 2 [ a 2 | e k + 1 2 | 1 2 a 2 ( δ x e i + 1 2 k , δ x e i + 1 2 k + 1 ) ] = δ t e k + 1 2 2 + a 2 | e k + 1 2 | 1 2 ( a 2 | e k + 1 e k | 1 2 ) / 4 = ( 1 r 2 ) δ t e k + 1 2 2 + a 2 | e k + 1 2 | 1 2 + r 2 δ t e k + 1 2 2 a 2 | e k + 1 e k | 1 2 / 4 ( 1 r 2 ) δ t e k + 1 2 2 + a 2 | e k + 1 2 | 1 2 . (16)

由(16)式可得

δ t e k + 1 2 2 1 1 r 2 H k , | e k + 1 2 | 1 2 1 a 2 H k . (17)

由不等式 a b ε 2 a 2 + 1 2 ε b 2 和不等式 ( a + b ) 2 2 a 2 + 2 b 2 可得

( [ f ( U k ) f ( u k ) ] , 2 δ t ^ e k ) c 3 2 1 r 2 ( e k 2 + e k n 1 2 ) + ( 1 r 2 ) ( δ t e k + 1 2 2 + δ t e k 1 2 2 ) c 3 2 1 r 2 ( e k 2 + e k n 1 2 ) + ( H k + H k 1 ) . (18)

( ( R 1 ) k , 2 δ t ^ e k ) ( m 1 ) h x c 1 2 2 ( 1 r 2 ) ( h x 2 + h t 2 ) 2 + ( 1 r 2 ) ( δ t e i k + 1 2 2 + δ t e i k 1 2 2 ) ( b 2 b 1 ) c 1 2 2 ( 1 r 2 ) ( h x 2 + h t 2 ) 2 + ( H k + H k 1 ) . (19)

另外,由 e i k + 1 = ( e i k + 1 + e i k + e i k + 1 e i k ) / 2 = e i k + 1 2 + h t δ t e i k + 1 2 / 2

δ x e i + 1 2 k + 1 = δ x e i + 1 2 k + 1 2 + h t 2 δ x δ t e i + 1 2 k + 1 2 = δ x e i + 1 2 k + 1 2 + r 2 a ( δ t e i + 1 k + 1 2 δ t e i k + 1 2 ) , 0 i m 1 . (20)

将上式两端平方后,运用均值不等式 ( a + b ) 2 2 ( a 2 + b 2 )

( δ x e i + 1 2 k + 1 ) 2 2 ( δ x e i + 1 2 k + 1 2 ) 2 + r 2 2 a 2 ( δ t e i + 1 k + 1 2 δ t e i k + 1 2 ) 2 2 ( δ x e i + 1 2 k + 1 2 ) 2 + r 2 a 2 [ ( δ t e i + 1 k + 1 2 ) 2 + ( δ t e i k + 1 2 ) 2 ] , 0 i m 1 . (21)

在(21)式两端乘以 a 2 h x 并对i求和,结合(17)式可得

a 2 | e k + 1 | 1 2 2 H k + 2 r 2 1 r 2 H k = 2 1 r 2 H k , 1 k l . (22)

将估计项(18)~(19)代入式子(15)后,运用(22)式和引理2.1得

1 h t ( H k H k 1 ) 2 ( H k + H k 1 ) + ( b 2 b 1 ) c 1 2 2 ( 1 r 2 ) ( h x 2 + h t 2 ) 2 + c 3 2 1 r 2 ( e k 2 + e k n 1 2 ) 2 ( H k + H k 1 ) + ( b 2 b 1 ) c 1 2 2 ( 1 r 2 ) ( h x 2 + h t 2 ) 2 + [ ( b 2 b 1 ) c 3 ] 2 6 ( 1 r 2 ) ( | e k | 1 2 + | e k n 1 | 1 2 ) 2 ( H k + H k 1 ) + ( b 2 b 1 ) c 1 2 2 ( 1 r 2 ) ( h x 2 + h t 2 ) 2 + ( ( b 2 b 1 ) c 3 ) 2 6 [ ( 1 r 2 ) a ] 2 ( H k 1 + H k n 1 1 ) . (23)

将上式中的k用p替换,两端同时乘以 h t ,并对p从−1到k求和可得

H k h t { 4 + 2 [ c 3 ( b 2 b 1 ) ] 2 3 [ ( 1 r 2 ) a ] 2 } p = 0 k H p + ( b 2 b 1 ) c 1 2 T 2 ( 1 r 2 ) ( h x 2 + h t 2 ) 2 . (24)

{ 8 + 4 [ c 3 ( b 2 b 1 ) ] 2 3 [ ( 1 r 2 ) a ] 2 } h t 1 时,在(24)式中运用引理2.2可推得

H k a 2 ( 1 r 2 ) c 4 2 ( h t 2 + h x 2 ) , 0 k l . (25)

在(25)式中令 k = l ,运用(22)式和引理2.1,可得

| e l + 1 | 1 2 2 a 2 ( 1 r 2 ) H l c 4 ( h t 2 + h x 2 ) 2 , e l + 1 b 2 b 1 2 | e l + 1 | 1 ( b 2 b 1 ) c 4 2 ( h t 2 + h x 2 ) .

故当 k = l + 1 时假设依然成立。由数学归纳法可知定理成立。

定理2.2 设问题(1a)~(1c)在节点 ( x i , t k ) 的精确解为 U i k ,原问题格式(8a)~(8c)的数值解为 u i k 。记 U i k u i k = e i k 。当步长满足

h x 2 ε 0 3 c 5 ( b 2 b 1 ) , h t 2 ε 0 3 c 5 ( b 2 b 1 ) , h t h x 2 ε 0 3 c 5 ( b 2 b 1 ) , (26)

时,则在 [ 8 + 2 ( b 2 b 1 ) 2 ( 1 + r 2 ) 3 a 2 ] h t 1 的条件下,有

| e k | 1 2 c 5 ( h t 2 + h x 2 + h t 2 h x 2 ) 2 , n 1 k n , (27a)

e k b 2 b 1 2 | e k | 1 c 5 ( b 2 b 1 ) 2 ( h t 2 + h x 2 + h t 2 h x 2 ) , n 1 k n , (27b)

成立,其中 c 5 = ( b 2 b 1 ) c 2 2 ( 1 + r 2 ) a 2 exp { [ 8 ( 1 + 2 ( b 2 b 1 ) 2 ( 1 + r 2 ) 3 a 2 ) ] T }

证明 将方程(6)式与(8a)式相减,得到误差方程组

( 1 + r 2 ) δ t 2 e i k δ x 2 e i k = f ( U i k ) f ( u i k ) + ( R 2 ) i k , 0 < i m , 0 < k n (28a)

e i k = 0 , 0 i m , n 1 k 0 , (28b)

e i k = 0 , i = m , 0 k n . (28c)

n 1 k 0 时, e i k = 0 ,显然(27a)式与(27b)式成立。

假设当 k = 1 , 2 , 3 , , l 时,(27a)式成立,则当步长满足(26)时,应用引理2.1可知

e k b 2 b 1 2 | e k | 1 ε 0 , 1 k l .

从而,运用(11)式可得

f ( U k ) f ( u k ) 2 2 c 3 2 ( e i k 2 + e i k n 1 2 ) , 1 k l .(29)

G k = ( 1 + r 2 ) δ t e k + 1 2 2 + a 2 ( δ x e i + 1 2 k , δ x e i + 1 2 k + 1 ) ,对(28a)式两端与 2 δ t ^ e k 做內积,运用离散的格林公式得

1 h t ( G k G k 1 ) = ( [ f ( U k ) f ( u k ) ] , 2 δ t ^ e k ) + ( ( R 2 ) k , 2 δ t ^ e k ) . (30)

借用(16)式的处理技巧,不难得到

G k δ t e k + 1 2 2 + a 2 | e k + 1 2 | 1 2 . (31)

由(31)式可得

δ t e k + 1 2 2 G k , | e k + 1 2 | 1 2 1 a 2 G k . (32)

应用不等式 2 a b a 2 + b 2 和不等式 ( a + b ) 2 2 a 2 + 2 b 2 可得

( [ f ( U k ) f ( u k ) ] , 2 δ t ^ e k ) c 3 2 ( e k 2 + e k n 1 2 ) + ( G k + G k 1 ) (33)

( ( R 2 ) k , 2 δ t ^ u k ) 1 2 c 2 2 ( b 2 b 1 ) ( h x 2 + h t 2 + ( h t h x ) 2 ) 2 + ( G k + G k 1 ) . (34)

运用与(22)式相同的分析方法可得

a 2 | e k + 1 | 1 2 2 G k + 2 r 2 G k = ( 2 + 2 r 2 ) G k , 1 k l . (35)

将估计项(33)~(35)代入式子(30)中,运用(35)式和引理2.1得

1 h t ( G k G k 1 ) 2 ( G k + G k 1 ) + 1 2 c 2 2 ( b 2 b 1 ) ( h x 2 + h t 2 + ( h t h x ) 2 ) 2 + c 3 2 ( e k 2 + e k n 1 2 ) 2 ( G k + G k 1 ) + 1 2 c 2 2 ( b 2 b 1 ) ( h x 2 + h t 2 + ( h t h x ) 2 ) 2 + ( b 2 b 1 ) 2 6 c 3 2 ( | e k | 1 2 + | e k n 1 | 1 2 ) 2 ( G k + G k 1 ) + 1 2 c 2 2 ( b 2 b 1 ) ( h x 2 + h t 2 + ( h t h x ) 2 ) 2 + ( b 2 b 1 ) 2 ( 1 + r 2 ) 3 a 2 c 3 2 ( G k 1 + G k n 1 1 ) . (36)

将上式中的k用p替换,两端同时乘以 h t ,并对p从0到k求和可得

G k h t { 4 + ( 1 + r 2 ) ( b 2 b 1 ) 2 3 a 2 } p = 0 k G p + ( b 2 b 1 ) c 2 2 2 [ h x 2 + h t 2 + ( h t h x ) 2 ] 2 . (37)

( 8 + 2 ( 1 + r 2 ) ( b 2 b 1 ) 2 3 a 2 ) h t < 1 时,在(37)式运用引理2.2,我们有

G k ( b 2 b 1 ) c 2 2 2 exp { [ 8 + 2 ( 1 + r 2 ) ( b 2 b 1 ) 2 3 a 2 ] T } [ h x 2 + h t 2 + ( h t h x ) 2 ] 2 , 0 k l . (38)

在(38)式中令 k = l 时,应用(34)式有

| e l + 1 | 1 2 2 ( 1 + r 2 ) a 2 G l c 5 ( h x 2 + h t 2 + ( h t h x ) 2 ) 2 , e l + 1 b 2 b 1 2 | e l + 1 | 1 ( b 2 b 1 ) c 5 2 ( h x 2 + h t 2 + ( h t h x ) 2 ) .

从而,当 k = l + 1 时假设依然成立。由数学归纳法知定理2.2成立。

3. 数值实验

算例 应用格式(4a)~(4c)和(8a)~(8c)计算如下非线性初边值问题:

u t t 2 u x x = f ( u ( x , t ) , u ( x , t 0.1 ) , x , t ) , ( x , t ) ( 1 , 2 ] × ( 0 , 1 ] ,

u ( x , t ) = sin ( x t ) , ( x , t ) ( 1 , 2 ] × [ 0.1 , 0 ) ,

u ( 1 , t ) = sin t , u ( 2 , t ) = sin ( 2 t ) , t [ 0 , 1 ] ,

其中,。问题的真解为 u ( x , t ) = sin ( x t ) 表1为差分格式(4a)~(4c)在 h t = h x / 4 时取不同步长时数值解得到的最大误差。表2为格式(8a)~(8c)在 h t = h x 2 时取不同步长时数值解得到的最大误差,其中,CPU为程序运行时间, E ( h x , h t ) = max | U i k u i k | o r d e r = log 2 E ( 2 h x , 2 h t ) / E ( h x , h t )

Table 1. FDM (4a)~(4c) maximum error for numerical solution

表1. 差分方法(4a)~(4c)在最大范数意义下数值解的误差

Table 2. FDM (8a)~(8c) maximum error for numerical solution

表2. 差分方法(8a)~(8c)在最大范数意义下数值解的误差

数值结果表明两类显式差分格式在时空方向具有二阶精度。格式(4a)~(4c)的计算效果更好一些。

4. 结论

本文受经典波动方程的显式差分法和抛物方程的Du Fort-Frankel差分法的启发,对非线性延迟波动方程问题建立了两类显式差分法。运用能量法,我们证明了它们在时、空方向上均有二阶收敛性。数值结果验证了理论结果的正确性。

基金项目

国家自然科学基金项目(No. 11861047)。

参考文献

参考文献

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