带有增值项的Cahn-Hilliard方程的全局吸引子

Global Attractor for the Cahn-Hilliard Equation with a Proliferation Term

摘要: 本文研究带有增值项的Cahn-Hilliard方程在H^k空间上的全局吸引子的存在性问题。主要借助[8]中的方法，利用迭代过程和正则性估计，得到了全局吸引子的存在性结果。

Abstract: This paper is concerned with the existence of the global attractor of the Cahn-Hilliard equation with a proliferation term in H^k spaces. By means of the method in [8], the result of existence of global attractor is obtained by applying the iteration procedure and regularity estimates.

1. 引言

本文主要研究如下带有增值项的Cahn-Hilliard方程的初边值问题：

$\frac{\partial u}{\partial t}+g\left(u\right)=\Delta \left(-\Delta u+f\left(u\right)\right),\left(t,x\right)\in \left[0,\infty \right)\times \Omega$ (1.1)

${\frac{\partial u}{\partial n}|}_{\partial \Omega }={\frac{\partial \Delta u}{\partial n}|}_{\partial \Omega }=0,{\displaystyle {\int }_{\Omega }u\text{d}x}<C,t\ge 0$ (1.2)

$u\left(0,x\right)=\phi \left(x\right),x\in \Omega$ (1.3)

其中 $\Omega \subset R^n\left(n=1,2,3\right)$ 是有界正则区域，n是边界上的单位外法向量，Δ是Laplace算子，f(s)和g(s)是非线性函数。当 $g\left(s\right)\equiv 0$ 时，即为标准的Cahn-Hilliard方程。Cahn-Hilliard方程描述了物理和化学中二元系统的相分离，它在1958年由J. W. Cahn和J. E. Hilliard [1] 首次以自由能的形式提出。后来，在动力学基础上，A. Novick-Cohen和L. A. Segel [2] 推导出了偏微分方程形式的Cahn-Hilliard方程。Cahn-Hilliard方程的L²的全局解和全局吸引子已经被广泛研究 [3] [4]。此外，在一定假设条件下，Cahn-Hilliard方程的 $H^2\left(\Omega \right)$， $H^3\left(\Omega \right)$ 和 $H^k\left(\Omega \right)\left(k\ge 0\right)$ 的全局吸引子的存在性已经在 [5] [6] [7] [8] 中给出。

本文关心的是广义的Cahn-Hilliard方程(1.1)，即 $g\left(s\right)\ne 0$ 的情形，称为带增值项的Cahn-Hilliard方程。它的研究目前已有不少的文献，如 [9] [10]。特别地，g可以是线性函数 $g\left(s\right)=\beta s$， $\beta >0$。这种情况下的(1.1)就是Cahn-Hilliard-Oono方程，它说明了相分离过程中长距离(非局部)的相互作用，已有工作证明了它在有限维吸引子方面的渐近行为 [11]。g还可以是二次函数 $g\left(s\right)=\lambda s\left(s-\text{1}\right)$， $\lambda >0$。在这种情况下，(1.1)在生物学上有应用，更准确地说，在伤口愈合和肿瘤生长模型上有应用 [12]。

本文在如下更一般的假设条件下

$f\left(u\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{2p-1}{\sum }}{a}_k{u}^k},p\ge 2,p\in N,a_p>0$ (1.4)

$g\left(u\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{q}{\sum }}{c}_k{u}^k},2\le q\le p,c_q>0$ (1.5)

研究方程(1.1)~(1.3)。

令 $F\left(u\right)={\displaystyle \underset{k=2}{\overset{2p}{\sum }}{b}_k{u}^k},k{b}_k=a_{k-1},2p{b}_{2p}=a_{2p-1}>0$ (1.6)

即 $F^{\prime }\left(u\right)=f\left(u\right)$。

我们将用 [8] 的方法来研究在 $H^k$ 空间上的带有一般增值项的Cahn-Hilliard方程的全局吸引子存在性问题。利用迭代思想，以及线性半群的正则性估计和全局吸引子的存在性定理来证明带有增值项的Cahn-Hilliard方程在 $H^k$ 空间中有全局吸引子，它吸引 $H^k$ 的任何有界子集。

我们给出一些记号 [8]：

$H=\left\{u\in L^2\left(\Omega \right):{\displaystyle {\int }_{\Omega }u\text{d}x}<C\right\},H_{\frac{1}{2}}=\left\{u\in H^2\left(\Omega \right)\cap H:{\frac{\partial u}{\partial n}|}_{\partial \Omega }=0\right\},H_1=\left\{u\in H^4\left(\Omega \right)\cap H:{\frac{\partial u}{\partial n}|}_{\partial \Omega }={\frac{\partial \Delta u}{\partial n}|}_{\partial \Omega }=0\right\}$

(1.7)

2. 预备知识

设X和X₁是Banach空间且 $X_{\text{1}}\subset X$，考虑如下定义在X上的抽象非线性演化方程

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}=Lu+Gu,\\ u\left(0\right)=\phi ,\end{array}$ (2.1)

其中，u(t)是未知函数， $L:X_{\text{1}}\to X$ 是一个线性算子， $G:X_{\text{1}}\to X$ 是一个非线性算子。 $S\left(t\right):X\to X\left(t\ge 0\right)$ 是由(2.1)生成的半群，(2.1)的解可以写成 $u\left(t,\phi \right)=S\left(t\right)\phi$。

定理2.1 [4]：设 $S\left(t\right):X\to X\left(t\ge 0\right)$ 是由(2.1)生成的半群。假设下面的条件成立：

1) S(t)有一个有界吸收集 $B\subset X$，即对于任意有界集 $A\subset X$，存在一个时间 $t_A\ge 0$，使得 $S\left(t\right)\phi \in B$， $\forall \phi \in A$ ；

2) S(t)是一致紧的；

则B的 $\omega$ -极限集 $\mathcal{A}=\omega \left(B\right)$ 是(2.1)的一个全局吸引子。

如果(2.1)中的线性算子L是一个扇形算子，它生成解析半群 ${\text{e}}^{tL}$。不失一般性，我们假设L生成分数幂算子 ${\mathcal{L}}^{\alpha }$ 和分数阶空间 $X_{\alpha }$ 如下：

${\mathcal{L}}^{\alpha }={\left(-L\right)}^{\alpha }:X_{\alpha }\to X,\alpha \in R^1$

其中， $X_{\alpha }=D\left({\mathcal{L}}^{\alpha }\right)$ 是 ${\mathcal{L}}^{\alpha }$ 的定义域。由半群理论，对于任意的 $\beta >\alpha$，都有 $X_{\beta }\subset X_{\alpha }$ 是紧包含。

引理2.1 [13]： $L:X_{\text{1}}\to X$ 是一个扇形算子，它生成了解析半群 $T\left(t\right)={\text{e}}^{tL}$，则对于 ${\mathcal{L}}^{\alpha }\left(\mathcal{L}=-L\right)$ 有如下性质：

1) $T\left(t\right):X\to X_{\alpha }$ 是有界的， $\forall \alpha \in R^1$， $t>0$，

2) $T\left(t\right){\mathcal{L}}^{\alpha }x={\mathcal{L}}^{\alpha }T\left(t\right)x$， $\forall x\in X_{\alpha }$，

3) $\forall t>0$， ${\mathcal{L}}^{\alpha }T\left(t\right):X\to X$ 有界，且

$\Vert {\mathcal{L}}^{\alpha }T\left(t\right)\Vert \le C_{\alpha }{t}^{-\alpha }{\text{e}}^{-\delta t}$ (2.2)

其中，某个 $\delta >0,C_{\alpha }>0$ 是常数。

4) $X_{\alpha }$ -范数可以定义为

${\Vert x\Vert }_{X_{\alpha }}={\Vert {\mathcal{L}}^{\alpha }x\Vert }_X$ (2.3)

由定理2.1有如下。

定理2.2 [8]：S(t)是由(2.1)生成的半群， $u\left(t,\phi \right)$ 是(2.1)的解，设 $X_{\alpha }$ 是由L生成分数阶空间，若：

1) 对于某个 $\alpha \ge 0$，有一个有界集 $B\subset X_{\alpha }$，对于任意的 $\phi \in X_{\alpha }$，存在一个时间 $t_{\phi }>0$，使得 $u\left(t,\phi \right)\in B$，；

2) $\beta >\alpha$，对于任意的有界集 $U\subset X_{\beta }$，有 $T>0$， $C>0$，使得 ${\Vert u\left(t,\phi \right)\Vert }_{X_{\beta }}\le C$， $\forall t>T$， $\phi \in U$ ；

则(2.1)有一个全局吸引子 $\mathcal{A}\subset X_{\alpha }$。

3. 主要结果

本节中，我们将给出本文的主要结果。

设H和H₁为(1.7)中定义的空间，线性算子 $L,G:H_1\to H$

$\{\begin{array}{l}Lu=-{\Delta }^{2}u\\ Gu=\Delta f\left(u\right)-g\left(u\right)\end{array}$ (3.1)

其中，f(u)同(1.4)，g(u)同(1.5)。所以，(1.1)~(1.3)可以写成抽象形式(2.1)。 $L=-{\Delta }^{\text{2}}$，L也是扇形算子，显

然 ${\left(-L\right)}^{\frac{1}{2}}=-\Delta$。

本文的主要结果是如下。

定理3.1：对初边值问题(1.1)~(1.3)，假设f(u)，g(u)分别由(1.4)和(1.5)给出；如果 $n=\text{3}$， $p=\text{2}$ ；则对于任何的 $\alpha \ge 0$，方程(1.1)~(1.3)在 $H_{\alpha }$ 中具有全局吸引子 $\mathcal{A}$，并且 $\mathcal{A}$ 在 $H_{\alpha }$ -范数下吸引任何的 $H_{\alpha }$ 有界集。

证明：对于 $n=1,2$ 时，任意的 $p\ge \text{2}$ 以及 $n=\text{3}$ 时， $p=\text{2}$，方程(1.1)对于任意的 $\phi \in H$ 有唯一强解 $u\in L^2\left(\left(0,T\right),H_1\right)\cap H^1\left(\left(0,T\right),H\right)$， $\forall T>0$ [8]。

所以，系统(1.1)~(1.3)的解 $u\left(t,\phi \right)$ 可以写成

$\begin{array}{c}u\left(t,\phi \right)={\text{e}}^{tL}\phi +{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)L}\left(\Delta f\left(u\right)-g\left(u\right)\right)\text{d}\tau }\\ ={\text{e}}^{tL}\phi -{\displaystyle {\int }_0^t{\left(-L\right)}^{\frac{1}{2}}{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)L}f\left(u\right)\text{d}\tau }-{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)L}g\left(u\right)\text{d}\tau }\end{array}$ (3.2)

接下来，就可以根据定理2.2 [8]，用下面几个步骤在证明定理3.1。

i) 我们首先要证明，对于任意的有界集 $U\subset H_{\frac{1}{4}}$，有一个常数 $C>0$，使得系统(1.1)~(1.3)的解 $u\left(t,\phi \right)$ 对于任意的 $\phi \in U$ 和 $t\ge 0$ 是一致有界的。

让方程(1.1)乘 $-\Delta u+f\left(u\right)$，再在Ω上积分有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(u_t+g\left(u\right)\right)\left(-\Delta u+f\left(u\right)\right)\text{d}x}\le 0$ (3.3)

进一步，

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(u_t+g\left(u\right)\right)\left(-\Delta u+f\left(u\right)\right)\text{d}x}\\ =\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{1}{2}{\Vert \nabla u\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\text{d}x}\right)+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{g}^{\prime }\left(u\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\underset{k=1}{\overset{2p-1}{{\displaystyle \sum }}}{a}_k{u}^k\right)\left(\underset{k=0}{\overset{q}{{\displaystyle \sum }}}{c}_k{u}^k\right)\text{d}x}\end{array}$ (3.4)

我们做如下假设：

$\frac{1}{2}{b}_{2p}{u}^{2p}-C_1\le F\left(u\right)$ (3.5)

$a_{2p-1}{u}^{2p-1}{c}_q{u}^q-C_2\le \left(\underset{k=1}{\overset{2p-1}{{\displaystyle \sum }}}{a}_k{u}^k\right)\left(\underset{k=0}{\overset{q}{{\displaystyle \sum }}}{c}_k{u}^k\right)$ (3.6)

$q{c}_q{u}^{q-1}-C_3\le g^{\prime }\left(u\right)$ (3.7)

特别地，当取 $f\left(s\right)=s^3-s$ 和 $g\left(s\right)=\beta s$， $\beta >0$ 或 $g\left(s\right)=\beta s\left(s-1\right)$， $\beta >0$ 时，上面假设依然成立。

下面将假设(3.5)~(3.7)带入(3.3)~(3.4)有

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{1}{2}{\Vert \nabla u\Vert }^2+\frac{1}{2}{b}_{2p}{\Vert u\Vert }^{2p}\right)+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(q{c}_q{u}^{q-1}-C_3\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(a_{2p-1}{u}^{2p-1}{c}_q{u}^q-C_2\right)\text{d}x}\le 0$

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{1}{2}{\Vert \nabla u\Vert }^2+\frac{1}{2}{b}_{2p}{\Vert u\Vert }^{2p}\right)\\ +\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{a}_{2p-1}{u}^{2p}{c}_q{u}^{q-1}\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }q{c}_q{u}^{q-1}{b}_{2p}{u}^{2p}\text{d}x}\\ \le C_3\left({\Vert \nabla u\Vert }^2+b_{2p}{\Vert u\Vert }^{2p}\right)+C\end{array}$ (3.8)

此时，有 $\frac{1}{2}{a}_{2p-1}{c}_q-q{c}_q{b}_{2p}\ge 0$，用Gronwall引理，我们可得到

${\Vert \nabla u\Vert }^2+b_{2p}{\Vert u\Vert }^{2p}\le 0,\forall t\ge 0,\phi \in U$ (3.9)

让方程(1.1)乘u，再在Ω上积分有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u\Vert }^2+{\Vert \Delta u\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{f}^{\prime }\left(u\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }g\left(u\right)u\text{d}x}=0$ (3.10)

由f(u)，g(u)的形式可得出：

$f^{\prime }\left(u\right)\ge -C_0,C_0>1$ (3.11)

$g\left(u\right)u\ge -b_{2p}{u}^{2p}-C_4,b_{2p}>0$ (3.12)

特别地，当取 $f\left(s\right)=s^{\text{3}}-s$ 和 $g\left(s\right)=\beta s,\beta >0$ 或 $g\left(s\right)=\beta s\left(s-1\right),\beta >0$ 时，上面假设依然成立。

下面将假设(3.11)~(3.12)带入(3.10)有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u\Vert }^2+{\Vert \Delta u\Vert }^2-C_0{\Vert \nabla u\Vert }^2-b_{2p}{\Vert u\Vert }^{2p}-C\le 0$

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2+2\left(C_0-1\right)b_{2p}{\Vert u\Vert }^{2p}\le 2C_0{b}_{2p}{\Vert u\Vert }^{2p}+2C_0{\Vert \nabla u\Vert }^2+C$

由Gronwall引理，我们可得到

${\Vert u\Vert }_{L^2}\le C,\forall t\ge 0,\phi \in U$ (3.13)

从而，

$\Vert \nabla u\Vert \le C,\forall t\ge 0,\phi \in U$ (3.14)

所以，

${\Vert u\left(t,\phi \right)\Vert }_{H_{\frac{1}{4}}}\le C,\forall t\ge 0,\phi \in U\subset H_{\frac{1}{4}}$ (3.15)

ii) 然后证明，对于任意的有界集 $U\subset H_{\alpha }\left(\frac{1}{4}\le \alpha <\frac{1}{2}\right)$，有一个常数 $C>0$，使得

${\Vert u\left(t,\phi \right)\Vert }_{H_{\alpha }}\le C,\forall t\ge 0,\phi \in U,\alpha <\frac{1}{2}$ (3.16)

实际上，从(2.3)和(3.2)可知

$\begin{array}{c}{\Vert u\left(t,\phi \right)\Vert }_{H_{\alpha }}={\Vert {\text{e}}^{tL}\phi -{\displaystyle {\int }_0^t{\left(-L\right)}^{\frac{1}{2}}{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)L}f\left(u\right)\text{d}\tau }-{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)L}g\left(u\right)\text{d}\tau }\Vert }_{H_{\alpha }}\\ \le {\Vert \phi \Vert }_{H_{\alpha }}+{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\left(-L\right)}^{\frac{1}{2}+\alpha }{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)L}f\left(u\right)\Vert }_H\text{d}\tau }+{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\left(-L\right)}^{\alpha }{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)L}g\left(u\right)\Vert }_H\text{d}\tau }\\ \le {\Vert \phi \Vert }_{H_{\alpha }}+{\displaystyle {\int }_0^t\Vert {\left(-L\right)}^{\frac{1}{2}+\alpha }{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)L}\Vert \cdot {\Vert f\left(u\right)\Vert }_H\text{d}\tau }+{\displaystyle {\int }_0^t\Vert {\left(-L\right)}^{\alpha }{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)L}\Vert \cdot {\Vert g\left(u\right)\Vert }_H\text{d}\tau }\end{array}$ (3.17)

我们说 $f:H_{\frac{1}{4}}\to H,g:H_{\frac{1}{4}}\to H$ 是有界的。

由 $H:H_{\frac{1}{4}}\to H,g:H_{\frac{1}{4}}\to H$ (当 $n=1,2$ 时，显然成立；当 $n=3$ 时， $p\le \frac{3}{2}$ )有

$\begin{array}{c}{\Vert g\left(u\right)\Vert }_H^2={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|g\left(u\right)\right|}^2\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\underset{k=0}{\overset{q}{{\displaystyle \sum }}}{c}_k{u}^k\right|}^2\text{d}x}\\ \le {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(c_q{u}^q+\underset{k=0}{\overset{q-1}{{\displaystyle \sum }}}\left|c_k\right|\left(\epsilon {\left|u\right|}^q+{\epsilon }^{-\frac{k}{q-k}}\right)\right)}^2\text{d}x}\\ \le C\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{2q}\text{d}x}+1\right)\le C\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{4p}\text{d}x}+1\right)\le C\left({\Vert u\Vert }_{H_{\frac{1}{4}}}^{4p}+1\right)\end{array}$ (3.18)

这就意味着 $g:H_{\frac{1}{4}}\to H$ 是有界的。

$\begin{array}{c}{\Vert f\left(u\right)\Vert }_H^2={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|f\left(u\right)\right|}^2\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\underset{k=1}{\overset{2p-1}{{\displaystyle \sum }}}{a}_k{u}^k\right|}^2\text{d}x}\\ \le {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(a_{2p-1}{u}^{2p-1}+\underset{k=1}{\overset{2p-2}{{\displaystyle \sum }}}\left|a_k\right|\left(\epsilon {\left|u\right|}^{2p-1}+{\epsilon }^{-\frac{k}{2p-1-k}}\right)\right)}^2\text{d}x}\\ \le C\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{4p-2}\text{d}x}+1\right)\le C\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{4p}\text{d}x}+1\right)\le C\left({\Vert u\Vert }_{H_{\frac{1}{4}}}^{4p}+1\right)\end{array}$ (3.19)

这就意味着 $f:H_{\frac{1}{4}}\to H$ 是有界的。

因此，由(2.2)和(3.15)可知

${\Vert u\left(t,\phi \right)\Vert }_{H_{\alpha }}\le {\Vert \phi \Vert }_{H_{\alpha }}+C{\displaystyle {\int }_0^t{\tau }^{-\left(\frac{1}{2}+\alpha \right)}{\text{e}}^{-\delta \tau }\text{d}\tau }+C{\displaystyle {\int }_0^t{\tau }^{-\alpha }{\text{e}}^{-\delta \tau }\text{d}\tau }\le C,\forall t\ge 0,\phi \in U\subset H_{\alpha }$

所以，(3.16)成立。

iii) 接下来证明，对于任意的有界集 $U\subset H_{\alpha }\left(\frac{1}{2}\le \alpha <\frac{3}{4}\right)$，有一个常数 $C>0$，使得

${\Vert u\left(t,\phi \right)\Vert }_{H_{\alpha }}\le C,\forall t\ge 0,\phi \in U\subset H_{\alpha },\alpha <\frac{3}{4}$ (3.20)

实际上，由分数阶空间的嵌入定理

可得

$\begin{array}{c}{\Vert g\left(u\right)\Vert }_{H_{\frac{1}{4}}}^2={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla g\left(u\right)\right|}^2\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\underset{k=1}{\overset{q}{{\displaystyle \sum }}}k{c}_k{u}^{k-1}\nabla u\right|}^2\text{d}x}\\ \le {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(q{c}_q{u}^{q-1}+\underset{k=1}{\overset{q-1}{{\displaystyle \sum }}}k\left|c_k\right|\left(\epsilon {\left|u\right|}^{q-1}+{\epsilon }^{-\frac{k-1}{q-k}}\right)\left|\nabla u\right|\right)}^2\text{d}x}\\ \le C{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(u^{2q-2}+1\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\le C{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\underset{x\in \Omega }{\sup }{u}^{2q-2}+1\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\\ \le C\left({\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^{2q-2}+1\right){\Vert u\Vert }_{H_{\frac{1}{4}}}^2\le C\left({\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^{2q-2}+1\right){\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^2\end{array}$ (3.21)

这意味着

$g:H_{\alpha }\to H_{\frac{1}{4}},\alpha >\frac{3}{8}$ (3.22)

是有界的。

因此，由(3.16)和(3.22)可得

${\Vert g\left(u\left(t,\phi \right)\right)\Vert }_{H_{\frac{1}{4}}}<C,\forall t\ge 0,\phi \in U,\frac{3}{8}<\alpha <\frac{1}{2}$ (3.23)

而

$\begin{array}{c}{\Vert f\left(u\right)\Vert }_{H_{\frac{1}{4}}}^2={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla f\left(u\right)\right|}^2\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\underset{k=1}{\overset{2p-1}{{\displaystyle \sum }}}k{a}_k{u}^{k-1}\nabla u\right|}^2\text{d}x}\\ \le {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(\left(2p-1\right)a_{2p-1}{u}^{2p-2}+\underset{k=1}{\overset{2p-2}{{\displaystyle \sum }}}k\left|a_k\right|\left(\epsilon {\left|u\right|}^{2p-2}+{\epsilon }^{-\frac{k-1}{2p-1-k}}\right)\left|\nabla u\right|\right)}^2\text{d}x}\\ \le C{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(u^{4p-4}+1\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\le C{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\underset{x\in \Omega }{\sup }{u}^{4p-4}+1\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\\ \le C\left({\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^{4p-4}+1\right){\Vert u\Vert }_{H_{\frac{1}{4}}}^2\le C\left({\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^{4p-4}+1\right){\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^2\end{array}$ (3.24)

这意味着

$f:H_{\alpha }\to H_{\frac{1}{4}},\alpha >\frac{3}{8}$ (3.25)

是有界的。

因此，由(3.16)和(3.25)可得

${\Vert f\left(u\left(t,\phi \right)\right)\Vert }_{H_{\frac{1}{4}}}<C,\forall t\ge 0,\phi \in U,\frac{3}{8}<\alpha <\frac{1}{2}$ (3.26)

所以，我们可以得到

$\begin{array}{c}{\Vert u\left(t,\phi \right)\Vert }_{H_{\alpha }}\le {\Vert \phi \Vert }_{H_{\alpha }}+{\displaystyle {\int }_0^t\Vert {\left(-L\right)}^{\frac{1}{4}+\alpha }{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)L}\Vert \cdot {\Vert f\left(u\right)\Vert }_{H_{\frac{1}{4}}}\text{d}\tau }+{\displaystyle {\int }_0^t\Vert {\left(-L\right)}^{\alpha -\frac{1}{4}}{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)L}\Vert \cdot {\Vert g\left(u\right)\Vert }_{H_{\frac{1}{4}}}\text{d}\tau }\\ \le {\Vert \phi \Vert }_{H_{\alpha }}+C{\displaystyle {\int }_0^t{\tau }^{-\left(\frac{1}{4}+\alpha \right)}{\text{e}}^{-\delta \tau }\text{d}\tau }+C{\displaystyle {\int }_0^t{\tau }^{-\alpha +\frac{1}{4}}{\text{e}}^{-\delta \tau }\text{d}\tau }\le C,\forall t\ge 0,\phi \in U\subset H_{\alpha }\end{array}$ (3.27)

所以，(3.20)成立。

iv) 接下来再证明，对于任意的有界集 $U\subset H_{\alpha }\left(\frac{3}{4}\le \alpha <1\right)$，有一个常数 $C>0$，使得

${\Vert u\left(t,\phi \right)\Vert }_{H_{\alpha }}\le C,\forall t\ge 0,\phi \in U\subset H_{\alpha },\alpha <1$ (3.28)

实际上，由分数阶空间的嵌入定理

可得

$\begin{array}{l}{\Vert g\left(u\right)\Vert }_{H_{\frac{1}{2}}}^2={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta g\left(u\right)\right|}^2\text{d}x}\\ \le {\displaystyle {\int }_{\Omega }(c_1\Delta u+q\left(q-1\right)c_q{u}^{q-2}{\left|\nabla u\right|}^2+q{c}_q{u}^{q-1}\Delta u+\underset{k=2}{\overset{q-1}{{\displaystyle \sum }}}k\left(k-1\right)\left|c_k\right|\left(\epsilon {\left|u\right|}^{q-2}+{\epsilon }^{-\frac{k-2}{q-k}}\right){\left|\nabla u\right|}^2}\\ +{\underset{k=2}{\overset{q-1}{{\displaystyle \sum }}}k\left|c_k\right|\left(\epsilon {\left|u\right|}^{q-1}+{\epsilon }^{-\frac{k-1}{q-k}}\right)\left|\Delta u\right|)}^2\text{d}x\\ \le C{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\left|\Delta u\right|}^2+\underset{x\in \Omega }{\sup }{\left|u\right|}^{2q-4}{\left|\nabla u\right|}^4+\underset{x\in \Omega }{\sup }{\left|u\right|}^{2q-2}{\left|\Delta u\right|}^2+{\left|\nabla u\right|}^4\right)\text{d}x}\\ \le C\left({\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^2+{\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^{2q}+{\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^4\right)\end{array}$ (3.29)

这意味着

$g:H_{\alpha }\to H_{\frac{1}{2}},\alpha \ge \frac{1}{2}$ (3.30)

是有界的。

因此，由(3.20)和(3.30)可得

${\Vert g\left(u\left(t,\phi \right)\right)\Vert }_{H_{\frac{1}{2}}}<C,\forall t\ge 0,\phi \in U,\frac{1}{2}\le \alpha <\frac{3}{4}$ (3.31)

同理，

${\Vert f\left(u\right)\Vert }_{H_{\frac{1}{2}}}^2\le C\left({\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^{4p-2}+{\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^2+{\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^4\right)$ (3.32)

这意味着

$f:H_{\alpha }\to H_{\frac{1}{2}},\alpha \ge \frac{1}{2}$ (3.33)

是有界的。

因此，由(3.20)和(3.33)可得

${\Vert f\left(u\left(t,\phi \right)\right)\Vert }_{H_{\frac{1}{2}}}<C,\forall t\ge 0,\phi \in U,\frac{1}{2}\le \alpha <\frac{3}{4}$ (3.34)

所以，我们可以得到

$\begin{array}{c}{\Vert u\left(t,\phi \right)\Vert }_{H_{\alpha }}\le {\Vert \phi \Vert }_{H_{\alpha }}+{\displaystyle {\int }_0^t\Vert {\left(-L\right)}^{\alpha }{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)L}\Vert \cdot {\Vert f\left(u\right)\Vert }_{H_{\frac{1}{2}}}\text{d}\tau }+{\displaystyle {\int }_0^t\Vert {\left(-L\right)}^{\alpha -\frac{1}{2}}{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)L}\Vert \cdot {\Vert g\left(u\right)\Vert }_{H_{\frac{1}{2}}}\text{d}\tau }\\ \le {\Vert \phi \Vert }_{H_{\alpha }}+C{\displaystyle {\int }_0^t{\tau }^{-\alpha }{\text{e}}^{-\delta \tau }\text{d}\tau }+C{\displaystyle {\int }_0^t{\tau }^{-\alpha +\frac{1}{2}}{\text{e}}^{-\delta \tau }\text{d}\tau }\le C,\forall t\ge 0,\phi \in U\subset H_{\alpha },0<\alpha <1\end{array}$ (3.35)

所以，(3.28)成立。

v) 我们将证明，对于任意的有界集 $U\subset H_{\alpha }\left(\alpha \ge 0\right)$，有一个常数 $C>0$，使得

${\Vert u\left(t,\phi \right)\Vert }_{H_{\alpha }}\le C,\forall t\ge 0,\phi \in U\subset H_{\alpha },\alpha \ge 0$ (3.36)

实际上，由分数阶空间的嵌入定理

可得

$\begin{array}{l}{\Vert g\left(u\right)\Vert }_{H_{\frac{3}{4}}}^2={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla \Delta g\left(u\right)\right|}^2\text{d}x}\\ \le {\displaystyle {\int }_{\Omega }(c_1\left|\nabla \Delta u\right|+q\left(q-1\right)\left(q-2\right)c_q{\left|u\right|}^{q-3}{\left|\nabla u\right|}^3+3q\left(q-1\right)c_q{\left|u\right|}^{q-2}\left|\nabla u\right|\left|\Delta u\right|\begin{array}{c}{}^{}\\ {}_{}\end{array}}\\ +q{c}_q{\left|u\right|}^{q-1}\left|\nabla \Delta u\right|+\underset{k=2}{\overset{q-1}{{\displaystyle \sum }}}(k\left(k-1\right)\left(k-2\right)\left|c_k\right|\left(\epsilon {\left|u\right|}^{q-3}+{\epsilon }^{-\frac{k-3}{q-k}}\right){\left|\nabla u\right|}^3\\ +3k\left(k-1\right)\left|c_k\right|\left(\epsilon {\left|u\right|}^{q-2}+{\epsilon }^{-\frac{k-2}{q-k}}\right)\left|\nabla u\right|\left|\Delta u\right|+{k\left|c_k\right|\left(\epsilon {\left|u\right|}^{q-1}+{\epsilon }^{-\frac{k-1}{q-k}}\right)\left|\nabla \Delta u\right|))}^2\text{d}x\\ \le C{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\left|\nabla \Delta u\right|}^2+\underset{x\in \Omega }{\sup }{\left|u\right|}^{2q-6}{\left|\nabla u\right|}^6+\underset{x\in \Omega }{\sup }{\left|u\right|}^{2q-4}{\left|\Delta u\right|}^2{\left|\nabla u\right|}^2+\underset{x\in \Omega }{\sup }{\left|u\right|}^{2q-2}{\left|\nabla \Delta u\right|}^2+{\left|\nabla u\right|}^6+{\left|\nabla u\right|}^2{\left|\Delta u\right|}^2\right)\text{d}x}\\ \le C\left({\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^2+{\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^{2q}+{\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^4+{\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^6\right)\end{array}$ (3.37)

这意味着

$g:H_{\alpha }\to H_{\frac{3}{4}},\alpha \ge \frac{3}{4}$ (3.38)

是有界的。

因此，由(3.28)和(3.38)可得

${\Vert g\left(u\left(t,\phi \right)\right)\Vert }_{H_{\frac{3}{4}}}<C,\forall t\ge 0,\phi \in U,\frac{3}{4}\le \alpha <1$ (3.39)

同理，

${\Vert f\left(u\right)\Vert }_{H_{\frac{3}{4}}}^2\le C\left({\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^2+{\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^{4p-2}+{\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^4+{\Vert u\Vert }_{H_{\alpha }}^6\right)$ (3.40)

这意味着

$f:H_{\alpha }\to H_{\frac{3}{4}},\alpha \ge \frac{3}{4}$ (3.41)

是有界的。

因此，由(3.28)和(3.41)可得

${\Vert f\left(u\left(t,\phi \right)\right)\Vert }_{H_{\frac{3}{4}}}<C,\forall t\ge 0,\phi \in U,\frac{3}{4}\le \alpha <1$ (3.42)

所以，我们可以得到

$\begin{array}{l}{\Vert u\left(t,\phi \right)\Vert }_{H_{\alpha }}\\ \le {\Vert \phi \Vert }_{H_{\alpha }}+{\displaystyle {\int }_0^t\Vert {\left(-L\right)}^{\alpha -\frac{1}{4}}{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)L}\Vert \cdot {\Vert f\left(u\right)\Vert }_{H_{\frac{3}{4}}}\text{d}\tau }+{\displaystyle {\int }_0^t\Vert {\left(-L\right)}^{\alpha -\frac{3}{4}}{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)L}\Vert \cdot {\Vert g\left(u\right)\Vert }_{H_{\frac{3}{4}}}\text{d}\tau }\\ \le {\Vert \phi \Vert }_{H_{\alpha }}+C{\displaystyle {\int }_0^t{\tau }^{-\alpha +\frac{1}{4}}{\text{e}}^{-\delta \tau }\text{d}\tau }+C{\displaystyle {\int }_0^t{\tau }^{-\alpha +\frac{3}{4}}{\text{e}}^{-\delta \tau }\text{d}\tau }\le C,\forall t\ge 0,\phi \in U\subset H_{\alpha }\end{array}$ (3.43)

最后，不断重复步骤i)~iv)，我们就可以得到(3.36)成立。