分块矩阵的应用研究

Research on the Application of Block Matrix

摘要: 在高等数学中，分块矩阵是一个十分重要的概念，它可以使矩阵的表示更简单明了，使矩阵的运算简单化。本文通过对分块矩阵的计算和证明两个方面的简单分析，讨论了具有n阶特殊属性的矩阵的方法，使用块矩阵描述线性系统及其相关内容的解决方案。

Abstract: In advanced mathematics, block matrix is a very important concept. It can make the representation of matrix more simple and clear, and simplify the operation of matrix. In this paper, through the simple analysis of the calculation and proof of block matrix, we discuss the method of matrix with n-order special attribute, and use block matrix to describe the solution of linear system and its related content.

1. 引言

在数学尤其高等代数的名词中，表示各区域间有关联的数据被称之为矩阵(英文名Matrix)，举例比如统计数据。这个定义很好地解释了代码Matrix是用来制造世界数学的逻辑基础 [1]。由方程组的系数和常数所构成的方阵是数学中的矩阵，在解决数学线性方程组的方法上用其会更方便直观。对于方程组，如下

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1,$ (1.1)

$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2,$ (1.2)

$a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_3,$ (1.3)

我们可以构成一个矩阵：

(1.4)

因为这些数字或字母定期地排列在一起，它的形状像矩形，所以数学家们将其称之为矩阵。在数学上，矩阵是一个矩形的行数组。矩阵由数字组成，或是更一般的由环中的元素组成。

作为数学工具之一的矩阵，它有其重要的实用价值，在很多学科中常见，比如：高等代数、统计分析、组合数学，以及线性规划等，在现实生活中，许多实际问题也都可以借用矩阵用于被抽出并执行，例如在事件表中常用的循环等。相对于矩阵的概念和性质 [1] [2] [3]，矩阵的计算和应用更值得我们研究和学习 [4] [5] [6] [7]。其中当矩阵的行数和列数相当大时，此时矩阵的计算和证明将是一个非常繁琐的过程，所以我们需要一个新的矩阵处理工具使这些问题有更好的解决方案 [7] [8] [9] [10] [11]，所以解决高阶矩阵是矩阵相关内容的一个非常重要的部分。

本文将从计算和证明方面来探讨分块矩阵的应用。

2. 分块矩阵在计算方面的应用

2.1. 逆矩阵方面的应用

定理2.1 [6] 假设四分块方阵

$P=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]$

B是r阶，C是k阶，当B与( $C-D{B}^{-1}A$ )两个方阵是可逆的，那么P也是可逆的，

特例：

1) 当，B与C都可逆时，有 $P^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0& C^{-1}\\ B^{-1}& 0\end{array}\right]$

2) 当，B与C都可逆时，有 $P^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-C^{-1}D{B}^{-1}& C^{-1}\\ B^{-1}& 0\end{array}\right]$

3) 当 $A\ne 0,D\ne 0$，B与C都可逆时，有 $P^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0& C^{-1}\\ B^{-1}& -B^{-1}A{C}^{-1}\end{array}\right]$

定理2.2 [6] 设四分块方阵

$Q=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]$

里面的A是一个r阶方阵，D是一个k阶方阵，当A和( $D-C{A}^{-1}B$ )是可逆矩阵时，则Q是可逆矩阵，且

$Q^{-1}={\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}+A^{-1}B{\left(D-C{A}^{-1}B\right)}^{-1}C{A}^{-1}& -A^{-1}B{\left(D-C{A}^{-1}B\right)}^{-1}\\ -{\left(D-C{A}^{-1}B\right)}^{-1}C{A}^{-1}& {\left(D-CAB\right)}^{-1}\end{array}\right]$

特例：

1) 当 $B=0,C=0$，A与D都可逆时，有 $Q^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& 0\\ 0& D^{-1}\end{array}\right]$

2) 当，A与D都可逆时，有 $Q^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}B{D}^{-1}\\ 0& D^{-1}\end{array}\right]$

3) 当 $B=0,C\ne 0$，A与D都可逆时，有 $Q^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& 0\\ -D^{-1}C{A}^{-1}& D^{-1}\end{array}\right]$

此结论参考定理2.1。

例2.1求下列逆矩阵的值，其中

$M=\left(\begin{array}{cccccc}0& m_1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& m_2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& m_{n-1}\\ m_n& 0& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right)\left(m_i\ne 0,i=1,\cdots ,n\right)$

解：设

其中

$N=\left(\begin{array}{ccccc}{m}_1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& m_2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& m_{n-1}\end{array}\right)$

而

$M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& m_n^{-1}\\ N^{-1}& 0\end{array}\right),N^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}{m}_1^{-1}& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& m_2^{-1}& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& m_{n-1}^{-1}\end{array}\right)$

所以

$M^{-1}=\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \cdots & 0& 1/m_n\\ 1/m_1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 1/m_{n-1}& 0\end{array}\right)$

2.2. 行列式计算方面的应用

定理2.3 [6] 设矩阵

$H=\left[\begin{array}{cccc}{P}_1& & \cdots & P\\ 0& P_2& & ⋮\\ ⋮& ⋮& \ddots & \\ 0& 0& \cdots & P_s\end{array}\right]$

其中 $P_1,P_2,\cdots ,P_s$ 均为方阵，则 $\left|H\right|=\left|P_1\right|\left|P_2\right|\cdots \left|P_s\right|$。

例2.2 计算下列行列式的值

$\left|P\right|=\left[\begin{array}{ccccccc}x& 0& 0& \cdots & 0& 0& z\\ 0& x& 0& \cdots & 0& z& 0\\ 0& 0& x& \cdots & z& 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& z& \cdots & x& 0& 0\\ 0& z& 0& \cdots & 0& x& 0\\ z& 0& 0& \cdots & 0& 0& 0\end{array}\right]$

解：令

$A=\left[\begin{array}{cccc}x& & & \\ & x& & \\ & & \ddots & \\ & & & x\end{array}\right]=D,B=\left[\begin{array}{cccc}& & & z\\ & & z& \\ & ⋰& & \\ z& & & \end{array}\right]=C$

则

$\left|P\right|=\left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right|=\left|A\right|\cdot \left|D-C{A}^{-1}B\right|$

因为

所以

$\left|P\right|=x^n{\left(x-z^2{x}^{-1}\right)}^n={\left(x^2-z^2\right)}^n$

2.3. 矩阵特征值方面的应用

定理2.4 [6] 假设n阶矩阵A， $\lambda$ 是数字，如果有非零解向量的方程 $Ax=\lambda x$，那么命名 $\lambda$ 为A的一个特征值，与特征值 $\lambda$ 对应的特征向量就是相应的非零解向量X。

定理2.5 [6] 设n阶矩阵A, A的特征矩阵是 $\lambda I-A$，其中含有未知量 $\lambda$， $\lambda$ 的n次多项式就是行列式 $\left|\lambda I-A\right|$，也叫做A的特征多项式，A的特征方程是 $\left|\lambda I-A\right|=0$， $\lambda$ 是特征值，是的根，因此还叫做特征根。假设 $\lambda$ 是 $\left|\lambda I-A\right|=0$ 的 $n_1$ 重根，那么 $\lambda$ 就为A的 $n_1$ 重特征根(值)。

定理2.6 [6] 幂等矩阵A与

$\left[\begin{array}{cc}{E}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

或

$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& E_r\end{array}\right]$

相似，其中 $r=R\left(A\right)$。

1) 当 $R\left(A\right)=0$ 时，即，结论显然成立。

2) 设 $0<r<n$，非零不可逆矩阵A，因为，所以有可逆矩阵P，

3. 分块矩阵在证明方面的应用

例3.1 设A为 $m\times n$ 矩阵， $A_s$ 是从中取s行构成的矩阵为B，则

$R\left(A_s\right)\ge R\left(A\right)+s-m$

证明：不妨假设A的前s行命为 $A_s$，而 $m-s$ 行的小矩阵叫做B，则显然有

$R\left(A+B\right)\le R\left(A\right)+R(\; B\; )$

于是

$R\left[\begin{array}{c}0\\ B\end{array}\right]=R\left(A_s\right)+m-s$

例3.2 设T为 $m\times n$ 阶矩阵，且，证明T可分解成两个秩为r的 $m\times r,r\times n$ 阶矩阵的乘积。

证明：因为 $R\left(T\right)=r$，即会有m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，所以有

$T=P\left[\begin{array}{cc}{E}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]Q=P\left[\begin{array}{c}{E}_r\\ 0\end{array}\right]\left(\begin{array}{cc}{E}_r& 0\end{array}\right)Q=T_1{T}_2$

其中

$T_1=P\left[\begin{array}{c}{E}_r\\ 0\end{array}\right],T_2=\left(\begin{array}{cc}{E}_r& 0\end{array}\right)Q$

且