1. 引言
范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论、多项式理论、微积分等方面都有重要贡献,如参考文献 [1] [2] [3];在其他工程技术领域如计算机技术、自动化技术等也有广泛的应用。但由于传统的范德蒙行列式中的元素均为实数,适用范围有限,故本文利用分块矩阵及矩阵直积的性质,将行列式中的元素换成分块矩阵进行推广,使其应用范围更加广泛。
2. 预备知识
1) n阶范德蒙行列式的通解公式
。
2) 分块矩阵3点性质:
性质2.1: [4] 设矩阵
,矩阵
,把A,B分成一些小矩阵:
,
,
其中
是
小矩阵,每个
是
小矩阵,于是有
其中,
。
性质2.2: [4] 若矩阵A可逆,则有
3) 矩阵直积的定义与性质:
定义2.1:设矩阵
,
,称如下的分块矩阵
为A与B的直积。
性质2.3: [5]
的全体特征值是
,
的全体特征值是
,则
的全体特征值是
。
证明:因为任何方阵都可以化成约当标准型,且对角线的元素都是矩阵的特征值,所以用约当标准型来证明,因为存在P、Q,使得
,
,
,
,
这里
,
代表1或者0,于是
,
故
的特征值即
的特征值是
。
性质2.4: [5] 设
,
,则
。
证明:由性质2.4,知
的特征值是
,于是
。
3. 主要结论
命题3.1:设方阵A由如下分块矩阵组成
其中
都是s阶方阵,M是任一s阶方阵,对于矩阵
,
则有
。
证明:
,
于是
。
同理,
,
于是
,证明完毕。
定理3.1:设n阶分块矩阵的行列式如下:
(1)
其中,小矩阵块
均为同阶方阵,则有
。
证明(数学归纳法):
当
时由性质2.2,可得
满足定理公式。
假设定理公式对于
阶的行列式成立,现在来看对于n阶的情形。在(1)式中,用第n行减去
左乘第
行,用第
行减去
左乘第
行,也就是自下而上依次用每一行减去
左乘它上一行,也即
因此可得:
由命题3.1,上式可以化简为:
由于后面这个行列式是一个
级范德蒙行列式的矩阵推广形式,根据归纳假设,它就等于所有可能差
的乘积;又由于包含
的项在前面已经全部出现。因此,可以得出结论,定理公式对n级范德蒙行列式的矩阵推广形式也成立。根据数学归纳法,证明完毕。
定理3.2:若n阶分块矩阵行列式如下:
其中
,则有
。
证明:令
由矩阵直积的定义2.1及性质2.4可知:
根据范德蒙行列式的通解公式,可知:
故上式可整理得:
完成证明。
4. 应用举例
1) 计算
的值。
解:
由于
,
,
,
令
,
,
,
所以可以直接使用定理3.1,解得:
2) 计算
的值。
解:
利用定理3.2,可直接解得结果为