1. 引言
许多物理和力学现象都是非线性的。例如,1895年D. J. Korteweg和G. de Vries [1] 发现水波现象是非线性的,并给出了著名的Korteweg-de Vries (KdV)方程;Von Kárman [2] 首次指出薄板挠度问题是非线性问题,并且1940年给出了该问题的控制方程——著名的Kárman方程式。因此求解非线性微分方程成为应用数学领域的一个热点问题。迄今为止,许多研究者提出并发展了求解非线性微分方程的各种方法,如Lie对称 [3]、Hirota双线性法 [4] [5] [6]、同伦摄动法 [7] [8]、同伦分析法 [9]、Adomian分解法 [10] [11] (ADM)、辅助方程法 [12] [13] [14]、Bäcklund变换和Hirota双线性法的结合 [15] [16] [17] [18] [19] 等。
其中,Hirota双线性方法是日本著名数学、物理学家Ryogo Hirota [4] 提出的一种求解非线性微分方程的方法。近年来,通过Hirota双线性方法,研究了lump解与反应解。例如:YTSF方程的lump解与反应解 [20],(2 + 1)维非线性发展方程的反应解 [21],(3 + 1)维非线性发展方程的精确解 [22],降维双线性方程的lump解 [23],广义(3 + 1)维Kadomtsev-Petviashvili方程的lump解 [24];非局部KPI方程的lump解 [25];新的广义Kadomtsev-Petviashvili方程的lump解 [26];2 + 1维Korteweg-de-Vries方程的个一般lump解 [27];Boiti-Leon-Manna-Pempinelli (BLMP)方程的lump解 [28];广义变系数Kadomtsev-Petviashvili方程的lump解 [29];Ito方程的lump解 [30];Boussinesq波方程的lump单孤子解和lump双孤子解 [31];(3 + 1)维BKP-Boussinesq方程及其降维方程的lump解 [32];(3 + 1)维广义B型Kadomtsev-Petviashvili方程的lump解、lump孤子解和lump条孤子解 [33];Sawada-Kotera (SK)方程的lump解 [34];三阶非线性发展方程的lump解和反应解 [35];(2 + 1)维非对称Nizhnik-Novikov-Veselov方程lump解和lump条状解 [36] 等等。
用Hirota双线性方法从一个非线性微分方程出发,构造一个具有物理意义的非线性微分方程也是可能的。基于Hirota双线性方法,Wazwaz [37] 结合Sawada-Kotera (SK)方程与Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程提出了Sawada-Kotera-Kadomtsev-Petviashvili (SKKP)方程。Sawada-Kotera-Kadomtsev Petviashvili (SK-KP)方程如下:
(1)
在变换
下SK-KP方程变为以下Hirota双线性形式:
(2)
其中双线性算子如下:
。
基于双线性方程(2),Wazwaz [37] 讨论了它的n-孤子解;Wazwaz利用
方法 [38] 讨论了其单孤子解;在 [39] [40] 中,利用F展开法和指数函数法讨论了SK-KP方程的精确行波解、孤立波解、新的扭波解和周期波解。
基于上述变换,本文利用Hirota双线性方法和符号计算系统Mathematics将研究SK-KP方程(1)的lump解。具体内容如下:第二节在Hirota双线性方法的基础上,讨论了SK-KP方程的lump解,得到了七类lump解;第三节给出了结论。
2. SK-KP方程的Lump解
为了讨论(1)中的Lump解,我们假设方程(2)中的f为:
, (3)
其中,
,
,
都是实数。将(3)代入式(2),得到了关于
的代数方程组。在求解该代数方程组,得到以下七组解和相应的方程(1)的Lump解:
第一组:
(4)
其中
是任意实数,对应SK-KP方程的lump解如下:
(5)
这里
,
.
第二组:当
时,
(6)
相应方程的解如下:
. (7)
第三组:
(8)
其中
。相应的lump解为:
(9)
这里
,
.
第四组:当
时,
方程的解为:
这里
,
.
第五组:当
和
时,
方程的解为:
其中,
,
.
第六组:当
时,
方程的解为:
.
第七组:当
时,
方程的解为:
,
其中,
.
3. 结论
本文借助于符号计算系统Mathematics和双线性算子,研究了SKKP方程的Lump解。我们得到了7组lump解。由此说明SKKP方程的解的丰富性和部分解的特征以便理解该方程的可积性。当
时,解(9)的3D图和等高线图如图1所示,可以观察到随着时间该lump解沿着 轴向正方向移动。
Figure 1. 3D plot and contour plot of solution (9)
图1. 解(9)的3D图和等高线图(
)
致谢
感谢银山老师的支持与帮助。