1. 引言
约当代数和约当三系与对称流形有密切联系,实的紧的约当三系与对称R-空间之间存在一一对应关系 [1]。此外,约当三系与结合代数也有密切联系。在结合代数
上定义运算
可以得到约当三系 [2]。约当三系作为独立的代数体系已经有很多相关的结果,例如约当三系的分类 [3]、约当三系的表示 [4]、约当三系的上同调 [5] 等。Hom-约当三系是 [6] 中引入的,是约当三系的推广。本文将考虑Hom-约当三系的表示和扩张。
2. Hom-约当三系的表示
本文所指的线性空间都是数域K上的有限维线性空间。
定义1.1 [5] 设J是线性空间,
,
是三线性映射,如果对于任意的
满足下列条件
(1.1)
(1.2)
则称
为Hom-约当三系。
当
时,
为约当三系。
定义1.2设
为Hom-约当三系,V是线性空间,
,
为双线性映射,如果对于任意的
有
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
则称
是
的表示。
例1.1设
为Hom-约当三系,
,
为双线性映射,其中
,
,则
为
的表示,称为伴随表示。
证明:直接验证可知对于
有(1.3)~(1.8)成立。
定理1.1设
为Hom-约当三系,V是线性空间,
,
为双线性映射,在
上定义
其中
,则
为Hom-约当三系当且仅当
是
的表示。
证明:
为Hom-约当三系当且仅当下列等式成立
(1.9)
(1.10)
其中
。
由于
因此(1.9)成立当且仅当
对称,即(1.3)式成立。
(1.10)式左边直接计算得
由
为Hom-约当三系,则等式(1.2)成立。因此,(1.10)式成立当且仅当(1.4)~(1.8)成立。因此,结论成立。
设
为线性空间,
为线性映射,定义
,其中
则
为线性映射,称为
的对偶映射。
设
为Hom-约当三系,V为线性空间,
为线性映射,定义
,其中
则
为线性映射。
定理1.2设
为Hom-约当三系,
是
的表示,则
也是
的表示当且仅当满足下列条件
(1.11)
(1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
其中
。
证明;
为
的表示当且仅当
满足等式(1.3)~(1.8)。
,直接计算得
由
是
的表示可知
,则
上等式(1.3)~(1.8)成立等价于等式(1.11)~(1.15)成立。因此结论成立。
推论1.1设
为Hom-约当三系,则
为
的表示当且仅当J上的运算
满足下列条件
(1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.19)
(1.20)
其中
。
证明:利用定理1.2,取
,通过计算可直接得出。
设
为Hom-约当三系,
为线性空间,
,
为双线性映射,
,
,定义
,
,其中
其中
。
定理1.3设
为Hom-约当三系,
均为
的表示,则
是
的表示当且仅当
满足下列条件
(1.21)
(1.22)
(1.23)
(1.24)
(1.25)
其中
。
证明:由
的定义知为线性映射。
是
的表示当且仅当对于
有(1.3)~(1.8)成立。由于
则
满足等式(1.3)当且仅当
满足等式(1.3)。在
上等式(1.4)左边
因此
满足等式(1.4)当且仅当等式(1.21)式成立。同理,
满足等式(1.5)当且仅当等式(1.22)成立,满足等式(1.6)当且仅当
等式(1.23)成立,满足等式(1.7)当且仅当等式(1.24)成立,满足等式(1.8)当且仅当等式(1.25)成立,因此,结论成立。
3. Hom-约当三系的扩张
定理2.1设
为Hom-约当三系,
是三线性函数,在
上定义
则
为Hom-约当三系的充分必要条件是
满足
(2.1)
(2.2)
其中
。
证明:
,则
为Hom-约当三系当且仅当下列等式成立
(2.3)
(2.4)
由
为Hom-约当三系知
,则等式(2.3)成立当且仅当
满足等式(2.1)。由
为Hom-约当三系知等式(1.2)成立,则等式(2.4)成立等价于等式(2.2)成立。因此,结论成立。
定理2.2设
为Hom-约当三系,且满足(1.11)~(1.15),
为三线性映射,在
上定义
其中
,则
为Hom-约当三系当且仅当
满足
(2.5)
(2.6)
其中
,此时称
为J的
-扩张。
证明:显然,在
上定义的新的运算对三个变量都是线性的。
,
,
为Hom-约当三系当且仅当在
上等式(1.1)、(1.2)成立。
由于
由于
,因此在
上等式(1.1)成立等价于等式(2.5)成立。
在
上等式(1.2)左边直接计算得
由
为Hom-约当三系,等式(1.2)成立。又由
为
的表示知对于
有(1.4)~(1.8)成立,则在
上等式(1.2)成立等价于等式(2.6)成立。因此结论成立。
定义2.1设
为Hom-约当三系,f为J上的双线性函数,若满足
则称f为J上的不变函数。
定义2.2设
为Hom-约当三系,若J上存在非退化的、不变的、对称的双线性函数f,则称
为度量Hom-约当三系。
定理2.3设
为Hom-约当三系且满足
, (2.7)
三线性映射
满足(2.5)、(2.6)并且
(2.8)
在
上定义
则
是度量Hom-约当三系。
证明:由
满足等式(2.5)、(2.6)知
为Hom-约当三系。
对于
,若对于
满足
,取
,则
,因此
。取
,则
,因此
,从而
,q是非退化的。
因为
,所以q是对称的。
,直接计算得
由(2.7)知
此外,
因此,
由(2.7)知
此外,
因此,
则q是不变的,结论成立。
4. 结论
本文给出了Hom-约当三系的表示的定义及扩张的两种方法,作为约当三系的推广,还可以对Hom-约当三系进入深入研究,比如还可以研究它的上同调,并应用到其他领域。