1. 引言
在微分方程数值求解及优化问题求解中,经常会出现分块矩阵方程,广义逆矩阵在分块矩阵方程的求解中具有重要作用,分块矩阵的广义逆的求解具有重要意义 [1]。在已有研究中,很多学者对分块矩阵的一些广义逆给出了不同表达式 [2] [3]。但是,某些特殊块矩阵的广义逆仍然很难计算 [4]。本文探讨了2 × 2分块矩阵的广义逆的计算,推导了有效的计算公式,并应用于分块矩阵方程的求解,该方法能较大地降低矩阵方程求解的计算量。
2. 一类2 × 2分块矩阵的广义逆
2.1. 逆矩阵的基本概念
块矩阵 [5] 的逆矩阵有多种,例如减号逆,加号逆 [6],最小二乘广义逆 [7],自反广义逆和最小范数广义逆 [8]。在本文中,我们考虑四分块矩阵的减号逆 [9]。
对于矩阵
,我们考虑以下公式:
(1)
对于一个
的矩阵A,如果存在一个矩阵X满足(1),那么矩阵X称为A矩阵的减号逆
,对任意的
,
存在。
2.2. 2 × 2分块矩阵减号逆
在求解如下离散方程组(2)时 [10],会涉及到分块矩阵的求逆问题 [11]
(2)
我们考虑以下
块矩阵的广义逆,设系数矩阵T为
(3)
设矩阵T减号逆为
方程(2)中U,P未知,系数矩阵T和右端项F已知,有
(4)
根据减号逆的性质有
,
从而
(5)
在(5)中的第1、3个等式左右同乘以U,第2、4个等式左右同乘以P有
(6)
因为
,
,可得
(7)
在(7)中第一个等式减去第二个等式,第三个等式减去第四个等式得
(8)
化成矩阵形式得
(9)
下面讨论
的求解:
设
,
,形如
的矩阵叫做列分块矩阵,以下讨论列分块矩阵的减号逆。
对矩阵
作初等变换 [7] 有
, (10)
令
,
,
有
,
令
,有
又
为列满秩阵,
为可逆阵。
又有
, (11)
所以有
.(12)
同理有
, (13)
其中
,
。
然后有
即
同理得
. (14)
因此有
设
,
。
然后有
.(15)
用同样的方法有
(16)
然后设
(17)
,
其中
。
因此,有以下公式
(18)
其中
,
,
从而可得
。
2.3. 初等变换法 [12]
对于任意一个分块矩阵A,它的减号逆总存在,不一定唯一,并且
是A的一个减号逆。设A是
矩阵,
,则存在可逆的m阶方阵P和n阶方阵Q,使
,即
,令
,
,
,
都是初等矩阵。则有
,
,
.
这一过程可对下面分块矩阵施行初等变换完成
因此
,
是A的全部广义逆,其中C,D,I分别为任意的
,
,
矩阵。
3. 数值例子
当
,
,
,
时,求方程组
。
解:系数矩阵
,
,
利用初等变换理论做分块矩阵的初等变换
满足关系式
,因此可以求出T的一个减号逆为
,
再求原方程的通解
,
其中
为任意实数,
。
验证:由于广义逆是不唯一的,利用matlab直接计算,得到方程一个解
当
,
,说明该方法有效。
4. 2 × 2分块矩阵求解的推广
已知矩阵方程 [12]
(20)
其中系数矩阵
已知,下面求解T的广义逆。
令
,
,
,
。
有
,
,
。
,
,
,
.
其中
,
。
令
代入公式(19)可得
其中
,
。
5. 结论
通过分块矩阵的广义逆探讨矩阵方程的求解,也是代数方程求解的探索方向之一。在本文中,探讨了一类
分块矩阵的广义逆的具体计算过程,应用初等变换法求解一类分块矩阵的广义逆,给出了数值计算例子,应用于一些特殊方程的求解,并对
分块矩阵的广义逆的计算进行了推广与应用。
基金项目
江西省教育厅科技项目(项目号:GJJ160557)。