广义复连分数共形迭代系统的Hausdorff维数

Hausdorff Dimensions of Conformal Iterated Function Systems of Generalized Complex Continued Fractions

摘要: 本文研究了含有复参数的一族广义复连分数共形迭代系统。Sumi等利用无限生成共形迭代系统理论研究了广义复连分数，得到了关于广义复连分数共形迭代系统极限集的Hausdorff维数的一系列结果。本文进一步将Sumi等研究的共形迭代系统的参数推广到更大的区域，对于这个具有更大参数空间的广义连分数共形迭代系统，证明了其极限集的Hausdorff维数在参数空间上是连续的，在参数空间内部是连续的且实解析和次调和的。并由此得到Hausdorff维数在参数空间的边界点上取到最大值。

Abstract: In this article, we consider a family of conformal iterated function systems (CIFSs) of generalized complex continued fractions with a complex parameter in a domain. Sumi et al. studied the general complex continued fractions by applying the theory of CIFSs generated by infinite many conformal maps, and got a series of interesting results. We further generalize the CIFS studied by Sumi et al. to a larger parameter domain. We prove that the Hausdorff dimension function of the limit sets of CIFSs of generalized complex continued fraction is continuous in the parameter domain and is real-analytic and subharmonic in the interior of the parameter domain. As a consequence, the Hausdorff dimension function assumes maximum value on the boundary of the parameter domain.

1. 引言

迭代函数系统是一个重要的研究对象并得到了广泛的研究。很多数学家对迭代函数系统进行了研究，如Mauldin [1] [2]，Urbanski [1] [2]，Inui [3] [4]，Sumi [3] [4]，Roy [5]，Qiu [6] [7]，Bandt [8]，Hutchinson [9]，Falconer [10]，Moran [11]，Fan [12] 和Schief [13] 等都研究了迭代函数系统极限集的维数和测度等性质。

在文献 [1] 中为了说明广义连分数的共形迭代系统极限集的Hausdorff 测度等于零，填充测度大于零，Maulain 和Urbanski构造了一个与连分数有关的共形迭代函数系统。记 $ℂ$ 为复数集， $\mathbb{Z}$ 表示整数集， $\mathbb{N}$ 表示正整数集。他们所构造的方法是设 $X:=\left\{z\in ℂ|\left|z-1/2\right|\le 1/2\right\}$，则称 $\tilde{S}:=\left\{{\tilde{\varphi }}_{\left(m,n\right)}\left(z\right):X\to X|\left(m,n\right)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}\right\}$ 为连分数共形迭代系统。其中

${\tilde{\varphi }}_{\left(m,n\right)}\left(z\right):=\frac{1}{z+m+ni}\left(z\in X\right)$

在文献 [3] [4] 中Inui，Okada和Sumi研究了更一般的情况，他们的构造如下。设

$A_0:=\left\{\tau =u+iv\in ℂ|u\ge 0,v\ge 1\right\}$, $X:=\left\{z\in ℂ|\left|z-1/2\right|\le 1/2\right\}$.

给定任意 $\tau \in A_0$，设 ${I^{\prime }}_{\tau }:=\left\{m+n\tau \in ℂ|m,n\in \mathbb{N}\right\}$， $S_{\tau }:=\left\{{{\varphi }^{\prime }}_b:X\to X|b\in {I^{\prime }}_{\tau }\right\}$ 被称为广义复连分数共形迭代函数系统(如图1所示)，其中

${{\varphi }^{\prime }}_b\left(z\right):=\frac{1}{z+b}\left(z\in X\right)$

在 [4] 中，作者证明了对上述广义复连分数共形迭代系统 [1] 中的结论依然成立，在 [3] 中，作者讨论了一个新的问题，Hausdorff维数关于参数 $\tau$ 的连续依赖性，他们的主要结果是：

设 $J_{\tau }$ 为 $S_{\tau }$ 的极限集， $h_{\tau }$ 为极限集 $J_{\tau }$ 的Hausdorff维数。

定理1.1 设 ${\left\{S_{\tau }\right\}}_{\tau \in A_0}$ 为广义复连分数共形迭代函数系统族，则

(1) $\tau \to h_{\tau }$ 在 $A_0$ 上是连续的。

Figure 1. The parameter space of A₀

图1. A₀参数空间

(2) 对任意 $\tau \in A_0$， $h_{\tau }$ 是 $S_{\tau }$ 压力函数的唯一零点。

(3) $1<h_{\tau }<2$， $h_{\tau }\to 1\left(\tau \in A_0,\tau \to \infty \right)$。

特别地， $\tau \to h_{\tau }$ 在 $A_0$ 上不是常值映射。

定理1.2设 ${\left\{S_{\tau }\right\}}_{\tau \in A_0}$ 为广义复连分数共形迭代函数系统族，则 $\tau \to h_{\tau }$ 在 $\text{Int}\left(A_0\right)$ 是实解析和次调和的。

推论1.3设 ${\left\{S_{\tau }\right\}}_{\tau \in A_0}$ 为广义复连分数共形迭代函数系统族，则函数 $\tau \to h_{\tau }\left(\tau \in A_0\right)$ 存在最大值，并且在 $A_0$ 的边界取得 $\tau \to h_{\tau }$ 最大值的点。特别地， $\max \left\{h_{\tau }|\tau \in A_0\right\}=\max \left\{h_{\tau }|\tau \in \partial A_0\right\}$。

在本文中我们进一步推广了 [3] 中结果， [4] 中结论是否成立我们将在下一篇文章中讨论。

设 $H_1:=\left\{\tau \in u+iv\in ℂ|u\ge 0,v\ge 1\right\}$ ； $H_2:=\left\{\tau \in u+iv\in ℂ|u\ge 0,v\le -1\right\}$ ；

$H_3:=\left\{\tau \in u+iv\in ℂ|u\ge 0,-1\le v\le 1\right\}\backslash \left\{{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{+\infty }{\cup }}{D}_i}\right\}$，其中 $D_i:=\left\{z\in ℂ|\left|z-i\right|<1\right\}$， $i=0,1,2,\cdots$，

令 $H:=H_1\cup H_2\cup H_3$， $X:=\left\{z\in ℂ|\left|z-1/2\right|\le 1/2\right\}$， $I_{\tau }:=\left\{m+n\tau \in ℂ|m,n\in \mathbb{N}\right\}$，这里 $\tau \in H$。

定义1.4 (广义复连分数的共形迭代函数系统)对任意 $\tau \in H$， $S_{\tau }:=\left\{{\varphi }_b:X\to X|b\in I_{\tau }\right\}$ 被称为广义复连分数共形迭代函数系统。其中

${\varphi }_b\left(z\right):=\frac{1}{z+b}\left(z\in X\right)$

称 ${\left\{S_{\tau }\right\}}_{\tau \in H}$ 为广义复连分数共形迭代函数系统族(如图2所示)。对每个 $\tau \in H$，设 $J_{\tau }$ 为 $S_{\tau }$ 的极限集，设 $h_{\tau }$ 为极限集 $J_{\tau }$ 的Hausdorff维数。用 $\text{Int}\left(H\right)$ 表示在复平面 $ℂ$ 上的拓扑意义下H的内点。

Figure 2. The parameter space of H

图2. H参数空间

本文将文献 [3] 中的结论推广到更一般的情形，即更大广义复连分数共形迭代系统 ${\left\{S_{\tau }\right\}}_{\tau \in H}$，我们的主要定理为：

定理1.5设 ${\left\{S_{\tau }\right\}}_{\tau \in H}$ 为广义复连分数共形迭代函数系统族，则

(1) $\tau \to h_{\tau }$ 在H上是连续的。

(2) 对任意的 $\tau \in H$， $h_{\tau }$ 是 $S_{\tau }$ 压力函数的唯一零点。

(3) $1<h_{\tau }<2$， $h_{\tau }\to 1\left(\tau \in H,\tau \to \infty \right)$。

特别地， $\tau \to h_{\tau }$ 在H上不是常值映射。

定理1.6设 ${\left\{S_{\tau }\right\}}_{\tau \in H}$ 为广义复连分数共形迭代函数系统族，则 $\tau \to h_{\tau }$ 在 $\text{Int}\left(H\right)$ 是实解析和次调和的。

推论1.7设 ${\left\{S_{\tau }\right\}}_{\tau \in H}$ 为广义复连分数共形迭代函数系统族，则函数 $\tau \to h_{\tau }\left(\tau \in H\right)$ 存在最大值，并且在H的边界取得 $\tau \to h_{\tau }$ 最大值的点。特别地， $\max \left\{h_{\tau }|\tau \in H\right\}=\max \left\{h_{\tau }|\tau \in \partial H\right\}$。

2. 共形迭代函数系统

此章节主要是介绍共形迭代函数系统的构造以及一些相关概念 [1] [2] [5]。

定义2.1 (共形迭代函数系统)设 $X\subset {ℝ}^d$ 是非空紧致连通集，I是有限集或者对等于 $\mathbb{N}$。假设I至少含有两个元素，当S满足以下几个条件时，我们称 $S:=\left\{{\varphi }_b:X\to X|b\in I\right\}$ 是共形迭代函数系统。

1. 单射：对所有的 $i\in I$， ${\varphi }_i:X\to X$ 是单射。

2. 一致压缩性： $\exists c\in \left(0,1\right)$，使得对 $\forall i\in I$， $x,y\in X$ 下面不等式成立。

$\left|{\varphi }_i\left(x\right)-{\varphi }_i\left(y\right)\right|\le c\left|x-y\right|$

3. 共形性：存在一个正数 $\epsilon$ 和开连通子集 $V\subset {ℝ}^d$ 并且 $X\subset V$，使得对 $\forall i\in I$， ${\varphi }_i$ 可延拓为V上的 $C^{1+\epsilon }$ 微分同胚，且 ${\varphi }_i$ 在V上是共形的。

4. 开集条件：对 $\forall i,j\in I\left(i\ne j\right)$， ${\varphi }_i\left(\text{Int}\left(X\right)\right)\subset \text{Int}\left(X\right)$，并且 ${\varphi }_i\left(\text{Int}\left(X\right)\right)\cap {\varphi }_j\left(\text{Int}\left(X\right)\right)=\varnothing$。这里 $\text{Int}\left(X\right)$ 表示在 ${ℝ}^d$ 拓扑空间下X的内点。

5. 有界偏差性： $\exists K\ge 1$ 使得对所有的 $x,y\in X$，对所有的 $\omega \in I^{*}:={\displaystyle {\cup }_{n=1}^{\infty }{I}^n}$，下面不等式成立

$\left|{{\varphi }^{\prime }}_{\omega }\left(x\right)\right|\le K\cdot \left|{{\varphi }^{\prime }}_{\omega }\left(y\right)\right|$

6. 锥条件：对所有的 $x\in \partial X$，存在一个开锥 $\text{Con}\left(x,u,\alpha \right)$，其中x为顶点，u为方向， $\left|u\right|$ 为高度， $\alpha$ 为角度，使得 $\text{Con}\left(x,u,\alpha \right)$ 是 $\text{Int}\left(X\right)$ 的子集。

设S是一个共形迭代函数系统。对任意的 $\omega ={\omega }_1{\omega }_2{\omega }_3\cdots \in I^{\infty }$，设 $\omega |n={\omega }_1{\omega }_2{\omega }_3\cdots {\omega }_n\in I^n$ 且 ${\varphi }_{\omega |n}:={\varphi }_{{\omega }_1}\circ {\varphi }_{{\omega }_2}\circ \cdots \circ {\varphi }_{{\omega }_n}$，则有 ${\displaystyle {\cap }_{n\in \mathbb{N}}{\varphi }_{\omega |n}}\left(X\right)$ 是一个单点，用 $\left\{x_{\omega }\right\}$ 来表示该单点。定义S中的编码映射 $\pi :I^{\infty }\to X$ 为 $\omega \mapsto x_{\omega }$，注意到 $\pi :I^{\infty }\to X$ 是连续的，进而S中的极限集可定义为

$J_S:=\pi \left(I^{\infty }\right)={\displaystyle \underset{\omega \in I^{\infty }}{\cup }{\displaystyle \underset{n\in \mathbb{N}}{\cap }{\varphi }_{\omega |n}}}(\; X\; )$

对每个迭代函数系统S，设 $h_S:={\dim }_{\text{H}}{J}_S$， ${\dim }_{\text{H}}$ 表示Hausdorff维数。对任意的S，定义S的压力函数如下。

定义2.2 (压力函数) $\forall n\in \mathbb{N}$，值域在 $\left[0,\infty \right]$ 上的函数 ${\psi }_S^n$

${\psi }_S^n\left(t\right):={{\displaystyle \underset{\omega \in I^n}{\sum }\left(\underset{z\in X}{\sup }\left|{{\varphi }^{\prime }}_{\omega }\left(z\right)\right|\right)}}^t\left(t\ge 0\right)$

设

$P_S\left(t\right):=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log {\psi }_S^n\left(t\right)\in \left(-\infty ,\infty \right]$

则称函数 $P_S\left(t\right):\left[0,\infty \right)\to \left(-\infty ,\infty \right]$ 为S的压力函数。

性质2.3对任意的 $m,n\in \mathbb{N}$，且 $t\ge 0$ 有 ${\psi }_S^{m+n}\left(t\right)\le {\psi }_S^m\left(t\right){\psi }_S^n\left(t\right)$。特别地，当 $t\ge 0$ 时，对于任意的 $n\in \mathbb{N}$， $\log {\psi }_S^n\left(t\right)$ 是次可加的。

根据性质2.3可得对任意的 $t\ge 0$， $P_S\left(t\right)$ 都存在。设 ${\theta }_S:=\inf \left\{t\ge 0|{\psi }_S^n<\infty \right\}$。运用压力函数可以得到共形迭代函数系统的一些性质。

定义2.4 (正则，强正则，继承正则) 设S是一个共形迭代函数系统，

(1) 若存在 $t\ge 0$ 使得 $P_S\left(t\right)=0$，称S是正则的。

(2) 若存在 $t\ge 0$ 使得 $P_S\left(t\right)\in \left(0,\infty \right)$，称S是强正则。

(3) 若对所有的 $I^{\prime }\in I$ 且有 $\left|I^{\prime }\backslash I\right|<\infty$ 时， $S^{\prime }:=\left\{{\varphi }_i:X\to X|i\in I^{\prime }\right\}$ 是正则的，则称S是继承正则。这里，对任意集合A，用 $\left|A\right|$ 来表示A的基数。如果一个共形迭代函数系统S是继承正则的，则S也是强正则；如果S是强正则，则S也是正则的。设 $F\left(I\right):=\left\{F\subset I|\left|F\right|<\infty \right\}$，对每个 $F\in F\left(I\right)$，设 $S_F:=\left\{{\varphi }_i:X\to X|i\in F\right\}$。

定理2.5 ( [1] Theorem 3.15) 设S是一个共形迭代函数系统，则

$h_S=\inf \left\{t\ge 0|P_S\left(t\right)<0\right\}=\sup \left\{h_{S_p}|F\in F\left(I\right)\right\}\ge {\theta }_S$

另外，如果存在 $t\ge 0$ 使得 $P_S\left(t\right)=0$。则t为压力函数 $P_S$ 的唯一零点，有 $t=h_S$。

定理2.6 ( [1] Theorem 3.20) 设I是无限的，S是一个共形迭代函数系统，则下面两个条件等价：

1. S是继承正则的。

2. ${\psi }_S^1\left({\theta }_S\right)=\infty$。特别地，如果S是继承正则，有 ${\theta }_S<h_S$。

定理2.7 ( [1] Proposition 4.4) 设S为正则共形迭代函数系统。若 ${\lambda }_d\left(\text{Int}\left(X\right)\backslash X_1\right)>0$，则 $h_S<d$。这

里的 ${\lambda }_d$ 表示d维勒贝格测度且 $X_1:={\displaystyle \underset{i\in I}{\cup }{\varphi }_i}\left(X\right)$。

接下来考虑共形迭代函数系统族。设 $\text{CIFS}\left(X,I\right)$ 为所有共形迭代函数系统族，其中 $X\subset ℂ$，I为无限序列集。现要在 $\text{CIFS}\left(X,I\right)$ 上赋予一种 $\Lambda$ -拓扑 [4]。对 $\forall S^n\in \text{CIFS}\left(X,I\right)$，记 $S^n$ 为 ${\left\{{\varphi }_i^n\right\}}_{i\in I}$，S为 ${\left\{{\varphi }_i\right\}}_{i\in I}$。设 ${\pi }_S:I^{\infty }\to X$ 为S的编码映射。在本文中， $\text{CIFS}\left(X,I\right)$ 中任意序列若满足下面条件，则称序列 ${\left\{S^n\right\}}_{n\in N}$ 依

照记 $\Lambda$ -拓扑收敛到S，记为 $\lambda \left({\left\{S^n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}\right)=S$。

(D1) $\forall i\in I$， $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\Vert {\varphi }_i^n-{\varphi }_i\Vert +\Vert {\left({\varphi }_i^n\right)}^{\prime }-{\left({\varphi }_i\right)}^{\prime }\Vert \right)=0$。

(D2) 若存在 $C>0$， $M\in \mathbb{N}$ 和一有限集 $F\subset I$ 使得 $\forall i\in I\backslash F$ 和 $n\ge M$，有

$\left|\log \Vert {\left({\varphi }_i^n\right)}^{\prime }\Vert -\log \Vert \left({{\varphi }^{\prime }}_i\right)\Vert \right|<C$。

若 $\text{CIFS}\left(X,I\right)$ 中的序列 ${\left\{S^n\right\}}_{n\in N}$ 不收敛于任何 $\text{CIFS}\left(X,I\right)$，即当上面的条件不满足时称

$\lambda \left({\left\{S^n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}\right)=\varnothing$。若 $\lambda \left({\left\{S^n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}\right)\in \text{CIFS}\left(X,I\right)$ 时，称序列 ${\left\{S^n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}\in \text{CIFS}{\left(X,I\right)}^{\mathbb{N}}$ 为 $\lambda$ 收敛。

定义2.8设 $\Lambda$ 是 $ℂ$ 中的开连通子集。 ${\left\{S^u\right\}}_{u\in \Lambda }$ 是 $\text{CIFS}\left(X,I\right)$ 中的一族，其中 $S^u$ 为 ${\left\{{\varphi }_i^u\right\}}_{i\in I}$。若 $\forall x\in X$， $i\in I$， $u\to {\varphi }_i{}^u\left(x\right)$ 在 $\Lambda$ 上全纯，则 ${\left\{S^u\right\}}_{u\in \Lambda }$ 称是平面解析的。若存在 $u_0\in \Lambda$ 使得下面的条件成立，则称平面解析的 ${\left\{S^u\right\}}_{u\in \Lambda }$ 为正则平面解析。

(1) $S^{u_0}$ 是强正则。

(2) $\exists \eta \in \left(0,1\right)$ 使得对所有的 $\omega \in I^{\infty }$， $u\in \Lambda$， $\left|k_{\omega }^{u_0}\left(u\right)-1\right|\le \eta$。

其中，对每个 $u_0\in \Lambda$ 和 $\omega ={\omega }_1{\omega }_2\cdots \in I^{\infty }$，

${\pi }_u:={\pi }_{S_u}$， $k_{\omega }^{u_0}\left(u\right):=\frac{{\left({\varphi }_{{\omega }_1}^u\right)}^{\prime }\left({\pi }_u\left(\sigma \omega \right)\right)}{{\left({\varphi }_{{\omega }_1}^{u_0}\right)}^{\prime }\left({\pi }_{u_0}\left(\sigma \omega \right)\right)}\left(u\in \Lambda \right)$

定理2.9 ( [5] Theorem 5.10) 当 $\text{CIFS}\left(X,I\right)$ 被赋予了 $\Lambda$ 上的拓扑时，Hausdorff维数函数 $h:\text{CIFS}\left(X,I\right)\to \left[0,\infty \right)$， $S\mapsto h_S$ 是连续的。

定理2.10 ( [5] Theorem 6.1) 设 $\Lambda$ 是 $ℂ$ 中的开连通子集， ${\left\{S^u\right\}}_{u\in \Lambda }$ 是 $\text{CIFS}\left(X,I\right)$ 中的一族。若 ${\left\{S^u\right\}}_{u\in \Lambda }$ 是正则平面解析的，则 $u\mapsto h_{S^u}$ 在 $\Lambda$ 上是实解析的。

定理2.11 ( [5] Theorem 6.3) 设 $\Lambda$ 是 $ℂ$ 中的开连通子集， ${\left\{S^u\right\}}_{u\in \Lambda }$ 是 $\text{CIFS}\left(X,I\right)$ 中的一族。若 ${\left\{S^u\right\}}_{u\in \Lambda }$ 是

平面解析的，则 $u\mapsto \frac{1}{h_{S^u}}$ 在 $\Lambda$ 上是上调和映射。

3. 广义复连分数的共形迭代函数系统

这个部分主要是证明广义复连分数的共形迭代函数系统的一些性质 [3] [4]。在不致混淆的情况下可简记下面的记号。设 ${\pi }_{\tau }:={\pi }_{S_{\tau }}$， ${\theta }_{\tau }:={\theta }_{S_{\tau }}$， ${\psi }_{\tau }^n\left(t\right):={\psi }_{S_{\tau }}^n\left(t\right)\left(t\ge 0,n\in \mathbb{N}\right)$ 和 $P_{\tau }\left(t\right):=P_{S_{\tau }}\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$， $\Re$ 表示复数的实部， $\Im$ 表示复数的虚部。

性质3.1 $\forall \tau \in H$， $S_{\tau }$ 是一个共形迭代函数系统。

证明：设 $\tau \in H$，首先证明 $\forall b\in I_{\tau }$， ${\varphi }_b\left(X\right)\subset X$。设 $Y:=\left\{z\in ℂ|\Re \ge 1\right\}$，并且设 $f:=ℂ\to ℂ$ 为莫比

乌斯变换，定义为 $f\left(z\right):=\frac{1}{z}$。因为 $f\left(0\right)=\infty$， $f\left(1\right)=1$， $f\left(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\right)=\frac{2}{1+i}=1-i$，可知 $f\left(\partial X\right)=\partial Y\cup \left\{\infty \right\}$，又因为 $f\left(\frac{1}{2}\right)=2$，所以 $f\left(X\right)=Y\cup \left\{\infty \right\}$。因此 $f:=X\to Y\cup \left\{\infty \right\}$ 是同胚的。设 $g_b:=X\to Y$， $g_b\left(z\right):=z+b$。

可推得 ${\varphi }_b:=f^{-1}\circ g_b$，并且 ${\varphi }_b\left(X\right)\subset f^{-1}\left(Y\right)\subset X$，因此证明了 ${\varphi }_b\left(X\right)\subset X$。

接下来要证对每个 $\tau \in H$， $S_{\tau }$ 满足定义2.1中的条件。

1. 单射

因为每个 ${\varphi }_b$ 都是莫比乌斯变换，所以每个 ${\varphi }_b$ 是单射。

2. 一致压缩性

设 $I_{\tau k}:=\left\{m+n\tau \in ℂ|m,n\in \mathbb{N},\tau \in H_k\right\}$， $k=1,2,3$，则 $I_{\tau }=I_{\tau 1}\cup I_{\tau 2}\cup I_{\tau 3}$。

(i) 设 $b=m+n\tau \left(=m+nu+inv\right)$ 是 $I_{\tau 1}$ 中的元素，设 $z=x+iy$ 、 $z^{\prime }=x^{\prime }+i{y}^{\prime }\in X$，有

$\begin{array}{c}{\left|z+b\right|}^2={\left|x+m+nu+i\left(y+nv\right)\right|}^2={\left(x+m+nu\right)}^2+{\left(y+nv\right)}^2\\ \ge {\left(0+1+\epsilon \right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}+1\right)}^2\ge \frac{5}{4}\end{array}$

可得 $\left|z+b\right|\ge \frac{\text{5}}{\text{4}}$。同理可得 $\left|z^{\prime }+b\right|\ge \frac{\text{5}}{\text{4}}$，则

$\left|{\varphi }_b\left(z\right)-{\varphi }_b\left(z^{\prime }\right)\right|=\left|\frac{1}{z+b}-\frac{1}{z^{\prime }+b}\right|=\frac{\left|z-z^{\prime }\right|}{\left|z+b\right|\left|z+b^{\prime }\right|}\le \frac{4}{5}\left|z-z^{\prime }\right|$

因此 $S_{\tau 1}$ 在X上一致压缩。由对称性可知 $S_{\tau 2}$ 在X上一致压缩。

(ii) 设 $b=m+n\tau \left(=m+nu+inv\right)$ 是 $I_{\tau 3}$ 中的元素，设 $z=x+iy$， $z^{\prime }=x^{\prime }+i{y}^{\prime }\in X$，有

$\begin{array}{c}{\left|z+b\right|}^2={\left|x+m+nu+i\left(y+nv\right)\right|}^2={\left(x+m+nu\right)}^2+{\left(y+nv\right)}^2\\ \ge {\left(\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2\\ \ge \frac{10-\sqrt{3}}{2}>4\end{array}$

可得 $\left|z+b\right|\ge 2$，同理可得 $\left|z^{\prime }+b\right|\ge 2$，则

$\begin{array}{c}\left|{\varphi }_b\left(z\right)-{\varphi }_b\left(z^{\prime }\right)\right|=\left|\frac{1}{z+b}-\frac{1}{z^{\prime }+b}\right|=\frac{\left|z-z^{\prime }\right|}{\left|z+b\right|\left|z+b^{\prime }\right|}\\ <\frac{1}{4}\left|z-z^{\prime }\right|\end{array}$

因此 $S_{\tau 3}$ 在X上一致压缩。综上， $S_{\tau }$ 在X上一致压缩。

3. 共形性

设 $\tau \in H$， $b\in I_{\tau }$。因为 ${\varphi }_b$ 在 $ℂ\backslash \left\{-b\right\}$ 上是全纯的， ${\varphi }_b$ 是 $C^2$ 的并且在V上共形。

4. 开集条件

记 $\text{Int}\left(X\right)=\left\{z\in ℂ|\left|z-\frac{1}{2}\right|<\frac{1}{2}\right\}$。设 $\tau \in H$， $b\in I_{\tau }$，因为 $f\left(\partial X\right)=\partial Y\cup \left\{\infty \right\}$，可以推得 $\forall b\in I_{\tau }$，

$g_b\left(\text{Int}\left(X\right)\right)\subset \left\{z=x+iy\in ℂ|x>1\right\}=f\left(\text{Int}(\; X\; )\right)$

设 $b=m+n\tau \in I_{\tau }$， $b^{\prime }=m^{\prime }+n^{\prime }\tau \in I_{\tau }$ 为两个不同的元素时，

当 $n=n^{\prime }$ 时，

$\left|g_b\left(\frac{1}{2}\right)-g_{b^{\prime }}\left(\frac{1}{2}\right)\right|=\left|\left(m-m^{\prime }\right)+\left(n-n^{\prime }\right)u+i\left(n-n^{\prime }\right)v\right|=\left|m-m^{\prime }\right|\ge 1$

当 $n\ne n^{\prime }$ 时，因为 $\left|m-m^{\prime }\right|\ge 1$， $\left|n-n^{\prime }\right|\ge 1$，

$\left|g_b\left(\frac{1}{2}\right)-g_{b^{\prime }}\left(\frac{1}{2}\right)\right|=\sqrt{{\left[\left(m-m^{\prime }\right)+\left(n-n^{\prime }\right)u\right]}^2+{\left[\left(n-n^{\prime }\right)v\right]}^2}$ (1)

若 $\left|n-n^{\prime }\right|\ge 2$，因为 $\left|v\right|\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ 故(1)式大于1；当 $\left|n-n^{\prime }\right|=1$，此时

$\left|g_b\left(\frac{1}{2}\right)-g_{b^{\prime }}\left(\frac{1}{2}\right)\right|=\sqrt{{\left[\left(m-m^{\prime }\right)+u\right]}^2+v^2}$

由条件知 $\sqrt{{\left(u-i\right)}^2+v^2}\ge 1$， $i=0,1,2,\cdots$， $\forall k=m-m^{\prime }$， $\exists i$ 使得 $i=\left|k\right|$，又

$\sqrt{{\left(u+i\right)}^2+v^2}\ge \sqrt{{\left(u-i\right)}^2+v^2}\ge 1$，知 $\left|g_b\left(\frac{1}{2}\right)-g_{b^{\prime }}\left(\frac{1}{2}\right)\right|=\sqrt{{\left[\left(m-m^{\prime }\right)+u\right]}^2+v^2}\ge 1$，故当 $b,b^{\prime }$ 为两个不同的

元素时， $g_b\left(\text{Int}\left(X\right)\right)$ 和 $g_{b^{\prime }}\left(\text{Int}\left(X\right)\right)$ 不相交。则对所有的 $b\in I_{\tau }$，

${\varphi }_b\left(\text{Int}\left(X\right)\right)=f^{-1}\circ g_b\left(\text{Int}\left(X\right)\right)\subset f^{-1}\circ f\left(\text{Int}\left(X\right)\right)=\text{Int}(\; X\; )$

${\varphi }_b\left(\text{Int}\left(X\right)\right)\cap {{\varphi }^{\prime }}_b\left(\text{Int}\left(X\right)\right)=f^{-1}\left(g_b\left(X\right)\cap {g^{\prime }}_b\left(X\right)\right)=\varnothing$

故 $S_{\tau }$ 满足开集条件。

5. 有界偏差性

取足够小的 $\epsilon$，且 $\epsilon \ge 0$。设 $B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\epsilon \right)$ 是以 $\frac{1}{2}$ 为中心， $\frac{1}{2}+\epsilon$ 为半径的开球，记 $V^{\prime }:=B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\epsilon \right)$，

并设 $\tau :=u+iv$， $\left(m,n\right)\in {\mathbb{N}}^2$， $z=x+iy\in V^{\prime }$ 有

(i) 当 $\tau \in H_1$ 时

$\begin{array}{c}\left|{{\varphi }^{\prime }}_{m+n\tau }\left(z\right)\right|=\frac{1}{{\left|z+m+n\tau \right|}^2}=\frac{1}{{\left(x+m+nu\right)}^2+{\left(y+nv\right)}^2}\\ \le \frac{1}{{\left(\sqrt{{\left(\frac{1}{2}+m\right)}^2+n^2}-\left(\frac{1}{2}+\epsilon \right)\right)}^2}\le \frac{1}{{\left(\sqrt{\frac{9}{4}+1}-\left(\frac{1}{2}+\epsilon \right)\right)}^2}\\ =\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{13}-1}{2}-\epsilon \right)}^2}<1\end{array}$

(ii) 由对称性知当 $\tau \in H_2$ 时，同样有 $\left|{{\varphi }^{\prime }}_{m+n\tau }\left(z\right)\right|<1$。

(iii) 当 $\tau \in H_3$ 时

$\begin{array}{c}\left|{{\varphi }^{\prime }}_{m+n\tau }\left(z\right)\right|=\frac{1}{{\left|z+m+n\tau \right|}^2}=\frac{1}{{\left(x+m+nu\right)}^2+{\left(y+nv\right)}^2}\\ \le \frac{1}{{\left(\sqrt{{\left(\frac{1}{2}+m\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}n\right)}^2}-\left(\frac{1}{2}+\epsilon \right)\right)}^2}\le \frac{1}{{\left(\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}-\left(\frac{1}{2}+\epsilon \right)\right)}^2}\\ =\frac{1}{{\left(\frac{2\sqrt{3}-1}{2}-\epsilon \right)}^2}<1\end{array}$

故 $\forall \tau \in H$，有 $\left|{{\varphi }^{\prime }}_{m+n\tau }\left(z\right)\right|<1$。

对每个 $z\in V^{\prime }$，设

$z^{\prime }:=\{\begin{array}{l}\left(\left|z-\frac{1}{2}\right|-\epsilon \right)\frac{z-\frac{1}{2}}{\left|z-\frac{1}{2}\right|}+\frac{1}{2}\left(z\notin X\right)\\ z\left(z\in X\right)\end{array}$

则有 $\left|z-z^{\prime }\right|\le \epsilon$， $\left|z^{\prime }-\frac{1}{2}\right|\le \frac{1}{2}$ 可以推出 $z^{\prime }\in X$。因此 $\left|{\varphi }_b\left(z\right)-{\varphi }_b\left(z^{\prime }\right)\right|\le \left|z-z^{\prime }\right|\le \epsilon$，并且

$\left|{\varphi }_b\left(z\right)-\frac{1}{2}\right|\le \left|{\varphi }_b\left(z\right)-{\varphi }_b\left(z^{\prime }\right)\right|+\left|{\varphi }_b\left(z^{\prime }\right)-\frac{1}{2}\right|\le \frac{1}{2}+\epsilon$

说明对所有的 $b\in I_{\tau }$， ${\varphi }_b\left(V^{\prime }\right)\subset V^{\prime }$。因为 ${\varphi }_b$ 是 $V^{\prime }$ 上的单射， ${\varphi }_b$ 在 $ℂ\backslash \left\{-b\right\}$ 上是全纯的，所以 ${\varphi }_b$ 在

$V^{\prime }:=B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\epsilon \right)$ 上是全纯的。

设b是 $I_{\tau }$ 中的一个元素， $r_0:=\frac{1}{2}+\epsilon$，设 $f_b$ 为

$f_b\left(z\right):=\frac{{\varphi }_b\left(r_{0}z+\frac{1}{2}\right)-{\varphi }_b\left(\frac{1}{2}\right)}{r_0{{\varphi }^{\prime }}_b\left(\frac{1}{2}\right)}\left(z\in D:=\left\{z\in ℂ|\left|z\right|<1\right\}\right)$

因为 $f_b$ 在D上是全纯的，且 $f_b\left(0\right)=0$， ${f^{\prime }}_b\left(0\right)=1$。用克贝偏差定理，可推知对所有的 $z\in D$，

$\frac{1-\left|z\right|}{{\left(1+\left|z\right|\right)}^3}\le \left|{f^{\prime }}_b\left(z\right)\right|\le \frac{1+\left|z\right|}{{\left(1-\left|z\right|\right)}^3}$

设 $r_1:=\frac{r_0+\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\epsilon }{2}$，可推知存在 $C_1\ge 1$ 和 $C_2\le 1$ 使得对任意的 $z\in B\left(0,\frac{r_{\text{1}}}{r_0}\right)\left(\subset D\right)$，

$C_2\le \frac{1-\left|z\right|}{{\left(1+\left|z\right|\right)}^3},\frac{1+\left|z\right|}{{\left(1-\left|z\right|\right)}^3}\le C_1$

设 $C:=\frac{C_1}{C_2}$， $\forall z,z^{\prime }\in B\left(0,\frac{r_1}{r_0}\right)$

$\begin{array}{c}\frac{\left|{{\varphi }^{\prime }}_b\left(r_{0}z+\frac{1}{2}\right)\right|}{\left|{{\varphi }^{\prime }}_b\left(\frac{1}{2}\right)\right|}=\left|{f^{\prime }}_b\left(z\right)\right|\le \frac{1+\left|z\right|}{{\left(1-\left|z\right|\right)}^3}\\ \le C_1=C{C}_2\le C\frac{1-\left|z^{\prime }\right|}{{\left(1+\left|z^{\prime }\right|\right)}^3}\\ \le C\left|{f^{\prime }}_b\left(z^{\prime }\right)\right|\le C\frac{\left|{{\varphi }^{\prime }}_b\left(r_0{z}^{\prime }+\frac{1}{2}\right)\right|}{\left|{{\varphi }^{\prime }}_b\left(\frac{1}{2}\right)\right|}\end{array}$

即证对任意的 $z,z^{\prime }\in B\left(0,\frac{r_1}{r_0}\right)$， $\left|{{\varphi }^{\prime }}_b\left(r_0{z}^{\prime }+\frac{1}{2}\right)\right|\le C\left|{{\varphi }^{\prime }}_b\left(r_0{z}^{\prime }+\frac{1}{2}\right)\right|$。

最后设 $V:=B\left(\frac{1}{2},r_1\right)$ 为 $\frac{1}{2}$ 为中心， $r_1$ 为半径的开球，则V是 $ℂ$ 的开连通子集，且有 $X\subset V$， $\forall z,z^{\prime }\in V$，

$\left|{{\varphi }^{\prime }}_b\left(z\right)\right|\le C\left|{{\varphi }^{\prime }}_b\left(z^{\prime }\right)\right|$

因此 $S_{\tau }$ 满足有界偏差条件。

6. 锥条件

因为X是闭圆盘，所以满足锥条件。

引理3.2设 $\tau \in H$，则存在 $C\ge 1$ 使得对所有的 $z\in B\left(\frac{1}{2},r_1\right)$， $b\in I_{\tau }$，有

$C^{-1}{\left|b\right|}^{-2}\le \left|{{\varphi }^{\prime }}_b\left(z\right)\right|\le C{\left|b\right|}^{-2}$.

证明：因为 $\left|{{\varphi }^{\prime }}_b\left(0\right)\right|={\left|b\right|}^{-2}$，由有界偏差条件知存在使得对任意的，，有

。因此有。

引理3.3对任意的，是继承正则的共形迭代函数系统，且有。

证明：设，对任意的正整数，定义

，

及。

由几何性质知，可以推出，且有。

设，考虑下面两种情况

(i) 若

(ii) 若

对任意的，

因此推出

(2)

另外，由不等式及不等式，知对任意的，

(3)

又由不等式，有

因此可以推知

(4)

结合引理3.2及不等式 (2)，(4)可知，若，则，因此可知。并且由定理2.6可得对所有的，是继承正则的。

引理3.4。即对，，使得对所有的且时，成立。

证明：设，，设H中的序列使得时，。注意到对任意的，

时，有。通过不等式(2)和不等式(3)可推出

主要是由整函数控制的，即，由勒贝格控制收敛定理可知。

由引理3.2得，即使得对任意的，有。

再由性质2.3知。根据定义可知，故对任意的，存在使得对所有的，，。由定理2.6，对任意的，有，证毕。

定理3.5设，有。

证明：由定理2.6知，接下来只需证。

(i)时

设为一开球，且，因为，可以推得。

设，因为，所以，即有。

(ii)时，由对称性可知存在使得。

(iii)时

设为一开球，且，因为，可以推得。设，因为，所以

，即有。

综上，，设，都能找到使得。因此

，这里表示2维勒贝克测度。由定理2.7得。

4. 主要结论的证明

4.1. 定理1.5的证明

为了证明定理1.5，要用到下面的引理，并在此给出证明。

引理4.1设，序列满足，则存在，，使得对所有的

，，，有

证明：设，对每个有，因为，则，，当时，，。对任意的，，一方面，

另一方面，

即存在，使得。

现在证明定理1.5。

证明：通过引理3.3知对H中的每个，的值为的压力函数的零点。由引理3.4，3.5知对任意

，有并且当时，。接下来证若H中的序列满足时，有。

对任意的，，，满足条件(D1)。因为X是完

备的，因此存在使得

由引理4.1知存在，使得对每个，，

故证明了H中的序列满足，有。

最后证明在H上是连续的。根据定理2.9，在拓扑下是连续的。由 [8] 中引理3.3，

若，则。因此若，则，故证明了在H上是连续的。

4.2. 定理1.6的证明

为证明定理1.6要用到下面两个定理。

引理4.2，，以及，当时有并且收敛唯一。

证明：设，，则有

故引理得证。

引理4.3对任意的，，下式成立。

证明：设，及则

当时

最后一个不等式是因为当设时，，取，求导后知在时取得最大值。当时，由对称性有。故引理得证。

现在证明定理1.6.

证明：首先说明在上是次调和的。

设，，可以推知是全纯函数。因为的实部是负的，即不是中的元素，因此在H上是全纯的。故是平面解析的。再由定理2.11，可得在上是次调和的。

接下来说明上是平面解析的。对任意的，是继承正则共形迭代函数系统，故对任意的，是强正则共形迭代函数系统。因此，存在一个中心为的开球，以及使得所有的，，，其中表示，有

由引理4.2知当趋向时，上式右边第一部分趋向1；由引理4.3知，条件下，上式右边第二部分是有界的。因此存在中心为的开球使得在中有界。运用Cauchy公式

可推出存在一个使得对任意的，有。这里是中心在且，则

说明存在一个中心在的开球使得对任意的，，。因此对

任意的，存在一个中心在的开球使得是正则平面解析的。由定理2.10知对任意的存在一个中心在的开球使得是实解析的。由的任意性可知映射在上是实解析且次调和的。

4.3. 推论1.7的证明

证明：，设。由定理1.6，对任意的，映射在上是次调和的。设，这里。由引理3.4知存在使得对所有的，有，即。故对任意的，

因为在上是连续的，则在其上存在一个最大值

由在上次调和，故在其中没有最大值，取得最大值的点只能在边界上。综上推论1.7证毕。