带记忆项发展方程在ℝⁿ上的适定性

Well-Posed for Evolution Equations with Memory Term on ℝⁿ

摘要: 在本文中，主要研究带记忆项反应扩散方程在无界域上的适定性问题，应用经典的Galerkin方法得到了整体弱解的存在性，同时证明了解的唯一性和解对初值的连续依赖性，其中非线性项满足任意阶指数增长。

Abstract: In this paper, we mainly study the suitability of the reaction-diffusion equation with memory term in the unbounded domain, obtain the existence of the global weak solution by classical Galerkin method, and prove the uniqueness of the understanding and the continuous dependence on the initial value, where the nonlinear term satisfies the exponential growth of any order.

1. 引言

在本文中，我们研究如下带记忆项经典反应扩散方程在相空间 $H^1\left({ℝ}^n\right)\times L_{\mu }^2\left(ℝ;H^1\left({ℝ}^n\right)\right)$ 的适定性问题。

$\{\begin{array}{l}{u}_t-\Delta u-{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\mu }\left(s\right)\Delta {\eta }^t\left(s\right)\text{d}s+\lambda u+f\left(u\right)=g,\left(x,t\right)\in {ℝ}^n\times {ℝ}^{+},\\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),{\eta }^0={\eta }^0\left(x,s\right)={\displaystyle {\int }_0^s{u}_0}\left(x,-r\right)\text{d}r,\left(x,s\right)\in {ℝ}^n\times {ℝ}^{+}.\end{array}$ (1.1)

其中 $\lambda$ 是正常数， $g=g\left(x\right)\in H^{-1}\left({ℝ}^n\right)$ 为已知函数，且 ${\eta }^t={\eta }^t\left(x,s\right)={\displaystyle {\int }_0^{s}u}\left(x,t-r\right)\text{d}r$，故而

${\eta }_t^t=-{\eta }_s^t+u.$ (1.2)

另外，我们设记忆核和非线性项满足以下条件：

(h₁) 记忆核满足

$\mu \in C^1\left({ℝ}^{+}\right)\cap L^1\left({ℝ}^{+}\right),\mu \left(s\right)>0,\forall s\in {ℝ}^{+}$ (1.3)

且存在 $\delta >0$，使得

${\mu }^{\prime }\left(s\right)+\delta \mu \left(s\right)\le 0,\forall s\in {ℝ}^{+}$ (1.4)

并记

$m_0={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\mu \left(s\right)\text{d}s}<\infty .$ (1.5)

(h₂) 线性项满足：假设 $f\in C^1,f\left(0\right)=0$，且对满足如下增长条件

${\theta }_1{\left|s\right|}^p-{\beta }_1{\left|s\right|}^2\le f\left(s\right)s\le {\theta }_2{\left|s\right|}^p+{\beta }_2{\left|s\right|}^2,\forall s\in ℝ,p\ge 2.$ (1.6)

和耗散条件

$f^{\prime }\left(s\right)\ge -l$ (1.7)

且 ${\beta }_1<\lambda$，其中 ${\theta }_i,{\beta }_i\left(i=1,2\right)$ 和l是正数。

对于方程(1.1)这类经典反应扩散方程，其通常被应用于流体力学、固体力学和热传导理论等领域 [1] [2]，由此引起了很多学者的关注，并且对其解的长时间行为做了大量研究，故而对方程适定性的研究也就凸显重要。

对于方程(1.1)，对其适定性问题的相关研究主要有，Zhang [3] 考虑了系统整体强解在 $H_0^1\left(\Omega \right)\times L_{\mu }^2\left({ℝ}^{+},H_0^1\left(\Omega \right)\cap H^2\left(\Omega \right)\right)$ 空间中解的存在唯一性及其解对初值的连续依赖性，其中非线性项满足任意阶多项式增长条件。最近，Luo [4] 考虑了带有记忆项非经典反应扩散方程在 $H^1\left({ℝ}^n\right)\times L_{\mu }^2\left(ℝ;H^1\left({ℝ}^n\right)\right)$ 中的适定性问题，其非线性项亦满足任意阶多项式增长。故而对方程适定性的研究也就凸显重要。

据我们所知，对于方程(1.1)其在无界域上的渐近行为已有相关的一些研究 [5] [6] [7]，但对其方程的适当性研究还很缺乏。其主要原因是由记忆项和无界域所引起，于是Sobolev紧嵌入不再成立，使问题的研究比较困难。因此本文主要应用文 [4] 中的思想并结合经典的Galerkin方法和一些分析技巧得到本文的结果。

2. 预备知识

为方便起见，我们做如下假定：

用 ${\left|\cdot \right|}_p$ 表示 $L^p\left({ℝ}^n\right)\left(p\ge 1\right)$ 上的模；用 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 表示 $L^2\left({ℝ}^n\right)$ 上的内积；用 ${\Vert \cdot \Vert }_0$ 表示 $H^1\left({ℝ}^n\right)$ 上的范数。特别的，记 ${\Vert \cdot \Vert }_0^2={\left|\cdot \right|}_2^2+{\left|\nabla \cdot \right|}_2^2$。

另外，当 $r=0$ 时，记 ${\mathcal{H}}_r=L^2\left({ℝ}^n\right)$ ；当 $r=1$ 时，记 ${\mathcal{H}}_r=H^1\left({ℝ}^n\right)$ ；且设 $L_{\mu }^2\left({ℝ}^{+};{\mathcal{H}}_r\right)$ 为定义于 ${ℝ}^{+}$ 取值于 ${\mathcal{H}}_r$ 的一族Hilbert空间，对其赋以内积和范数如下：

${\langle \phi ,\psi \rangle }_{\mu ,{\mathcal{H}}_r}={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\mu }\left(s\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{A}^{r/2}}\phi A^{r/2}\psi \text{d}x\text{d}s$

${\Vert \phi \Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_r}^2={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\mu }\left(s\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|A^{r/2}\phi \right|}^2}\text{d}x\text{d}s$

由此我们可定义如下Hilbert空间

${\mathcal{M}}_r={\mathcal{H}}_r\times L_{\mu }^2\left({ℝ}^{+};{\mathcal{H}}_r\right)$

其范数为：

${\Vert z\Vert }_{{\mathcal{M}}_r}={\Vert \left(u,{\eta }^t\right)\Vert }_{{\mathcal{M}}_r}={\left({\Vert u\Vert }_{{\mathcal{H}}_r}^2+{\Vert {\eta }^t\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_r}^2\right)}^{\frac{1}{2}}$

3. 方程的适定性

3.1. 解的存在性

定义3.1：设 $f\left(u\right)$ 满足(1.6)~(1.7)， $z_0=\left(u_0,{\eta }^0\right)\in {\mathcal{M}}_1,z=\left(u,{\eta }^t\right)$ 是方程(1.1)的整体弱解，记 $I=\left[0,T\right]$ 则对 $\forall T>0$，若z满足方程(1.1)并且

$u\in C\left(I;{\mathcal{H}}_0\right)\cap L^2\left(I;{\mathcal{H}}_1\right)\cap L^p\left(I;L^p\left({ℝ}^n\right)\right),u_t\in L^2\left(I;{\mathcal{H}}_0\right)$

${\eta }^t\in C\left(ℝ;L_{\mu }^2\left({ℝ}^{+};{\mathcal{H}}_0\right)\right);{\eta }_t^t+{\eta }_s^t\in L^{\infty }\left(ℝ;L_{\mu }^2\left({ℝ}^{+};{\mathcal{H}}_1\right)\right)$

并且对任意 $\omega \left(x\right)\in H^1\left({ℝ}^n\right),\phi \left(x,t\right)\in {\mathcal{H}}_1$ 有

$\{\begin{array}{l}\langle u_t,\omega \rangle +{\langle \nabla {\eta }^t,\nabla \omega \rangle }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}+\langle \nabla u,\nabla \omega \rangle +\lambda \langle u,\omega \rangle +\langle f\left(u\right),\omega \rangle =\langle g,\omega \rangle \\ {\langle {\eta }_t^t+{\eta }_s^t,\phi \rangle }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}={\langle u,\phi \rangle }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}\end{array}$

对于 $t\in ℝ$ 几乎处处成立。

首先，对任意的正整数n，我们给定一个球

$B_n=\left\{x\in {ℝ}^n:\left|x\right|<n\right\}$ (3.1)

由于 $B_n$ 是有界域，故利用标准的Faedo-Galerkin方法可以获得如下初边值问题解的存在性

$\{\begin{array}{l}{u}_{nt}-\Delta u_n-{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\mu }\left(s\right)\Delta {\eta }_n^t\left(s\right)\text{d}s+\lambda u_n+f\left(u_n\right)=g_n,x\in B_n,\hfill \\ {\eta }_{nt}^t=-{\eta }_{ns}^s+u_n,\hfill \end{array}$ (3.2)

初始条件为：

$u_n\left(x,0\right)={\chi }_n{u}_0\left(x\right),{\eta }_n^0\left(x,s\right)={\displaystyle {\int }_0^s{\chi }_n{u}_0\left(x,-\tau \right)\text{d}\tau },$ (3.3)

边界条件为：

${u_n\left(x,t\right)|}_{\partial B_n}=0,{{\eta }_n^t\left(x,s\right)|}_{\partial B_n\times {ℝ}^{+}}=0.$ (3.4)

其中 ${\chi }_n\left(x\right)$ 为一个光滑函数，其满足

${\chi }_n=\{\begin{array}{l}1,x\in B_{n-1},\hfill \\ 0,x\notin B_n.\hfill \end{array}$

对上述方程的解 $z_n=\left(u_n,{\eta }_n^t\right)$ 我们给出如下引理。

引理3.2：假设 $T>0,f\in C^1\left(ℝ\right)$ 且满足条件(1.6)~(1.7)，核函数 $\mu$ 满足而 $g\in H^{-1}\left({ℝ}^n\right)$，则对于任意的 $t\in \left[0,T\right]$，有如下估计：

${\left|u_n\left(t\right)\right|}_2^2+{\Vert \nabla {\eta }_n^t\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}^2+{\displaystyle {\int }_0^T\left({\Vert u_n\left(s\right)\Vert }_0^2+{\Vert \nabla {\eta }_n^s\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}^2+{\left|u_n\left(s\right)\right|}_p^p\right)\text{d}s}\le {\rho }_1.$

其中 ${\rho }_1$ 仅依赖于T，不依赖于n。

证明：对(3.2)中的第一个方程乘以 $u_n$，并在 ${ℝ}^n$ 上积分得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\left|u_n\left(t\right)\right|}_2^2+{\Vert \nabla {\eta }_n^t\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}^2\right)+{\gamma }_1\left({\Vert u_n\Vert }_0^2+{\Vert \nabla {\eta }_n^t\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}^2+{\left|u_n\right|}_p^p\right)\le {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{g}_n{u}_n},$ (3.5)

其中 ${\gamma }_1=\min \left\{1,{\theta }_1,\frac{\delta }{2},\lambda -{\beta }_1\right\}$。由Hölder不等式和Young不等式，有

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{g}_n}{u}_n\le \frac{1}{2{\gamma }_1}{\Vert g_n\Vert }_{H^{-1}}^2+\frac{{\gamma }_1}{2}{\Vert u_n\Vert }_0^2\le \frac{1}{2{\gamma }_1}{\Vert g\Vert }_{H^{-1}}^2+\frac{{\gamma }_1}{2}{\Vert u_n\Vert }_0^2.$ (3.6)

改写(3.5)式

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\left|u_n\left(t\right)\right|}_2^2+{\Vert \nabla {\eta }_n^t\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}^2\right)+{\gamma }_1\left({\Vert u_n\Vert }_0^2+{\Vert \nabla {\eta }_n^t\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}^2+{\left|u_n\right|}_p^p\right)\le \frac{1}{{\gamma }_1}{\Vert g\Vert }_{H^{-1}}^2.$ (3.7)

应用Gronwall引理有

${\left|u_n\left(t\right)\right|}_2^2+{\Vert \nabla {\eta }_n^t\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}^2\le \left({\left|u_0\right|}_2^2+{\Vert {\eta }^0\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}^2\right){\text{e}}^{-{\gamma }_{1}t}+\frac{1}{{\gamma }_1^2}{\Vert g\Vert }_{H^{-1}}^2.$ (3.8)

并且对(3.7)两边在 $\left[0,T\right]$ 上对t积分，有

${\displaystyle {\int }_0^T\left({\left|u_n\left(t\right)\right|}_p^p+{\Vert u_n\left(t\right)\Vert }_0^2+{\Vert \nabla {\eta }_n^t\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}^2\right)\text{d}t}\le \frac{1}{{\gamma }_1}\left({\left|u_0\right|}_2^2+{\Vert {\eta }^0\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_1}^2+\frac{T}{{\gamma }_1}{\Vert g\Vert }_{H^{-1}}^2\right),$ (3.9)

令

${\rho }_1=2\max \left\{{\left|u_0\right|}_2^2+{\Vert {\eta }^0\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}^2+\frac{1}{{\gamma }_1^2}{\Vert g\Vert }_{H^{-1}}^2,\frac{1}{{\gamma }_1}\left({\left|u_0\right|}_2^2+{\Vert {\eta }^0\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_1}^2+\frac{T}{{\gamma }_1}{\Vert g\Vert }_{H^{-1}}^2\right)\right\}.$

结合(3.8)~(3.9)则结论成立，证毕！

引理3.3 [4]：由假设(h₁)对任意的 $t\in \left[0,T\right]$， ${\eta }_n^t$ 满足如下估计：

${\Vert {\eta }_n^t\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}^2+{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\eta }_n^s\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}^2}\text{d}s\le {\rho }_2.$

其中 ${\rho }_2$ 仅依赖于T，但不依赖于n。

引理3.4：设引理3.2成立，对所有的 $t\in \left[0,T\right]$，则存在不依赖n的正常数 ${\rho }_3$，使得

${\left|u_n\left(t\right)\right|}_p^p\le {\rho }_4;{\displaystyle {\int }_0^T{\left|u_{nt}\left(\tau \right)\right|}_2^2\text{d}\tau }\le {\rho }_3$

成立。

证明：令 $F\left(s\right)={\displaystyle {\int }_0^{s}f\left(\sigma \right)\text{d}\sigma }$，则由(1.6)，可得

${\theta }_3{\left|u_n\right|}^p-{\beta }_3\le F\left(u_n\right)\le {\theta }_4{\left|u_n\right|}^p+{\beta }_4.$ (3.10)

其中 ${\theta }_i,{\beta }_i\left(i=3,4\right)$ 均为正数。

对(3.2)中的第一个方程两边乘以 $u_{nt}$，并在 ${ℝ}^n$ 上积分，并结合Hölder不等式和Young不等式可以得到

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[{\left|\nabla u_n\right|}_2^2+\lambda {\left|u_n\right|}_2^2+2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}F}\left(u_n\right)\right]+2{\left|u_{nt}\right|}_2^2\le 2{\Vert g\Vert }_{H^{-1}}^2+2m_0{\Vert {\eta }_n^t\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}^2+{\Vert u_{nt}\Vert }_0^2$ (3.11)

令

$E\left(t\right)={\left|\nabla u_n\right|}_2^2+\lambda {\left|u_n\right|}_2^2+2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}F}\left(u_n\right)$ (3.12)

则有

${\left|u_{nt}\right|}_2^2+\frac{\text{d}}{\text{d}t}E\left(t\right)\le 2m_0{\Vert {\eta }_n^t\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}^2+2{\Vert g\Vert }_{H^{-1}}^2$ (3.13)

由(3.10)式，可得

${\theta }_3{\left|u_n\left(t\right)\right|}_p^p-{\beta }_3{\left|u_n\left(t\right)\right|}_2^2\le {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}F\left(u_n\left(t\right)\right)}\le {\theta }_4{\left|u_n\left(t\right)\right|}_p^p+{\beta }_4{\left|u_n\left(t\right)\right|}_2^2.$ (3.14)

对(3.13)式在 $\left[0,T\right]$ 上对t积分，有

${\displaystyle {\int }_0^T{\left|u_{nt}\left(\tau \right)\right|}_2^2\text{d}\tau }+E\left(T\right)\le E\left(0\right)+2m_0{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert {\eta }_n^{\tau }\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}^2}\text{d}\tau +2T{\Vert g\Vert }_{H^{-1}}^2.$ (3.15)

根据(3.14)、引理3.3和引理3.2得

${\displaystyle {\int }_0^T{\left|u_{nt}\left(\tau \right)\right|}_2^2\text{d}\tau }+2{\theta }_3{\left|u_n\left(T\right)\right|}_p^p\le 2m_0{\rho }_2+\left(2{\beta }_3+\lambda +2{\beta }_4\right){\rho }_1+2T{\Vert g\Vert }_{H^{-1}}^2+{\Vert \nabla u_0\Vert }_2^2+2{\theta }_4{\Vert u_0\Vert }_p^p.$

进一步有n个

${\displaystyle {\int }_0^T{\left|u_{nt}\left(\tau \right)\right|}_2^2\text{d}\tau }+2{\theta }_3{\left|u_n\left(t\right)\right|}_p^p\le {\rho }_3.$ (3.16)

其中

${\rho }_3=2m_0{\rho }_2+\left(2{\beta }_3+\lambda +2{\beta }_4\right){\rho }_1+2T{\Vert g\Vert }_{H^{-1}}^2+{\Vert \nabla u_0\Vert }_2^2+2{\theta }_4{\Vert u_0\Vert }_p^p$

则存在与n无关的正常数 ${\rho }_4=\frac{{\rho }_3}{2{\theta }_3}$，使得任意的 $t\in \left(0,T\right]$ 有

${\left|u_n\left(t\right)\right|}_p^p\le {\rho }_4;{\displaystyle {\int }_0^T{\left|u_{nt}\left(\tau \right)\right|}_2^2\text{d}\tau }\le {\rho }_3.$

证毕！

通过上述引理可以得如下关于方程(1.1)解的存在性定理：

定理3.5：假设条件(h₁)~(h₂)成立，则对任意的 $T>0$ 和 $z_0=\left(u_0,{\eta }^0\right)\in {\mathcal{M}}_1$。方程(1.1)存在弱解 $z=\left(u,{\eta }^t\right)$，且其满足 $u\in L^{\infty }\left(0,T;{\mathcal{H}}_1\right),{\eta }^t\in L_{\mu }^2\left(0,T;{\mathcal{H}}_1\right)$。

证明：在 $B_n$ 外取 $\left(u_n,{\eta }_n^t\right)=0$，则可将 $\left(u_n,{\eta }_n^t\right)$ 延拓到整个 ${ℝ}^n$ 上，结合引理3.3和引理3.2，可得

$u_n$ 在 $L^{\infty }\left(0,T;H^1\left({ℝ}^n\right)\right)\cap L^2\left(0,T;{\mathcal{H}}_1\right)$ 一致有界；

${\eta }_n^t$ 在 $L^{\infty }\left(0,T;{\mathcal{H}}_1\right)\cap L^2\left(0,T;{\mathcal{H}}_1\right)$ 一致有界；

$u_{nt}$ 在 $L^2\left(0,T;{\mathcal{H}}_1\right)$ 一致有界。

故存在 ${\left\{z_n=\left(u_n,{\eta }_n^t\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 的子列 ${\left\{z_{n_k}=\left(u_{n_k},{\eta }_{n_k}^t\right)\right\}}_{k=1}^{\infty }$，满足

$u_{n_k}\rightharpoonup u$ 在 $L^2\left(0,T;{\mathcal{H}}_1\right)$ 中弱收敛；

${\eta }_{n_k}^t\rightharpoonup {\eta }^t$ 在 $L^2\left(0,T;{\mathcal{H}}_1\right)$ 中弱收敛；

$u_{n_{k}t}\rightharpoonup u_t$ 在 $L^2\left(0,T;{\mathcal{H}}_1\right)$ 中弱收敛。

此外，取q为 $p\left(p\ge 2\right)$ 互为对偶数，则结合(1.7)式，可以得到

${\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{B_n}{\left|f\left(u_n\right)\right|}^q\text{d}x}\text{d}t}\le C{\displaystyle {\int }_0^T\left({\left|u_n\left(t\right)\right|}_p^p+{\left|u\left(t\right)\right|}_2^2\right)\text{d}t}$ (3.17)

由引理3.4，令 ${\rho }_0=C\left({\rho }_3+{\rho }_{1}T\right)$，则

${\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{B_n}{\left|f\left(u_n\right)\right|}^q\text{d}x}\text{d}t}\le {\rho }_0.$ (3.18)

同理，当 $u_n\notin B_n$ 时，若 $u_n=0$，则将 $u_n$ 延拓到整个 ${ℝ}^n$ 上，则有 $f\left(u_n\right)\rightharpoonup \chi$ 在 $L^q\left(\left(0,T\right]\times {ℝ}^n\right)$ 是弱收敛的。

而对任意给定的 $t\in \left(0,T\right]$，在 $L^2\left({ℝ}^n\right)$ 中 $u_n\rightharpoonup u$ 且 ${\left|u_n\right|}_2^2\in \left[0,{\rho }_1\right]$，则 $u_n\to u\left(n\to \infty \right)$ 在 $L^2\left({ℝ}^n\right)$ 中是强收敛的。因此 $u_n\to u\left(n\to \infty \right)$ 在 ${ℝ}^n$ 中是几乎处处收敛的，由f的连续性，有 $f\left(u_n\left(x,t\right)\right)\to f\left(u\left(x,t\right)\right)$ 于 $\left[0,T\right]\times {ℝ}^n$ 上几乎处处收敛，并且由Lebesgue逐项积分定理可知，存在 $\varphi \in L^2\left(0,T;C_c^{\infty }\left({ℝ}^n\right)\right)$，使得

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}f\left(u_n\right)\varphi \text{d}x}\text{d}t}={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}f\left(u\right)\varphi \text{d}x}\text{d}t}$ (3.19)

可得在 $L^q\left(\left[0,T\right]\times {ℝ}^n\right)\subset H^{-1}\left(\left[0,T\right]\times {ℝ}^n\right)$ 中 $f\left(u_n\right)\rightharpoonup f\left(u\right)$，且由弱极限的唯一性可知： $\chi =f\left(u\right)$。

因为 $g_n\left(x\right)\in H^{-1}\left(B_n\right)$，对于一切的 $x\in {ℝ}^n$，有 $g_n\to g\left(n\to \infty \right)$，则 $g\left(x\right)\in L^2\left(0,T;H^{-1}\left({ℝ}^n\right)\right)$。

故当 $n\to \infty$ 时，对所有的 $\omega \left(x\right)\in L^2\left(0,T;C_0^{\infty }\left({ℝ}^n\right)\right),\phi \left(x,t\right)\in L_{\mu }^2\left({ℝ}^{+};C_0^{\infty }\left({ℝ}^n\right)\right)$ 有以下等式成立：

$\{\begin{array}{l}\langle u_t,\omega \rangle +{\langle \nabla {\eta }^t,\nabla \omega \rangle }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}+\langle \nabla u,\nabla \omega \rangle +\lambda \langle u,\omega \rangle +\langle f\left(u\right),\omega \rangle =\langle g,\omega \rangle ,\\ {\langle {\eta }_t^t+{\eta }_s^t,\phi \rangle }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0}={\langle u,\phi \rangle }_{\mu ,{\mathcal{H}}_0},\end{array}$

证毕！

3.2. 解的唯一性和对初值的连续依赖性

定理3.5：假设条件(h₁)~(h₂)成立，对任意的 $T>0$ 和 $z_0=\left(u_0,{\eta }^0\right)\in {\mathcal{M}}_1$。方程(1.1)在 ${\mathcal{M}}_1$ 中有唯一弱解 $z=\left(u,{\eta }^t\right)$，且其解 $z\left(t\right)=\left(u\left(t\right),{\eta }^t\right)$ 连续依赖于初值 $z_0=\left(u_0,{\eta }^0\right)$。

证明：设 $z_1=\left(u_1,{\eta }_1^t\right),z_2=\left(u_2,{\eta }_2^t\right)$ 是方程(1.1)的两个解，且初值 $z_{10},z_{20}\in {\mathcal{M}}_1,g\in H^{-1}\left({ℝ}^n\right)$，令 $\omega =u_1-u_2,{\zeta }^t={\eta }_1^t-{\eta }_2^t,z=z_1-z_2$，则 $\omega$ 满足下面的初边值问题

$\{\begin{array}{l}{\omega }_t-\Delta \omega -{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\mu }\left(s\right)\Delta {\zeta }^t\left(s\right)\text{d}s+\lambda \omega +f\left(u_1\right)-f\left(u_2\right)=0\hfill \\ {\zeta }_t^t=-{\zeta }_s^t+\omega ,\hfill \end{array}$ (3.20)

对方程(3.20)两端用 $\omega$ 作用，则得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[{\left|\omega \right|}_2^2+{\Vert {\zeta }^t\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_1}^2\right]+\left[2\lambda {\left|\omega \right|}_2^2+\delta {\Vert {\zeta }^t\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_1}^2\right]\le -2\langle f\left(u_1\right)-f\left(u_2\right),\omega \rangle .$ (3.21)

对(3.21)式的右端项，我们有

$-2\langle f\left(u_1\right)-f\left(u_2\right),\omega \rangle =-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left(f\left(u_1\right)-f\left(u_2\right)\right)\omega \text{d}x}\le 2l{\left|\omega \right|}_2^2.$ (3.22)

结合(3.21)式和(3.22)式，令 ${\Vert z^{\prime }\Vert }_{{\mathcal{M}}_1}^2={\Vert \omega \Vert }_0^2+{\Vert {\zeta }^t\Vert }_{\mu ,{\mathcal{H}}_1}^2$，可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert z^{\prime }\Vert }_{{\mathcal{M}}_1}^2\le 2l{\Vert z^{\prime }\Vert }_{{\mathcal{M}}_1}^2.$

故由Gronwall引理可得

${\Vert z_1-z_2\Vert }_{{\mathcal{M}}_1}^2\le {\text{e}}^{2lT}{\Vert z_1\left(0\right)-z_2\left(0\right)\Vert }_{{\mathcal{M}}_1}^2.$ (3.23)

当且仅当 $z_1\left(0\right)=z_2\left(0\right)$ 时，(3.23)式中的等号成立。由此证得方程(1.1)解的唯一性和解对初值得连续依赖性，证毕！

致谢

作者衷心感谢罗青青和张江卫两位同学的帮助，感谢湖南省研究生科研创新项目资助(编号：CX20200891)。