t分布的渐进正态性证明及其特点分析

Proof of Asymptotic Normality of t Distribution and Analysis of Its Characteristics

摘要: 前人的研究已经证明t分布函数具有渐进正态的特性。我们改进了前人的研究，应用差函数的特性再次证明了t分布的渐进正态性，并结合MATLAB，直观验证了t分布的这一特性。之后，我们借助直观图形进一步分析了t函数的特性。

Abstract: Previous studies have proved that the t distribution function has the characteristics of asymptotic normality. This paper applies the characteristics of the difference function to prove the asymptotic normality of the t distribution again, improving the previous research. And with the use of MATLAB software, the asymptotic normality is verified intuitively. After that, we further analyze the char-acteristics of the t function with the help of intuitive graphics.

1. 引言

在概率统计学中，t分布函数是一种十分重要的分布函数，这种分布函数具有渐进正态性，即当自由度n趋于无穷大时，t分布函数趋近于标准正态分布。前人已经用求极限的方法证明了此结论 [1] - [9]，但是证明过程比较复杂，并且前人没有给出这个过程的细致描述。因此，对于这个逼近过程具有什么样的具体特点不是很清楚。本文拟引进t分布函数与标准正态分布的差函数，首先分析差函数的性质，利用差函数的性质简明地证明t分布的极限分布为标准正态分布，然后，通过利用MATLAB绘制其函数图像来细致分析其逼近过程的具体特点。

2. t分布及其性质

2.1. t分布的定义

若两个独立的随机变量 $\xi ~N\left(0,1\right)$， $\zeta ~{\chi }^2\left(n\right)$，那么随机变量 $X=\frac{\xi }{\sqrt{\zeta /n}}$ 服从自由度为n的t分布 [10]。

其概率密度函数为

$f_t\left(x,n\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}$, $\left(-\infty <x<+\infty \right)$ (1)

2.2. t分布的性质

性质1 (t分布的等价定义)：若 $n+1$ 个独立的随机变量 $\xi ~N\left(0,1\right)$，

${\zeta }_1~N\left(0,1\right),{\zeta }_2~N\left(0,1\right),\cdots ,{\zeta }_n~N\left(0,1\right)$，那么随机变量 $X=\frac{\xi }{\sqrt{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\zeta }_i}/n}}$，服从自由度为n的t分布；

性质2 (对称性)：由t分布的概率密度函数可得 $f_t\left(x,n\right)=-f\left(-x,n\right)$ 成立，因此t分布的概率密度函数关于x轴对称；

性质3 (均值和方差)：若随机变量 $X~t\left(n\right)$，则X的方差与均值为 $E\left(X\right)=0$， $D\left(X\right)=\frac{n}{n-2}$ ；

性质4 (有界性)：若随机变量，因为 $D\left(X\right)=\frac{n}{n-2}$，所以当 $n>2$ 时X的方差有界，因此X的概率密度函数有界。

3. 利用差函数分析证明渐进正态性

t分布函数与标准正态分布的差函数的意义为两者在y轴方向的距离，若当n趋于无穷时，差函数在其各极值点的取值均趋于0，则可间接证明当n趋于无穷时，t分布趋于标准正态分布，即

若 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sup \phi \left(x,n\right)=0$，则 $t\left(n\right)$ 趋近标准正态分布 $N\left(0,1\right)$。

因此，下面首先分析差函数的性质，再利用差函数的性质证明t分布的极限分布为标准正态分布。

3.1. 差函数的定义

设随机变量的取值为x，则有标准正态分布的概率密度函数为 $f_N\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\text{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$，自由度为n的t分

布的概率密度函数为

$f_t\left(x,n\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}$ (2)

这样，自由度为n的t分布与标准正态分布的差函数表达式为：

$f_t\left(x,n\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}$ (3)

3.2. 差函数的基本性质

性质1 (对称性)：已知标准正态分布和t分布的概率密度函数均关于x轴对称，因此差函数也关于x轴对称；

性质2 (极值点)：对 $\phi \left(x,n\right)$ 关于x求导数，得到

$\frac{\text{d}\phi \left(x,n\right)}{\text{d}x}=x\left[\frac{n+1}{n}\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+3}{2}}-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\text{e}}^{-\frac{x^2}{2}}\right]$ (4)

令 $\frac{\text{d}\phi \left(x,n\right)}{\text{d}x}=0$ 得到极值点 $x_0=0$，另有极值点 $x_k$ 满足方程

$\frac{n+1}{n}\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+3}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\text{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$ (5)

利用上式方程得到差函数的极值

$\phi \left(x_k,n\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{n}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x_k}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}\left[1-\frac{n+1}{n}{\left(1+\frac{x_k^2}{n}\right)}^{-1}\right]$ (6)

3.3. t分布的正态渐进性证明

引理1 (瓦里斯公式推论)：

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left[\frac{\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]}{\sqrt{n\pi }}=1\left(n\in N\right)$ (7)

证明：

已知瓦里斯公式为

${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\prod }}\frac{2n}{2n-1}\times \frac{2n}{2n+1}}=\frac{\pi }{2}\left(n\in N\right)$ (8)

公式左端变形后为

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left[\frac{\left(2n\right)!!}{\left(2n-1\right)!!}\right]}^2\frac{1}{2n-1}=\frac{\pi }{2}$ (9)

再次变形得到

$\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{\left(2n\right)!!}{\left(2n-1\right)!!}\right]\sqrt{\frac{2}{\left(2n-1\right)\pi }}=1\\ \therefore \underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{\left(2n\right)!!}{\left(2n-1\right)!!}\right]\sqrt{\frac{1}{n\pi }}=1\end{array}$ (10)

证毕

定理1：当 $n\to \infty$ 时，差函数的极值均趋于0。

证明：

首先，带入极值点 $x_0=0$ 得到

$\underset{n\to \infty }{\lim }\phi \left(x_0,n\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{n}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ (11)

当n为偶数时，不妨令 $n=2k$

(12)

当n为奇数时同理可证明 $\underset{k\to \infty }{\lim }\phi \left(x_0,n\right)=0$。

下面，考虑其他极值点的极值

(13)

又由于t分布的概率密度函数的有界性得到

$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_t\left(x_k,n\right)=p$, (p为一有限数) (14)

另外因为

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[1-\frac{n+1}{n}{\left(1+\frac{x_k^2}{n}\right)}^{-1}\right]=0$ (15)

所以

$\underset{n\to \infty }{\lim }\phi \left(x_k,n\right)=0$ (16)

综上，当 $n\to \infty$ 时，差函数的极值趋于0。

因此，t分布的极限分布为标准正态分布。

4. t分布函数的渐进正态性直观验证

前文已经证明了t分布函数具有渐进正态性，但没有给出直观描述。下面首先利用MATLAB对其渐进正态性进行分析。在MATLAB中，输入下列代码，绘制标准正态分布以及自由度从1到100的t分布的概率密度函数。

clear all;clc;

x=-4:0.1:4;

n=linspace(1,100,100);

axis([-4 4 0 0.41]);

ylabel('$t(n)$','interpreter','latex', 'FontSize', 18);

xlabel('x')

for i=1:100

A(i,:)=tpdf(x,n(i));

end

plot(x,A);

hold on;

z=normpdf(x,0,1)

plot(x,z,'color','r','linewidth',2.3);

title('自由度从1到100的t分布密度函数和标准正态分布');

legend('n从1变化到100');

结果如图1所示。有图1可知，当t分布函数的自由度n增大的时，其概率分布函数在0附近的部分上升，其余两边的部分下降，总体趋近于标准正态分布曲线。t分布函数确实具有渐进正态性。

Figure 1. Asymptotic normality of t distribution

图1. t分布的渐进正态性

5. 利用差函数分析其具体特点

5.1. 差函数的变化图像

输入如下代码，绘制此函数当参数n 从1变化到100的函数图像。

clc;clear all;

x=-4:0.01:4;

n=linspace(1,100);

axis([-4 4 -0.2 0.41]);

ylabel('$t(n)-N(0,1)$','interpreter','latex', 'FontSize', 18);

xlabel('x')

z=normpdf(x,0,1)

for i=1:100

A(i,:)=tpdf(x,n(i))-z;

end

plot(x,A);

title('自由度从1到100的t分布密度函数与标准正态分布的差函数');

legend('n从1变化到100');

结果如图2所示。从图2中可以看出，当参数n固定时，差函数是一个关于y轴对称的函数，这表明标准正态分布和t分布都是关于y轴对称的函数。

另外，当参数n固定时，很容易看出，一条差函数曲线具有5个极值点。由于其对称性，其中一个极值点为 $x=0$，但它不是最值点。因此，虽然t分布和标准正态分布的最大值点都在 $x=0$ 处取得，但是他们的差的最大值并不是在 $x=0$ 处取得，而是在其他的极值点处取得。

当参数n从1增加到100时，差函数图像逐渐趋于x轴，整体变得平阔，函数范围越来越小，这直观地反映了当n增加时，t分布逐渐趋近于标准正态分布。

Figure 2. The image of difference function

图2. 差函数的变化图像

5.2. 差函数的最值

为了进一步分析差函数的性质，输入如下代码，求其当参数n从1变化到100时的差函数的最值。

clc;clear all;

MAX=[];MIN=[];a=zeros(1,5)

x=-4:0.01:4;

n=linspace(1,100);

axis([-4 4 -0.2 0.41]);

z=normpdf(x,0,1)

for i=1:100

A(i,:)=tpdf(x,n(i))-z;

MAX(i)=max(A(i,:));

MIN(i)=min(A(i,:));

end

ma=vpa(MAX,3);

ma1=[ma a]

ma2=reshape(ma1,7,[])

ma3=vpa(ma2.',4)

mi=vpa(MIN,5)

mi1=[mi a]

mi2=reshape(mi1,7,[])

mi3=vpa(mi2.',3)

结果为：

从表1、表2所得数据可以看出，当差函数的参数从1变化到100时，差函数最大值从0.028099变化到0.001139，最小值从−0.099264变化到−0.0013572，显然，他们的绝对值都减小了很多。

Table 1. The maximum of difference functions

表1. 差函数最大值

Table 2. The minimum of difference functions

表2. 差函数最小值

5.3. 差函数最值的直观表示

为了使差函数最值随n的变化更直观，输入如下代码，绘制其当n从1变化到100函数的图像。

clc;clear all;

syms E F;

X1=[];X2=[];SUP=[];INF=[];

x=-4:0.001:4;

n=linspace(1,100);

z=normpdf(x,0,1)

for i=1:100

A(i,:)=tpdf(x,n(i))-z;

SUP(i)=max(A(i,:));

INF(i)=min(A(i,:));

E=find(A(i,:)==SUP(i))

X1(i)=(E(:,2)-4000)*0.01

F=find(A(i,:)==INF(i))

X2(i)=(F(:,2)-4000)*0.01

end

plot(n,SUP,'o-','color','r','linewidth',2);

hold on;

plot(n,INF,'s-','color','b','linewidth',2);

title('参数从1到100的的差函数最值');

legend('差函数最大值','差函数最小值');

ylabel('$t(n)-N(0,1)最值$','interpreter','latex', 'FontSize', 18);

xlabel('n')

grid on;

Figure 3. The maximum value of the difference function varies with n

图3. 差函数最值随n的变化

结果如图3所示。从图3可以看出差函数的最大值和最小值随参数n的增大都趋于0。当n增加时，函数的变化速度减慢，因此看出，自由度n增加时，t分布渐进于标准正态分布的速度减慢。

6. 结论

1) 当自由度n趋于无穷的时，t分布总体趋近于标准正态分布曲线，可通过构造的差函数比较简单地证明；

2) 趋近方式为其概率分布函数在0附近的部分上升，其余两边的部分下降；

3) 当自由度n趋于无穷的时，t分布趋近于标准正态分布，但是速度越来越慢；

4) 当自由度n趋于无穷的时，t分布在不同点与标准正态分布的差值不相同；

5) 当自由度n趋于无穷的时，t分布不同点趋近于标准正态分布的速度不相同。