一类新的非线性分数阶微分方程多点边值问题的唯一解

Unique Solutions for a New Class of Multi-Point Boundary Value Problem of Nonlinear Fractional Differential Equations

摘要: 本文研究了一类新的高阶分数阶微分方程多点边值问题。首先，我们计算得到了G(t,s)，同时构造了所研究问题的算子方程，然后利用新集合P_h,e中的混合单调算子不动点定理及G(t,s)的性质，得出了此类方程解的存在唯一性。最后，给出一个例子证明方法的有效性。

Abstract: In this paper, we study a new class of higher-order fractional differential equations with multi-point boundary value problems. First, we obtain G(t,s) through calculation, and construct the operator equation of the problem under study. Then, using the fixed point theorem of the mixed monotone operator in the new set P_h,e and the properties of G(t,s), the uniqueness of the solution of this type of equation is obtained. Finally, an example is given to illustrate the effectiveness and feasibility.

1. 引言

本文，我们研究了一类高阶分数阶微分方程的多点边值问题，方程如下：

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\gamma }z\left(t\right)+h\left(t,z\left(t\right),z\left(t\right)\right)=c,0<t<1,\\ z\left(0\right)=D_{0^{+}}^{v_1}z\left(0\right)=\cdots =D_{0^{+}}^{v_{n-2}}z\left(0\right)=0,i-1<v_i\le i,\\ {\left[D_{0^{+}}^{\sigma }z\left(t\right)\right]}_{t=1}={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{D}_{0^{+}}^{\sigma }z\left({\xi }_j\right)},\end{array}$ (1)

其中 $n-1<\gamma \le n$， $n\in N$， $n\ge 3$， $\gamma -\sigma >1$， $0<{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{\xi }_j^{\gamma -\sigma -1}}<1$， $a_j\in \left(0,+\infty \right]$， ${\xi }_j\in \left(0,1\right)$， $c>0$， $n-\left(i+1\right)<\gamma -v_i\le n-i\left(i=1,2,\cdots ,n-2\right)$， $h:\left[0,1\right]\times \left[-e^{*},+\infty \right)\times \left[-e^{*},+\infty \right)\to \left(-\infty ,+\infty \right)$ 是连续的函数， $D_{0^{+}}^{\gamma }\left(D_{0^{+}}^{\sigma }\right)$ 是 $\gamma \left(\sigma \right)$ 阶Riemann-Liouville分数阶导数。

近年来，非线性分数阶微分方程的边值问题引起了诸多学者的关注，这不仅得益于分数阶微分方程算子理论的发展，更与分数阶微分方程的数学模型在各相关领域的广泛应用密不可分。比如，经济学，工程学，生物医学工程及化学等领域，见 [1] - [8]。

文献 [9] 中，翟研究了如下分数阶微分方程两点边值问题：

$\{\begin{array}{l}-D_{0^{+}}^{\nu }y\left(t\right)=f\left(t,y\left(t\right),y\left(t\right)\right)+g\left(t,y\left(t\right)\right),0<t<1,n-1<\nu \le n,\\ y^{\left(i\right)}\left(0\right)=0,0\le i\le n-2,{\left[D_{0^{+}}^{\sigma }y\left(t\right)\right]}_{t=1}=0,1\le \sigma \le n-2.\end{array}$ (2)

作者通过使用带扰动的混合单调算子不动点理论给出了方程正解的存在唯一性。在此基础上，还构造了两列迭代序列逼近解。文献 [10] 中，Jleli M和Samet B使用混合单调算子理论得到了此方程的正解。

文献 [11] 中，翟探究了如下带积分边值的分数阶微分方程解的存在性问题：

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\nu }y\left(t\right)+f\left(t,y\left(t\right)\right)=a,0<t<1,2<\nu <3,\\ y\left(0\right)=y^{\prime }\left(0\right)=0,0\le i\le n-2,\\ y\left(1\right)=\beta {\displaystyle {\int }_0^{1}y\left(s\right)\text{d}s,2\le \beta \le n-2}\end{array}$ (3)

翟介绍了一个新的 $\phi$ - $\left(h,e\right)$ -凹算子，然后在不需要上下解存在的条件下，利用单调递增的 $\phi$ - $\left(h,e\right)$ -凹算子的不动点定理得到了唯一解。

文献 [12] 中，张和王探究了一类新的分数阶微分方程两点边值问题，如下：

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\nu }y\left(t\right)+f\left(t,y\left(t\right),y\left(t\right)\right)=a,0<t<1,n-1<\nu \le n,\\ y^{\left(i\right)}\left(0\right)=0,0\le i\le n-2,{\left[D_{0^{+}}^{\beta }y\left(t\right)\right]}_{t=1}=0,2\le \beta \le n-2.\end{array}$ (4)

作者通过使用集合 $P_{h,e}$ 中的非线性混合单调算子的不动点定理和单调迭代技巧得到了方程的唯一解，且算子不需要紧性和连续性条件。

对比 [9] [10] [11]，我们不仅改变了方程的边值条件，而且将两点边值问题概括到多点边值问题，同时方程的解拓展到了新的集合 $P_{h,e}$。显然，问题(1)在其他文章里少有研究。本文通过使用新集合 $P_{h,e}$ 中的混合单调算子不动点定理得到了方程(1)的唯一解，同时我们可以构造迭代序列逼近解。

文章框架如下：第二部分，我们给出了一些定义，记号，引理；第三部分，通过使用 $P_{h,e}$ 上的混合单调算子不动点定理得到了所研究方程的唯一解；第四部分，给出一个例子证明方程研究方法的有效性。

2. 预备知识

为了方便阅读，我们先给出一些基本的定义及引理，见 [13] [14] [15]。

定义2.1 [13] 令 $\gamma >0\left(\gamma \in R\right)$，那么 $z\in \left[0,+\infty \right)\to R$ 的 $\gamma$ 阶Riemann-Liouville分数阶微分可以写作：

$D_{0^{+}}^{\gamma }z\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(n-\gamma \right)}{\left(\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right)}^n{\displaystyle {\int }_0^{t}z\left(s\right){\left(t-s\right)}^{n-\left(\gamma +1\right)}}\text{d}s.$

定义2.2 [13] 假设 $z\in C\left[0,1\right]\cap L^1\left[0,1\right]$，那么 $I_{0^{+}}^{\gamma }{D}_{0^{+}}^{\gamma }z\left(t\right)=c_1{t}^{\gamma -1}+c_2{t}^{\gamma -2}+\cdots +c_n{t}^{\gamma -n},\gamma >0$，其中 $c_i\in R,i=1,2,3,\cdots ,n\left(n=\left[\gamma \right]+1\right)$。

定义2.3 [14] 若 $z\in L^1\left[0,1\right],\sigma >0,\nu >0$，那么有 $D^{\sigma }{t}^{\nu -1}=\frac{\Gamma \left(\nu \right)}{\Gamma \left(\nu -\sigma \right)}{t}^{\nu -\sigma -1}$。

引理2.1 令 $z\in C\left[0,1\right]$，那么非线性问题

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\gamma }z\left(t\right)+h\left(t\right)=0,0<t<1,\\ z\left(0\right)=D_{0^{+}}^{v_1}z\left(0\right)=\cdots =D_{0^{+}}^{v_{n-2}}z\left(0\right)=0,i-1<v_i\le i,\\ {\left[D_{0^{+}}^{\sigma }z\left(t\right)\right]}_{t=1}={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{D}_{0^{+}}^{\sigma }z\left({\xi }_j\right),}\end{array}$ (5)

的唯一解为 $z\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)h\left(s\right)\text{d}s}$，其中 $K\left(t,s\right)$ 是格林函数，具体如下：

$K\left(t,s\right)=K_1\left(t,s\right)+\frac{t^{\gamma -1}}{1-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{\xi }_j{}^{\gamma -\sigma -1}}}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{K}_2\left({\xi }_j,s\right)}$

$K_1\left(t,s\right)=\{\begin{array}{l}\frac{{\left(1-s\right)}^{\gamma -\sigma -1}{t}^{\gamma -1}-{\left(t-s\right)}^{\gamma -1}}{\Gamma \left(\gamma \right)},0\le s\le t\le 1,\\ \frac{{\left(1-s\right)}^{\gamma -\sigma -1}{t}^{\gamma -1}}{\Gamma \left(\gamma \right)},0\le t\le s\le 1,\end{array}$

$K_2\left(t,s\right)=\{\begin{array}{l}\frac{{\left(\left(1-s\right)t\right)}^{\gamma -\sigma -1}-{\left(t-s\right)}^{\gamma -\sigma -1}}{\Gamma \left(\gamma \right)},0\le s\le t\le 1,\\ \frac{{\left(\left(1-s\right)t\right)}^{\gamma -\sigma -1}}{\Gamma \left(\gamma \right)},0\le t\le s\le 1.\end{array}$

证明：由定义2.2和(5)的第一个方程，可以得到

$z\left(t\right)=-I_{0^{+}}^{\gamma }h\left(s\right)+c_1{t}^{\gamma -1}+c_2{t}^{\gamma -2}+\cdots +c_n{t}^{\gamma -n}.$ (6)

(6)中代入 $z\left(0\right)=0$，可以得到 $c_n=0$。那么有

$z\left(t\right)=-I_{0^{+}}^{\gamma }h\left(s\right)+c_1{t}^{\gamma -1}+c_2{t}^{\gamma -2}+\cdots +c_{n-1}{t}^{\gamma -\left(n-1\right)}.$ (7)

对(7)求 $v_1\text{th}$ 阶导，由定义2.3，得到

$D_{0^{+}}^{v_1}z\left(t\right)=-I_{0^{+}}^{\gamma -v_1}h\left(t\right)+c_1\frac{\Gamma \left(\gamma \right)}{\Gamma \left(\gamma -v_1\right)}{t}^{\gamma -v_1-1}+c_2\frac{\Gamma \left(\gamma -1\right)}{\Gamma \left(\gamma -v_1-1\right)}{t}^{\gamma -v_1-2}+\cdots +c_{n-1}\frac{\Gamma \left(\gamma -n+2\right)}{\Gamma \left(\gamma -v_1-n+2\right)}{t}^{\gamma -v_1-\left(n-1\right)}$

再结合(5)的第二个方程和 $n-2<\gamma -v_1\le n-1$，可以推出 $c_{n-1}=0$。

同样的方法，对(7)求 $v_i\left(i=2,\cdots ,n-2\right)$ 阶导，就可得到 $c_{n-2}=\cdots =c_3=c_2=0$。

因此，问题(1)的解等价于

$z\left(t\right)=-I_{0^{+}}^{\gamma }h\left(t\right)+c_1{t}^{\gamma -1}.$ (8)

再对(8)求 $\sigma$ 阶导，代入(5)中第三个方程，计算得到： $c_1$。

$c_1=\frac{{\displaystyle {\int }_0^1{\left(1-s\right)}^{\gamma -\sigma -1}h\left(s\right)\text{d}s}-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{\displaystyle {\int }_0^{{\xi }_j}\left({\xi }_j-s\right){\gamma }^{\gamma -\sigma -1}h\left(s\right)\text{d}s}}}{\Gamma \left(\gamma \right)\left(1-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{\xi }_j^{\gamma -\sigma -1}}\right)}$ (9)

将(9)代入(8)得，问题(1)的解为：

$z\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^1{K}_1\left(t,s\right)h\left(s\right)\text{d}s}+\frac{t^{\gamma -1}}{1-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{\xi }_j^{\gamma -\sigma -1}}}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{\displaystyle {\int }_0^1{K}_2\left({\xi }_j,s\right)h\left(s\right)\text{d}s}}={\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)h\left(s\right)\text{d}s}$

引理2.2 [15] 格林函数 $K\left(t,s\right)$ 有如下性质：

$0\le \frac{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{K}_2\left({\xi }_j,s\right)}}{1-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{\xi }_j^{\gamma -\sigma -1}}}{t}^{\gamma -1}\le \Gamma \left(\gamma \right)K\left(t,s\right)\le \left(1+\frac{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j}}{1-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{\xi }_j^{\gamma -\sigma -1}}}\right){\left(1-s\right)}^{\gamma -\sigma -1}{t}^{\gamma -1}$

接下来，我们给出有序Banach空间中的一些定义和引理，见 [11] [16] [17] [18]。

定义2.4 [16] 假设 $\left(E,\Vert \cdot \Vert \right)$ 实Banach空间，其上的半序关系由锥 $P\subset E$ 定义，即 $x\le y$ 当且仅当 $y-x\in P$。若 $x\le y$ 且 $y\ne x$，则有 $y>x$ 或 $x<y$。记 $\theta$ 为E中的零元素。

定义2.5 [17] 非空闭凸集P称为锥，若满足：

1) $x\in P,k\ge 0\Rightarrow kx\in P$ ；

2) $x\in P,-x\in P\Rightarrow x=\theta$。

定义2.6 [18] 对所有 $x,y\in E$，记号 $x~y$ 表示，存在 $\lambda >0,\mu >0$ 满足 $\lambda x\le y\le \mu x$。对于给定的 $h\in P$ 且 $h\ne \theta$。我们记集合 $P_h=\{x\in E|x~h\}$。

定义2.7 [11] 令 $h\in P\left(h\ne \theta \right),e\in P$ 且 $\theta \le e<h$，我们定义集合 $P_{h,e}=\{x\in E|x+e\in P_h\}$。那么

$P_{h,e}=\left\{\text{there}\text{exist}\mu =\mu \left(e,h,x\right)>0,\nu =\nu \left(e,h,x\right)>0\text{such}\text{that}\mu h\le x+e\le \nu h\right\}.$

定义2.8 [16] 算子 $A:P\times P\to P$ 为混合单调算子，若 $A\left(x,y\right)$ 关于x单调递增，关于y单调递减，即 $u_i,v_i\left(i=1,2\right)\in P$， $u_1\le u_2,v_1\ge v_2$，则 $A\left(u_1,v_1\right)\le A\left(u_2,v_2\right)$。

定义2.9 [11] $A:P_{h,e}\to E$ 为 $\phi$ - $\left(h,e\right)$ -凹算子，若满足：对于任意 $x\in P_{h,e}$ 和 $\lambda \in \left(0,1\right)$，存在 $\phi \left(\lambda \right)>\lambda$ 满足：

$A\left(\lambda x+\left(1-\lambda \right)e\right)\ge \phi \left(\lambda \right)A\left(x\right)+\left(\phi \left(\lambda \right)-1\right)e.$

[12] 中，作者考虑了新集合 $P_{h,e}$ 中的算子方程 $A\left(x,x\right)=x$。其中，A是个混合单调算子。张和王得到如下结论：

引理2.3 [12] P是正规锥，假设 $T:P_{h,e}\times P_{h,e}\to E$ 是混合单调算子且满足：

(I₁) 存在 $h\in E,e\in P$ 且 $\theta \le e\le h,h\ne \theta$ 满足 $T\left(h,h\right)\in P_{h,e}$ ；

(I₂) 对于任意的 $u,v\in P_{h,e},\lambda \in \left(0,1\right)$，存在 $\phi \left(\lambda \right)>\lambda$ 满足

$T\left(\lambda u+\left(\lambda -1\right)e,\frac{1}{\lambda }v+\left(\frac{1}{\lambda }-1\right)e\right)\ge \phi \left(\lambda \right)T\left(u,v\right)+\left(\phi \left(\lambda \right)-1\right)e$

那么：

(i) 存在 $u_0,v_0\in P_{h,e}$ 满足 $u_0<v_0,u_0\le T\left(u_0,v_0\right)\le T\left(v_0,u_0\right)\le v_0$ ；

(ii) 算子T有唯一不动点 $x^{*}\in P_{h,e}$ ；

(iii) 对于任意初值 $x_0,y_0\in P_{h,e}$，构造迭代序列 $x_n=T\left(x_{n-1},y_{n-1}\right),y_n=T\left(y_{n-1},x_{n-1}\right),n=1,2,\cdots$ 得到 $x_n\to x^{*},y_n\to x^{*}\left(n\to \infty \right)$。

3. 主要结论

本部分，我们通过使用引理2.3求解方程的(1)的解。我们在Banach空间E中考虑， $E=\left\{x|x\in C\left[0,1\right]\right\}$。E的范数为 $\Vert x\Vert =\sup \left\{x\left(t\right)|t\in \left[0,1\right]\right\}$。 $\forall t\in \left[0,1\right]$，若 $u\le v$，则其上的半序关系为 $u\left(t\right)\le v\left(t\right)$。

更进一步地，定义 $P\subset E$ 且 $P=\left\{x\in E:x\left(t\right)\ge 0,\forall t\in \left[0,1\right]\right\}$。显然，P是E中的正规锥。

给出主要结论之前，先给出e(t)及其范围。

令 $e\left(t\right)=\frac{Q}{P}\cdot \frac{c}{\left(\gamma -\sigma \right)\Gamma \left(\gamma \right)}{t}^{\gamma -1}-\frac{c}{\gamma \Gamma \left(\gamma \right)}{t}^{\gamma },t\in \left[0,1\right]$。其中， $P=1-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{\xi }_j^{\gamma -\sigma -1}},Q=1-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{\xi }_j^{\gamma -\delta }}$。

证明：由引理2.1，得到

$\begin{array}{c}e\left(t\right)=c{\displaystyle {\int }_0^{1}K}\left(t,s\right)\text{d}s\\ =c{\displaystyle {\int }_0^1\left\{K_1\left(t,s\right)+\frac{t^{\gamma -1}}{P}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{P+1}{a}_j}{K}_2\left({\xi }_j,s\right)\right\}\text{d}s}\\ =c\cdot \{{\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\left(1-s\right)}^{\gamma -\sigma -1}}{\Gamma \left(\gamma \right)}{t}^{\gamma -1}\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_0^t\frac{{\left(t-s\right)}^{\gamma -1}}{\Gamma \left(\gamma \right)}\text{d}s}\\ +\frac{t^{\gamma -1}}{P}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{P+1}{a}_j}\left[{\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\left(\left(1-s\right){\xi }_j\right)}^{\gamma -\sigma -1}}{\Gamma \left(\gamma \right)}\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_0^{{\xi }_j}\frac{{\left({\xi }_j-s\right)}^{\gamma -\sigma -1}}{\Gamma \left(\gamma \right)}\text{d}s}\right]\}\\ =c\cdot \left\{\frac{t^{\gamma -1}}{\left(\gamma -\sigma \right)\Gamma \left(\gamma \right)}-\frac{t^{\gamma }}{\gamma \Gamma \left(\gamma \right)}+\frac{t^{\gamma -1}}{P}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{P+1}{a}_j}\left[\frac{{\xi }_j^{\gamma -\sigma -1}}{\left(\gamma -\sigma \right)\Gamma \left(\gamma \right)}-\frac{{\xi }_j^{\gamma -\sigma }}{\left(\gamma -\sigma \right)\Gamma \left(\gamma \right)}\right]\right\}\end{array}$ (10)

$\begin{array}{l}=c\cdot \left\{\frac{t^{\gamma -1}}{\left(\gamma -\sigma \right)\Gamma \left(\gamma \right)}+\frac{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{P+1}{a}_j}{\xi }_j^{\gamma -\sigma -1}-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{P+1}{a}_j}{\xi }_j^{\gamma -\sigma }}{P\left(\gamma -\sigma \right)\Gamma \left(\gamma \right)}{t}^{\gamma -1}-\frac{t^{\gamma }}{\gamma \Gamma \left(\gamma \right)}\right\}\\ =c\cdot \left\{\frac{P+{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{P+1}{a}_j}{\xi }_j^{\gamma -\sigma -1}-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{P+1}{a}_j}{\xi }_j^{\gamma -\sigma }}{P\left(\gamma -\sigma \right)\Gamma \left(\gamma \right)}{t}^{\gamma -1}-\frac{t^{\gamma }}{\gamma \Gamma \left(\gamma \right)}\right\}\\ =c\cdot \left\{\frac{Q}{P}\cdot \frac{t^{\gamma -1}}{\left(\gamma -\sigma \right)\Gamma \left(\gamma \right)}-\frac{t^{\gamma }}{\gamma \Gamma \left(\gamma \right)}\right\}\\ =\frac{Q}{P}\cdot \frac{c}{\left(\gamma -\sigma \right)\Gamma \left(\gamma \right)}{t}^{\gamma -1}-\frac{c}{\gamma \Gamma \left(\gamma \right)}{t}^{\gamma }\end{array}$

对所有的 $t\in \left[0,1\right]$，一方面，

$e\left(t\right)=\frac{Q}{P}\cdot \frac{c}{\left(\gamma -\sigma \right)\Gamma \left(\gamma \right)}{t}^{\gamma -1}-\frac{c}{\gamma \Gamma \left(\gamma \right)}{t}^{\gamma }\le \frac{Q}{P}\cdot \frac{c}{\left(\gamma -\sigma \right)\Gamma \left(\gamma \right)}{t}^{\gamma -1}=N{t}^{\gamma -1}=h\left(t\right).$

另一方面，根据 $Q-P\ge 0,\gamma >\sigma$，我们得到

$e\left(t\right)=\frac{Q}{P}\cdot \frac{c}{\left(\gamma -\sigma \right)\Gamma \left(\gamma \right)}{t}^{\gamma -1}-\frac{c}{\gamma \Gamma \left(\gamma \right)}{t}^{\gamma }=c\cdot \frac{Q\gamma -t\left(\gamma -\sigma \right)P}{P\gamma \left(\gamma -\sigma \right)\Gamma \left(\gamma \right)}{t}^{\gamma -1}\ge 0.$

因此， $0\le e\left(t\right)\le h\left(t\right)$。除此之外， $P_{h,e}=\{z\in C\left[0,1\right]|z+e\in P_h\}$。

由引理2.1和(10)，我们得到问题(1)的解的形式可化为如下积分形式：

$z\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)h\left(s,z\left(s\right),z\left(s\right)\right)\text{d}}s-e\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)h\left(s,z\left(s\right),z\left(s\right)\right)\text{d}}s-\frac{Q}{P}\frac{c}{\left(\gamma -\sigma \right)\Gamma \left(\gamma \right)}{t}^{\gamma -1}+\frac{c}{\gamma \Gamma \left(\gamma \right)}{t}^{\gamma },$

其中， $K\left(t,s\right)$ 已给出。

我们定义算子A：

$A\left(z,z\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)h\left(s,z\left(s\right),z\left(s\right)\right)\text{d}s}-e\left(t\right),t\in \left[0,1\right],z\left(t\right)\in P_{h,e}$

显然，z(t)是问题(1)的解，当且仅当 $z\left(t\right)=A\left(z,z\right)\left(t\right)$。

定理3.1 假设 $h:\left[0,1\right]\times \left[-e^{*},+\infty \right)\times \left[-e^{*},+\infty \right)\to \left[-e^{*},+\infty \right)$ 满足：

(H₁) 存在两个函数 $f,g\in \left[0,1\right]\times \left[-e^{*},+\infty \right)\to \left(-\infty ,+\infty \right)$ 满足 $h\left(t,x,y\right)=f\left(t,x\right)+g\left(t,y\right)$ ；

(H₂) $f:\left[0,1\right]\times \left[-e^{*},+\infty \right)\to \left(-\infty ,+\infty \right),g:\left[0,1\right]\times \left[-e^{*},+\infty \right)\to \left(-\infty ,+\infty \right)$ 是连续函数且 $e^{*}=\max \{e\left(t\right):t\in \left[0,1\right]\}$ ；

(H₃) 对任意 $t\in \left[0,1\right]$， $f\left(t,x\right)$ 关于 $x\in \left[-e^{*},+\infty \right)$ 单调递增， $g\left(t,y\right)$ 关于 $y\in \left[-e^{*},+\infty \right)$ 单调递减；

(H₄) 对于任意的 $\lambda \in \left(0,1\right)$，存在 ${\varphi }_1\left(\lambda \right),{\varphi }_2\left(\lambda \right)\in \left(\lambda ,1\right)$ 满足

$\begin{array}{l}f\left(t,\lambda x+\left(\lambda -1\right)z\right)\ge {\phi }_{1}f\left(t,x\right),\\ g\left(t,{\lambda }^{-1}y+\left({\lambda }^{-1}-1\right)z\right)\ge {\phi }_{2}g\left(t,y\right),\end{array}$

其中 $t\in \left[0,1\right],x\in \left(-\infty ,+\infty \right),y\in \left(-\infty ,+\infty \right),z\in \left[0,e^{*}\right]$ ；

(H₅) 对任意 $t\in \left[0,1\right]$，都有 $f\left(t,0\right)\ge 0$ 且 $f\left(t,0\right)\cancel{\equiv }0$， $g\left(t,N\right)\ge 0$，且 $g\left(t,N\right)\cancel{\equiv }0$，其中 $N=\frac{Q}{P}\frac{c}{\left(\gamma -\sigma \right)\Gamma \left(\gamma \right)}\ge 0$。

那么，我们有如下结果：

(i) 存在 $u_0,v_0\in P_{h,e}$ 满足

$\begin{array}{l}{u}_0\left(t\right)\le {\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)\left(f\left(t,u_0\left(s\right)\right)+g\left(t,v_0\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}-e\left(t\right),t\in \left[0,1\right]\\ v_0\left(t\right)\ge {\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)\left(f\left(t,v_0\left(s\right)\right)+g\left(t,u_0\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}-e\left(t\right),t\in \left[0,1\right]\end{array}$

其中，e(t)在(10)中给出；

(ii) 问题(1)有唯一不动点 $z^{*}\in P_{h,e}$，其中 $h\left(t\right)=N{t}^{\gamma -1}$ ；

(iii) 对于任意 $x_0,y_0\in P_{h,e}$，构造迭代序列

$\{\begin{array}{l}{x}_n\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)\left(f\left(s,x_{n-1}\left(s\right)\right)+g\left(s,y_{n-1}\left(s\right)\right)\right)\text{d}s-e\left(t\right),n=1,2,\cdots }\\ y_n\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)\left(f\left(s,y_{n-1}\left(s\right)\right)+g\left(s,x_{n-1}\left(s\right)\right)\right)\text{d}s-e\left(t\right),n=1,2,\cdots }\end{array}$

我们有 $x_n,y_n\to z^{*}\left(n\to +\infty \right)$。

证明：

对于任意 $z\in P_{h,e}$，我们考虑算子的如下形式：

$A\left(z,z\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)\left(f\left(s,z\left(s\right)\right)+g\left(s,z\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}-e\left(t\right),t\in \left[0,1\right]$

(a) 我们先证明 $A:P_{h,e}\times P_{h,e}\to E$ 是混合单调算子。

对于所有的 $u_i,v_i\in P_{h,e},i=1,2$。令 $u_1\le u_2,v_1\ge v_2$，那么，有 $u_1\left(t\right)\le u_2\left(t\right),v_1\left(t\right)\ge v_2\left(t\right)$。根据条件(H₃)，可以得到

$\begin{array}{c}A\left(u_1,v_1\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)\left(f\left(s,u_1\left(s\right)\right)+g\left(s,v_1\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}-e\left(t\right)\\ \le {\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)\left(f\left(s,u_2\left(s\right)\right)+g\left(s,v_2\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}-e\left(t\right)\\ \le A\left(u_2,v_2\right)(\; t\; )\end{array}$

因此， $A:P_{h,e}\times P_{h,e}\to E$ 是混合单调算子。

(b) 证明 $A\left(h,h\right)\in P_{h,e}$。需要证明 $A\left(h,h\right)+e\in P_h$。由 $K\left(t,s\right)$ 的性质及条件(H₃)，

$\begin{array}{c}A\left(h,h\right)+e\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)\left(f\left(s,h\left(s\right)\right)+g\left(s,h\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}\\ ={\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)\left(f\left(s,N{s}^{\gamma -1}\right)+g\left(s,N{s}^{\gamma -1}\right)\right)\text{d}s}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^1\left(1+\frac{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j}}{1-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{\xi }_j^{\gamma -\sigma -1}}}\right)\frac{{\left(1-s\right)}^{\gamma -\sigma -1}}{\Gamma \left(\gamma \right)}}\cdot t^{\gamma -1}\left(f\left(s,N{s}^{\gamma -1}\right)+g\left(s,N{s}^{\gamma -1}\right)\right)\text{d}s\\ \le \frac{1}{\Gamma \left(\gamma \right)}\left(1+\frac{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j}}{1-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{\xi }_j^{\gamma -\sigma -1}}}\right){\displaystyle {\int }_0^1{\left(1-s\right)}^{\gamma -\sigma -1}}\left(f\left(s,N\right)+g\left(s,0\right)\right)\text{d}s\cdot t^{\gamma -1}\\ =\frac{1}{N\Gamma \left(\gamma \right)}\left(1+\frac{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j}}{1-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{\xi }_j^{\gamma -\sigma -1}}}\right){\displaystyle {\int }_0^1{\left(1-s\right)}^{\gamma -\sigma -1}}\left(f\left(s,N\right)+g\left(s,0\right)\right)\text{d}s\cdot h\left(t\right),\end{array}$

$\begin{array}{c}A\left(h,h\right)+e\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}K}\left(t,s\right)\left(f\left(s,N{s}^{\gamma -1}\right)+g\left(s,N{s}^{\gamma -1}\right)\right)\text{d}s\\ \ge {\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j}{K}_2\left({\xi }_j,s\right)}{1-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j}{\xi }_j^{\gamma -\sigma -1}}{t}^{\gamma -1}\left(f\left(s,N{s}^{\gamma -1}\right)+g\left(s,N{s}^{\gamma -1}\right)\right)\text{d}s}\\ \ge {\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j}{K}_2\left({\xi }_j,s\right)}{1-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j}{\xi }_j^{\gamma -\sigma -1}}}\left(f\left(s,0\right)+g\left(s,N\right)\right)\text{d}s\cdot t^{\gamma -1}\\ ={\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j}{K}_2\left({\xi }_j,s\right)}{N\left(1-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j}{\xi }_j^{\gamma -\sigma -1}\right)}}\left(f\left(s,0\right)+g\left(s,N\right)\right)\text{d}s\cdot h\left(t\right).\end{array}$

令

$l_1={\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j}{K}_2\left({\xi }_j,s\right)}{N\left(1-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{\xi }_j^{\gamma -\sigma -1}}\right)}}\left(f\left(s,0\right)+g\left(s,N\right)\right)\text{d}s,$

$l_2=\frac{1}{N\Gamma \left(\gamma \right)}\left(1+\frac{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j}}{1-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p+1}{a}_j{\xi }_j^{\gamma -\sigma -1}}}\right){\displaystyle {\int }_0^1\left(1-s^{\gamma -\sigma -1}\right)}\left(f\left(s,N\right)+g\left(s,0\right)\right)\text{d}s,$

那么，根据条件(H₅)，有 $l_2\ge l_1\ge 0$。即 $A\left(h,h\right)\in P_{h,e}$。

(c) 我们证 $\phi \left(\lambda \right)=\min \left\{{\phi }_1\left(\lambda \right),{\phi }_2\left(\lambda \right)\right\}$， $A:P_{h,e}\times P_{h,e}\to E$ 是 $\phi$ - $\left(h,e\right)$ 凹算子。

令，对于 $u,v\in P_{h,e},\lambda \in \left(0,1\right)$ 由(H₄)，易得

$\begin{array}{l}A\left(\lambda u+\left(\lambda -1\right)e,{\lambda }^{-1}v+\left({\lambda }^{-1}-1\right)e\right)\left(t\right)\\ ={\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)\left(f\left(s,\lambda u+\left(\lambda -1\right)e\right)+g\left(s,{\lambda }^{-1}v+\left({\lambda }^{-1}-1\right)e\right)\right)\text{d}s-e\left(t\right)}\\ \ge {\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)\left({\phi }_1\left(\lambda \right)f\left(s,u\left(s\right)\right)+{\phi }_2\left(\lambda \right)g\left(s,v\left(s\right)\right)\right)\text{d}s-e\left(t\right)}\\ \ge \phi \left(\lambda \right){\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)\left(f\left(s,u\left(s\right)\right)+g\left(s,v\left(s\right)\right)\right)\text{d}s-e\left(t\right)+\left(\phi \left(t\right)-1\right)e\left(t\right)}\\ =\phi \left(\lambda \right)A\left(u,v\right)+\left(\phi \left(\lambda \right)-1\right)e\left(t\right),\end{array}$

因此， $A:P_{h,e}\times P_{h,e}\to E$ 是 $\phi$ - $\left(h,e\right)$ 凹算子。相应地，由引理2.3可知，算子 $A\left(z,z\right)=z$ 有唯一不动点 $z^{\text{*}}\in P_{h,e}$，且 $z^{*}$ 是如下方程的唯一解：

$z^{*}\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)\left(f\left(s,z^{*}\left(s\right)\right)+g\left(s,z^{*}\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}-e\left(t\right),t\in \left[0,1\right].$

进一步地，对于任意 $x_0,y_0\in P_{h,e}$，构造序列

$\{\begin{array}{l}{x}_n\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)\left(f\left(s,x_{n-1}\left(s\right)\right)+g\left(s,y_{n-1}\left(s\right)\right)\right)\text{d}s-e\left(t\right),n=1,2,\cdots }\\ y_n\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t,s\right)\left(f\left(s,y_{n-1}\left(s\right)\right)+g\left(s,x_{n-1}\left(s\right)\right)\right)\text{d}s-e\left(t\right),n=1,2,\cdots }\end{array}$

可得， $x_n,y_n\to z^{*}\left(n\to +\infty \right)$。

4. 例子

考虑如下问题：

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\frac{7}{2}}z\left(t\right)+{\left(\frac{t^{\frac{5}{2}}}{\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}\left(23-\frac{24}{7}t\right)\right)}^{\frac{1}{2}}{\left(\frac{7\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}{137}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left(x+\frac{137}{7\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}\right)}^{\frac{1}{2}}\\ +{[\frac{t^{\frac{5}{2}}}{\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}\left(23-\frac{24}{7}t\right)\left(\frac{7\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}{137}y+1\right)+y+\frac{137}{7\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}]}^{-\frac{1}{3}}=12,\\ z\left(0\right)=D_{0^{+}}^{\frac{1}{2}}z\left(0\right)=D_{0^{+}}^{\frac{3}{2}}z\left(0\right)=D_{0^{+}}^{\frac{5}{2}}z\left(0\right)=0,\\ {\left[D_{0^{+}}^{\frac{3}{2}}z\left(t\right)\right]}_{t=1}=D_{0^{+}}^{\frac{5}{2}}z\left(\frac{1}{2}\right)+D_{0^{+}}^{\frac{5}{2}}z\left(\frac{1}{3}\right).\end{array}$ (11)

其中， $\gamma =\frac{7}{2},\sigma =\frac{3}{2},c=12,v_1=\frac{1}{2},v_2=\frac{3}{2},v_3=\frac{5}{2},p+1=2$，例子中的函数按如下定义：

$\begin{array}{l}f\left(t,x\right)={\left(\frac{t^{\frac{5}{2}}}{\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}\left(23-\frac{24t}{7}\right)\right)}^{\frac{1}{2}}{\left(\frac{137}{7\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}\right)}^{-\frac{1}{2}}{\left(x+\frac{137}{7\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left[\frac{e\left(t\right)}{e^{*}}x+e\left(t\right)\right]}^{\frac{1}{2}}\\ g\left(t,y\right)={\left[\frac{t^{\frac{5}{2}}}{\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}\left(23-\frac{24t}{7}\right)\left(\frac{7\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}{137}y+1\right)+y+\frac{137}{7\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}\right]}^{-\frac{1}{3}}={\left[\left(\frac{e\left(t\right)}{e^{*}}+1\right)y+e\left(t\right)+e^{*}\right]}^{-\frac{1}{3}}\end{array}$

其中，

$\begin{array}{l}e\left(t\right)=\frac{Q}{P}\cdot \frac{c}{\left(\gamma -\sigma \right)\Gamma \left(\gamma \right)}{t}^{\gamma -1}-\frac{c}{\gamma \Gamma \left(\gamma \right)}{t}^{\gamma }=\frac{23}{\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}{t}^{\frac{5}{2}}-\frac{24}{7\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}{t}^{\frac{7}{2}}\\ e^{*}\left(t\right)=\max \{e\left(t\right):t\in \left[0,1\right]\}=\frac{137}{7\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}>0\end{array}$

取 $N=\frac{Q}{P}\cdot \frac{c}{\left(\gamma -\sigma \right)\Gamma \left(\gamma \right)}=\frac{23}{\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}$。显然 $e\left(t\right)\le N{t}^{\frac{5}{2}}=h\left(t\right)$。

相应地我们的例子满足定理3.1的全部条件，所以问题(11)有唯一解。

对于任意 $x_0,y_0\in P_{h,e}$，构造序列

$\{\begin{array}{l}{x}_n\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}K}\left(t,s\right)\left(f\left(s,x_{n-1}\left(s\right)\right)+g\left(s,y_{n-1}\left(s\right)\right)\right)-\frac{23}{\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}{t}^{\frac{5}{2}}+\frac{24}{7\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}{t}^{\frac{7}{2}},n=1,2,\cdots \\ y_n\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}K}\left(t,s\right)\left(f\left(s,y_{n-1}\left(s\right)\right)+g\left(s,x_{n-1}\left(s\right)\right)\right)-\frac{23}{\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}{t}^{\frac{5}{2}}+\frac{24}{7\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)}{t}^{\frac{7}{2}},n=1,2,\cdots \end{array}$

$\begin{array}{l}{x}_n,y_n\to x^{*},\text{where}\\ K\left(t,s\right)=K_1\left(t,s\right)+6t^{\frac{5}{2}}{K}_2\left(t,s\right)K\left(t,s\right)\\ K\left(t,s\right)=\{\begin{array}{l}\frac{\left(1-s\right)t^{\frac{5}{2}}-{\left(t-s\right)}^{\frac{5}{2}}+7s{t}^{\frac{5}{2}}}{\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)},0\le s\le t\le 1,\\ \frac{6\left(1-s\right)t^{\frac{5}{2}}}{\Gamma \left(\frac{7}{2}\right)},0\le t\le s\le 1.\end{array}\end{array}$

基金项目

文章由爆炸科学与技术国家重点实验室(北京理工大学)开放项目，项目编号为KFJJ19-06M，山西省R&D重点项目(国际合作，201903D421042)资助。