一类散度型椭圆方程的霍普夫引理

Hopf’s Lemma for a Class of Elliptic Equations of Divergence Type

摘要: 极值原理是椭圆偏微分方程的基本性质之一，线性椭圆偏微分方程具有强极值原理，其证明依赖于霍普夫引理。本文得到一类散度型椭圆方程的霍普夫引理。

Abstract: The Maximum Principle is one of the basic properties of elliptic partial differential equations. Linear elliptic partial differential equations have strong maximum principle, whose proof depends on Hopf’s lemma. This paper obtains Hopf’s lemma for a class of divergence elliptic equations.

1. 预备知识

椭圆型偏微分方程中，最简单的形式是位势方程 $-\Delta u=f$，其中

$\Delta u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_2^2}+\cdots +\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_n^2}$

$\Delta$ 称为拉普拉斯算子。当 $f=0$ 时，位势方程也称为拉普拉斯方程，其解称为调和函数 [1]。调和函数的基本性质之一是强极值原理，它断言非常值的调和函数最值在闭区域上边界达到，而这个性质的证明需要用到霍普夫引理。拉普拉斯方程的霍普夫引理如下：

引理1.1 假设 $u\in C\left({\bar{B}}_1\right)$ 在 $B_1=B_1\left(0\right)$ 内为调和函数，即 $\Delta u=0$，如果对任意的 $x\in {\bar{B}}_1$，存在 $x_0\in \partial B_1$，使得 $u\left(x\right)<u\left(x_0\right)$，那么有

$\frac{\partial u}{\partial n}\left(x_0\right)\ge C\left(u\left(x_0\right)-u(\; 0\; )\right)$

其中C为正常数且仅依赖于n。

对如下形式的算子，霍普夫引理也是成立的：

假设 $\Omega$ 是一个在 $R^n$ 中的有界连通区域，考虑 $\Omega$ 中的算子L

$Lu\equiv a_{ij}\left(x\right)D_{ij}u+b_i\left(x\right)D_{i}u+c\left(x\right)u$

对于 $u\in C^2\left(\Omega \right)\cap C\left(\bar{\Omega }\right)$。我们总假设 $a_{ij}$， $b_i$ 和c是连续的并且在 $\bar{\Omega }$ 内有界 [2]。

2. 主要结论及证明

引理1.2 [1] (霍普夫引理)设B是 $R^n$ 中的一个开球，在B内， $c\left(x\right)\ge 0$， $b_i\left(x\right)\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$， $c\left(x\right)$ 有界。如果 $u\in C^2\left(B\right)\cap C^1\left(\bar{B}\right)$ 满足条件

(1) 在B内， $Lu\le 0$；

(2) 存在 $x_0\in \partial B$ 使 $u\left(x_0\right)\ge 0$ 且对任意的 $x\in B$，有 $u\left(x\right)<u\left(x_0\right)$。

那么

$\frac{\partial u}{\partial \upsilon }>0$，

其中单位向量 $\upsilon$ 与球面 $\partial B$ 在 $x_0$ 处的外法向n的夹角小于 $\frac{\pi }{2}$。

一般来讲，霍普夫极值原理对散度型线性椭圆方程是不成立的，即如下形式的算子：

$Lu=-{\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{n}{\sum }}{\partial }_i\left(a_{ij}\left(x\right){\partial }_{j}u\right)}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{b}_i\left(x\right)}\frac{\partial u}{\partial x_i}+c\left(x\right)u=f\left(x\right),x\in \Omega$

其中 $x=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$，在 $\Omega$ 内，对于 $1\le i\le N$，有 $b_i\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$, $c\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$ 且 $c\left(x\right)\ge 0$。

但选取适当的 $a_{ij}$，我们可以得到如下霍普夫原理：

定理1.3 $\Omega \in R^N$ 为光滑有界域， $a_{ij}\in C^{\alpha }\left(\bar{\Omega }\right)$，其中 $a_{ij}\left(x\right)=a_{ji}\left(x\right)$， $1\le i,j\le N$， $x\in \bar{\Omega }$ 且对所有的 $x\in \bar{\Omega }$ 和 $\xi \in R^N\backslash \left\{0\right\}$ 有

${\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{N}{\sum }}{a}_{ij}\left(x\right){\xi }_i{\xi }_j}>0$ (1.3)

假设 $u\in C^1\left(\bar{\Omega }\right)$ 为下面不等式的弱解：

$-{\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{N}{\sum }}{\partial }_i\left(a_{ij}\left(x\right){\partial }_{j}u\right)}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{b}_i\left(x\right){\partial }_{i}u}+c\left(x\right)u\le 0$ (1.4)

在 $\Omega$ 内，对于 $1\le i\le N$，有 $b_i\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$， $c\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$ 且 $c\left(x\right)\ge 0$。

假设对 $x_0\in \partial \Omega$，存在一个球 $B\subset \Omega$ 且 $x_0\in \partial B$， $u=u\left(x\right)$，满足

$u\left(x\right)>u(\; x\; 0\; )$

如果 $u\left(x_0\right)\ge 0$，则

$\frac{\partial u}{\partial \nu }\left(x_0\right)>0$ (1.5)

$\nu$ 为外法向， $\nu \in R^N$ 以便 $\langle \nu ,n\rangle <0$，n为指向 $x_0$ 的单位外法向量。

证明：定义一个算子

$Lu=-{\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{N}{\sum }}{\partial }_i\left(a_{ij}\left(x\right){\partial }_{j}u\right)}$

令 $u_0=u\left(x_0\right)$，则

$L\left(u-u_0\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{b}_i{\partial }_i\left(u-u_0\right)+c\left(u-u_0\right)}\le -c{u}_0\le 0$

不妨令 $x_0$ 为原点，通过对变量x进行适当的变换，令 $e_N$ 为u在 $x_0$ 点的外法向，保持定向的，此时，u在 $x_0$ 处的外法向就变成了u在0处对新变量的外法向。

选取一个环 $D=\left\{x\in R^N:\frac{1}{2}<\left|x\right|<1\right\}$， $\rho >0$，令集合 $D_{\rho }=\rho D=\left\{\rho x:x\in D\right\}$，选取适当的 ${\rho }_0>0$，

存在一个 $\rho$， $0<\rho <{\rho }_0$，使 $\rho$ 包含在 $\Omega$ 内

${\Omega }_{\rho }=\rho e_N-D_{\rho }=\left\{x:\frac{\rho }{2}<\left|x+\rho e_N\right|<\rho \right\}$

根据 [3] 引入一个辅助函数 $\upsilon \in C^{1,\alpha }\left(\bar{\Omega }\right)$， $\upsilon$ 是下面问题的弱解：

$L\upsilon +{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{b}_i{\partial }_i\upsilon }+c\upsilon =0,x\in {\Omega }_{\rho }$

$\upsilon =1,x\in \partial {\Omega }_{\rho }^{-}$ (2.1)

$\upsilon =0,x\in \partial {\Omega }_{\rho }^{+}$

$\partial {\Omega }_{\rho }^{-}=\left\{x:\left|x+\rho e_N\right|=\frac{\rho }{2}\right\}$ 和 $\partial {\Omega }_{\rho }^{+}=\left\{x:\left|x+\rho e_N\right|=\rho \right\}$.

由 [5] 中的定理8.3知，(2.1)存在唯一正解 $\upsilon \in H^1\left({\Omega }_{\rho }\right)$，这意味着在 $\Omega$ 内几乎处处有 $0\le \upsilon \le 1$，由于 $\upsilon \in L^{\infty }\left(\Omega \right)$，经典结果隐含着存在 $0<\beta <1$，使得 $\upsilon \in C^{\beta }\left({\bar{\Omega }}_{\rho }\right)$，此外，强极值原理确保对所有 $x\in {\Omega }_{\rho }$ 都有 $\upsilon \left(x\right)>0$，再根据 [5] 中8.11的结果，可得 $\upsilon \in C^{1,\alpha }\left({\bar{\Omega }}_{\rho }\right)$ [4]。因此 $\upsilon \in C^{1,\alpha }\left(\bar{\Omega }\right)$ 是问题(2.1)的唯一正解。

显然可以找到一个小 $\epsilon >0$，使得在边界 $\partial {\Omega }_{\rho }$ 上有

$u-u_0-\epsilon \upsilon \le 0$

由弱极值原理 [3] 知，在 ${\Omega }_{\rho }$ 内 $u\le u_0+\epsilon \upsilon$，尤其是

$\frac{\partial u}{\partial \nu }\left(0\right)\ge \epsilon \frac{\partial \upsilon }{\partial \nu }\left(0\right)$ (2.2)

对于任意的在 $x=0$ 处指向 ${\Omega }_{\rho }$ 的外法向 $\nu$，由 [4] 中的引理3.4，即：设 $\upsilon \in C^{1,\alpha }\left(\bar{\Omega }\right)$ 是问题(2.1)的正解，那么随着 $\rho \to 0_{+}$，都有 $\frac{\partial \upsilon }{\partial \nu }\left(0\right)~\frac{C_N^{*}}{\rho }\langle \nu ,e_N\rangle$，其中 $\nu \in R^N$ 为单位向量且 $C_N^{*}=\frac{N-2}{2^{N-2}-1}$。可得

$\frac{\partial \upsilon }{\partial \nu }\left(0\right)\to -\infty ,\rho \to 0_{+}$ (2.3)

由(2.2)和(2.3)得出(1.5)。证毕

注：(a) 球B为“内球”，与边界 $\partial \Omega$ 相切于点 $x_0\in \partial \Omega$；

(b) 当 $u\left(x_0\right)=0$ 时，不需要限制c的符号或对所有 $x\in \Omega$，有 $c\left(x\right)=0$，那么 $u\left(x_0\right)$ 的符号可以是任意的。

基金项目

新疆师范大学重点实验室(XJNUSYS082018A02)。

参考文献

NOTES

^*通讯作者。