三元变系数欧拉函数方程φ(abc)=φ(a)+5φ(b)+7φ(c)的正整数解

Positive Integer Solution of Ternary Variable Coefficient Euler Function Equation φ(abc)=φ(a)+5φ(b)+7φ(c)

摘要: 对于任意正整数解n，欧拉函数φ(n)表示从1,2,...,n-1中与n互素的正整数解的个数。欧拉函数方程是数论及其应用中的一个重要的研究论题，不定方程的一元变系数和多元变系数问题使得我们延展出很多新的研究方法，对有关包含欧拉函数方程可解性的研究有着重要的理论意义和应用价值。利用初等数论相关内容及计算方法，研究了系数为奇数的三元欧拉函数方程φ(abc)=φ(a)+5φ(b)+7φ(c)的可解性，其中φ(n)为欧拉函数。得到了该方程共计25组正整数解。

Abstract: For any positive integer solution n, Euler’s function φ(n) represents the number of positive integer solutions that are prime to n from 1,2,...,n-1. Euler’s function equation is an important research topic in number theory and its applications. The univariate variable coefficients and multivariate variable coefficients of indeterminate equations have allowed us to extend many new research methods and research on the solvability of equations containing Euler functions. It has important theoretical significance and application value. Using the related content and calculation method of elementary number theory, the solvability of the ternary Euler function equation φ(abc)=φ(a)+5φ(b)+7φ(c) with odd coefficients is studied, where φ(n) is the Euler function. A total of 25 positive integer solutions of the equation are obtained.

1. 引言

对于任意正整数解n，欧拉函数 $\phi \left(n\right)$ 表示从 $1,2,\cdots ,n-1$ 中与n互素的正整数解的个数 [1]。欧拉函数方程是数论及其应用中的一个重要的研究论题，不定方程的一元变系数和多元变系数问题使得我们延展出很多新的研究方法，对有关包含欧拉函数方程可解性的研究有着重要的理论意义和应用价值。张四保，官春梅，孙树东，席小忠 [2] [3] [4] [5] 分别得出了方程 $\phi \left(ab\right)=k\left(\phi \left(a\right)+\phi \left(b\right)\right)$ 在 $k=3,4,6,7,8$ 时的全部正整数解，而孙翠芳，程智，张四保，杜先存 [6] [7] [8] 分别得出方程 $\phi \left(abc\right)=k\left(\phi \left(a\right)+\phi \left(b\right)+\phi \left(c\right)\right)$ 在 $k=2,3,4$ 时的所有正整数解；白继文，张四保 [9] [10] 等人分别研究了四元欧拉函数方程 $\phi \left(abcd\right)=k\left(\phi \left(a\right)+\phi \left(b\right)+\phi \left(c\right)+\phi \left(d\right)\right)$ 在 $k=2,4$ 时的全部正整数解；夏衣旦·莫合德，张四保，姜莲霞 [11] [12] 分别讨论了一个包含Euler函数 $\phi \left(n\right)$ 的非线性方程 $\phi \left(mn\right)=7\phi \left(m\right)+8\phi \left(n\right)+16$ 和 $\phi \left(xy\right)=9\phi \left(x\right)+16\phi \left(y\right)+24$ 的解，利用整数的分解、欧拉函数 $\phi \left(n\right)$ 的性质和初等方法从而得出了其全部解；袁合才，王波，王晓峰 [13] 讨论了混合型欧拉函数方程 $\phi \left(abc\right)=2\phi \left(a\right)\phi \left(b\right)+6\phi \left(c\right)$ 的正整数解问题，得到了该方程的所有正整数解；杨张媛，赵西卿，张明丽，高丽 [14] [15] 分别研究了三元变系数欧拉函数方程 $\phi \left(abc\right)=k_1\phi \left(a\right)+k_2\phi \left(b\right)+k_3\phi \left(c\right)$ 在 $k_1,k_2,k_3$ 为连续的三个自然数时的全部正整数解。本文在前人对欧拉函数正整数解研究的基础上，利用初等数论的相关知识研究了系数为特定奇数的三元变系数欧拉函数方程 $\phi \left(abc\right)=\phi \left(a\right)+5\phi \left(b\right)+7\phi \left(c\right)$ 的正整数解。

2. 相关引理

引理1 [16] 若正整数 $n=p_1^{r_1}{p}_2^{r_2}\cdots p_k^{r_k}$，其中 $p_1,p_2,\cdots ,p_k$ 为素数，则欧拉函数

$\phi \left(n\right)=n\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{p_k}\right)$。

引理2 [16] 对任意的正整数 $m,n$，则有

$\phi \left(mn\right)=\frac{\left(m,n\right)\phi \left(m\right)\phi \left(n\right)}{\phi \left(\left(m,n\right)\right)}$，

其中 $\left(m,n\right)$ 表示m与n最大公约数。显然，当 $\left(m,n\right)=1$ 时，有 $\phi \left(mn\right)=\phi \left(m\right)\phi \left(n\right)$。

引理3 [16] 当 $n\ge 2$ 时，有 $\phi \left(n\right)<n$ ；当 $n\ge 3$ 时， $\phi \left(n\right)$ 为偶数。

引理4 [16] 在欧拉函数方程 $\phi \left(abc\right)=k+h\phi \left(c\right)$ 中，若 $\phi \left(ab\right)\ge k+h+1$，则该方程无正整数解。

3. 定理及其证明

定理1三元变系数欧拉函数方程 $\phi \left(abc\right)=\phi \left(a\right)+5\phi \left(b\right)+7\phi \left(c\right)$ 的正整数解共25组，分别为

$\left(a,b,c\right)=\left(3,12,3\right)$， $\left(3,11,5\right)$， $\left(3,11,8\right)$， $\left(3,32,3\right)$， $\left(3,17,3\right)$，

$\left(5,7,3\right)$， $\left(5,7,4\right)$， $\left(8,7,3\right)$， $\left(5,7,6\right)$， $\left(5,9,4\right)$， $\left(5,14,3\right)$， $\left(10,7,3\right)$，

$\left(8,2,2\right)$， $\left(10,2,2\right)$， $\left(12,2,2\right)$， $\left(26,1,2\right)$， $\left(26,2,1\right)$， $\left(13,2,2\right)$，

$\left(28,1,2\right)$， $\left(28,2,1\right)$， $\left(36,1,2\right)$， $\left(36,2,1\right)$， $\left(42,1,2\right)$， $\left(42,2,1\right)$， $\left(21,2,2\right)$。

证 对于三元变系数欧拉函数方程

$\phi \left(abc\right)=\phi \left(a\right)+5\phi \left(b\right)+7\phi \left(c\right)$ (1)

由引理2可知

$\phi \left(abc\right)=\frac{\left(a,bc\right)\phi \left(a\right)\phi \left(bc\right)}{\phi \left(\left(a,bc\right)\right)}=\frac{\left(a,bc\right)\left(b,c\right)}{\phi \left(\left(a,bc\right)\right)\phi \left(\left(b,c\right)\right)}\phi \left(a\right)\phi \left(b\right)\phi \left(c\right)$。

由引理3所以

$\phi \left(a\right)+5\phi \left(b\right)+7\phi \left(c\right)=\phi \left(abc\right)\ge \phi \left(a\right)\phi \left(b\right)\phi \left(c\right)$，

$\phi \left(a\right)+5\phi \left(b\right)=\phi \left(abc\right)-7\phi \left(c\right)\ge \phi \left(a\right)\phi \left(b\right)\phi \left(c\right)-7\phi \left(c\right)$，

$\left(\phi \left(a\right)\phi \left(b\right)-7\right)\phi \left(c\right)\ge \phi \left(a\right)\phi \left(b\right)-7$，即 $\left(\phi \left(a\right)-5\right)\left(\phi \left(b\right)-1\right)\le 12$。

根据 $\phi \left(a\right)$ 和 $\phi \left(b\right)$ 的不同取值分14种情形分别讨论。

情形1当 $\left(\phi \left(a\right)-5\right)\left(\phi \left(b\right)-1\right)<0$ 时，有 $\phi \left(a\right)=1,2,4$， $\phi \left(b\right)>1$。

1.1当 $\phi \left(a\right)=1$，情形 $\phi \left(b\right)>1$ 时，有

$1+5\phi \left(b\right)+7\phi \left(c\right)=\phi \left(abc\right)\ge \phi \left(b\right)\phi \left(c\right)$，

即 $\left(\phi \left(b\right)-7\right)\left(\phi \left(c\right)-5\right)\le 36$。

1.1.1若 $\phi \left(a\right)=1$， $\phi \left(b\right)=2$， $\phi \left(c\right)$ 为任意值时，此时(1)式为 $\phi \left(abc\right)=11+7\phi \left(c\right)$，经检验，(1)无解。

1.1.2若 $\phi \left(a\right)=1$， $\phi \left(b\right)=4$，此时 $\phi \left(abc\right)=21+7\phi \left(c\right)$，经检验，(1)无解。

1.1.3若 $\phi \left(a\right)=1$， $\phi \left(b\right)=6$，此时 $\phi \left(abc\right)=31+7\phi \left(c\right)$，经检验，(1)无解。

1.1.4若 $\phi \left(a\right)=1$， $\phi \left(b\right)=8$，此时 $\phi \left(c\right)-5\le 36$，即

$\phi \left(c\right)=1,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,40$。

当 $\phi \left(c\right)=1$， $\phi \left(abc\right)=48$ 时，即 $abc=65,104,105,112,130,140,144,156,168,180,210$，又 $a=c=1,2$， $b=15,16,20,24,30$，经检验，(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40$ 时 ， $\phi \left(abc\right)=41+7\phi \left(c\right)$，由引理3知(1)无解。

1.1.5若 $\phi \left(a\right)=1$， $\phi \left(b\right)=10$，此时 $\phi \left(c\right)-5\le 13$，即 $\phi \left(c\right)=1,2,4,6,8,10,12,14,16,18$。

当 $\phi \left(c\right)=1$， $\phi \left(abc\right)=58$ 时，即 $abc=59,118$，又 $a=c=1,2$， $b=11,22$，经检验，(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=2,4,6,8,10,12,14,16,18$ 时， $\phi \left(abc\right)=51+7\phi \left(c\right)$，由引理3知(1)无解。

1.1.6若 $\phi \left(a\right)=1$， $\phi \left(b\right)=12$，此时 $\phi \left(c\right)-5\le 7$，即 $\phi \left(c\right)=1,2,4,6,8,10,12$。

当 $\phi \left(c\right)=1$， $\phi \left(abc\right)=68$ 时，不存在 $abc$ 使得 $\phi \left(abc\right)=68$，(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=2,4,6,8,10,12$ 时， $\phi \left(abc\right)=61+7\phi \left(c\right)$，由引理3知(1)无解。

1.1.7若 $\phi \left(a\right)=1$， $\phi \left(b\right)=14$，不存在 $b$ 使得 $\phi \left(b\right)=14$，(1)无解。

1.1.8若 $\phi \left(a\right)=1$， $\phi \left(b\right)=16$，此时 $\phi \left(c\right)-5\le 4$，即 $\phi \left(c\right)=1,2,4,6,8$。

当 $\phi \left(c\right)=1$， $\phi \left(abc\right)=88$ 时，即 $abc=89,115,178,184,230,276$，又 $a=c=1,2$， $b=17,32,34,40,48,60$，经检验，(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=2,4,6,8$ 时， $\phi \left(abc\right)=81+7\phi \left(c\right)$，由引理3知(1)无解。

1.1.9若 $\phi \left(a\right)=1$， $\phi \left(b\right)\ge 18$ 时，此时 $\phi \left(c\right)\le 8$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时，经检验，不存在 $a,b,c$ 使(1)成立，(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)$ 为偶数时， $\phi \left(abc\right)$ 为奇数，由引理3知(1)无解。

1.2当 $\phi \left(a\right)=2$， $\phi \left(b\right)>1$ 时，有

$\phi \left(abc\right)=2+5\phi \left(b\right)+7\phi \left(c\right)$。

1.2.1若 $\phi \left(a\right)=2$， $\phi \left(b\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=12+7\phi \left(c\right)\ge 4\phi \left(c\right)$，不存在c使(1)成立。

1.2.2若 $\phi \left(a\right)=2$， $\phi \left(b\right)=4$ 时， $\phi \left(abc\right)=22+7\phi \left(c\right)\ge 8\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 22$，即 $\phi \left(c\right)=1,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22$。

当 $\phi \left(c\right)=1,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22$ 时，不存在 $a,b,c$ 使(1)成立。

当 $\phi \left(c\right)=2$ 时，经检验， $\left(a,b,c\right)=\left(3,12,3\right)$。

1.2.3若 $\phi \left(a\right)=2$， $\phi \left(b\right)=6$ 时， $\phi \left(abc\right)=32+7\phi \left(c\right)\ge 12\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 6$，即 $\phi \left(c\right)=1,2,4,6$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=39$，由引理3知(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=46$， $abc=47,94$，经检验，(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=4$ 时， $\phi \left(abc\right)=60$， $abc=61,77,93,99,122,124,198,154,186$，经检验，(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=6$ 时， $\phi \left(abc\right)=74$，不存在 $a,b,c$ 使得 $\phi \left(abc\right)=74$，所以(1)无解。

1.2.4若 $\phi \left(a\right)=2$， $\phi \left(b\right)=8$ 时， $\phi \left(abc\right)=42+7\phi \left(c\right)\ge 16\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 4$，即 $\phi \left(c\right)=1,2,4$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=49$，由引理3知(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=56$， $abc=87,116,174$，经检验，(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=4$ 时， $\phi \left(abc\right)=70$， $abc=71,142$，经检验，(1)无解。

1.2.5若 $\phi \left(a\right)=2$， $\phi \left(b\right)=10$ 时， $\phi \left(abc\right)=52+7\phi \left(c\right)\ge 20\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 4$，即 $\phi \left(c\right)=1,2,4$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=59$，由引理3知(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=66$， $abc=67,134$，经检验，(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=4$ 时， $\phi \left(abc\right)=80$， $abc=123,164,165,176,200,246,264,300$，经检验， $\left(a,b,c\right)=\left(3,11,5\right)$， $(3,11,8)$。

1.2.6若 $\phi \left(a\right)=2$， $\phi \left(b\right)=12$ 时， $\phi \left(abc\right)=62+7\phi \left(c\right)\ge 24\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 3$，即 $\phi \left(c\right)=1,2$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=69$，由引理3知(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=76$，不存在 $a,b,c$ 使得 $\phi \left(abc\right)=76$，所以(1)无解。

1.2.7若 $\phi \left(a\right)=2$， $\phi \left(b\right)=14$ 时，不存在b使得 $\phi \left(b\right)=14$，所以(1)无解。

1.2.8若 $\phi \left(a\right)=2$， $\phi \left(b\right)=16$ 时， $\phi \left(abc\right)=82+7\phi \left(c\right)\ge 32\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 3$，即 $\phi \left(c\right)=1,2$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=89$，由引理3知(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=96$， $abc=97,119,153,194,195,208,218,224,238,260,280,288$，经检验， $\left(a,b,c\right)=\left(3,32,3\right)$， $\left(3,17,3\right)$。

1.2.9若 $\phi \left(a\right)=2$， $\phi \left(b\right)\ge 18$ 时， $\phi \left(c\right)\le 2$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)$ 为奇数，由引理3知(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=2$ 时，经检验不存在 $a,b,c$ 使得(1)成立，所以(1)无解。

1.3当 $\phi \left(a\right)=4$， $\phi \left(b\right)>1$ 时，有

$\phi \left(abc\right)=4+5\phi \left(b\right)+7\phi \left(c\right)$。

1.3.1若 $\phi \left(a\right)=4$， $\phi \left(b\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=14+7\phi \left(c\right)\ge 8\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 14$，即 $\phi \left(c\right)=1,2,4,6,8,10,12,14$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=21$，由引理3知(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=28$， $abc=29,58$，经检验，(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=4$ 时， $\phi \left(abc\right)=42$， $abc=43,49,86,98$，经检验，(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=6$ 时， $\phi \left(abc\right)=56$， $abc=87,116,174$，经检验，(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=8$ 时， $\phi \left(abc\right)=70$， $abc=71,142$，经检验，(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=10$ 时， $\phi \left(abc\right)=84$， $abc=129,147,172,196,258,294$，经检验，(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=12$ 时， $\phi \left(abc\right)=98$，不存在 $a,b,c$ 使得 $\phi \left(abc\right)=98$，所以(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=14$ 时，不存在c使得 $\phi \left(c\right)=14$，所以(1)无解。

1.3.2若 $\phi \left(a\right)=4$， $\phi \left(b\right)=4$ 时， $\phi \left(abc\right)=24+7\phi \left(c\right)\ge 16\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 2$，即 $\phi \left(c\right)=1,2$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=31$，由引理3知(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=38$，不存在 $a,b,c$ 使得 $\phi \left(abc\right)=38$，所以(1)无解。

1.3.3若 $\phi \left(a\right)=4$， $\phi \left(b\right)=6$ 时， $\phi \left(abc\right)=34+7\phi \left(c\right)\ge 24\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 2$，即 $\phi \left(c\right)=1,2$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=41$，由引理3知(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=48$， $abc=65,104,105,112,130,140,144,156,168,180,210$，经检验， $\left(a,b,c\right)=\left(5,7,3\right)$， $\left(5,7,4\right)$， $\left(8,7,3\right)$， $\left(5,7,6\right)$， $\left(5,9,4\right)$， $\left(5,14,3\right)$， $\left(10,7,3\right)$。

1.3.4若 $\phi \left(a\right)=4$， $\phi \left(b\right)\ge 8$ 时， $\phi \left(c\right)\le 1$，即 $\phi \left(c\right)=1$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)$ 是奇数，由引理3知(1)无解。

情形2当 $\left(\phi \left(a\right)-5\right)\left(\phi \left(b\right)-1\right)=0$ 时，有 $\phi \left(b\right)=1$， $\phi \left(a\right)$ 为任意数； $\phi \left(a\right)=5$， $\phi \left(b\right)$ 为任意数。

当 $\phi \left(a\right)=5$， $\phi \left(b\right)$ 为任意数时，由引理3知 $\phi \left(a\right)=5$ 不存在，所以(1)无解。

当 $\phi \left(b\right)=1$， $\phi \left(a\right)$ 为任意数时，此时(1)式为 $\phi \left(abc\right)=\phi \left(a\right)+5+7\phi \left(c\right)\ge \phi \left(a\right)\phi \left(c\right)$，即 $\left(\phi \left(a\right)-7\right)\left(\phi \left(c\right)-1\right)\le 12$。

2.1当 $\phi \left(c\right)=1$ 且 $\phi \left(a\right)$ 为任意时， $\phi \left(abc\right)=12+\phi \left(a\right)$，由引理4知， $\phi \left(bc\right)=1,2<12+1+1$，所以方程有正整数解。

2.1.1当 $\phi \left(a\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)$ 是奇数，由引理3知(1)无解。

2.1.2当 $\phi \left(a\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=14$，不存在 $a,b,c$ 使得 $\phi \left(abc\right)=14$，所以(1)无解。

2.1.3当 $\phi \left(a\right)=4$ 时， $\phi \left(abc\right)=16$， $a=5,8,10,12$，有 $\left(a,b,c\right)=\left(8,2,2\right)$， $\left(10,2,2\right)$， $\left(12,2,2\right)$。

2.1.4当 $\phi \left(a\right)=12$ 时， $\phi \left(abc\right)=24$， $a=13,21,26,28,36,42$，有 $\left(a,b,c\right)=\left(26,1,2\right)$， $\left(26,2,1\right)$， $\left(13,2,2\right)$， $\left(21,2,2\right)$， $\left(28,2,1\right)$， $\left(28,1,2\right)$， $\left(36,2,1\right)$， $\left(36,1,2\right)$， $\left(42,2,1\right)$， $\left(42,1,2\right)$。

2.2当 $\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(a\right)-7\le 12$，即 $\phi \left(a\right)=1,2,4,6,8,10,12,14,16,18$。

若 $\phi \left(a\right)=1$， $\phi \left(abc\right)=20$， $abc=25,33,44,50,66$，经检验，(1)无解。

若 $\phi \left(a\right)=2,4,6,8,10,12,14,16,18$， $\phi \left(abc\right)=19+\phi \left(a\right)$，由引理3知(1)无解。

2.3当 $\phi \left(c\right)=4$ 时， $\phi \left(a\right)-7\le 4$，即 $\phi \left(a\right)=1,2,4,6,8,10$。

若 $\phi \left(a\right)=1$， $\phi \left(abc\right)=34$，不存在 $a,b,c$ 使得 $\phi \left(abc\right)=34$，所以(1)无解。

若 $\phi \left(a\right)=2,4,6,8,10$， $\phi \left(abc\right)=33+\phi \left(a\right)$，由引理3知(1)无解。

2.4当 $\phi \left(c\right)=6$ 时， $\phi \left(a\right)-7\le 2$，即 $\phi \left(a\right)=1,2,4,6,8$。

若 $\phi \left(a\right)=1$， $\phi \left(abc\right)=48$， $abc=65,104,105,112,130,140,144,156,168,180,210$，经检验，(1)无解。

若 $\phi \left(a\right)=2,4,6,8$， $\phi \left(abc\right)=47+\phi \left(a\right)$，由引理3知(1)无解。

2.5当 $\phi \left(c\right)=8,10,12$ 时， $\phi \left(a\right)-7\le 1$，即 $\phi \left(a\right)=1,2,4,6,8$。

若 $\phi \left(a\right)=1$，不存在 $a,b,c$ 使得 $\phi \left(abc\right)$ 成立，所以(1)无解。

若 $\phi \left(a\right)=2,4,6,8$， $\phi \left(abc\right)$ 是奇数，由引理3知(1)无解。

2.6当 $\phi \left(c\right)\ge 14$ 时， $\phi \left(a\right)-7\le 0$，即 $\phi \left(a\right)=1,2,4,6$。

若 $\phi \left(a\right)=1$，不存在 $a,b,c$ 使得 $\phi \left(abc\right)$ 成立，所以(1)无解。

若 $\phi \left(a\right)=2,4,6$， $\phi \left(abc\right)$ 是奇数，由引理3知(1)无解。

情形3当 $\left(\phi \left(a\right)-5\right)\left(\phi \left(b\right)-1\right)=1$ 时，有 $\phi \left(a\right)=6$， $\phi \left(b\right)=2$，则 $\phi \left(abc\right)=16+7\phi \left(c\right)\ge 12\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 3$，即 $\phi \left(c\right)=1,2$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=23$，由引理3知(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=30$， $abc=31,62$，经检验，(1)无解。

情形4当 $\left(\phi \left(a\right)-5\right)\left(\phi \left(b\right)-1\right)=2$ 时，有 $\phi \left(a\right)=6$， $\phi \left(b\right)=3$ 或 $\phi \left(a\right)=7$， $\phi \left(b\right)=2$，由引理3知(1)无解。

情形5当 $\left(\phi \left(a\right)-5\right)\left(\phi \left(b\right)-1\right)=3$ 时，有 $\phi \left(a\right)=6$， $\phi \left(b\right)=4$ 或 $\phi \left(a\right)=8$， $\phi \left(b\right)=2$。

5.1 若 $\phi \left(a\right)=6$， $\phi \left(b\right)=4$，则 $\phi \left(abc\right)=26+7\phi \left(c\right)\ge 24\phi \left(c\right)$， $\phi \left(c\right)\le 1$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=33$，由引理3知(1)无解。

5.2 若 $\phi \left(a\right)=8$， $\phi \left(b\right)=2$，则 $\phi \left(abc\right)=18+7\phi \left(c\right)\ge 16\phi \left(c\right)$， $\phi \left(c\right)\le 2$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=25$，由引理3知(1)无解。

当 $\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=32$， $abc=51,64,68,80,96,102,120$，经检验，(1)无解。

情形6当 $\left(\phi \left(a\right)-5\right)\left(\phi \left(b\right)-1\right)=4$ 时，有 $\phi \left(a\right)=6$， $\phi \left(b\right)=5$ 或 $\phi \left(a\right)=9$， $\phi \left(b\right)=2$ 或 $\phi \left(a\right)=7$， $\phi \left(b\right)=3$，由引理3知(1)无解。

情形7当 $\left(\phi \left(a\right)-5\right)\left(\phi \left(b\right)-1\right)=5$ 时，有 $\phi \left(a\right)=6$， $\phi \left(b\right)=6$ 或 $\phi \left(a\right)=10$， $\phi \left(b\right)=2$。

7.1若 $\phi \left(a\right)=6$， $\phi \left(b\right)=6$，则 $\phi \left(abc\right)=36+7\phi \left(c\right)\ge 36\phi \left(c\right)$， $\phi \left(c\right)\le 1$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=43$，由引理3知(1)无解。

7.2若 $\phi \left(a\right)=10$， $\phi \left(b\right)=2$，则 $\phi \left(abc\right)=20+7\phi \left(c\right)\ge 20\phi \left(c\right)$， $\phi \left(c\right)\le 1$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=27$，由引理3知(1)无解。

情形8当 $\left(\phi \left(a\right)-5\right)\left(\phi \left(b\right)-1\right)=6$ 时，有 $\phi \left(a\right)=6$， $\phi \left(b\right)=7$ 或 $\phi \left(a\right)=11$， $\phi \left(b\right)=2$ 或 $\phi \left(a\right)=7$， $\phi \left(b\right)=4$ 或 $\phi \left(a\right)=8$， $\phi \left(b\right)=3$，由引理3知(1)无解。

情形9当 $\left(\phi \left(a\right)-5\right)\left(\phi \left(b\right)-1\right)=7$ 时，有 $\phi \left(a\right)=6$， $\phi \left(b\right)=8$ 或 $\phi \left(a\right)=12$， $\phi \left(b\right)=2$。

9.1若 $\phi \left(a\right)=6$， $\phi \left(b\right)=8$，则 $\phi \left(abc\right)=46+7\phi \left(c\right)\ge 48\phi \left(c\right)$， $\phi \left(c\right)\le 1$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=53$，由引理3知(1)无解。

9.2若 $\phi \left(a\right)=12$， $\phi \left(b\right)=2$，则 $\phi \left(abc\right)=22+7\phi \left(c\right)\ge 24\phi \left(c\right)$， $\phi \left(c\right)\le 1$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=29$，由引理3知(1)无解。

情形10当 $\left(\phi \left(a\right)-5\right)\left(\phi \left(b\right)-1\right)=8$ 时，有 $\phi \left(a\right)=6$， $\phi \left(b\right)=9$ 或 $\phi \left(a\right)=13$， $\phi \left(b\right)=2$ 或 $\phi \left(a\right)=7$， $\phi \left(b\right)=5$ 或 $\phi \left(a\right)=9$， $\phi \left(b\right)=3$，由引理3知(1)无解。

情形11当 $\left(\phi \left(a\right)-5\right)\left(\phi \left(b\right)-1\right)=9$ 时，有 $\phi \left(a\right)=6$， $\phi \left(b\right)=10$ 或 $\phi \left(a\right)=14$， $\phi \left(b\right)=2$ 或 $\phi \left(a\right)=8$， $\phi \left(b\right)=4$。

11.1 若 $\phi \left(a\right)=6$， $\phi \left(b\right)=10$，则 $\phi \left(abc\right)=56+7\phi \left(c\right)\ge 60\phi \left(c\right)$， $\phi \left(c\right)\le 1$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=63$，由引理3知(1)无解。

11.2若 $\phi \left(a\right)=14$， $\phi \left(b\right)=2$，则 $\phi \left(abc\right)=24+7\phi \left(c\right)\ge 28\phi \left(c\right)$， $\phi \left(c\right)\le 1$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=31$，由引理3知(1)无解。

11.3若 $\phi \left(a\right)=8$， $\phi \left(b\right)=4$，则 $\phi \left(abc\right)=28+7\phi \left(c\right)\ge 32\phi \left(c\right)$， $\phi \left(c\right)\le 1$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=35$，由引理3知(1)无解。

情形12当 $\left(\phi \left(a\right)-5\right)\left(\phi \left(b\right)-1\right)=10$ 时，有 $\phi \left(a\right)=6$， $\phi \left(b\right)=11$ 或 $\phi \left(a\right)=15$， $\phi \left(b\right)=2$ 或 $\phi \left(a\right)=7$， $\phi \left(b\right)=6$ 或 $\phi \left(a\right)=10$， $\phi \left(b\right)=3$，由引理3知(1)无解。

情形13当 $\left(\phi \left(a\right)-5\right)\left(\phi \left(b\right)-1\right)=11$ 时，有 $\phi \left(a\right)=6$， $\phi \left(b\right)=12$ 或 $\phi \left(a\right)=16$， $\phi \left(b\right)=2$。

13.1若 $\phi \left(a\right)=6$， $\phi \left(b\right)=12$，则 $\phi \left(abc\right)=66+7\phi \left(c\right)\ge 72\phi \left(c\right)$， $\phi \left(c\right)\le 1$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=73$，由引理3知(1)无解。

13.2若 $\phi \left(a\right)=16$， $\phi \left(b\right)=2$，则 $\phi \left(abc\right)=26+7\phi \left(c\right)\ge 32\phi \left(c\right)$， $\phi \left(c\right)\le 1$。

当 $\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=33$，由引理3知(1)无解。

情形14当 $\left(\phi \left(a\right)-5\right)\left(\phi \left(b\right)-1\right)=12$ 时，有 $\phi \left(a\right)=6$， $\phi \left(b\right)=13$ 或 $\phi \left(a\right)=17$， $\phi \left(b\right)=2$ 或 $\phi \left(a\right)=7$， $\phi \left(b\right)=7$ 或 $\phi \left(a\right)=11$， $\phi \left(b\right)=3$ 或 $\phi \left(a\right)=8$， $\phi \left(b\right)=5$ 或 $\phi \left(a\right)=9$， $\phi \left(b\right)=4$，由引理3知(1)无解。

综合上述结论可知(1)式共有18组正整数解，证毕。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(No. 11226038，11371012)，陕西省教育厅专项基金(14JK1311)。