基于改进的新陈代谢GM(1,1)模型对某岛海平面上升高度的预测

Prediction of Sea Level Rise of an Island Based on Improved Metabolic GM(1,1) Model

摘要: 以温室气体排放为主要原因的全球气候变暖直接导致了地球两级冰川融化，海平面正在以惊人的速度上升，越来越多海岛上的人们流离失所，成为气候难民。为预测某岛附近海平面变化情况，本文提出了改进的新陈代谢GM(1,1)模型，该模型在背景值上利用平方平均数进行预测。通过MATLAB软件，运用新陈代谢GM(1,1)模型与改进后新陈代谢GM(1,1)模型分别对某岛海平面变化情况进行预测及仿真分析，得到改进后的模型相对误差较小，优于传统模型。预测得到某岛海平面将保持持续上升趋势，到2060年，海平面高度将比1992年上升661.44 cm。

Abstract: Global warming, which is mainly caused by greenhouse gas emissions, has directly led to the melting of two-level glaciers on the earth. Sea level is rising at an alarming rate. More and more people on islands are displaced and become climate refugees. In order to predict the sea level change near an island, an improved metabolic GM(1,1) model is proposed in this paper. The model uses the square average to predict the background value. By using MATLAB software, the metabolic GM(1,1) model and the improved metabolism GM(1,1) model are used to predict and simulate the sea level change of an island. The results show that the relative error of the improved model is smaller than that of the traditional model. It is predicted that the sea level of an island will maintain a rising trend, and the sea level will rise by 661.44cm compared with that in 1992 until 2060.

1. 引言

地球是人类赖以生存的家园。但是，随着工业化时代的到来，人们对经济增长的欲望愈加膨胀，而忽略了环境的变化。当我们开始在保护环境的问题上审视自己，地球已经“遍体鳞伤”，同时大自然也用自己的威力报复着人类。由于全球气候变暖，冰川消融导致大量以固体形式存在的淡水汇聚进入海洋，不可避免地造成了海平面上升 [1]。气候变化引起的海平面上升会使海拔较低的岛屿面临淹没的风险。更严重的是，由于有的岛屿往往代表了一个国家，也许不久的将来，这样的岛屿国家将会在世界版图上永久的消失。调查研究显示，到了2100年，气候难民的人数能够达到20亿到30亿 [2]。为预测某岛附近海平面变化趋势，本文将对灰色预测新陈代谢GM(1,1)模型进行优化后，对某岛海平面高度变化进行预测。

2. GM(1,1)建模机理

灰色预测的解从数学上看，相当于幂级数的迭加，它包含了一般线性回归和幂级数回归的内容，故灰色预测模型优于一般的线性回归、非线性回归和指数曲线拟合，也好于确定性时间序列预测技术 [3]。

设某系统观测序列 $X^{\left(0\right)}=\left\{x^{\left(0\right)}\left(1\right),x^{\left(0\right)}\left(2\right),\cdots ,x^{\left(0\right)}\left(n\right)\right\}$，对该序列做一次累加生成得

$X^{\left(1\right)}=\left\{x^{\left(1\right)}\left(1\right),x^{\left(1\right)}\left(2\right),\cdots ,x^{\left(1\right)}\left(n\right)\right\}$

其中 $x^{\left(1\right)}\left(1\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{x}^{\left(0\right)}\left(i\right)}$， $k=1,2,\cdots ,n$，对该序列建立GM(1,1)白化微分方程式

$\frac{\text{d}{x}^{\left(1\right)}}{\text{d}t}+a{x}^{\left(1\right)}=b$ (1)

式中：a，b为待定的灰参数，用最小二乘法求出参数

${\left(a,b\right)}^{\text{T}}={\left(B^{\text{T}}B\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}Y$ (2)

式中： $B={\left[\begin{array}{cccc}-Z\left(2\right)& -Z\left(3\right)& \cdots & -Z\left(n\right)\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right]}^{\text{T}}$ ； $Y={\left[\begin{array}{cccc}{x}^{\left(0\right)}\left(2\right)& x^{\left(0\right)}\left(3\right)& \cdots & x^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right]}^{\text{T}}$ ； $Z\left(i\right)=\frac{x^{\left(1\right)}\left(i-1\right)+x^{\left(1\right)}\left(i\right)}{2}$，

$i=2,3,\cdots ,n$ 代入公式中即求得微分方程的解

${\hat{x}}^1\left(k\right)=\left(x^0\left(1\right)-\frac{b}{a}\right){\text{e}}^{-a\left(k-1\right)}+\frac{b}{a}$ (3)

最后累减还原得

${\hat{x}}^0\left(1\right)=x^{\left(1\right)}\left(1\right)$ (4)

${\hat{x}}^0\left(k\right)=\left(1-{\text{e}}^a\right)\left(x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{b}{a}\right){\text{e}}^{-a\left(k-1\right)}$， $k=2,\cdots ,n$ (5)

3. 新陈代谢GM(1,1)模型

从预测角度看，随着系统发展，传统的灰色预测的GM(1,1)模型对预测效果有一定的局限性，精度不能满足实际的要求，因为旧数据的信息价值逐步降低。若在机器学习过程中，在不断补充新信息的同时及时去掉旧信息，则预测结果更能反映系统目前的特征 [4]。新陈代谢GM(1,1)是传统GM(1,1)模型的优化形式，其模型是将最新信息置入并去掉最老信息，然后用新的样本来预测以提高精确度 [5] [6]。

新陈代谢GM(1,1)模型背景值为式子(6)。

$Z\left(i\right)=\frac{x^{\left(1\right)}\left(i-1\right)+x^{\left(1\right)}\left(i\right)}{2}$ (6)

该模型通过不断地迭代更新，优化了传统灰色预测的GM(1,1)模型的学习过程。

4. 改进的新陈代谢GM(1,1)模型

随着数据的不断变化增多，实际应用中需要预测更长时间的更多的数据。而新陈代谢GM(1,1)模型适合于预测比较临近的数据，因此针对不同的实际情况需要对新陈代谢GM(1,1)模型进行不同的改进。本文对新陈代谢GM(1,1)模型引进平方平均数，利用平方平均数的非负数且体现个体数据的优势代替算术平均数，对于差距较小的数据平方平均数和算术平均数的值相差无几，但对于差距较大的数据来讲，平方平均数会比算术平均数具有显著差别的特点，因此该模型引进不等式(7)。

$\frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ (7)

对模型中背景值进行优化 [7] [8]，因为平方后的大数据对结果影响会更大，这样改进的新陈代谢GM(1,1)模型对于长远估计(几十年)就会有很显著的效果，即改进后的背景值为方程(8)。

$Z\left(i\right)=\sqrt{\frac{{\left[x^{\left(1\right)}\left(i-1\right)\right]}^2+{\left[x^{\left(1\right)}\left(i\right)\right]}^2}{2}}$ (8)

5. 实例仿真分析

基于上述改进的模型，为了预测岛屿海平面上升是否威胁到岛上的居民，选用某岛进行海平面变化预测。查阅某岛海平面变化数据见表1。

Table 1. Sea level change data of an island (based on 1992)

表1. 某岛海平面变化数据(以1992年为基准)

5.1. 建立新陈代谢GM(1,1)模型

将前七组数据分为训练组，后三组分为实验组，以检验模型准确度。

原数据序列建模，得

$X^{\left(0\right)}=\left\{17.25,16.9,21.7,22.6,24.9,27.5,29.65\right\}$

可得参数估计值为

$\hat{a}={\left(B^{\text{T}}B\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}Y=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-0.09839\\ \text{15}\text{.8148}\end{array}\right]$

对应的时间相应式为

$\begin{array}{c}{\hat{x}}^1\left(k\right)=\left(x^0\left(1\right)-\frac{b}{a}\right){\text{e}}^{-a\left(k-1\right)}+\frac{b}{a}\\ =177.9858{\text{e}}^{0.09839\left(k-1\right)}-160.7358\end{array}$

即可求得序列8的模拟值33.21，然后对原数据更新，得

$X^{\left(0\right)}=\left\{16.9,21.7,22.6,24.9,27.5,29.65,33.21\right\}$

可得到序列9的模拟值35.81，再对原数据更新，得

$X^{\left(0\right)}=\left\{21.7,22.6,24.9,27.5,29.65,33.07,35.81\right\}$

即可求得序列10的模拟值41.98。

将选用的十组数据利用新陈代谢GM(1,1)模型进行仿真实验。其中前七组用于学习，后三组用于预测，依次得到序列8、序列9和序列10，数值如表2所示。可以清晰的看到新陈代谢GM(1,1)模型的预测效果。

Table 2. Error table of simulated sea level change data based on metabolic GM(1,1) model

表2. 基于新陈代谢GM(1,1)模型海平面变化数据模拟值误差表

平均相对误差 ${\Delta }_1=\frac{1}{3}{\displaystyle \underset{k=8}{\overset{10}{\sum }}=8.293\%}$。

5.2. 建立改进的新陈代谢GM(1,1)模型

将前七组数据分为训练组，后三组分为实验组，以检验模型准确度。

原数据序列建模，得

$X^{\left(0\right)}=\left\{17.25,16.9,21.7,22.6,24.9,27.5,29.65\right\}$

可得参数估计值为

$\hat{a}={\left(B^{\text{T}}B\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}Y=\left[\begin{array}{l}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-0.098911\\ \text{15}\text{.6733}\end{array}\right]$

对应的时间相应式为

$\begin{array}{c}{\hat{x}}^1\left(k\right)=\left(x^0\left(1\right)-\frac{b}{a}\right){\text{e}}^{-a\left(k-1\right)}+\frac{b}{a}\\ =175.7086{\text{e}}^{0.098911\left(k-1\right)}-158.4586\end{array}$

即可求得序列8的模拟值33.07，然后对原数据更新，得

$X^{\left(0\right)}=\left\{16.9,21.7,22.6,24.9,27.5,29.65,33.07\right\}$

可得到序列9的模拟值35.58，再对原数据更新，得

$X^{\left(0\right)}=\left\{21.7,22.6,24.9,27.5,29.65,33.07,35.58\right\}$

即可求得序列10的模拟值39.03。

将选用的十组数据利用改进的新陈代谢GM(1,1)模型进行仿真实验。其中前七三组用于学习，后三组用于预测，依次得到序列8、序列9和序列10，数值如表3所示。可以清晰的看到改进的新陈代谢GM(1,1）模型的预测的序列8和序列9的残差和相对误差和新陈代谢GM(1,1)模型的预测的差不多，而对于序列10的预测改进的新陈代谢GM(1,1)模型的预测效果要比新陈代谢GM(1,1)模型的预测效果好很多。

Table 3. Error table of simulated sea level change data based on improved metabolic GM(1,1) model

表3. 基于改进的新陈代谢GM(1,1)模型海平面变化数据模拟值误差表

平均相对误差 ${\Delta }_2=\frac{1}{3}{\displaystyle \underset{k=8}{\overset{10}{\sum }}=5.28\%}$。

5.3. 改进的新陈代谢GM(1,1)模型与新陈代谢GM(1,1)模型对比分析

比较两种模型平均相对误差，可以看出，使用改进后的模型来预测海平面的变化能更加精确。

将利用2010年到2019年海平面的真实数据作为实验数据，利用利用改进的新陈代谢GM(1,1)模型进行仿真实验。对2020年到2029这十年海平面的高度进行模拟预测，海平面高度变化情况如图1所示。使用改进后新陈代谢GM(1,1)模型对未来10年海平面数据进行预测，结果如表4所示。

基于直到2029年的预测数据，本文利用改进的新陈代谢GM(1,1)模型对此岛海平面变化又做了一个长远的预测，即2030年、2040年、2050年、2060年海平面变化情况，如表5所示。

Table 4. Prediction data table of sea level change data based on improved metabolism GM(1,1) model

表4. 基于改进后新陈代谢GM(1,1)模型对海平面变化数据预测数据表

Table 5. Long term prediction data table of sea level change data based on improved metabolism GM(1,1) model

表5. 基于改进后新陈代谢GM(1,1)模型对海平面变化数据长远预测数据表

Figure 1. Prediction results of sea level change data based on improved metabolic GM(1,1) model

图1. 基于改进后新陈代谢GM(1,1)模型对海平面变化数据预测结果图

6. 结论

本文分别建立新陈代谢GM(1,1)模型和改进的新陈代谢GM(1,1)模型对某岛海平面变化进行预测。通过分析模型平均相对误差，得出使用改进后的新陈代谢GM(1,1)模型预测更加精确。某岛附近海平面将保持持续上升趋势，到2029年，海平面高度将比1992年上升79.66 cm；到2060年，海平面高度将比1992年上升661.44 cm，足以将岛屿淹没，有关部门应提前提出政策以避免更多的难民出现。虽然改进后的模型预测效果比较好，但其仍旧有较大误差，降低误差还需要今后做更深层次的改进与优化。