正交及等距反射向量在lp空间的应用

Application of Orthogonal and Isometric Reflection Vectors in lp Space

摘要: 在本文中，我们首先考虑有限维赋范线性空间中的正交基在l_p空间与Birkhoff正交的相关联系，其次考虑等距反射向量和L₂被加项向量在具体的lp空间中的联系以及当扩展到Hilbert空间中的一些性质变化。

Abstract: In this paper, we first consider the relationship between the orthogonal basis in the finite-dimensional normed linear space and the Birkhoff orthogonality in the l_p space, and then consider the relationship between the isometric reflection vector and L₂-summand vectors in the specific l_p space and some property changes when it is extended to Hilbert space.

1. B_i正交在l_p空间的应用

在本文中，我们将关注Birkhoff正交。假设X为赋范线性空间且 $x,y\in X$。若对于任意的 $\alpha \in ℝ$，都有 $\Vert x+\alpha y\Vert \ge \Vert x\Vert$，那么就称作x Birkhoff正交于y，记为 $x{\perp }_{B}y$。M和N是X的两个子空间，若对于任意的 $x\in M$ 且 $y\in N$，都有 $x{\perp }_{B}y$，则称M Birkhoff正交于N，记为 $M{\perp }_{B}N$。特别地， $\langle \left\{x\right\}\rangle {\perp }_{B}N$ 和 $M{\perp }_B\langle \left\{y\right\}\rangle$ 被分别简记为 $x{\perp }_{B}N$ 和 $M{\perp }_{B}y$。又Birkhoff正交总是齐次的，即 $x{\perp }_{B}y$ 意味着对于任意的实数 $\alpha$ 和 $\beta$ 都有 $\alpha x{\perp }_B\beta y$。然而，Birkhoff正交通常不是对称的，即 $x{\perp }_{B}y$ 并不意味着 $y{\perp }_{B}x$。一个维数大于或等于3的实赋范线性空间为内积空间当且仅当Birkhoff正交是对称的 [1] [2]。更多有关Birkhoff正交的细节可见 [1] - [6]。

若满足 ${\Vert \cdot \Vert }_1\le \Vert \cdot \Vert \le {\Vert \cdot \Vert }_{\infty }$，则称 ${ℝ}^n$ 上的一个范数 $\Vert \cdot \Vert$ 是标准的。记 $N{N}_n$ 为 ${ℝ}^n$ 上所有标准范数的全体。在以往的文献 [7] 中，已表明每个n维赋范线性空间都是与拥有标准范数的 ${ℝ}^n$ 空间是等度同构的。若 $n=2$，结果可参考文献 [8]。它在本质上基于文献 [4] 中的以下结论：

对于每个有一组基 $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}\subset S_X$ 的n维赋范线性空间X，对于所有的 $k=1,2,\cdots ,n$，有

$\left(B_1\right)e_k{\perp }_B{M}_k$， $M_k=\langle \left\{e_1,\cdots ,e_{k-1},e_{k+1},\cdots ,e_n\right\}\rangle$

然而，如前所述， $e_k{\perp }_B{M}_k$ 与 $M_k{\perp }_B{e}_k$ 并不等价。因此，考虑满足以下条件的一组基 $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}\subset S_X$ ：

对于所有的 $k=1,2,\cdots ,n$，有

$\left(B_2\right)M_k{\perp }_B{e}_k$， $M_k=\langle \left\{e_1,\cdots ,e_{k-1},e_{k+1},\cdots ,e_n\right\}\rangle$

当满足条件 $\left(B_i\right)\left(i=1,2\right)$ 时，我们称n维赋范线性空间的一组基 $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}$ 是 $B_i$ 正交的，当其满足 $B_i$ 正交且标准，即 $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}\subset S_X$ 时，称其为 $B_i$ 标准正交的。

假设1.1 设X是n维赋范线性空间且 $\left\{e_1,\cdots ,e_n\right\}$ 是X的一组标准基。那么，就有以下等价关系：

(i) $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}$ 是 $B_1$ 标准正交的；

(ii) 不等式

$\Vert {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_i{e}_i}\Vert \ge \underset{1\le i\le n}{\max }\left|a_i\right|$

对所有 $\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\in {ℝ}^n$ 都成立。

证明仅考虑对于每一个 $k=1,2,\cdots ,n$， $e_k{\perp }_B\left[{\left\{e_i\right\}}_{i\ne k}\right]$ 当且仅当

$\Vert {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_i{e}_i}\Vert =\Vert a_k{e}_k+{\displaystyle \underset{i\ne k}{\sum }{a}_i{e}_i}\Vert \ge \left|a_k\right|$

对于所有 $\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\in {ℝ}^n$ 都成立。显然，(i)和(ii)等价。

假设1.2 设X是一个n维赋范线性空间且 $\left\{e_1,\cdots ,e_n\right\}$ 是X的一组标准基。那么，就有以下等价关系：

(i) $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}$ 是 $B_1$ 标准正交的；

(ii) 不等式

$\Vert {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_i{e}_i}\Vert \ge \underset{1\le k\le n}{\max }\Vert {\displaystyle \underset{i\ne k}{\sum }{a}_i{e}_i}\Vert$

对所有 $\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\in {ℝ}^n$ 都成立。

证明设 $i=1,2,\cdots ,n$。由于 $\left[\left\{e_1,\cdots ,e_{k-1},e_{k+1},\cdots ,e_n\right\}\right]{\perp }_B{e}_k$ 当且仅当

$\Vert {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_i{e}_i}\Vert \ge \Vert {\displaystyle \underset{i\ne k}{\sum }{a}_i{e}_i}\Vert$

对于所有 $\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\in {ℝ}^n$ 都成立。于是可得(i)与(ii)等价。

接下来考虑条件 $\left(B_1\right)$ 和 $\left(B_2\right)$ 之间的关系。下述引理是条件 $\left(B_2\right)$ 的重要特性描述。其证明易得，故省略。

引理1.3 设 $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}$ 是n维赋范线性空间的一组 $B_2$ 正交基，那么

$\Vert {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_i{e}_i}\Vert =\max \left\{\Vert {\displaystyle \underset{i\in A}{\sum }{a}_i{e}_i}\Vert :A\subset \left\{1,2,\cdots ,n\right\}\right\}$

对于所有 $\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\in {ℝ}^n$ 都成立。

这意味着如果 $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}$ 是 $B_2$ 正交的，X上的任意自然投影都有范数1。那么， $B_2$ 标准正交基可被视为一维无条件基的有限维版本。

由前述引理，可以直接得出以下结论。

定理1.4 令X是n维实赋范线性空间。假设 $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}$ 是X的范数基。有以下成立：

(i) 若 $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}$ 是 $B_2$ 正交的，则它也是 $B_1$ 正交的；

(ii) 在 $l_p^2$ 空间， $\left\{e_1,e_2\right\}$ 是 $B_2$ 正交，同时也是 $B_1$ 正交的。

但在 $l_p^3$ 空间， $B_1$ 正交则不能推出 $B_2$ 正交，有以下证明：

我们的目的是证在 $l_p^3$ 空间中， $B_1$ 无法推得 $B_2$。

证明 $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}$ 是 ${ℝ}^n$ 中的一组标准单位向量，赋予 ${ℝ}^n$ 上的范数，

$\Vert \left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\Vert =\sqrt[p]{{\left|x_1\right|}^p+{\left|x_2\right|}^p+\cdots +{\left|x_n\right|}^p}$

$i\ge 2$ 时， $\Vert \left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\Vert \ge \Vert x_i\Vert$ 显然成立。

对于 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\in l_p^3$，因此 $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}$ 满足 $B_1$ 正交条件。

然而

$\Vert \left(-1,1,\cdots ,1\right)\Vert =\sqrt[p]{n}<\sqrt[p]{n-1}=\Vert \left(0,1,\cdots ,1\right)\Vert$

因此 $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}$ 不满足 $B_2$ 正交条件，因此得出结论，在 $l_p^3$ 空间中 $B_1$ 正交无法推出 $B_2$ 正交。

2. 等距反射向量和正交性在空间上的表示

下面，我们讨论等距反射向量和空间之间的联系。

X上的反射是一个定义如下的运算：

$T_{x,x^{*}}:z\to z-2x^{*}\left(z\right)\cdot x$， $x\in X$， $x^{*}\in X^{*}$，并且 $x^{*}\left(x\right)=1$。

令x是 $S_X$ 中的一个点，如果存在着点 $x^{*}\in S_{X^{*}}$，使得映射 $T_{x,x^{*}}$ 是一个等距映射，那么则称x是一个等距反射向量，并且 $x^{*}$ 称为一致等距反射函数。

对于任意的等距反射向量x，都存在着唯一的 $x^{*}$ 与之对应 [9]。在研究等距反射向量和Roberts正交关系中，有以下引理证明：

引理 2.1 假设X是一个实Banach空间， $x\in S_X$， $x^{*}\in S_X$，且 $T_{x,x^{*}}$ 是一个反射。那么， $T_{x,x^{*}}$ 是一个等距反射当且仅当 $x{\perp }_{R}H:=\left\{z:z\in X,x^{*}\left(z\right)=0\right\}$ 成立。

引理 2.2 若 $x\in H_X$ 是 $S_X$ 的光滑点，那么x是一个等距反射向量，因此，x Roberts正交于一个超平面。

由引理2.1的证明就足以表明x Roberts正交于一个超平面。由于x是一个光滑点，因而存在一个唯一的超平面H使得 $x{\perp }_{B}H$。

接下来我们将证明 $x{\perp }_{R}H$ ：

对于任意一个向量 $z\in H\backslash \left\{o\right\}$，存在一个单位向量 $z^{\prime }\in X_{x,z}$，使得

$x{\perp }_I{z}^{\prime }$

由 $x\in H_X$ 得出 $x{\perp }_R{z}^{\prime }$，可知

$x{\perp }_B{z}^{\prime }$

又因为x是一个光滑点，总有

$z/\Vert z\Vert =z^{\prime }$ 或 $z/\Vert z\Vert =-z^{\prime }$

成立。

因此

$x{\perp }_{R}z$

$z=0$ 的情况可以忽略不计。

假设M是X的一个闭的子空间。若存在X的另一个闭子空间N使得 $X=M\oplus N$ 且对每一对 $m\in M$ 和 $n\in N$ 的点，都有等式

${\Vert m+n\Vert }^2={\Vert m\Vert }^2+{\Vert n\Vert }^2$ (1)

成立。

那么M就被称作是一个L₂被加项子空间 [10]。需注意到当M是一个L₂被加项子空间时，N是唯一且确定的。

设x为X中的一个点，若由x张成的子空间是一个L₂被加项子空间，那么x就被称为L₂被加项向量。

定理 2.3 令X为 $l_p^2$ 空间，那么X是Hilbert空间的充分必要条件是： $S_X$ 中的 $H_X$ 的相对内部非空。

证明反证法如果X是一个Hilbert空间，因此有等腰正交和Roberts正交是一致的，则有

$H_X=S_X$

现假设 $S_X$ 上的 $H_X$ 的相对内部记为Q，它是非空的。通过文献 [9] 中的定理2.2，有Q中的每一个点x都是等距反射向量。

由引理2.2可知，我们需让Q中的每一个点都是光滑点。

$\forall x\in Q$，假设x不是光滑点，存在一个二维子空间Y，使x不是 $S_Y$ 中的光滑点。令 $u\in S_Y$，假设 $x{\perp }_{B}u$。

因为x是Q的相对内部中的点，它也是 $Q\cap S_Y$ 的相对内部的点。因此，存在两个点，w和v，

$arc\left(w,v\right)=\left\{\alpha w+\beta v,\alpha ,\beta \ge 0\right\}\cap S_Y\subset Q$

不失一般性， $v\in arc\left\{x,u\right\}$， $arc\left\{w,v\right\}/\left\{x\right\}$ 是光滑点。存在 ${\lambda }_0\ge 0$， ${\mu }_0\le 0$，使

$w{\perp }_B\left({\lambda }_{0}x+u\right)$， $v{\perp }_B\left({\mu }_{0}x+u\right)$

$B_Y$ 的支撑线与穿过u的线相交，并且平行于 $\left(-x,x\right)$。

$\left\{w_n\right\}\subset arc\left(w,x\right):=\left\{\alpha w+\beta x,\alpha ,\beta >0\right\}\cap S_Y$

$\left\{v_n\right\}\subset arc\left(v,x\right):=\left\{\alpha v+\beta x,\alpha ,\beta >0\right\}\cap S_Y$

且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{w}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n=x$。

存在 $\left\{{\lambda }_n\right\}$ 和 $\left\{{\mu }_n\right\}$

$u_n{\perp }_B\left({\lambda }_{n}x+u\right)$， $v_n{\perp }_B\left({\mu }_{n}x+u\right)$

不失一般性，假设存在两个点M和N，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\lambda }_n=N$， $\underset{n\to \infty }{\lim }{\mu }_n=M$

因为 $S_Y$ 是一个闭的凸曲线， $N\ge M$，

$x{\perp }_B\left(Nx+u\right)$， $x{\perp }_B\left(Mx+u\right)$

因为x不是光滑点， $N>M$，由Roberts正交可推出Birkhoff正交。

$w_n{\perp }_R\left({\lambda }_{n}x+u\right)$， $v_n{\perp }_R\left({\mu }_{n}x+u\right)$

$w_n{\perp }_I\left({\lambda }_{n}x+u\right)$， $v_n{\perp }_I\left({\mu }_{n}x+u\right)$

因此

$x{\perp }_I\left(Nx+u\right)$， $x{\perp }_I\left(Mx+u\right)$

因为 $x\in H_x$，有

$x{\perp }_I\left(\frac{Nx+u}{\Vert Nx+u\Vert }\right)$， $x{\perp }_I\left(\frac{Mx+u}{\Vert Mx+u\Vert }\right)$

根据等腰正交在单位圆上的唯一性，这是矛盾的，所以可知x是光滑点。

3. 结论

本文解决了Birkhoff正交在l_p空间上与正交基相关联的一些问题，为了进一步刻画，考虑了B₁正交和B₂正交在有限赋范线性空间上的关系。除此之外，得出了等距反射向量和L₂被加项向量从l_p空间扩展到Hilbert空间上的一些性质变化。

NOTES

^*通讯作者。