矩阵在高中数学中的作用

The Role of Matrix in the High School Mathematics

摘要: 基于高中数学对矩阵的要求，从知识层面与思想层面对矩阵进行挖掘，使矩阵更好地融入高中数学。

Abstract: Based on the demand of high school on math matrix, digging matrix from the knowledge level and ideological level makes matric better in high school mathematics.

1. 引言

由于江苏高考试卷题型的相对固定，特别是附加题第一题，对于矩阵板块的考察相对集中在二阶矩阵的特征值、特征向量、逆矩阵、矩阵运算以及坐标变换几块内容。

例1、(2015年江苏高考)已知 $x,y\in R$，向量 $\alpha =\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$ 是矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}x& 1\\ y& 0\end{array}\right]$ 的属于特征值−2的一个特征

向量，求矩阵A以及它的一个特征向量。

例2、(2016年江苏高考)已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -2\end{array}\right]$，矩阵B的逆矩阵 $B^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -\frac{1}{2}\\ 0& 2\end{array}\right]$，求矩阵AB。

例3、(2017年江苏高考)已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$， $B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$。

(1) 求AB；

(2) 若曲线 $C_1:\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$ 在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C₂，求C₂的方程。

例4、(2018年江苏高考)已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right]$。

(1) 求A的逆矩阵 $A^{-1}$ ；

(2) 若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点 $P^{\prime }\left(3,1\right)$，求点P的坐标。

例5、(2019年江苏高考)已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right]$。

(1) 求A²。

(2) 求矩阵A的特征值。

从最近五年就可以看出高考对矩阵的考察都集中在二阶矩阵的层面上，而矩阵模块属于选修课程，要求相对简单。《普通高中数学课程标准》 [1] 根据学生自身志趣将其分为A、B、C、D、E五类，分别是有志于学习数理类、有志于学习经济或社会类、有志于学习人文类、有志于学习体育艺术类以及特色课程与大学先修课程，其中A、B类涉及矩阵，都要求掌握三阶行列式的概念、基本运算、性质以及行列式的定义域计算。而如今苏教版的选修课本集中在二阶矩阵且疏于利用矩阵这一工具，以下便来探究矩阵在高中数学中的用武之地。

2. 矩阵在知识层面的指导

2.1. 克拉默法则 [2]

对于有唯一解的二元线性方程组

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2=b_2\end{array}$

当 $a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\ne 0$ 时，解为

$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{b_1{a}_{22}-a_{12}{b}_2}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}}\\ x_2=\frac{a_{11}{b}_2-a_{21}{b}_1}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}}\end{array}$

方程组根据矩阵的定义可以写成

$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right]$

当 $\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\ne 0$ 时，解为

$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{\left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|}\\ x_2=\frac{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|}\end{array}$

由此，对于三元线性方程组有相仿的结论

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3=b_2\\ a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3=b_3\end{array}$

当 $\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\ne 0$ 时

解为

$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{b}_1& a_{12}& a_{13}\\ b_2& a_{22}& a_{23}\\ b_3& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|}\\ x_2=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& b_1& a_{13}\\ a_{21}& b_2& a_{23}\\ a_{31}& b_3& a_{33}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|}\\ x_3=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& b_2\\ a_{31}& a_{32}& b_3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|}\end{array}$

这个方法就叫做克拉默法则，只不过这里是简单的特例，而课本只给出了二阶行列式的计算，下面我们来探究三阶行列式的计算方法。

(1) 三阶行列式的计算 [2]

定义1 由 $1,2,3,\cdots ,n$ 组成的一个有序数组称为一个n级排列，例如213是一个三级排列。

定义2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，例如213中21为逆序，逆序数为1。排列 $j_1{j}_2\cdots j_n$ 的逆序数记作 $\tau \left(j_1{j}_2\cdots j_n\right)$。

定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列则称为奇排列。

定义4 n级行列式 $\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{nn}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$ 等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积 $a_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$ 的代数

和，可写成 ${\displaystyle {\sum }_{j_1{j}_2\cdots j_n}{\left(-1\right)}^{\tau \left(j_1{j}_2\cdots j_n\right)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}}$,这里的 $j_1{j}_2\cdots j_n$ 是 $1,2,3,\cdots ,n$ 的一个排列，其中 $\tau \left(j_1{j}_2\cdots j_n\right)$ 称为逆序数。

对于三阶行列式 $\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$，由定义4得

$\begin{array}{c}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|={\left(-1\right)}^{\tau \left(123\right)}{a}_{11}{a}_{22}{a}_{33}+{\left(-1\right)}^{\tau \left(132\right)}{a}_{11}{a}_{23}{a}_{32}+{\left(-1\right)}^{\tau \left(213\right)}{a}_{12}{a}_{21}{a}_{33}\\ +{\left(-1\right)}^{\tau \left(213\right)}{a}_{12}{a}_{21}{a}_{33}+{\left(-1\right)}^{\tau \left(312\right)}{a}_{13}{a}_{21}{a}_{32}+{\left(-1\right)}^{\tau \left(321\right)}{a}_{13}{a}_{22}{a}_{31}\end{array}$

经过整理得

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|$

在掌握了三阶行列式的求法之后，对于有计算量的三元一次方程组的解决有了很好的指导。

2.2. 平面向量基本定理 [3]

如果 $e_1$， $e_2$ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 $a$，有且仅有一对实数 ${\lambda }_1$， ${\lambda }_2$，使 $a={\lambda }_1{e}_1+{\lambda }_2{e}_2$

反之，如果存在一对实数 ${\lambda }_1$， ${\lambda }_2$，使 $a={\lambda }_1{e}_1+{\lambda }_2{e}_2$，若 ${\lambda }_1{\lambda }_2\ne 0$ 时，因为 ${\lambda }_1{e}_1\parallel e_1$， ${\lambda }_2{e}_2\parallel e_2$，由平行四边形法则知 $a$， $e_1$， $e_2$ 共面。

定义5 [4] 对于 $n\left(n\ge 1\right)$ 个向量 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$,如果存在不全为0的n个数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 使得

${\lambda }_1{a}_1+{\lambda }_2{a}_2+\cdots +{\lambda }_n{a}_n=0$,

那么n个向量 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 叫做线性相关，不是线性相关的向量叫做线性无关。

定理1三向量共面的充要条件是他们线性相关。

证明：必要性

已知三向量 $a_1,a_2,a_3$ 共面，由平面向量基本定理得有且仅有一对实数 ${\lambda }_1$， ${\lambda }_2$，使 $a_3={\lambda }_1{a}_1+{\lambda }_2{a}_2$，则 $a_3-{\lambda }_1{a}_1-{\lambda }_2{a}_2=0$，因为 $1\ne 0$，则 $a_1,a_2,a_3$ 线性相关。

充分性

已知三向量 $a_1,a_2,a_3$ 线性相关，则存在不全为0的实数 ${\lambda }_1$， ${\lambda }_2$， ${\lambda }_3$，使得

${\lambda }_1{a}_1+{\lambda }_2{a}_2+{\lambda }_3{a}_3=0$

不妨设 ${\lambda }_1\ne 0$，则

$a_1=-\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}{a}_2-\frac{{\lambda }_3}{{\lambda }_1}{a}_3$

由平面向量基本定理得三向量 $a_1,a_2,a_3$ 共面。

定理2设三个非零向量 $a_1,a_2,a_3$ 坐标分别为 $\left(x_1,y_1,z_1\right)$， $\left(x_2,y_2,z_2\right)$， $\left(x_3,y_3,z_3\right)$，则三个向量共面的充要条件是

$\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|=0$

证明：因为三个向量 $e_1$, $e_2$， $a$ 共面，则必有一个向量可以表示成另外两个向量的线性组合，则三个非零向量线性相关，存在不全为0的实数 ${\lambda }_1$， ${\lambda }_2$， ${\lambda }_3$，使得

${\lambda }_1{a}_1+{\lambda }_2{a}_2+{\lambda }_3{a}_3=0$

则

$\{\begin{array}{l}{\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2+{\lambda }_3{x}_3=0\\ {\lambda }_1{y}_1+{\lambda }_2{y}_2+{\lambda }_3{y}_3=0\\ {\lambda }_1{z}_1+{\lambda }_2{z}_2+{\lambda }_3{z}_3=0\end{array}$

把它看作 ${\lambda }_1$， ${\lambda }_2$， ${\lambda }_3$ 的三元线性方程组，因为三个实数均0为方程组的一个解，由克拉默法则在三元线性方程组中的运用知

$\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|=0$

2.3. 命题的应用

例1求

$\{\begin{array}{l}4x_1+2x_2+x_3=5\\ 2x_1-x_2+x_3=4\\ 2x_1+x_2+x_3=0\end{array}$

的解。

解：令

$D=\left|\begin{array}{ccc}4& 2& 1\\ 2& -1& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right|=4\times \left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right|-2\times \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right|+1\times \left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 2& 1\end{array}\right|=-4\ne 0$

$D_1=\left|\begin{array}{ccc}5& 2& 1\\ 4& -1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=5\times \left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right|-2\times \left|\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 1\end{array}\right|+1\times \left|\begin{array}{cc}4& -1\\ 0& 1\end{array}\right|=-14$

$D_2=\left|\begin{array}{ccc}4& 5& 1\\ 2& 4& 1\\ 2& 0& 1\end{array}\right|=4\times \left|\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 1\end{array}\right|-5\times \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right|+1\times \left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 2& 0\end{array}\right|=8$

$D_3=\left|\begin{array}{ccc}4& 2& 5\\ 2& -1& 4\\ 2& 1& 0\end{array}\right|=4\times \left|\begin{array}{cc}-1& 4\\ 1& 0\end{array}\right|-2\times \left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 2& 0\end{array}\right|+5\times \left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 2& 1\end{array}\right|=20$

则

$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{D_1}{D}=\frac{7}{2}\\ x_2=\frac{D_2}{D}=-2\\ x_3=\frac{D_3}{D}=-5\end{array}$

例2如果向量 $a=\left(1,\lambda ,2\right),b=\left(2,-1,2\right),c=\left(1,4,4\right)$ 共面，求 $\lambda$ 的值。

解：因为三个向量共面，则

$\left|\begin{array}{ccc}1& \lambda & 2\\ 2& -1& 2\\ 1& 4& 4\end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{ccc}1& \lambda & 2\\ 2& -1& 2\\ 1& 4& 4\end{array}\right|=1\times \left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ 4& 4\end{array}\right|-\lambda \times \left|\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 4\end{array}\right|+2\times \left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 4\end{array}\right|=-12-6\lambda +18=0$

则

$\lambda =1$

第一题运用了克拉默法则，第二题运用了向量共面时行列式的性质，从这两道题就可以看出矩阵作为数学工具的优越性，只有让学生意识到矩阵学习的必要性与优越性，才能达到要有的效果。

3. 矩阵在思想层面的指导

3.1. 矩阵体现了从一般到特殊，再从特殊到一般的数学思想

以克拉默法则和向量共面的性质为例，定理和结论的给出都是用一般字母表示，给出一个共性的答案，对应具体的题目只要将具体的数值代入即可。求解三阶行列式，利用定义将其化为二阶行列式来计算，体现了化简的过程。

3.2. 矩阵体现了归纳、抽象的数学思想

课本上我们学习的基本上都是二阶矩阵，而2017版课标要求掌握三阶矩阵的一般性质与用法，我们可以从二阶演绎推理出三阶的情形，进而可以推广到n阶的情形。

3.3. 矩阵体现了数形结合的思想

向量共面这一几何性质通过数学抽象与代数建立直接的联系，运用三阶矩阵轻而易举地解决这一问题，所以几何代数化、代数几何化都是解决问题的重要手段。

4. 结语

矩阵的工具性与思想性在高中数学的应用中具有重要的作用，本文从这两方面进行探究。矩阵作为一种数学工具可以在高中数学更多的领域中得以发挥作用，同时对学生的数学思维的培养具有促进的效果，希望我们能够将矩阵更好地融入高中数学。