第二积分中值定理的一个非常规证明

An Unconventional Proof of the Second Integral Mean Value Theorem

摘要: 第二积分中值定理是与第一积分中值定理相互独立的一个定理，属于积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。在数学竞赛及考研试题中经常会出现涉及第二积分中值定理的题目。本文我们通过Weierstrass逼近定理，利用Bernstein多项式来证明积分第二中值定理。

Abstract: The second integral mean value theorem is an independent theorem from the first integral mean value theorem, which belongs to the integral mean value theorem. It can be used to prove the Riemann integral criterion for Dirichlet Abel anomaly. In mathematics competition and postgraduate entrance examination, there are often problems related to the second integral mean value theorem. In this paper, we prove the second mean value theorem of integrals by using the Weierstrass approximation theorem and Bernstein polynomials.

定理1：Weierstrass第一逼近定理 [1]

设 $f\left(x\right)$ 是闭区间 $\left[a,b\right]$ 上的连续函数，则对任意给定的 $\epsilon >0$，存在多项式 $P\left(x\right)$，使得 $\left|P\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon$ 对于一切 $x\in \left[a,b\right]$ 成立。

注意：

一般书上提到Weierstrass第一逼近定理时，都是构造Bernstein多项式 $B_n\left(f,x\right)$ 来证明，但是却未提到Bernstein多项式的性质。虽然随着n的增长， $B_n\left(f,x\right)$ 逼近 $f\left(x\right)$ 的速度是十分缓慢的，其在数值计算的应用上是没有前途的，但是逼近多项式的性质有时比逼近速度更重要，Bernstein多项式的“一致收念性”和“保形性”是十分有用的。下面介绍这两种性质，并用来证明积分第二中值定理。

顺便提一下，如果把该定理中的闭区间 $\left[a,b\right]$ 换成开区间或者无穷区间，则定理就不再成立，大家可以尝试举出反例。

定义1：Bernstein多项式

设 $f:\left[0,1\right]\to R$，称 $B_n\left(f;x\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}f}\left(\frac{i}{n}\right)\left(\begin{array}{l}n\hfill \\ i\hfill \end{array}\right)x^i{\left(1-x\right)}^{n-i}$ 为f的n次Bernstein多项式。

注意：Bernstein多项式是定义在 $\left[0,1\right]$ 上的。

命题1：一致收敛性 [2]

设f是 $\left[0,1\right]$ 上的连续函数，则f的Bernstein多项式在 $\left[0,1\right]$ 上一致收敛于f。

命题2：保形性

(1) $B_n\left(f;0\right)=f\left(0\right),B_n\left(f;1\right)=f\left(1\right)$ ；

(2) 如果 $f\ge 0$ 那么 $B_n\left(f\right)\ge 0$，如果 $f\le 0$，那么 $B_n\left(f\right)\le 0$ ；

(3) 如果f递增(减)，那么 $B_n\left(f\right)$ 也递增(减)；

(4) 如果f是上凸(下凸)函数，那么 $B_n\left(f\right)$ 也是上凸(下凸)函数。

注意：对于定义在 $\left[a,b\right]$ 上的连续函数f，可以通过变换 $x=a+t\left(b-a\right)$ 进行区间标准化,这时变换后的函数就可以利用Bernstein多项式逼近，变换回来后Bernstein多项式仍然保持原来优良的性质，所以用来逼近连续函数f的函数仍然具有一致连续性和保形性。

下面我们利用Bernstein多项式来证明积分第二中值定理。

定理2：积分第二中值定理

设 $f\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上可积， $g\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上单调,则存在 $\xi \in \left[a,b\right]$，使得

${\displaystyle {\int }_a^{b}f}\left(x\right)g\left(x\right)\text{d}x=g\left(a\right){\displaystyle {\int }_a^{\xi }f}\left(x\right)\text{d}x+g\left(b\right){\displaystyle {\int }_{\xi }^{b}f}\left(x\right)\text{d}x$。

证明：先对f和g是光滑函数的情形证明积分第二中值定理。设 $F\left(x\right)={\displaystyle {\int }_a^{x}f}\left(t\right)\text{d}t$，则由分部积分和积分第一中值定理

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_a^{b}f}\left(x\right)g\left(x\right)\text{d}x={F\left(x\right)g\left(x\right)|}_a^b-{\displaystyle {\int }_a^{b}F}\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)\text{d}x\\ =g\left(b\right){\displaystyle {\int }_a^{b}f}\left(x\right)\text{d}x-{\displaystyle {\int }_a^{b}F}\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)\text{d}x\\ =g\left(b\right){\displaystyle {\int }_a^{b}f}\left(x\right)\text{d}x-F\left(\xi \right){\displaystyle {\int }_a^b{g}^{\prime }}\left(x\right)\text{d}x\\ =g\left(b\right){\displaystyle {\int }_a^{b}f}\left(x\right)\text{d}x-\left[g\left(b\right)-g\left(a\right)\right]{\displaystyle {\int }_a^{\xi }f}\left(t\right)\text{d}t\\ =g\left(a\right){\displaystyle {\int }_a^{\xi }f}\left(x\right)\text{d}x+g\left(b\right){\displaystyle {\int }_{\xi }^{b}f}\left(x\right)\text{d}x\end{array}$

再对f和g是连续函数的情形证明积分第二中值定理。由Bernstein多项式的性质知存在多项式函数列 $\left\{f_n\right\}$ 和 $\left\{g_n\right\}$，使 $f_n\Rightarrow f,g_n\Rightarrow g,x\in \left[a,b\right]$，且 $g_n$ 单调性与g一致， $x_n\left(a\right)=g\left(a\right)$， $g_n\left(b\right)=g\left(b\right)$。依题

意得，存在 ${\xi }_n\in \left[a,b\right]$，使 ${\displaystyle {\int }_a^b{f}_n}\left(x\right)g_n\left(x\right)\text{d}x=g\left(a\right){\displaystyle {\int }_a^{{\xi }_n}{f}_n}\left(x\right)\text{d}x+g\left(b\right){\displaystyle {\int }_{{\xi }_n}^b{f}_n}\left(x\right)\text{d}x$。

由于

$\begin{array}{l}\left|f_n\left(x\right)g_n\left(x\right)-f\left(x\right)g\left(x\right)\right|\\ \le \left|f_n\left(x\right)g_n\left(x\right)-f\left(x\right)g_n\left(x\right)\right|+\left|f\left(x\right)g_n\left(x\right)-f\left(x\right)g\left(x\right)\right|\\ \le \max \left\{g\left(a\right),g\left(b\right)\right\}\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|+\left|f\left(x\right)\right|\left|g_n\left(x\right)-g\left(x\right)\right|\end{array}$

又 $f_n\Rightarrow f,g_n\Rightarrow g,x\in \left[a,b\right]$，且f可积即f有界，易知 $f_n{g}_n\Rightarrow fg,x\in \left[a,b\right]$。所有的 ${\xi }_n$ 构成有界数列 $\left\{{\xi }_n\right\}$，取其收敛子列，不妨仍记为 $\left\{{\xi }_n\right\}$，设其收敛于 $\xi \in \left[a,b\right]$，则

$\begin{array}{l}\left|{\displaystyle {\int }_a^{{\xi }_n}{f}_n}\left(x\right)\text{d}x-{\displaystyle {\int }_a^{\xi }f}\left(x\right)\text{d}x\right|\\ =\left|{\displaystyle {\int }_a^{{\xi }_n}{f}_n}\left(x\right)\text{d}x-{\displaystyle {\int }_a^{{\xi }_n}f}\left(x\right)\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{{\xi }_n}^{\xi }f}\left(x\right)\text{d}x\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_a^b\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\text{d}x}+\left|{\displaystyle {\int }_{{\xi }_n}^{\xi }f}\left(x\right)\text{d}x\right|\to 0,n\to \infty \end{array}$

即

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^{{\xi }_n}{f}_n}\left(x\right)\text{d}x={\displaystyle {\int }_a^{\xi }f}\left(x\right)\text{d}x$，

同理

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{{\xi }_n}^b{f}_n}\left(x\right)\text{d}x={\displaystyle {\int }_{\xi }^{b}f}\left(x\right)\text{d}x$。

故在 ${\displaystyle {\int }_a^b{f}_n}\left(x\right)g_n\left(x\right)\text{d}x=g\left(a\right){\displaystyle {\int }_a^{{\xi }_n}{f}_n}\left(x\right)\text{d}x+g\left(b\right){\displaystyle {\int }_{{\xi }_n}^b{f}_n}\left(x\right)\text{d}x$，两边令 $n\to \infty$，得

${\displaystyle {\int }_a^{b}f}\left(x\right)g\left(x\right)\text{d}x=g\left(a\right){\displaystyle {\int }_a^{\xi }f}\left(x\right)\text{d}x+g\left(b\right){\displaystyle {\int }_{\xi }^{b}f}\left(x\right)\text{d}x$。

最后证明一般情形。易证引理：若 $f\in R\left[a,b\right]$，则对 $\forall \epsilon >0,\exists h\in C\left[a,b\right]$，s.t. $f\left(a\right)=h\left(a\right),f\left(b\right)=h\left(b\right)$，

且 ${\displaystyle {\int }_a^b\left|f\left(x\right)-h\left(x\right)\right|\text{d}x}<\epsilon$。由引理，取 ${\epsilon }_n=\frac{1}{n}$，则 $\exists h_n\in C\left[a,b\right]$，s.t. ${\displaystyle {\int }_a^b\left|f\left(x\right)-h_n\left(x\right)\right|\text{d}x}<\frac{1}{n}$。

故 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b\left|f\left(x\right)-h_n\left(x\right)\right|\text{d}x}=0$。

故 $0\le \left|{\displaystyle {\int }_a^b\left[f\left(x\right)-h_n\left(x\right)\right]\text{d}x}\right|\le {\displaystyle {\int }_a^b\left|f\left(x\right)-h_n\left(x\right)\right|\text{d}x}$，故 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{h}_n}\left(x\right)\text{d}x={\displaystyle {\int }_a^{b}f}\left(x\right)\text{d}x$，利用上述两个极限式

和第二种情形所证结论，类似第二种情形，容易证明一般情形的积分第二中值定理成立。