单原子层薄膜热传导性质的晶格动力学研究(II)——数值计算与结果分析
Lattice Dynamics Study on the Thermal Conduction Properties of Single Atomic Layer Films (II)—Numerical Calculations and Analysis on the Results

1. 引言

学术界已经有许多用分子动力学方法模拟热传导性质的报导 [1] [2] [3] [4]，该方法建立在牛顿力学的基础上，通过对多原子的运动方程进行求解来计算热传导性质。但在参考文献 [5] 中，我们已经分析过分子动力学存在一些局限性，并通过晶格动力学和和Green函数等理论，推导得到了以下的单原子层薄膜的声子频率、群速度、声子线宽和热传导系数公式

${\omega }_k^2=\frac{2k}{m}\left(2-\cos k_{x}a-\cos k_{y}a\right)$ (1)

$v_k^x=\frac{ka}{m{\omega }_k}\sin k_{x}a$ (2)

${\Gamma }_k=\frac{72}{{\hslash }^2}\underset{k_1{k}_2}{{\displaystyle \sum }}\underset{\pm }{{\displaystyle \sum }}\left[\left({\bar{n}}_{k_2}+\frac{1}{2}\right)\pm \left({\bar{n}}_{k_1}+\frac{1}{2}\right)\right]\frac{\omega \left({\omega }_{k_1}\pm {\omega }_{k_2}\right)\left({\Gamma }_{k_1}+{\Gamma }_{k_2}\right){\left|V\left(k_1;k_2;-k\right)\right|}^2}{{\left[{\omega }^2-\left({\omega }_{k_1}\pm {\omega }_{k_2}\right)\right]}^2+{\left[2\omega \left({\Gamma }_{k_1}+{\Gamma }_{k_2}\right)\right]}^2}$ (3)

${\kappa }_x=\frac{3k_B{\beta }^2}{V}{\displaystyle \underset{k}{\sum }{\hslash }^2{\omega }_k^2{L}_k^x{v}_k^x{\bar{n}}_k\left({\bar{n}}_k+1\right)}$ (4)

本文将用以上公式，对声子频率 ${\omega }_k$ 、群速度 $v_k^x$ 、线宽 ${\Gamma }_k$ 、自由程 $L_k^x$ 以及单原子层薄膜沿x方向的热传导系数 ${\kappa }_x$ 进行计算，探究其热传导的性质及其规律。由于符合M-P模型的材料实际并不存在，它的意义在于结构简单，在这个模型上可以较为方便地研究材料的一些性质，因此这里综合、借鉴了其它一些材料的参数，准备用以下参数进行模拟：a为0.5432 nm，原子质量m为6.63 × 10⁻²⁶ kg，线性力常数k为0.1206 N/m，非线性常数 $\delta$ 为1.767 × 10¹⁰ N/m。

2. 声子色散关系与群速度

波矢在单原子层薄膜平面内的 $\sigma$ 方向波矢分量为 $k_{\sigma }a=2\pi n_{\sigma }/N$，其中 $\sigma$ 为x、y， $n_{\sigma }$ 为 $-N/2$， $-N/2+1,\cdots ,-1,0,1,2,N/2-1$。根据(1)式分别计算尺寸为 $N=40$ 和80的单原子层薄膜的各个不同波矢的声子频率，并在频率–波矢坐标系中，由这些离散的点连接而成频率–波矢关系曲面，如图1所示。由该图可知，在低频段即短波矢区域，声子频率与波矢 $k$ 大小成正比。由声子频率公式可计算其比例系数为 $a\sqrt{k/m}$，该比例系数即为低频声子的传播速度。由该图及(1)式还可知，当单原子层薄膜尺寸不同时，由于声子的色散关系并没有发生变化，因此声子频率与波矢关系曲面形状相同，只是曲面上的格点疏密不同。

根据(2)式分别计算尺寸为 $N=40$ 和80的单原子薄膜的各个不同波矢的声子在x方向的群速度 $v_k^x$，并在群速–波矢坐标系中，将这些离散的点连接而构成群速–波矢关系曲面，如图2所示。由图可知，群速为正或负，分别对应于沿x方向的正向或反向传播，低频声子即短波矢声子的群速度较大。当单原子层薄膜尺寸不同时，由于由(2)式所决定的群速与波矢的关系并没有发生变化，因此声子群速与波矢关系曲面形状相同，只是曲面上的格点疏密不同。

3. 声子寿命与平均自由程

由声子线宽公式(2)式可以分别计算得到在100 K温度下尺寸为 $N=40$ 和80的单原子层薄膜的声子线宽 ${\Gamma }_k$ 与波矢 $k$ 间的关系，结果如图3所示。由图可知，波矢较小即声子频率较小时，声子线宽较小，并且随着波矢的减小，声子线宽继续减小，一直趋近于0，同时声子寿命 ${\tau }_k=1/{\Gamma }_k$ 持续增加，趋近于无穷。由图还可知，不同尺寸的单原子层薄膜，其声子线宽与波矢间的关系曲面具有相同形状，只是曲面上格点的疏密不同。

根据声子自由程公式 $L_k^x=v_k^x/{\Gamma }_k$，计算在100 K温度下尺寸为 $N=40$ 和80的单原子层薄膜的声子自由程与波矢间的关系，结果如图4所示。由图可知，短波矢声子即低频声子具有较长的自由程，并随着波矢的减小，其自由程增加，当声子的波矢接近0时，且声子线宽接近于0，其自由程接近于无穷。由图还可知，当单原子层薄膜尺寸增加时，声子自由程分布越往低波矢区域集中，并且低波矢区域的声子自由程越大。

我们计算了在100 K温度下尺寸为 $N=40$ 和80的单原子薄膜， $k_{x}a=k_{y}a=\pi$ 的声子线宽收敛情况，结果如图5所示，可知，在迭代次数Ncount达5次时，声子线宽基本收敛。

4. 单原子层薄膜热传导及尺寸效应

根据单原子层薄膜的热传导系数公式(3)式分别计算在100 K温度下尺寸为 $N=40$ 和80的单原子层薄膜不同波矢的声子对热传导系数的贡献，如图6所示。由图可知，波矢较小的声子即低频声子对热传导系数的贡献较大，并且波矢越小即声子频率越低，其对热传导系数的贡献越大；由图还可知，当单原子层薄膜尺寸增加时，短波矢声子即低频声子对薄膜热传导系数的贡献越大，并且相比于长波矢声子即高频声子，逐渐占据主导地位。

为了要检验热传导系数的迭代计算收敛情况，我们分别计算了在100 K温度下尺寸为 $N=40$ 和80单原子层薄膜的热传导系数收敛情况，结果如图7所示。由图可知，在迭代次数Ncount达5次时，热传导系数已经收敛。

为了研究单原子层薄膜热传导性质的尺寸效应，分别在100 K温度下对尺寸N为10、20、40、80、160、320和640的单原子层薄膜热传导系数进行计算，得热传导系数随尺寸N变化的规律，如图8图所示。由图可知，单原子层薄膜尺寸越大，热传导系数越大，并且当N超过40时，其热传导系数与尺寸满足线性关系 ${\kappa }_x=p1\ast \log N_x+p2$，其中 $p1=0.022881$， $p2=0.15357$，残差模为0.0010979。当尺寸趋于无穷时，热传导系数趋于发散。本文得到的单原子层薄膜热传导系数尺寸效应的规律与Xu等人 [4] 的实验结果描述的规律是一致的。综合以前我们对分子机器中链状分子热传导性质的理论研究的结论 [6]，我们发现，与块体晶体不同，一维和二维结构的热传导系数都随其尺寸增加而增加，当尺寸趋于无穷时，其热传导系数也趋于无穷，该结论对纳米机电系统和集成电路的散热设计有重要的指导意义。

5. 总结与讨论

本文利用先前得到的公式的基础上，对单原子层薄膜晶格振动声子线宽、声子自由程、声子对热传导系数贡献与其波矢的关系，以及薄膜热传导系数的尺寸效应进行了计算，并解释了其物理机制。计算结果表明，短波矢声子即低频声子具有较长的自由程，对热传导系数的贡献较大。当单原子层薄膜尺寸增加时，声子自由程分布越往低波矢区域集中，并且低波矢区域的声子自由程越大，短波矢声子即低频声子对薄膜热传导系数的贡献越大，逐渐占据主导地位。单原子层薄膜尺寸越大，热传导系数越大，并且当尺度N超过40个晶格常数时，其热传导系数与尺寸 $\log N$ 满足线性关系，当尺寸趋于无穷时，热传导系数趋于发散，即大尺寸单原子层薄膜有卓越的散热性能，该结论对纳米机电系统和集成电路的散热设计有重要的指导意义。

参考文献