简谐振动初相位表达式的研究

Research on the Expression for the Initial Phase of Simple Harmonic Vibration

摘要: 简谐振动的理论内容见于诸多的振动力学和理论力学等书籍中，然而在关于简谐振动的初相位表达式上却存在着一个不易察觉的错误，本文指出和论证了这一错误，并在此基础上，给出了简谐振动初相位的正确表达式。

Abstract: The content of simple harmonic vibration is presented in many books on vibration mechanics and theoretical mechanics. However, there is an imperceptible error in the initial phase expression of harmonic vibration, which is pointed out and demonstrated in this paper, and the correct expression of the initial phase of harmonic vibration is given.

1. 引言

简谐振动是机械振动理论中最为基础的内容之一,许多复杂的振动可以看作是由多个简谐振动叠加而成。因此，常见的振动力学和理论力学等书籍(如 [1] - [48] )中都介绍过有关简谐振动的内容，然而所给出的简谐振动的初相位表达式上却存在着一个不易察觉的错误，本文指出和论证了这一错误，并在此基础上，给出了简谐振动初相位的正确表达式，显然这一工作对于进一步充实和发展简谐振动理论都具有重要的意义。

2. 论证

为了说明常见的振动力学和理论力学等书籍(如 [1] - [48] )中关于简谐振动初相位表达式的错误所在，特将上述文献中关于单自由度系统的线性无阻尼自由振动的微分方程及其求解过程列写如下：

单自由度系统的线性无阻尼自由振动微分方程的标准形式为 [1] - [48]

$\ddot{x}+{\omega }_{\text{n}}^{\text{}\text{2}}x=0$ (1)

式中 $x$ 是描述振动位置的广义坐标， ${\omega }_{\text{n}}$ 是系统的固有圆频率。容易求得方程(1)的解为 [1] - [48]

$x=x_0\cos {\omega }_{\text{n}}t+\frac{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}{{\omega }_{\text{n}}}\sin {\omega }_{\text{n}}t$ (2)

式中 $x_0=x\left(0\right)$， ${\stackrel{\dot{}}{x}}_0=\stackrel{\dot{}}{x}\left(0\right)$。式(2)也可以写成简谐振动的形式 [1] - [48]

$x=A\sin \left({\omega }_{\text{n}}t+\theta \right)$ (3)

式中

$A=\sqrt{x_0^{\text{}2}+{\left(\frac{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}{{\omega }_{\text{n}}}\right)}^2}$ (4)

$\theta =\text{arctan}\left(\frac{{\omega }_{\text{n}}{x}_0}{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}\right)$ (5)

式(1)~(5)就是文献 [1] - [48] 针对单自由度系统的线性无阻尼自由振动所列出的有关方程和表达式，这些方程和表达式构成了简谐振动理论的数学描述。这里需要指出，其中的初相位表达式(5)存在错误，因此，

将该式代入简谐振动表达式(3)后，所得到的描述简谐振动的运动方程 $x=A\sin \left[{\omega }_{\text{n}}t+\arctan \left(\frac{{\omega }_{\text{n}}{x}_0}{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}\right)\right]$ 也存在着对应的错误。具体证明过程如下：

针对式(2)，设

$\sin {\theta }^{*}=\frac{x_0}{\sqrt{x_0^{\text{}2}+{\left(\frac{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}{{\omega }_{\text{n}}}\right)}^2}}$ (6)

$\cos {\theta }^{*}=\frac{\frac{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}{{\omega }_{\text{n}}}}{\sqrt{x_0^{\text{}2}+{\left(\frac{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}{{\omega }_{\text{n}}}\right)}^2}}$ (7)

这样式(2)就可以等价地改写为

$x=A\sin \left({\omega }_{\text{n}}t+{\theta }^{*}\right)$ (8)

这里振幅 $A$ 的表达式见式(4)，但是初相位 ${\theta }^{*}$ 的正确表达式却不同于式(5)。下面将由式(6)和式(7)出发，推出初相位 ${\theta }^{*}$ 的正确表达式，并以此说明式(5)的错误所在。为此，针对初始条件 $x_0$ 和 ${\stackrel{\dot{}}{x}}_0$，分以下四种情形进行讨论：

情形(1)：当 $x_0>0$ 且 ${\stackrel{\dot{}}{x}}_0<0$ 的情形。在这种情形下，由式(6)和式(7)可以看出： $\sin {\theta }^{*}>0$， $\cos {\theta }^{*}<0$，因此， ${\theta }^{*}$ 落在第二象限内，又因为 $\tan {\theta }^{*}=\frac{{\omega }_{\text{n}}{x}_0}{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}<0$，故可以将初相位 ${\theta }^{*}$ 表达为 ${\theta }^{*}=\text{π}+\text{arctan}\left(\frac{{\omega }_{\text{n}}{x}_0}{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}\right)$，显然该式不同于文献 [1] - [48] 中所给出的初相位表达式(5)，两者的相差正好为 $\text{π}$，即两者是反相的，因此，在情形(1)下，式(5)是错误的。

情形(2)：当 $x_0<0$ 且 ${\stackrel{\dot{}}{x}}_0<0$ 的情形。在这种情形下，由式(6)和式(7)可以看出： $\sin {\theta }^{*}<0$， $\cos {\theta }^{*}<0$，因此， ${\theta }^{*}$ 落在第三象限内，又因为 $\tan {\theta }^{*}=\frac{{\omega }_{\text{n}}{x}_0}{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}>0$，故可以将初相位 ${\theta }^{*}$ 表达为 ${\theta }^{*}=\text{π}+\text{arctan}\left(\frac{{\omega }_{\text{n}}{x}_0}{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}\right)$，显然该式不同于式(5)，两者的相差正好为 $\text{π}$，即两者是反相的，因此，在情形(2)下，式(5)还是错误的。

情形(3)：当 $x_0>0$ 且 ${\stackrel{\dot{}}{x}}_0>0$ 的情形。在该种情形下，由式(6)和式(7)可以看出： $\sin {\theta }^{*}>0$， $\cos {\theta }^{*}>0$，因此， ${\theta }^{*}$ 落在第一象限内，又因为 $\tan {\theta }^{*}=\frac{{\omega }_{\text{n}}{x}_0}{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}>0$，故可以将初相位表达为 ${\theta }^{*}=\text{arctan}\left(\frac{{\omega }_{\text{n}}{x}_0}{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}\right)$，显然该式与(5)相同，因此，在情形(3)下，式(5)是正确的。

情形(4)：当 $x_0<0$ 且 ${\stackrel{\dot{}}{x}}_0>0$ 的情形。在这种情形下，由式(6)和式(7)可以看出： $\sin {\theta }^{*}<0$， $\cos {\theta }^{*}>0$，因此， ${\theta }^{*}$ 落在第四象限内，又因为 $\tan {\theta }^{*}=\frac{{\omega }_{\text{n}}{x}_0}{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}<0$，故可以将初相位表达为 ${\theta }^{*}=\text{arctan}\left(\frac{{\omega }_{\text{n}}{x}_0}{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}\right)$，显然该式与式(5)相同，因此，在情形(4)下，式(5)是正确的。

通过以上的讨论，可以看出：情形(1)和情形(2)可以归并为一种情形，即 ${\stackrel{\dot{}}{x}}_0<0$ 的情形，在这种情形下，初相位的正确表达式为 ${\theta }^{*}=\text{π}+\text{arctan}\left(\frac{{\omega }_{\text{n}}{x}_0}{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}\right)$，因此，在该种情形下，文献 [1] - [48] 中所给出的初相位表达式(5)是错误的，进而将式(5)代入式(3)后所得到简谐振动规律 $x=A\sin \left[{\omega }_{\text{n}}t+\arctan \left(\frac{{\omega }_{\text{n}}{x}_0}{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}\right)\right]$ 也是错误的；前述的情形(3)和情形(4)可以归并为另一种情形，即 ${\stackrel{\dot{}}{x}}_0>0$ 的情形，在这种情形下，初相位的正确表达式为 ${\theta }^{*}=\text{arctan}\left(\frac{{\omega }_{\text{n}}{x}_0}{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}\right)$，即在这种情形下，式(5)是正确的；下面接着讨论在 ${\stackrel{\dot{}}{x}}_0=0$ 的情形下初相位的正确表达式：在 ${\stackrel{\dot{}}{x}}_0=0$ 的情形下，式(6)和式(7)分别变为 $\sin {\theta }^{*}=\frac{x_0}{\left|x_0\right|}=\text{sign}\left(x_0\right)$ 和 $\cos {\theta }^{*}=0$，因此，在这种情形下，初相位可表达为 ${\theta }^{*}=\text{sign}\left(x_0\right)\frac{\text{π}}{2}$。综合以上各种情形，可见初相位可以最终完整地表达为

${\theta }^{*}=\{\begin{array}{l}\text{π}+\text{arctan}\left(\frac{{\omega }_{\text{n}}{x}_0}{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}\right),{\stackrel{\dot{}}{x}}_0<0\\ \text{sign}\left(x_0\right)\frac{\text{π}}{2},{\stackrel{\dot{}}{x}}_0=0\\ \text{arctan}\left(\frac{{\omega }_{\text{n}}{x}_0}{{\stackrel{\dot{}}{x}}_0}\right),{\stackrel{\dot{}}{x}}_0>0\end{array}$ (9)

这就是简谐振动初相位的正确表达式，该式不同于常见的振动力学和理论力学等书籍(如 [1] - [48] )中所给出的简谐振动的初相位表达式(5)。

3. 结束语

本文指出并论证了常见的振动力学和理论力学等书籍中关于简谐振动初相位表达式上存在的错误，在此基础上，给出了简谐振动初相位的正确表达式，显然这对于进一步完善和发展简谐振动理论都具有重要的学术意义。

参考文献