1. 引言
分数阶微积分是在整数阶微积分的理论基础上发展而来,近年来分数阶微分方程在物理学、工程学、机械、医学、生物学等许多领域得到了广泛应用 [1] [2] [3] [4]。为了解决越来越多复杂的现象和问题,学者和专家开始研究带p-Laplacian算子的分数阶微分方程。文 [5] 研究如下带p-Laplacian算子的分数阶微分方程
这里
和
是标准的Riemann-Liouville型分数阶导数,
,
,
,
,常数
是一个正数,
。利用锥上的不动点定理,获得了正解的一些存在性和多重性结果。
文 [6] 研究如下带有p-Laplacian算子的Riemann-Liouville型分数阶微分方程边值问题
应用凸锥上的不动点理获得了该问题正解的存在性结果。这里
,
,
,
,
,
,
,
。
基于上述文献中的研究,本文主要利用Leray-Schauder非线性抉择讨论如下带有p-Laplacian算子的Riemann-Liouville型分数阶微分方程边值问题
(1)
解的存在性,其中
,
。
,
,
。
2. 预备知识
定义1 [7] 函数
的
阶Riemann-Liouville分数阶积分为
等式的右端在
有定义,其中
为Gamma函数。
定义2 [7] 连续函数
的
阶Riemann-Liouville分数阶导数为
等式的右端在
有定义,其中
,
为Gamma函数。
引理1 [7]
,
,
,则分数阶微分方程
有唯一解
其中
,
。
引理2 [7]
,
,
,则
其中
,
。
引理3 若
,且
,则分数阶微分方程
有唯一解
其中
证明 由
可得
于是
根据引理2可得
由
得
,由
,得
,由
,得
所以
证毕。
注 由引理3的证明容易看到
。
引理4 [8]
有下面的性质
1)
,对
;
2)存在正函数
使得
3)
。
引理5 [8] (Leray-Schauder非线性抉择)假设
是线性赋范空间X中包含原点的开集,
全连续,并且满足边界条件,即当
,
时
,则F在
上至少有一个不动点。
3. 主要结果
下节将用到如下假设
(H1)
为连续函数,假设存在非负连续函数
使得
设
,定义范数
,容易证明X是Banach空间。定义算子
定理1假设(H1)成立。若(H1)中的函数
满足存在常数
使得
(2.1)
则边值问题(1)存在解
且满足
。
证明 首先证明
为全连续算子。由函数f的连续性容易证明T是连续算子。
以下证明T为紧的。设
是X中的有界子集,于是存在正数
使得
,
。从而对于任意的
有
因此
和
皆为一致有界的子集合。
再证
和
皆是等度连续的。对任意的
,
有
注意到
在
上的一致连续性可知,
是等度连续的。此外
当
时,根据不等式
可得
再根据积分第一中值定理,因
在
上连续,则至少存在三点
,使得
于是
当
时,由拉格朗日中值定理有
其中
是
之间某个确定的值。故
由此可得
是等度连续的。
既然集合
和
都是一致有界且等度连续的,根据Arzela-Ascoli定理可知
和
皆为
中的相对紧集,进而可知T是全连续算子。
令
,有
,由上述证明可知
是全连续的。我们断言当
,
时
。如若不然存在
,
使
。于是有
进而有
此与(2.1)式矛盾。由引理5可知边值问题(1)存在解
使得
。证毕。
4. 举例
考虑下列具有p-laplacian算子分数阶微分方程边值问题
其中
,
选取
,有
令
,有
定理1的条件皆满足,所以该边值问题至少存在一个解。
基金项目
国家自然科学基金(11361047)。
NOTES
*通讯作者。