几类传递置换群的秩和次级数

doi:10.12677/PM.2020.1012145

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几类传递置换群的秩和次级数
The Rank and Subdegree of Several Transitive Permutation Groups

DOI: 10.12677/PM.2020.1012145, PDF, HTML, XML, 下载: 400 浏览: 686
作者: 汪畅, 肖仁兵：云南师范大学数学学院，云南昆明
关键词: 置换群；传递作用；秩；次轨道；Permutation Group； Transitive Action； Rank； Suborbit

摘要: 设群G是作用在有限集合Ω上的传递置换群。G在Ω上的次轨道定义为点稳定子群G_α作用在集合Ω上的轨道，这里α∈Ω。次轨道的个数称为群G作用在Ω上的秩，次轨道的长度称为群G作用在Ω上的次级数。在本文中我们通过利用圈积的乘积作用和某种非本原作用构造了几类传递置换群，并确定了它们的秩和次级数。

Abstract: Let G be a transitive permutation group acting on a finite set Ω. The suborbits of G on Ω are defined as the orbits of a point stabilizer on Ω. The number of suborbits is called the rank of G and the length of suborbits is called the subdegree of G. In this paper, we construct several kinds of transi-tive permutation groups by using the product action and some imprimitive action of the wreath product, and determine their rank and subdegree.

文章引用：汪畅, 肖仁兵. 几类传递置换群的秩和次级数[J]. 理论数学, 2020, 10(12): 1220-1228. https://doi.org/10.12677/PM.2020.1012145

1. 前言

设群G是作用在有限集合Ω上的传递置换群。G在Ω上的次轨道定义为点稳定子 $G_{α}$ 在集合Ω上的轨道，这里 $α \in Ω$ 。次轨道的个数称为群G作用在Ω上的秩，次轨道的长度则称为群G的次级数。若G是作用在Ω上的有限本原群，则针对群G的秩和次级数的研究有很长的历史，这些研究主要集中在秩和次级数较小的情形，这方面国内外很多学者已经得出了一些非常好的结果。易知传递置换群G的秩为2当且仅当群G是2-传递群。随着单群分类定理的产生，有限2-传递置换群的结构已经完全清楚。因此对有限本原群的秩的研究主要考虑秩 ≥ 3的情形。

对秩为3的有限传递群G，早期的工作参看Higman的综述文章 [1]。这一问题的研究常常是和传递置换群的次轨道相结合。当次轨道长度较大时，这类问题研究的难度非常大。因此到目前为止的工作主要集中在次轨道长度 ≤ 5的情形。

一个本原置换群若有长度为1的非平凡次轨道时，则它一定是素数阶正则传递群；若一个本原置换群有长度为2的次轨道，它一定是奇素数阶的二面体群，具体过程参见( [2], Theorem 5)。当一个本原置换群有长度为3的次轨道时，群的结构变得很复杂，利用Sim [3] 的工作，Wong [4] 完成了对这类群的分类。当一个本原置换群有长度为4的次轨道时，群的结构就更加复杂。Sim [3] 和Quirin [5] 分别得到了部份结果，最终由王杰在文献 [6] 中利用有限单群分类定理完成了这类群的分类。在文献 [7] 中Li，Lu和Marusic结合3度4度对称图对具有长度为3和4的次轨道的本原群重新给出了完整的刻画。当一个本原置换群有长度为5的次轨道时，王杰在 [8] [9] 中得到了部分结果。最近(2018年)由Fawcett，Giudici，Li，Praeger等人在文献 [10] 中完成了对相应的本原群的分类。

近年来研究非本原传递群的相应问题也逐渐引起重视。在本篇文章中，我们构造一些利用圈积的乘积作用和某种非本原作用构造了一些传递置换群，并确定了它们的秩和次级数。

2. 预备知识

本节我们给出本文中要用到的置换群的一些基本概念和结果，关于置换群的更一般的内容参见Dixon的经典著作 [11]。

定义2.1 [11] 设G是一个群，Ω是一个非空集合，若对 $\forall α \in Ω, \forall x \in G$ ，都对应Ω中一个元素 $α^{x}$ ，并且满足下面两个条件：

1) $α^{1} = α, \forall α \in Ω$ ，其中1代表G中的单位元；

2) ${(α^{x})}^{y} = α^{x y}, \forall α \in Ω, \forall x, y \in G$ ，

则称群G在集合Ω上有一个作用，或称群G作用在集合Ω上。

定义2.2 [11] 设群G作用在Ω上，若G在Ω上只有一个轨道，即Ω本身，则称G为Ω上的传递群，否则称G为Ω上非传递群。

定义2.3 [11] 设群G传递作用在集合Ω上, ，Δ是Ω任意一个非空集合。若对任意的 $x \in G$ ，或者 $Δ^{x} = Δ$ ，或者 $Δ^{x} \cap Δ = \emptyset$ ，则称Δ是G的一个块。

显然单点集 ${α}$ 和整个集合Ω都是群G的块，称它们为非平凡块。

定义2.4 [11] 设G传递作用在Ω上，如果G没有非平凡块，则称G为本原群。

定义2.5 [11] 给定群K，H。设存在同构映射 $τ : H \to A u t (K)$ 。此时定义K与H的半直积G为：

$G = K : H = {(k, h) | k \in K, h \in H} ，$

运算为 $(k_{1}, h_{1}) (k_{2}, h_{2}) = (k_{1} k_{2}^{τ {(h_{1})}^{- 1}}, h_{1} h_{2})$ 。

定义2.6 [11] 设 $Γ = {1, 2, \dots, m}$ 和 $Δ$ 都是非空集合，用 $F u n (Γ, Δ) = {f | f 是 Γ 到 Δ 的所有映射}$ ，故 $F u n (Γ, Δ)$ 可以用 $Δ^{m}$ 表示。

如果 $Δ = K$ 是群，则 $F u n (Γ, K) = K^{m}$ 表示K的直积，设 $H \leq S_{m}$ ，利用H在 $Γ = {1, 2, \dots, m}$ 的自然作用，可定义H在 $F u n (Γ, K)$ 上的一个作用如下，

对任意的 $(k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}) \in K^{m}$ ，设 $x \in H$ ，定义：

${(k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m})}^{x} = (k_{1^{y}}, k_{2^{y}}, \dots, k_{m^{y}})$ ，其中 $y = x^{- 1}$ ，

于是可做半直积 $F u n (Γ, K) : H = K^{m} : H$ ，称为K与H的圈积，记为 $K w r_{Γ} H$ 。

定义2.7 [11] 设群G传递作用在集合Ω上，则群G在 $Ω \times Ω$ 上诱导一个自然作用：

${(α, β)}^{g} ≜ (α^{g}, β^{g})$

即群G在 $Ω \times Ω$ 上有一个作用。进而群G在 $Ω \times Ω$ 上有轨道。

设 $Δ_{1}, Δ_{2}, \dots, Δ_{r}$ 为群G作用在 $Ω \times Ω$ 上的所有轨道， $Δ_{i}$ 称为群G的一个二元轨道(orbital)。其中 $Δ_{1} = {(α, α) | α \in Ω}$ ， $Δ_{i} = {{(α, β)}^{G} | α, β \in Ω}$ 。

对每一个 $Δ_{i}$ 以及 $α \in Ω$ ，令

$Δ_{i} (α) = {β | β \in Ω, (α, β) \in Δ_{i}}$

易证 $Δ_{i} (α)$ 是点稳定子 $G_{α}$ 作用在集合Ω上的轨道，称它为群G作用在集合Ω上的次轨道，并称群G的次级数为 $n_{i} = | Δ_{i} (α) |$ 。

定义2.8 [11] 当群G传递作用在集合Ω上时，群G在集合Ω上oribital的个数等于次轨道的个数，称它为群G的秩，次轨道的长度称为群G的次级数。

3. 传递置换群的秩和次级数

本篇文章的主要结论如下。

定理3.1群 $S_{m} w r S_{m}$ 和它的子群 $S_{m} w r C_{m}$ ， $(S_{m} w r S_{m}) \cap A_{m}$ ， $(S_{m} w r C_{m}) \cap A_{m}$ 非本原作用在m³个点上的秩均为6，且它们的次级数都为1， $m - 1$ ， $m - 1$ ， ${(m - 1)}^{2}$ ， $m (m - 1)$ ， $m {(m - 1)}^{2}$ 。

证明设 $Δ = {1, 2, \dots, m}$ ，令 $Ω = Δ \times Δ \times Δ$ ，故 $| Ω | = m^{3}$ ，而群 $S_{m} w r S_{m}$ 在集合Ω上的作用如下：

${(i, j, k)}^{(g_{1}, g_{2}, \dots, g_{m}, h)} = (i^{g_{k}}, j^{h}, k^{h}) .$

取 $α = (1, 1, 1) \in Ω$ ，则群 $S_{m} w r S_{m}$ 稳定点α的稳定子群为：

$L = {(g_{1}, g_{2}, \dots, g_{m}, h) | 1^{g_{1}} = 1^{h} = 1} .$

对于 $1 \neq i, j, k \in Δ$ ，我们有

$| {(i, j, k)}^{L} | = | {(1^{g_{k}}, j^{h}, k^{h})} | = | {(s, t, u) | s, t, u \in Δ 且 t, u \neq 1} | = m {(m - 1)}^{2},$

$| {(i, 1, 1)}^{L} | = | {(i^{g_{1}}, 1^{h}, 1^{h})} | = | {(s, 1, 1) | s \in Δ 且 s \neq 1} | = (m - 1),$

$| {(1, j, 1)}^{L} | = | {(1^{g_{1}}, j^{h}, 1^{h})} | = | {(1, t, 1) | t \in Δ 且 t \neq 1} | = (m - 1),$

$| {(i, j, 1)}^{L} | = | {(i^{g_{1}}, j^{h}, 1^{h})} | = | {(s, t, 1) | s, t \in Δ 且 s, t \neq 1} | = {(m - 1)}^{2},$

$| {(1, 1, k)}^{L} | = | {(1^{g_{k}}, 1^{h}, k^{h})} | = | {(s, 1, u) | s, u \in Δ 且 u \neq 1} | = m (m - 1) .$

故群 $S_{m} w r S_{m}$ 的次级数为6，次级数为1， $m - 1$ ， $m - 1$ ， ${(m - 1)}^{2}$ ， $m (m - 1)$ ， $m {(m - 1)}^{2}$ 。

现在考虑群 $S_{m} w r S_{m}$ 的子群 $S_{m} w r C_{m}$ ， $(S_{m} w r S_{m}) \cap A_{m}$ 和 $(S_{m} w r C_{m}) \cap A_{m}$ ，它们作用在Ω上的关于点α的点稳定子与群 $S_{m} w r S_{m}$ 作用在Ω上的关于点α的点稳定子相同，自然就有相同的秩和次级数。

推论3.2群 $S_{m} w r S_{m}$ 的子群 $D_{2 m} w r S_{m}$ 非本原作用在m³个点上的秩为m + 3或m + 4。

证明假设Δ，Ω，α的定义同定理3.1，且群 $D_{2 m}$ 在集合Ω上的作用也同定理3.1，从而群 $D_{2 m}$ 中稳定α的稳定子群也为L。

当m为偶数时， $D_{2 m} = 〈 (1, 2, 3, \dots, m), (2, m) (3, m - 1) \dots (\frac{m}{2}, \frac{m + 4}{2}) 〉$ 。此时有 $g_{1} = (2, m) (3, m - 1) \dots (\frac{m}{2}, \frac{m + 4}{2})$ 。

对于 $\frac{m}{2} + 1 \neq i \in Δ; 1 \neq j, k \in Δ$ ，我们有

$| {(i, j, k)}^{L} | = | {(i^{g_{k}}, j^{h}, k^{h})} | = | (s, t, u) | s, t, u \in Δ 且 t, u \neq 1 | = m {(m - 1)}^{2}$ ；

$| {(i, 1, 1)}^{L} | = | {(i^{g_{1}}, 1^{h}, 1^{h})} | = | {(i, 1, 1), (m + 2 - i, 1, 1)} | = 2$ ，

i共有 $\frac{m - 2}{2}$ 种取法；

$| {(1, j, 1)}^{L} | = | {(1^{g_{1}}, j^{h}, 1^{h})} | = | {(1, t, 1) | t \in Δ 且 t \neq 1} | = (m - 1)$ ；

$| {(i, j, 1)}^{L} | = | {(i^{g_{k}}, j^{h}, 1^{h})} | = | {(i, t, 1), (m + 2 - i, t, 1) | t \in Δ 且 t \neq 1} | = 2 (m - 1)$ ，

i共有 $\frac{m - 2}{2}$ 种取法；

$| {(i, 1, k)}^{L} | = | {(i^{g_{k}}, 1^{h}, k^{h})} | = | {(s, 1, u) | s, u \in Δ 且 u \neq 1} | = m (m - 1)$ 。

而当 $i = \frac{m}{2} + 1$ 时，我们有

$| {(\frac{m}{2} + 1, j, 1)}^{L} | = | {(\frac{m}{2} + 1, t, 1) | t \in Δ 且 t \neq 1} | = m - 1$ ，

$| {(\frac{m}{2} + 1, 1, 1)}^{L} | = | {(\frac{m}{2} + 1, t, 1)} | = 1$

所以L有2个长为1的轨道， $\frac{m - 1}{2}$ 个长为2的轨道，2个长为 $m - 1$ 的轨道， $\frac{m - 1}{2}$ 个长为 $2 (m - 1)$ 的轨道，1个长为 $m (m - 1)$ 的轨道，1个长为 $m {(m - 1)}^{2}$ 的轨道。从而群 $D_{2 m} w r S_{m}$ 作用在集合Ω上的秩为 $2 + \frac{m - 2}{2} + 2 + \frac{m - 2}{2} + 1 + 1 = m + 4$ ，次级数为1，1， $\underset{\frac{m - 2}{2}}{\underset{︸}{2, 2, \dots, 2}}$ ， $m - 1$ ， $m - 1$ ， $\underset{\frac{m - 2}{2}}{\underset{︸}{2 (m - 1), 2 (m - 1), \dots, 2 (m - 1)}}$ ， $m (m - 1)$ ， $m {(m - 1)}^{2}$ 。

当m为奇数时， $D_{2 m} = 〈 (1, 2, 3, \dots, m), (2, m) (3, m - 1) \dots (\frac{m + 1}{2}, \frac{m + 3}{2}) 〉$ 。此时有 $g_{1} = (2, m) (3, m - 1) \dots (\frac{m + 1}{2}, \frac{m + 3}{2})$ 。

现在考虑群 $D_{2 m}$ 的次轨道的情况并计算它们的长度。

对于 $1 \neq i, j, k \in Δ$ ，我们有

$| {(i, j, k)}^{L} | = | {(i^{g_{k}}, j^{h}, k^{h})} | = | (s, t, u) | s, t, u \in Δ 且 t, u \neq 1 | = m {(m - 1)}^{2}$ ；

$| {(i, 1, 1)}^{L} | = | {(i^{g_{1}}, 1^{h}, 1^{h})} | = | {(i, 1, 1), (m + 2 - i, 1, 1)} | = 2$ ，

i共有 $\frac{m - 1}{2}$ 种取法；

$| {(1, j, 1)}^{L} | = | {(1^{g_{1}}, j^{h}, 1^{h})} | = | {(1, t, 1) | t \in Δ 且 t \neq 1} | = (m - 1)$ ；

$| {(i, j, 1)}^{L} | = | {(i^{g_{1}}, j^{h}, 1^{h})} | = | {(i, t, 1), (m + 2 - i, t, 1) | t \in Δ 且 t \neq 1} | = 2 (m - 1)$ ，

i共有 $\frac{m - 1}{2}$ 种取法；

$| {(i, 1, k)}^{L} | = | {(1^{g_{k}}, 1^{h}, k^{h})} | = | {(s, 1, u) | s, u \in Δ 且 u \neq 1} | = m (m - 1)$ 。

所以L有1个长为1的轨道， $\frac{m - 1}{2}$ 个长为2的轨道，1个长为 $m - 1$ 的轨道， $\frac{m - 1}{2}$ 个长为 $2 (m - 1)$ 的轨道，1个长为 $m (m - 1)$ 的轨道，1个长为 $m {(m - 1)}^{2}$ 的轨道。从而群 $D_{2 m} w r S_{m}$ 作用在集合Ω上的秩为 $1 + \frac{m - 1}{2} + 1 + \frac{m - 1}{2} + 1 + 1 = m + 3$ ，次级数为1， $\underset{\frac{m - 1}{2}}{\underset{︸}{2, 2, \dots, 2}}$ ， $m - 1$ ， $\underset{\frac{m - 1}{2}}{\underset{︸}{2 (m - 1), 2 (m - 1), \dots, 2 (m - 1)}}$ ， $m (m - 1)$ ， $m {(m - 1)}^{2}$ 。

定理3.3 群 $S_{m} w r S_{m}$ 和它的子群 $S_{m} w r C_{m}$ ， $(S_{m} w r S_{m}) \cap A_{m}$ ， $(S_{m} w r C_{m}) \cap A_{m}$ 非本原作用在m³个点上的秩均为6，且它们的次级数都为1， $m - 1$ ， $m - 1$ ， $(m - 1) (m - 1)$ ， $m (m - 1)$ ， $m {(m - 1)}^{2}$ 。

证明设 $Δ = {1, 2, \dots, m}$ ，令 $Ω = Δ \times Δ \times Δ$ ，故 $| Ω | = m^{3}$ ，而群 $S_{m} w r S_{m}$ 在集合Ω上的作用如下：

${(i, j, k)}^{(g_{1}, g_{2}, \dots, g_{m}, h)} = (i^{g_{j}}, j^{h}, k^{h}) .$

取 $α = (1, 1, 1) \in Ω$ ，则群 $S_{m} w r S_{m}$ 稳定点α的稳定子群为：

$L = {(g_{1}, g_{2}, \dots, g_{m}, h) | 1^{g_{1}} = 1^{h} = 1} .$

对于 $1 \neq i, j, k \in Δ$ ，我们有

$| {(1, j, k)}^{L} | = | {(1^{g_{j}}, j^{h}, k^{h})} | = | {(s, t, u) | s, t, u \in Δ 且 t, u \neq 1} | = m {(m - 1)}^{2}$ ，

$| {(i, 1, 1)}^{L} | = | {(i^{g_{1}}, 1^{h}, 1^{h})} | = | {(s, 1, 1) | s \in Δ 且 s \neq 1} | = (m - 1)$ ，

$| {(1, 1, k)}^{L} | = | {(1^{g_{1}}, 1^{h}, k^{h})} | = | {(1, 1, u) | u \in Δ 且 u \neq 1} | = (m - 1)$ ，

$| {(i, 1, k)}^{L} | = | {(i^{g_{1}}, 1^{h}, k^{h})} | = | {(s, 1, u) | s, u \in Δ 且 s, u \neq 1} | = {(m - 1)}^{2}$ ，

$| {(1, j, 1)}^{L} | = | {(1^{g_{j}}, j^{h}, 1^{h})} | = | {(s, t, 1) | s, t \in Δ 且 t \neq 1} | = m (m - 1)$ 。

故群 $S_{m} w r S_{m}$ 的次级数为6，次级数为1， $m - 1$ ， $m - 1$ ， ${(m - 1)}^{2}$ ， $m (m - 1)$ ， $m {(m - 1)}^{2}$ 。

推论3.4群 $S_{m} w r S_{m}$ 的子群 $D_{2 m}$ 非本原作用在m³个点上的秩为m + 3或m + 4。

证明假设Δ，Ω，α的定义同定理3.3，且群 $D_{2 m}$ 在集合Ω上的作用也同定理3.3，从而群 $D_{2 m}$ 中稳定α的稳定子群也为L。

当m为偶数时， $D_{2 m} = 〈 (1, 2, 3, \dots, m), (2, m) (3, m - 1) \dots (\frac{m}{2}, \frac{m + 4}{2}) 〉$ 。此时有 $g_{1} = (2, m) (3, m - 1) \dots (\frac{m}{2}, \frac{m + 4}{2})$ 。

对于 $\frac{m}{2} + 1 \neq i \in Δ; 1 \neq j, k \in Δ$ ，我们有

$| {(1, j, k)}^{L} | = | {(1^{g_{j}}, j^{h}, k^{h})} | = | (s, t, u) | s, t, u \in Δ 且 t, u \neq 1 | = m {(m - 1)}^{2}$ ；

$| {(i, 1, 1)}^{L} | = | {(i^{g_{1}}, 1^{h}, 1^{h})} | = | {(i, 1, 1), (m + 2 - i, 1, 1)} | = 2$ ，

i共有 $\frac{m - 2}{2}$ 种取法；

$| {(1, 1, k)}^{L} | = | {(1^{g_{1}}, 1^{h}, k^{h})} | = | {(1, 1, u) | u \in Δ 且 u \neq 1} | = (m - 1)$ ；

$| {(i, 1, k)}^{L} | = | {(i^{g_{1}}, 1^{h}, k^{h})} | = | {(i, 1, u), (m + 2 - i, 1, u) | u \in Δ 且 u \neq 1} | = 2 (m - 1)$ ，

i共有 $\frac{m - 2}{2}$ 种取法；

$| {(1, j, 1)}^{L} | = | {(1^{g_{j}}, j^{h}, 1^{h})} | = | {(s, t, 1) | s, t \in Δ 且 t \neq 1} | = m (m - 1)$ 。

而当 $i = \frac{m}{2} + 1$ 时，我们有

$| {(\frac{m}{2} + 1, 1, k)}^{L} | = | {(\frac{m}{2} + 1, 1, u) | u \in Δ 且 u \neq 1} | = m - 1$ ，

$| {(\frac{m}{2} + 1, 1, 1)}^{L} | = | {(\frac{m}{2} + 1, 1, 1)} | = 1$

所以L有2个长为1的轨道， $\frac{m - 2}{2}$ 个长为2的轨道，2个长为 $m - 1$ 的轨道， $\frac{m - 2}{2}$ 个长为 $2 (m - 1)$ 的轨道，1个长为 $m (m - 1)$ 的轨道，1个长为 $m {(m - 1)}^{2}$ 的轨道。从而群 $D_{2 m} w r S_{m}$ 作用在集合Ω上的秩为 $2 + \frac{m - 2}{2} + 2 + \frac{m - 2}{2} + 1 + 1 = m + 4$ ，次级数为1，1， $\underset{\frac{m - 2}{2}}{\underset{︸}{2, 2, \dots, 2}}$ ， $m - 1$ ， $m - 1$ ， $\underset{\frac{m - 2}{2}}{\underset{︸}{2 (m - 1), 2 (m - 1), \dots, 2 (m - 1)}}$ ， $m (m - 1)$ ， $m {(m - 1)}^{2}$ 。

现在考虑群 $D_{2 m}$ 的次轨道的情况并计算它们的长度。

对于 $1 \neq i, j, k \in Δ$ ，我们有

$| {(1, j, k)}^{L} | = | {(1^{g_{j}}, j^{h}, k^{h})} | = | (s, t, u) | s, t, u \in Δ 且 t, u \neq 1 | = m {(m - 1)}^{2}$ ；

$| {(i, 1, 1)}^{L} | = | {(i^{g_{1}}, 1^{h}, 1^{h})} | = | {(i, 1, 1), (m + 2 - i, 1, 1)} | = 2$ ，

i共有 $\frac{m - 1}{2}$ 种取法；

$| {(1, 1, k)}^{L} | = | {(1^{g_{1}}, 1^{h}, k^{h})} | = | {(1, 1, u) | u \in Δ 且 u \neq 1} | = (m - 1)$ ；

$| {(i, 1, k)}^{L} | = | {(i^{g_{1}}, 1^{h}, k^{h})} | = | {(i, 1, u), (m + 2 - i, 1, u) | u \in Δ 且 u \neq 1} | = 2 (m - 1)$ ，

i共有 $\frac{m - 1}{2}$ 种取法；

$| {(1, j, 1)}^{L} | = | {(1^{g_{j}}, j^{h}, 1^{h})} | = | {(s, t, 1) | s, t \in Δ 且 t \neq 1} | = m (m - 1)$ 。

定理3.5群 $S_{n} w r S_{3}$ 及它的子群 $S_{n} w r C_{3}$ ， $(S_{n} w r S_{3}) \cap A_{n}$ ， $(S_{n} w r C_{3}) \cap A_{n}$ 利用乘积作用作用在m³个点上的秩都为7，且它们的次级数均为1， $m - 1$ ， $3 (m - 1)$ ， $3 (m - 1)$ ， $3 (m - 1) (m - 2)$ ， $3 (m - 1) (m - 2)$ ， $(m - 1) (m - 2) (m - 3)$ 。

证明设 $Γ = {1, 2, \dots, m}$ ， $Δ = {a, b, c}$ ，定义 $Ω : = F u n (Δ, S_{m})$ ，则 $| Ω | = m^{3}$ 。群 $S_{m} w r S_{3} = F u n (Δ, S_{m}) : S_{3}$ 在集合Ω上的作用如下：

$Φ^{(f, x)} (γ) : = Φ {(γ^{x^{- 1}})}^{f (γ^{x^{- 1}})}$

其中 $γ \in Δ$ ， $Φ \in Ω$ ， $f \in F u n (Δ, S_{m})$ ， $x \in S_{3}$ 。定义映射， $Φ_{1} : Φ_{1} (a) = Φ_{1} (b) = 1$ 。可由[1，引理2.7]知，群 $S_{m} w r S_{3}$ 中稳定 $Φ_{1}$ 的点稳定子为：

$L = {(f, x) \in S_{m} w r S_{3} | f (γ) \in {(S_{m})}_{1}, γ = a, b 或 c}$ ，则

则 $Σ_{1} = {Φ_{1}}$ ，

$Σ_{2} = {Φ_{2} | \begin{array}{l} Φ_{2} (a) = Φ_{2} (b) = 1, Φ_{2} (c) = i \neq 1 \\ 或 Φ_{2} (b) = Φ_{2} (c) = 1, Φ_{2} (a) = i \neq 1 \\ 或 Φ_{2} (c) = Φ_{2} (a) = 1, Φ_{2} (b) = i \neq 1 \end{array}}$ ，

$Σ_{3} = {Φ_{3} | \begin{array}{l} Φ_{3} (a) = 1, Φ_{2} (b) = i \neq 1, Φ_{2} (c) = j \neq 1 \\ 或 Φ_{3} (b) = 1, Φ_{2} (c) = i \neq 1, Φ_{2} (a) = j \neq 1 \\ 或 Φ_{3} (c) = 1, Φ_{2} (a) = i \neq 1, Φ_{2} (b) = j \neq 1 \end{array}}$ ，

$Σ_{4} = {Φ_{4} | \begin{array}{l} Φ_{4} (a) = 1, Φ_{4} (b) = Φ_{4} (c) = i \neq 1 \\ 或 Φ_{4} (b) = 1, Φ_{4} (c) = Φ_{4} (a) = i \neq 1 \\ 或 Φ_{4} (c) = 1, Φ_{4} (a) = Φ_{4} (b) = i \neq 1 \end{array}}$ ，

$Σ_{5} = {Φ_{5} | \begin{array}{l} Φ_{5} (a) = i \neq 1, Φ_{5} (b) = Φ_{5} (a) = j \neq 1 \\ 或 Φ_{5} (b) = i \neq 1, Φ_{5} (c) = Φ_{5} (a) = j \neq 1 \\ 或 Φ_{5} (c) = i \neq 1, Φ_{5} (a) = Φ_{5} (b) = j \neq 1 \end{array}}$ ，

$Σ_{6} = {Φ_{6} | Φ_{6} (a) = Φ_{6} (b) = Φ_{6} (c) = i \neq 1}$ ，

$Σ_{7} = {Φ_{6} | Φ_{6} (a) = i \neq 1, Φ_{6} (b) = j \neq 1, Φ_{6} (c) = k \neq 1 且 i \neq j \neq k}$ 。

故群 $S_{m} w r S_{3}$ 的秩为7，由上述证明易知 $| Σ_{1} | = 1$ ， $| Σ_{2} | = 3 (m - 1)$ ， $| Σ_{3} | = 3 (m - 1) (m - 2)$ ， $| Σ_{4} | = 3 (m - 1)$ ， $| Σ_{5} | = 3 (m - 1) (m - 2)$ ， $| Σ_{6} | = m - 1$ ， $| Σ_{7} | = (m - 1) (m - 2) (m - 3)$ 。因此群 $S_{m} w r S_{3}$ 的次级数为1， $m - 1$ ， $3 (m - 1)$ ， $3 (m - 1)$ ， $3 (m - 1) (m - 2)$ ， $3 (m - 1) (m - 2)$ ， $(m - 1) (m - 2) (m - 3)$ 。

现在考虑群 $S_{m} w r S_{3}$ 的子群 $S_{m} w r C_{3}$ ， $(S_{m} w r S_{3}) \cap A_{m}$ 和 $(S_{m} w r C_{3}) \cap A_{m}$ ，它们通过乘积作用在Ω上的关于点 $Φ_{1}$ 的点稳定子与群 $S_{m} w r S_{3}$ 作用在Ω上的关于点 $Φ_{1}$ 的点稳定子相同，自然就有相同的秩和次级数。

参考文献

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