点态化完备代数正规类中的低幂等根

The Hypoidempotent Radicals in Normal Classes of Pointwise Complete Alagebra

摘要: 定义了点态化完备代数正规类中的低幂等根，证明了Boolean根β、正则根ν、遗传幂等根χ、λ-根λ、幂等代数根ι都是低幂等根，并且这5个低幂等根满足β≤ν≤χ≤λ≤ι。进一步，证明了低幂等根半单类包含所有0乘代数，幂等代数根ι半单类满足弱同态闭性质。

Abstract: The hypoidempotent radicals in normal classes of pointwise complete algebras are defined. It is proved that the Boolean radical β, regular radical ν, hereditary idempotent radical χ, λ-radical λ and idempotent algebras radical ι are all hypoidempotent radicals, and these five hypoidempotent radicals satisfy β≤ν≤χ≤λ≤ι. Furthermore, it is proved that the semisimple class of hypoidempotent radicals contains all 0-multiplication algebras, and the semisimple classes of idempotent algebras radical ι is the weakly homomorphically closed.

1. 引言

环及其它代数系统根理论的统一研究促使一般代数正规类根理论的建立 [1] - [15]，为了进一步统一的研究一般代数正规类中根性质，文献 [16] - [23] 分别引入了可积代数正规类、完备代数正规类，对特殊根等进行了研究，并对一类特殊的半环——大半环(可做单侧减法的半环)建立了相应的根理论；文献 [24] [25] [26] [27] 对完备代数正规类进行了点态化，研究了点态化完备代数正规类中的亚直既约代数类确定的上根——反单根、遗传幂等根、补根、对偶根、子幂等根、诣零根、 $\lambda$ -根 $\lambda$ 、正则根、 $\kappa$ -根和 $\beta$ -根的结构性质，文献 [28] 使用预根概念给出了根类的一个映射刻画。

本文在文献 [24] [25] [26] [27] [28] 建立的点态化完备代数正规类基础上，定义了点态化完备代数正规类中的低幂等根，证明了Boolean根 $\beta$ 、正则根ν、遗传幂等根 $\chi$ 、 $\lambda$ -根 $\lambda$ 、幂等代数根 $\iota$ 都是低幂等根，并且这5个低幂等根满足 $\beta \le \nu \le \chi \le \lambda \le \iota$，其中Boolean根 $\beta$ 、正则根ν、遗传幂等根 $\chi$ 是遗传的，从而是子幂等根， $\lambda$ -根 $\lambda$ 、幂等代数根 $\iota$ 不是遗传根，从而是非遗传低幂等根，故不是子幂等根。进一步，证明了低幂等根半单类包含所有0乘代数，幂等代数根 $\iota$ 半单类满足弱同态闭性质。

2. 预备知识及基本引理

点态化完备代数正规类的相关概念及性质参见文献 [24] [25] [26] [27] [28]，为了建立每个代数的子代数乘积与S_a中点乘积之间的联系，本文使用文献 [26] [27] 中强化了的点乘积公理。

首先引入根类判别的2组条件。

引理2.1 [26]： $A$ 是一个代数类， $\text{R}\subseteq A$ R为 $A$ 中的一个根类 $\iff$ R满足以下3个条件：

(a) $\forall a\in A$， $i⊲a$，如果 $a\in \text{R}$，则 $a/i\in \text{R}$ (即R商闭)；

(b) $\forall a\in A$，a有一个最大的R-理想(记为R(a))；

( $\text{<mover accent="true"> <mi> c </mi> <mo> ¯ </mo> </mover>}$ ) $\forall a\in A$， $i⊲a$，如果 $i,a/i\in \text{R}$，则有 $a\in \text{R}$ (称R扩张闭)。

引理2.2 [26]： $A$ 是一个代数类， $\text{R}\subseteq A$，R为A中的一个根类 $\iff$ R满足以下3个条件：

(a) $\forall a\in A$， $i⊲a$，如果 $a\in \text{R}$，则 $a/i\in \text{R}$ (即R商闭)；

( $\text{<mover accent="true"> <mi> b </mi> <mo> ¯ </mo> </mover>}$ ) $\forall a\in A$，如果 $i_1⊲i_2⊲\cdots ⊲i_{\mu }⊲\cdots$ 是a的R-理想升链(即 $\forall \mu ,i_{\mu }\in \text{R}$ )，则理想 $\underset{\mu }{\vee }{i}_{\mu }\in \text{R}$ (称R有归纳性质)；

( $\text{<mover accent="true"> <mi> c </mi> <mo> ¯ </mo> </mover>}$ ) $\forall a\in A$， $i⊲a$，如果 $i,a/i\in \text{R}$，则有 $a\in \text{R}$ (称R扩张闭)。

定义2.3 [25]： $A$ 是一个代数类。

(1) $a\in A$，如果 $\forall i⊲a$，都有 $i^2=i$，则称代数a是遗传幂等的；

(2) R是一个根，如果：(1) R是遗传根；(2) R根代数都是幂等的；则称R是一个子幂等根。

记所有遗传幂等代数的类为 $\chi$，遗传幂等代数的类 $\chi$ 是根类， $\chi$ 根的补根是反单根(所有幂等心的亚直既约代数类确定的上根)。

定义2.4 [26]： $A$ 是一个代数类， $a\in A$， $\forall x\in S_a$，设

$axa=\langle \left\{yxz|y,z\in S_a\right\}\rangle$, $xax=\langle \left\{xyx|y\in S_a\right\}\rangle$.

(1) $x\in S_a$，如果有 $\langle x\rangle \le axa$，则称x是a的一个 $\lambda$ -元素；

(2) 如果 $\forall x\in S_a$，x是a的 $\lambda$ -元素，则称a是一个 $\lambda$ -代数；

(3) $x\in S_a$，如果有 $\langle x\rangle \le xax$，则称x是a的一个正则元素；

(4) 如果 $\forall x\in S_a$，x是a的正则元素，则称a是一个正则代数。

记所有 $\lambda$ -代数的类为 $\lambda$，记所有正则代数的类为ν。 $\lambda$ -代数类 $\lambda$ 与正则代数类ν都是根类，正则根ν是遗传根，但不是超幂零根，从而不是特殊根。

$axa=\langle \left\{yxz|y,z\in S_a\right\}\rangle =a\left(x\right)a⊲a$,

$xax=\langle \left\{xyx|y\in S_a\right\}\rangle =\langle x\rangle a\langle x\rangle$.

定义2.5 [27]： $A$ 是一个代数类。

(1) $x\in S_a$，如果有 $\langle x^2\rangle =\langle x\rangle$，则称x是一个幂等元；

(2) 如果 $\forall x\in S_a$，有 $\langle x^2\rangle =\langle x\rangle$，则称a是Boolean代数。

记所有Boolean代数的类为β。Boolean代数类β是遗传根类、左遗传根、右遗传根及强遗传根，但不是超幂零根。

Boolean根 $\beta$ 、正则根ν、遗传幂等根 $\chi$ 、 $\lambda$ -根 $\lambda$ 分别是文献 [25] [26] [27] 中引入的4个具体根，下面引入低幂等根及幂等代数根类概念。

定义2.6： $A$ 是一个代数类。

(1) $a\in A$，如果 $a^2=a$，则称代数a是一个幂等代数；

(2) R是一个根，如果R-代数都是幂等代数，则称R是一个低幂等根。

记所有幂等代数的类为 $\iota$。

由定义即有：

引理2.7：R是一个根，则：R是子幂等根 $\iff$ R是一个遗传的低幂等根。

3. 点态化完备代数正规类中的低幂等根

本节证明所有幂等代数的类 $\iota$ 构成一个根类，并讨论Boolean根 $\beta$ 、正则根ν、遗传幂等根 $\chi$ 、 $\lambda$ -根 $\lambda$ 、幂等代数根 $\iota$ 的关系及低幂等根的一个性质。

$A$ 是一个完备代数正规类。

定理3.1：幂等代数类 $\iota$ 是一个根类。

证明：(1) 设 $a\in \beta$， $i⊲a$， $\forall x\in S_{a/i}$。由 $a\in \iota$，则 $a^2=a$，所以

${\left(a/i\right)}^2=\left(a^2\vee i\right)/i=\left(a\vee i\right)/i=a/i$,

从而a/i是幂等代数，代数类 $\iota$ 对商闭。

(2) $\forall a\in A$，如果 $i_1\le i_2\le \cdots \le i_{\mu }\le \cdots$ 是a的 $\iota$ -理想升链，则 $\forall \mu$， $i_{\mu }^2=i_{\mu }$，故

$\vee i_{\mu }=\vee i_{\mu }^2\le {\left(\vee i_{\mu }\right)}^2\le \vee i_{\mu }$,

从而 ${\left(\vee i_{\mu }\right)}^2=\vee i_{\mu }$，即 $\vee i_{\mu }$ 是幂等代数，代数类 $\iota$ 有归纳性质。

(3) $\forall a\in A$， $i⊲a$，如果 $i,a/i\in \iota$，则 $i^2=i$， ${\left(a/i\right)}^2=a/i$。因为 ${\left(a/i\right)}^2=\left(a^2\vee i\right)/i$，所以

$a=a^2\vee i=a^2\vee i^2\le a^2\vee a^2=a^2$,

即 $a\in \iota$，代数类 $\iota$ 扩张闭。

根据引理2.2，幂等代数类 $\iota$ 是一个根类。证毕。

根 $\iota$ 称幂等代数根，幂等代数根 $\iota$ 是最大的低幂等根。对结合环类，整数环Z是幂等环，但Z的理想2Z有 ${\left(2\text{Z}\right)}^2=4\text{Z}\ne 2\text{Z}$，故幂等代数根 $\iota$ 不是遗传根，从而幂等代数根 $\iota$ 不是子幂等根。

定理3.2：正则根ν代数都是幂等根代数，从而正则根ν代数是遗传幂等根代数。

证明：设a是正则代数， $i⊲a$，则 $\forall x\in S_i$， $\langle x\rangle \le xax\le \langle x\rangle a\langle x\rangle \le iai\le i^2$，所以 $i\le i^2$，进而 $i^2=i$。又因为正则根ν是遗传根，所以正则根ν是遗传幂等根。证毕。

由定理3.2有 $\nu \le \chi$。

定理3.3：遗传幂等根 $\chi$ 代数都是 $\lambda$ -代数。

证明：设a是遗传幂等根 $\chi$ 代数， $x\in S_a$，有 $\langle x\rangle \le \left(x\right)={\left(x\right)}^2={\left(x\right)}^3\le axa$，即a是 $\lambda$ -代数。证毕。

由定理3.3有 $\chi \le \lambda$。

定理3.4： $\lambda$ -代数都是幂等代数。

证明：设a是 $\lambda$ -代数， $x\in S_a$，有 $\langle x\rangle \le axa=a\left(x\right)a\le aa=a^2$，所以 $a\le a^2$，进而 $a^2=a$，即a是幂等代数。证毕。

由定理3.4有 $\lambda \le \iota$。

定理3.5：Boolean代数都是正则代数。

证明：设a是Boolean代数， $x\in S_a$，有 $\langle x\rangle =\langle x^2\rangle ={\langle x\rangle }^2={\langle x\rangle }^3\le \langle x\rangle a\langle x\rangle =xax$，所以x是a的正则代数元素，进而a是正则代数。证毕。

由定理3.5有 $\beta \le \nu$。

由定理3.1~3.5知，Boolean根 $\beta$ 、正则根ν、遗传幂等根 $\chi$ 、 $\lambda$ -根 $\lambda$ 、幂等代数根 $\iota$ 都是低幂等根，其中Boolean根 $\beta$ 、正则根ν、遗传幂等根 $\chi$ 是遗传的，从而是子幂等根， $\lambda$ -根 $\lambda$ 、幂等代数根 $\iota$ 不是遗传根，从而是非遗传低幂等根，故不是子幂等根。并且这5个低幂等根满足 $\beta \le \nu \le \chi \le \lambda \le \iota$，在结合环类中有 $\beta <\nu <\chi <\lambda <\iota$。

定理3.6：设 $a\in A$，R是低幂等根，则R-半单代数类PR满足条件(*)：

(*) 如果 $i⊲a$ 且 $a^2=0$，则 $a/i\in \text{PR}$。

证明：R是一个低幂等根，则PR中不含非0幂等代数。 $i⊲a$ 且 $a^2=0$， $\text{R}\left(a/i\right)=j/i$， $j⊲a$， $i\le j$，则 ${\left(j/i\right)}^2=j/i$。由 $a^2=0$ 有 ${\left(j/i\right)}^2\le {\left(a/i\right)}^2=0$，所以 $j/i=0$，即 $a/i\in \text{PR}$。证毕。

条件(*)即：低幂等根半单类包含所有0乘代数。

定理3.7：设 $a\in A$，R是幂等代数根 $\iota$，PR是R-半单代数类，则满足弱同态闭性质：

如果 $i⊲a\in \text{PR}$ 且 $i^2=0$，则 $a/i\in \text{PR}$。

证明：如果存在 $i⊲a\in \text{PR}$ 且 $i^2=0$，但 $a/i\notin \text{PR}$，则存在 $j⊲a$， $i\le j$，使得

$\text{0}\ne \text{R}\left(a/i\right)=j/i⊲a/i$。

由于 $j/i=\text{R}\left(a/i\right)$ 是R-根代数，从而 $j/i=\text{R}\left(a/i\right)$ 是幂等代数，即 $j/i={\left(j/i\right)}^2=\left(j^2\vee i\right)/i$，所以 $j=j^2\vee i$。进而

$j^2=\left(j^2\vee i\right)\left(j^2\vee i\right)\le j^4\vee j^{2}i\vee i{j}^2\vee i^2\le j^4\vee \left(j^2\wedge i\right)$,

$\begin{array}{c}{j}^4=\left(j^4\vee \left(j^2\wedge i\right)\right)\left(j^4\vee \left(j^2\wedge i\right)\right)\\ \le j^8\vee j^4\left(j^2\wedge i\right)\vee \left(j^2\wedge i\right)j^4\vee {\left(j^2\wedge i\right)}^2\\ \le j^8\vee j^6\vee j^6=j^6\le j^4,\end{array}$

其中 $j^{2}i\vee i{j}^2\le j^2\wedge i$， $j^4\left(j^2\wedge i\right)\vee \left(j^2\wedge i\right)j^4\le j^6$， ${\left(j^2\wedge i\right)}^2\le i^2=0$。因此

$j^4=j^6=j^2{j}^4=j^2{j}^6={\left(j^4\right)}^2$,

即 $j^4$ 是幂等代数，故 $j^4\in \text{R}=\iota$。又因为 $j^4⊲a\in \text{PR}$，所以 $j^4=0$， ${\left(j/i\right)}^4=0$， $j/i$ 是幂0代数。再由 $j/i={\left(j/i\right)}^2$，即得 $j/i=0$，与 $\text{0}\ne \text{R}\left(a/i\right)=j/i$ 矛盾。所以 $\forall i⊲a\in \text{PR}$ 且 $i^2=0$，则 $a/i\in \text{PR}$。证毕。

4. 小结

本文定义了点态化完备代数正规类中的低幂等根，证明了Boolean根 $\beta$ 、正则根ν、遗传幂等根 $\chi$ 、 $\lambda$ -根 $\lambda$ 、幂等代数根 $\iota$ 都是低幂等根，并且这5个低幂等根满足 $\beta \le \nu \le \chi \le \lambda \le \iota$，其中Boolean根 $\beta$ 、正则根ν、遗传幂等根 $\chi$ 是遗传的，从而是子幂等根， $\lambda$ -根 $\lambda$ 、幂等代数根 $\iota$ 不是遗传根，从而是非遗传低幂等根，故不是子幂等根。进一步，证明了低幂等根半单类包含所有0乘代数，幂等代数根 $\iota$ 半单类满足弱同态闭性质。

基金项目

国家自然科学基金(11861076)；云南省自然科学基金(2019FB139)。