一类含有参数的分数阶微分方程边值问题的单调算子方法

Monotone Operator Method for a Class of Boundary Value Problem of Fractional Differential Equations with Parameter

摘要: 利用单调算子和混合单调算子以及格林函数的性质，研究了一类含有参数的分数阶微分方程边值问题正解的存在唯一性，得到了存在唯一正解的充分条件和正解的若干性质，最后给出了两个具体的例子。

Abstract: By using monotone operator, mixed monotone operator and properties of Green function, the ex-istence and uniqueness of monotone operator method for a class of boundary value problem of fractional differential equations with parameter are studied and some sufficient conditions for the existence and uniqueness of a positive solution are obtained. Finally, two examples are given to illustrate the main results.

1. 引言

近三十年来，在包括分形现象在内的物理、工程等诸多应用学科领域的应用拓展，激发了科研人员对分数阶微积分的巨大热情。现在分数阶微分方程理论及其应用的研究已成为国内外研究的热点问题之一。在微分方程的理论研究及其应用中，含有参数的分数阶微分方程，包括特征值问题及边值条件中含有参数的分数阶微分方程都具有十分重要的研究价值，参见文献 [1] - [6] 及其参考文献。

最近，文献 [7] 研究了如下含参数的分数阶微分方程边值问题：

$\{\begin{array}{l}{}^{C}D{}_{0+}^{\alpha }x\left(t\right)+\lambda f\left(t,x\left(t\right)\right)=0,0<t<1,\\ ax\left(0\right)-b{x}^{\prime }\left(0\right)=0,x\left(1\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(x\left(s\right)\right)\text{d}s}+\mu .\end{array}$

作者利用不动点指数理论研究了参数对解的性质的影响。文献 [8] 研究了如下含参数的分数阶微分方程边值问题：

$\{\begin{array}{l}{D}_{0+}^{\delta }u\left(t\right)+f\left(t,u\left(t\right)\right)=0,a.e.t\in \left(0,1\right),\\ \underset{t\to 0^{+}}{\lim }{t}^{2-\delta }u\left(t\right)=a,u\left(1\right)=b.\end{array}$

作者利用上下解和Schauder不动点定理得到了边值问题至少有一个正解，两个正解和没有正解的充分条件。

受上述文献启发，本文研究如下含有非线性积分项的分数阶微分方程边值问题

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)+\lambda f\left(t,u\left(t\right)\right)=0,t\in \left(0,1\right],\\ \underset{t\to 0^{+}}{\lim }{t}^{2-\alpha }u\left(t\right)=0,u\left(1\right)=\lambda \left({\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(u\left(s\right)\right)\text{d}s}+b\right),\end{array}$ (1.1)

以及

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)+\lambda f\left(t,u\left(t\right)\right)=0,t\in \left(0,1\right],\\ \underset{t\to 0^{+}}{\lim }{t}^{2-\alpha }u\left(t\right)=0,u\left(1\right)=\lambda {\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(u\left(s\right)\right)\text{d}s},\end{array}$ (1.2)

其中 $D_{0^{+}}^{\alpha }$ 为 $\alpha$ 阶Riemann-Liouville分数阶导数， $\alpha \in \left(1,2\right]$， $b>0$，参数 $\lambda >0$， $k\in C\left(\left[0,1\right],\left[0,+\infty \right)\right)$， $f\in C\left(\left[0,1\right]\times \left[0,+\infty \right),\left[0,+\infty \right)\right)$， $g\in C\left(\left[0,+\infty \right),\left[0,+\infty \right)\right)$。当u有界时， $f\left(t,u\right)$ 在 $t\in \left(0,1\right]$ 上有界， $g\left(u\right)$ 有界。

2. 预备知识与引理

定义2.1 函数 $u:\left(0,+\infty \right)\to R$ 的 $\alpha >0$ 阶Riemann-Liouville分数积分定义为

$I_{0^{+}}^{\alpha }u\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^x\frac{u\left(t\right)}{{\left(x-t\right)}^{1-\alpha }}\text{d}t},$

等式的右端在 $\left(0,+\infty \right)$ 有定义。

定义2.2 连续函数 $u:\left(0,+\infty \right)\to R$ 的 $\alpha >0$ 阶Riemann-Liouville分数导数定义为

$D_{0^{+}}^{\alpha }u\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma \left(n-\alpha \right)}{\left(\frac{\text{d}}{\text{d}x}\right)}^n{\displaystyle {\int }_0^x\frac{u\left(t\right)}{{\left(x-t\right)}^{\alpha -n+1}}\text{d}t},$

等式的右端在 $\left(0,+\infty \right)$ 有定义，其中 $n=\min \left\{m\in Z:m\ge \alpha \right\}$。

定义2.3 边值问题(1.1)的解u称为正解，如果 $u\left(t\right)\ge 0$， $t\in \left(0,1\right]$，且 $\exists t_0\in \left(0,1\right]$，使得 $u\left(t_0\right)>0$。

下面，给出半序Banach空间中的一些基本概念 [9]。

设 $\left(E,\Vert \cdot \Vert \right)$ 是实Banach空间， $\theta$ 表示E中的零元。 $P\subset E$ 是一个锥，“ $\le$ ”是由P引出的半序，即 $\forall x,y\in E$， $y-x\in P\iff x\le y$。称锥P为正规的，如果存在常数 $N>0$，使得 $\theta \le x\le y\Rightarrow \Vert x\Vert \le N\Vert y\Vert$，称最小的N为P的正规常数。称 $x~y$，若 $\forall x,y\in E$， $\exists \lambda ,\mu >0$，使得 $\lambda x\le y\le \mu x$。对于给定的 $h>0$，定义 $P_h=\left\{x\in P:x~h\right\}$。

定义2.4 称 $A:P\times P\to P$ 是混合单调算子，若 $A\left(x,y\right)$ 关于x是增算子，关于y是减算子。即 $\forall u_1,u_2,v_1,v_2\in P$， $u_1\le u_2$， $v_1\le v_2$，有 $A\left(u_1,v_1\right)\le A\left(u_2,v_2\right)$。

引理2.5 [10] 设E是一个实Banach空间，P是E中的正规锥， $h>\theta$，算子 $A:P\to P$ 是增算子， $\exists h_0\in P_h$，使得 $A{h}_0\in P_h$，且 $\forall x\in P$， $r\in \left(0,1\right)$， $\exists \varphi \left(r\right)\in \left(r,1\right)$，使得 $A\left(rx\right)\ge \varphi \left(r\right)Ax$。则

(i) 方程 $Ax=x$ 在 $P_h$ 中有唯一解 $x^{*}$ ；

(ii) $\forall x_0\in P_h$，设 $x_n=A{x}_{n-1}$， $n=1,2,\cdots$，当 $n\to \infty$ 时，有 $x_n\to x^{*}$。

引理2.6 [10] 假设引理2.5中的条件成立， $x_{\lambda }$ 是方程 $Ax=\lambda x$ 的唯一解。则

(i) $x_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 严格单调递减，即 $\forall 0<{\lambda }_1<{\lambda }_2$，有 $x_{{\lambda }_1}>x_{{\lambda }_2}$ ；

(ii) 若 $\exists \beta \in \left(0,1\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 $\varphi \left(\tau \right)\ge {\tau }^{\beta }$，则 $x_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 连续，即由 $\lambda \to {\lambda }_0\left(\lambda >0\right)$ 有 $\Vert x_{\lambda }-x_{{\lambda }_0}\Vert \to 0$ ；

(iii) $\underset{\lambda \to 0^{+}}{\lim }\Vert x_{\lambda }\Vert =\infty$， $\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\Vert x_{\lambda }\Vert =0$。

引理2.7 [11] 设E是一个实Banach空间，P是E中的正规锥，算子 $A:P\times P\to P$ 是混合单调算子， $\exists h\in P$， $h\ne \theta$，使得 $A\left(h,h\right)\in P_h$，且 $\forall x,y\in P$， $r\in \left(0,1\right)$， $\exists \varphi \left(r\right)\in \left(r,1\right)$，使得 $A\left(rx,r^{-1}y\right)\ge \varphi \left(r\right)A\left(x,y\right)$。则

(i) 方程 $A\left(x,x\right)=x$ 在 $P_h$ 中有唯一解 $x^{*}$ ；

(ii) $\forall x_0,y_0\in P_h$，令 $x_n=A\left(x_{n-1},y_{n-1}\right)$， $y_n=A\left(y_{n-1},x_{n-1}\right)$， $n=1,2,\cdots$，有 $\Vert x_n-x^{*}\Vert \to 0$， $\Vert y_n-x^{*}\Vert \to 0$ ( $n\to \infty$ )。

引理2.8 [11] 假设引理2.7中的条件成立， $x_{\lambda }$ 是方程 $Ax=\lambda x$ 的唯一解。则

(i) 若 $\forall \tau \in \left(0,1\right)$，有 $\varphi \left(\tau \right)>{\tau }^{\frac{1}{2}}$，则 $x_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 严格单调递减，即 $\forall 0<{\lambda }_1<{\lambda }_2$，有 $x_{{\lambda }_1}>x_{{\lambda }_2}$ ；

(ii) 若 $\exists \beta \in \left(0,1\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 $\varphi \left(\tau \right)\ge {\tau }^{\beta }$，则 $x_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 连续，即由 $\lambda \to {\lambda }_0\left(\lambda >0\right)$ 有 $\Vert x_{\lambda }-x_{{\lambda }_0}\Vert \to 0$ ；

(iii) 若 $\exists \beta \in \left(0,\frac{1}{2}\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 $\varphi \left(\tau \right)\ge {\tau }^{\beta }$，则

$\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\Vert x_{\lambda }\Vert =0,\underset{\lambda \to 0^{+}}{\lim }\Vert x_{\lambda }\Vert =\infty .$

引理2.9 当 $\alpha \in \left(1,2\right]$， $\lambda >0$， $b\ge 0$， $y,z\in L\left(0,1\right]$ 时，边值问题

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)+y\left(t\right)=0,t\in \left(0,1\right],\\ \underset{t\to 0^{+}}{\lim }{t}^{2-\alpha }u\left(t\right)=a,u\left(1\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)z\left(s\right)\text{d}s}+\lambda b,\end{array}$ (2.1)

的解等价于如下积分方程的解

$u\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)y\left(d\right)\text{d}s}+t^{\alpha -1}{\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)z\left(s\right)\text{d}s}+\lambda b{t}^{\alpha -1},$ (2.2)

其中

$G\left(t,s\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}\{\begin{array}{l}{\left(1-s\right)}^{\alpha -1}{t}^{\alpha -1}-{\left(t-s\right)}^{\alpha -1},0\le s\le t\le 1,\\ {\left(1-s\right)}^{\alpha -1}{t}^{\alpha -1},0\le t\le s\le 1.\end{array}$

证明由

$D_{0^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)+y\left(t\right)=0,$

得

$u\left(t\right)=-\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}y\left(s\right)\text{d}s}+c_1{t}^{\alpha -1}+c_2{t}^{\alpha -2},$ (2.3)

$t^{2-\alpha }u\left(t\right)=-\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{t}^{2-\alpha }{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}y\left(s\right)\text{d}s}+c_{1}t+c_2.$

当 $t\to 0^{+}$ 时，得 $c_2=0$。将 $c_2=0$ 代入上式并令 $t=1$，得

$c_1={\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)z\left(s\right)\text{d}s}+\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^1{\left(1-s\right)}^{\alpha -1}y\left(s\right)\text{d}s}+\lambda b.$

将 $c_1,c_2$ 代入(2.3)，得

$u\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)y\left(s\right)\text{d}s}+t^{\alpha -1}{\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)z\left(s\right)\text{d}s}+\lambda b{t}^{\alpha -1}.$

另一方面，若u满足(2.2)，经计算u是边值问题的一个解。证毕。

引理2.10 [8] $G\left(t,s\right)$ 满足以下性质

(1) $G\left(t,s\right)>0,t,s>0$ ；

(2) $G\left(t,s\right)<\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)},t,s\ge 0$ ；

(3) $G\left(t,s\right)$ 在 $\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$ 上连续；

(4) 当 $0\le s<t\le 1$ 时， $G\left(t,s\right)$ 关于t单调递减。当 $0\le t<s\le 1$ 时， $G\left(t,s\right)$ 关于t单调递增。

(5) $\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}\left(\alpha -1\right)t\left(1-t\right)s{\left(1-s\right)}^{\alpha -1}\le t^{2-\alpha }G\left(t,s\right)\le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}s{\left(1-s\right)}^{\alpha -1},t,s\in \left(0,1\right)$。

令

$E=\left\{u\in C\left(0,1\right]:\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{t}^{2-\alpha }u\left(t\right)<+\infty \right\}.$

定义E中范数 $\Vert u\Vert =\underset{t\in \left(0,1\right]}{\sup }{t}^{2-\alpha }\left|u\left(t\right)\right|$，由 [8] 可知E是Banach空间。

令

$P=\left\{u\in E:u\left(t\right)\ge 0,t\in \left(0,1\right]\right\}.$

则P为E中的正规锥。

3. 单调算子方法

这里使用如下假设：

(H1) 对于固定的 $t\in \left(0,1\right]$， $f\left(t,u\right)$ 关于 $u\in \left[0,+\infty \right)$ 单调递增，且 $\forall \tau \in \left(0,1\right)$， $\exists {\varphi }_1\left(\tau \right)\in \left(\tau ,1\right]$，使得 $f\left(t,\tau u\right)\ge {\varphi }_1\left(\tau \right)f\left(t,u\right)$， $\forall u\in P$， $t\in \left(0,1\right]$ ；

(H2) $g\left(u\right)$ 关于 $u\in \left[0,+\infty \right)$ 单调递增，且 $\forall \tau \in \left(0,1\right)$， $\exists {\varphi }_3\left(\tau \right)\in \left(\tau ,1\right]$，使得 $g\left(\tau u\right)\ge {\varphi }_3\left(\tau \right)g\left(u\right)$， $\forall u\in P$ ；

(H3) ${\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(0\right)\text{d}s}>0$ ；

令

$h\left(t\right)=t^{\alpha -1},t\in \left(0,1\right].$

定义算子

$Au\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s}+t^{\alpha -1}{\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(u\left(s\right)\right)\text{d}s}+b{t}^{\alpha -1},u\in P,t\in \left(0,1\right].$

显然， $A:P\to P$。

定理3.1 设(H1)和(H2)成立，则 $\forall \lambda >0$，边值问题(1.1)存在唯一的正解 $u_{\lambda }\in P_h$，且 $\forall u_0\in P_h$，设 $u_n=A{u}_{n-1}$， $n=1,2,\cdots$，有 $u_n\to u_{\lambda }$ ( $n\to \infty$ )。 $u_{\lambda }$ 满足：

(i) $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 严格单调递增；

(ii) 若 $\exists \beta \in \left(0,1\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 $\varphi \left(\tau \right)\ge {\tau }^{\beta }$，则 $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 连续；

(iii) $\underset{\lambda \to 0^{+}}{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =0$， $\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =\infty$。

证明 由(H1)和(H2)可知A是增算子。记 ${\varphi }_A\left(\tau \right)=\min \left\{{\varphi }_1\left(\tau \right),{\varphi }_3\left(\tau \right)\right\}$，再由(H1)和(H2)可知 $\forall \tau \in \left(0,1\right)$，有

$\begin{array}{c}A\left(\tau u\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)f\left(s,\tau u\left(s\right)\right)\text{d}s}+t^{\alpha -1}{\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(\tau u\left(s\right)\right)\text{d}s}+b{t}^{\alpha -1}\\ \ge {\varphi }_A\left(\tau \right){\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s}+t^{\alpha -1}{\varphi }_A\left(\tau \right){\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(v\left(s\right)\right)\text{d}s}+b{t}^{\alpha -1}\\ \ge {\varphi }_A\left(\tau \right)Au\left(t\right),\forall u\in P,t\in \left(0,1\right].\end{array}$

根据算子A的定义，有

$Ah\ge hb.$

又因为

$Ah\left(t\right)\le h\left(t\right)\left(\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^1{\left(1-s\right)}^{\alpha -1}f\left(s,1\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(1\right)\text{d}s}+b\right),\forall t\in \left(0,1\right].$

由此可知 $Ah\in P_h$。

由引理2.5可知 $\forall \lambda >0$，边值问题(1.1)存在唯一的正解 $u_{\lambda }\in P_h$，且 $\forall u_0\in P_h$，设 $u_n=A{u}_{n-1}$， $n=1,2,\cdots$，有 $u_n\to u_{\lambda }$ ( $n\to \infty$ )。由引理2.6可知 $u_{\lambda }$ 满足：

(i) $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 严格单调递增；

(ii) 若 $\exists \beta \in \left(0,1\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 $\varphi \left(\tau \right)\ge {\tau }^{\beta }$，则 $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 连续；

(iii) $\underset{\lambda \to 0^{+}}{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =0$， $\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =\infty$。证毕。

定理3.2 设(H1)，(H2)和(H3)成立，则 $\forall \lambda >0$，边值问题(1.2)存在唯一的正解 $u_{\lambda }\in P_h$，且 $\forall u_0\in P_h$，设 $u_n=A{u}_{n-1}$， $n=1,2,\cdots$，有 $u_{\lambda }^n\to u_{\lambda }$ ( $n\to \infty$ )。 $u_{\lambda }$ 满足：

(i) $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 严格单调递增；

(ii) 若 $\exists \beta \in \left(0,1\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 $\varphi \left(\tau \right)\ge {\tau }^{\beta }$，则 $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 连续；

(iii) $\underset{\lambda \to 0^{+}}{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =0$， $\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =\infty$。

证明 根据算子A的定义及(H2)，有

$Ah\left(t\right)\ge h\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(0\right)\text{d}s},\forall t\in \left(0,1\right].$

又因为

$Ah\left(t\right)\le h\left(t\right)\left(\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^1{\left(1-s\right)}^{\alpha -1}f\left(s,1\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(1\right)\text{d}s}+b\right),\forall t\in \left(0,1\right].$

由此可知 $Ah\in P_h$。其余证明过程类似于定理3.1。证毕。

4. 混合单调算子方法

这里使用如下假设：

(H4) 对于固定的 $t\in \left(0,1\right]$， $f\left(t,u\right)$ 关于 $u\in \left[0,+\infty \right)$ 单调递减，且 $\forall \tau \in \left(0,1\right)$， $\exists {\varphi }_2\left(\tau \right)\in \left(\tau ,1\right]$，使得 $f\left(t,{\tau }^{-1}u\right)\ge {\varphi }_2\left(\tau \right)f\left(t,u\right)$， $\forall u\in P$， $t\in \left(0,1\right]$ ；

(H5) $g\left(u\right)$ 关于 $u\in \left[0,+\infty \right)$ 单调递减，且 $\forall \tau \in \left(0,1\right)$， $\exists {\varphi }_4\left(\tau \right)\in \left(\tau ,1\right]$，使得 $g\left({\tau }^{-1}u\right)\ge {\varphi }_4\left(\tau \right)g\left(u\right)$， $\forall u\in P$ ；

(H6) ${\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(1\right)\text{d}s}>0$。

定义算子

$B\left(u,v\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s}+t^{\alpha -1}{\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(v\left(s\right)\right)\text{d}s}+b{t}^{\alpha -1},u,v\in P,t\in \left(0,1\right].$

显然 $B:P\times P\to P$。

定理4.1 设(H1)和(H5)成立，则 $\forall \lambda >0$，边值问题(1.1)存在唯一的正解 $u_{\lambda }\in P_h$，且 $\forall u_0,v_0\in P_h$，设 $u_n=B\left(u_{n-1},v_{n-1}\right)$， $v_n=B\left(v_{n-1},u_{n-1}\right)$， $n=1,2,\cdots$，有 $\Vert u_n-u_{\lambda }\Vert \to 0$ ( $n\to \infty$ )， $\Vert v_n-u_{\lambda }\Vert \to 0$。 $u_{\lambda }$ 满足：

(i) 若 $\forall \tau \in \left(0,1\right)$，有 $\varphi \left(\tau \right)>{\tau }^{\frac{1}{2}}$，则 $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 严格单调递增；

(ii) 若 $\exists \beta \in \left(0,1\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 $\varphi \left(\tau \right)\ge {\tau }^{\beta }$，则 $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 连续；

(iii) 若 $\exists \beta \in \left(0,\frac{1}{2}\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 $\varphi \left(\tau \right)\ge {\tau }^{\beta }$，则

$\underset{\lambda \to 0^{+}}{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =0,\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =\infty .$

证明 由(H1)和(H5)可知B是混合单调算子。

再由(H1)和(H5)可知 $\forall \tau \in \left(0,1\right)$，记 ${\varphi }_B\left(\tau \right)=\min \left\{{\varphi }_1\left(\tau \right),{\varphi }_4\left(\tau \right)\right\}$，有

$\begin{array}{c}B\left(\tau u,{\tau }^{-1}v\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)f\left(s,\tau u\left(s\right)\right)\text{d}s}+t^{\alpha -1}{\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left({\tau }^{-1}v\left(s\right)\right)\text{d}s}+b{t}^{\alpha -1}\\ \ge {\varphi }_B\left(\tau \right){\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s}+t^{\alpha -1}{\varphi }_B\left(\tau \right){\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(v\left(s\right)\right)\text{d}s}+b{t}^{\alpha -1}\\ \ge {\varphi }_B\left(\tau \right)B\left(u,v\right)\left(t\right),\forall u,v\in P,t\in \left(0,1\right].\end{array}$

根据算子B的定义，有

$B\left(h,h\right)\ge hb,$

又因为

$B\left(h,h\right)\left(t\right)\le h\left(t\right)\left(\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^1{\left(1-s\right)}^{\alpha -1}f\left(s,1\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(0\right)\text{d}s}+b\right),\forall t\in \left(0,1\right].$

由此可知 $B\left(h,h\right)\in P_h$。

由引理2.7可知， $\forall \lambda >0$，边值问题(1.1)存在唯一的正解 $u_{\lambda }\in P_h$，且 $\forall u_0,v_0\in P_h$，设 $u_n=B\left(u_{n-1},v_{n-1}\right)$， $v_n=B\left(v_{n-1},u_{n-1}\right)$， $n=1,2,\cdots$，有 $\Vert u_n-u_{\lambda }\Vert \to 0$ ( $n\to \infty$ )， $\Vert v_n-u_{\lambda }\Vert \to 0$。由引理2.8可知， $u_{\lambda }$ 满足：

(i) 若 $\forall \tau \in \left(0,1\right)$，有 $\varphi \left(\tau \right)>{\tau }^{\frac{1}{2}}$，则 $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 严格单调递增；

(ii) 若 $\exists \beta \in \left(0,1\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 $\varphi \left(\tau \right)\ge {\tau }^{\beta }$，则 $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 连续；

(iii) 若 $\exists \beta \in \left(0,\frac{1}{2}\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 $\varphi \left(\tau \right)\ge {\tau }^{\beta }$，则

$\underset{\lambda \to 0^{+}}{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =0,\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =\infty .$

证毕。

类似于定理4.1可证如下结论。

定理4.2 设(H2)和(H4)成立，则 $\forall \lambda >0$，边值问题(1.1)存在唯一的正解 $u_{\lambda }\in P_h$，且 $\forall u_0,v_0\in P_h$，设 $u_n=B\left(u_{n-1},v_{n-1}\right)$， $v_n=B\left(v_{n-1},u_{n-1}\right)$， $n=1,2,\cdots$，有 $\Vert u_n-u_{\lambda }\Vert \to 0$ ( $n\to \infty$ )， $\Vert v_n-u_{\lambda }\Vert \to 0$。 $u_{\lambda }$ 满足：

(i) 若 $\forall \tau \in \left(0,1\right)$，有 $\varphi \left(\tau \right)>{\tau }^{\frac{1}{2}}$，则 $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 严格单调递增；

(ii) 若 $\exists \beta \in \left(0,1\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 $\varphi \left(\tau \right)\ge {\tau }^{\beta }$，则 $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 连续；

(iii) 若 $\exists \beta \in \left(0,\frac{1}{2}\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 $\varphi \left(\tau \right)\ge {\tau }^{\beta }$，则

$\underset{\lambda \to 0^{+}}{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =0,\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =\infty .$

定理4.3 设(H1)，(H5)和(H6)成立，则 $\forall \lambda >0$，边值问题(1.2)存在唯一的正解 $u_{\lambda }\in P_h$，且 $\forall u_0,v_0\in P_h$，设 $u_n=B\left(u_{n-1},v_{n-1}\right)$， $v_n=B\left(v_{n-1},u_{n-1}\right)$， $n=1,2,\cdots$，有 $\Vert u_n-u_{\lambda }\Vert \to 0$ ( $n\to \infty$ )， $\Vert v_n-u_{\lambda }\Vert \to 0$。 $u_{\lambda }$ 满足：

(i) 若 $\forall \tau \in \left(0,1\right)$，有 $\varphi \left(\tau \right)>{\tau }^{\frac{1}{2}}$，则 $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 严格单调递增；

(ii) 若 $\exists \beta \in \left(0,1\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 $\varphi \left(\tau \right)\ge {\tau }^{\beta }$，则 $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 连续；

(iii) 若 $\exists \beta \in \left(0,\frac{1}{2}\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 $\varphi \left(\tau \right)\ge {\tau }^{\beta }$，则

$\underset{\lambda \to 0^{+}}{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =0,\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =\infty .$

证明 根据算子B的定义及(H5)，有

$B\left(h,h\right)\left(t\right)\ge h\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(1\right)\text{d}s},\forall t\in \left(0,1\right].$

又因为

$B\left(h,h\right)\left(t\right)\le h\left(t\right)\left(\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^1{\left(1-s\right)}^{\alpha -1}f\left(s,1\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(0\right)\text{d}s}+b\right),\forall t\in \left(0,1\right].$

由此可知 $B\left(h,h\right)\in P_h$。其余证明过程类似于定理4.1。证毕。

类似于定理4.1和定理4.3的证明可得如下结论。

定理4.4 设(H2)，(H3)和(H4)成立，则 $\forall \lambda >0$，边值问题(1.2)存在唯一的正解 $u_{\lambda }\in P_h$，且 $\forall u_0,v_0\in P_h$，设 $u_n=B\left(u_{n-1},v_{n-1}\right)$， $v_n=B\left(v_{n-1},u_{n-1}\right)$， $n=1,2,\cdots$，有 $\Vert u_n-u_{\lambda }\Vert \to 0$ ( $n\to \infty$ )， $\Vert v_n-u_{\lambda }\Vert \to 0$。 $u_{\lambda }$ 满足：

(i) 若 $\forall \tau \in \left(0,1\right)$，有 $\varphi \left(\tau \right)>{\tau }^{\frac{1}{2}}$，则 $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 严格单调递增；

(ii) 若 $\exists \beta \in \left(0,1\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 $\varphi \left(\tau \right)\ge {\tau }^{\beta }$，则 $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 连续；

(iii) 若 $\exists \beta \in \left(0,\frac{1}{2}\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 $\varphi \left(\tau \right)\ge {\tau }^{\beta }$，则

$\underset{\lambda \to 0^{+}}{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =0,\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =\infty .$

5. 例子

例1 考虑如下边值问题

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)+\lambda f\left(t,u\left(t\right)\right)=0,t\in \left(0,1\right],\\ \underset{t\to 0^{+}}{\lim }{t}^{2-\alpha }u\left(t\right)=0,u\left(1\right)=\lambda \left({\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(u\left(s\right)\right)\text{d}s}+b\right),\end{array}$ (5.1)

其中

$f\left(t,u\right)=\frac{u^{\frac{1}{5}}}{1+t},g\left(u\right)=u^{\frac{1}{5}},\lambda >0,b=2.$

$\forall u\in P$， $\tau \in \left(0,1\right)$， $t\in \left(0,1\right]$，取 ${\varphi }_1\left(\tau \right)={\tau }^{\frac{1}{4}}\in \left(\tau ,1\right]$，则

$f\left(t,\tau u\right)=\frac{{\tau }^{\frac{1}{5}}{u}^{\frac{1}{5}}}{1+t}\ge \frac{{\tau }^{\frac{1}{4}}{u}^{\frac{1}{5}}}{1+t}={\varphi }_1\left(\tau \right)f\left(t,u\right),g\left(\tau u\right)={\tau }^{\frac{1}{5}}{u}^{\frac{1}{5}}\ge {\tau }^{\frac{1}{4}}{u}^{\frac{1}{5}}={\varphi }_1\left(\tau \right)g\left(u\right).$

满足(H1)和(H2)。令 ${\beta }_1=\frac{1}{3}\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 ${\varphi }_1\left(\tau \right)\ge {\tau }^{{\beta }_1}$。由定理3.1可知 $\forall \lambda >0$，方程(5.1)存在唯一的正解 $u_{\lambda }\in P_h$，且 $\forall u_0\in P_h$，设 $u_n=A{u}_{n-1}$， $n=1,2,\cdots$，有 $u_n\to u_{\lambda }$ ( $n\to \infty$ )。 $u_{\lambda }$ 满足：

(i) $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 严格单调递增；

(ii) $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 连续；

(iii) $\underset{\lambda \to 0^{+}}{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =0$， $\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =\infty$。

例2 考虑如下边值问题

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)+\lambda f\left(t,u\left(t\right)\right)=0,t\in \left(0,1\right],\\ \underset{t\to 0^{+}}{\lim }{t}^{2-\alpha }u\left(t\right)=0,u\left(1\right)=\lambda \left({\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(s\right)g\left(u\left(s\right)\right)\text{d}s}+b\right),\end{array}$ (5.2)

其中

$f\left(t,u\right)=t^2{u}^{\frac{1}{9}},g\left(u\right)=u^{-\frac{1}{9}},\lambda >0,b=5.$

$\forall u\in P$， $\tau \in \left(0,1\right)$， $t\in \left(0,1\right]$，取 ${\varphi }_2\left(\tau \right)={\tau }^{\frac{1}{7}}\in \left(\tau ,1\right]$，则

$f\left(t,\tau u\right)=t^2{\tau }^{\frac{1}{9}}{u}^{\frac{1}{9}}\ge t^2{\tau }^{\frac{1}{7}}{u}^{\frac{1}{9}}={\varphi }_2\left(\tau \right)f\left(t,u\right),g\left({\tau }^{-1}u\right)={\tau }^{\frac{1}{9}}{u}^{-\frac{1}{9}}\ge {\tau }^{\frac{1}{7}}{u}^{-\frac{1}{9}}={\varphi }_2\left(\tau \right)g\left(u\right).$

满足(H1)和(H5)。令 ${\beta }_2=\frac{1}{4}\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$，当 $\tau \in \left(0,1\right)$ 时，有 ${\varphi }_2\left(\tau \right)\ge {\tau }^{{\beta }_2}$。由定理4.1可知 $\forall \lambda >0$，方程(5.2)存在唯一的正解 $u_{\lambda }\in P_h$，且 $\forall u_0,v_0\in P_h$，设 $u_n=B\left(u_{n-1},v_{n-1}\right)$， $v_n=B\left(v_{n-1},u_{n-1}\right)$， $n=1,2,\cdots$，有 $\Vert u_n-u_{\lambda }\Vert \to 0$， $\Vert v_n-u_{\lambda }\Vert \to 0$ ( $n\to \infty$ )。 $u_{\lambda }$ 满足：

(i) $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 严格单调递增；

(ii) $u_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 连续；

(iii) $\underset{\lambda \to 0^{+}}{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =0$， $\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\Vert u_{\lambda }\Vert =\infty$。

基金项目

国家自然科学基金(11361047)。

NOTES

^*通讯作者。