S-Poset内射包的一个注记

A Note on Injective Hulls of S-Poset

摘要: 设S是一个序半群，本文采用序代数理论和quantale理论中的研究方法，在以S-poset为对象以S-次可乘映射为态射的范畴中，对于一类特殊的态射ε_≤，构造了S-poset的内射包。本文的结果不仅推广了基于S是序幺半群时的相应结果，而且也得到了剩余S-poset的内射包。

Abstract: Let S be a posemigroup. Inspired by the study method of order algebra theory and quantale theory, we construct an  -injective hull for an arbitrary S-poset in the category of S-poset with S-submultiplicative morphisms with respect to a specific class of morphisms ε_≤. The results of the present paper not only generalize the corresponding results based on S be a pomonoid but also lead to injective hull for residuated S-poset.

1. 引言

受群作用和环的模理论研究的启发，在众多的学科中都产生了半群作用相关结构。因此在不同的领域半群作用有着不同的名称，比如：S-自动机，S-操作数，S-多边形，S-集，S-代数等 [1] [2] [3] [4]。作为半群作用与偏序集理论的结合，S-poset理论近年来得到了发展 [5] - [10]。粗略地说，S-poset是一个带有序半群S-作用并且满足一定的相容条件的偏序集。

内射性是重要的范畴性质，在以S-poset为对象的范畴中，内射性也得到了众多的关注与研究 [1] [5] [6] [7] [11]。目前对于该范畴的研究，S通常被假定为一个序幺半群，带有的态射不同，该范畴的性质相应的也不同。为了得到以S-poset为对象的范畴中的内射对象的完整刻画，在文献 [11] 中，研究了以S-poset为对象以S-次可乘映射为态射构成的范畴中的内射对象，并进一步得到了S-poset相对于一类 ${\epsilon }_{\le }$ 态射的内射包。但，文献 [11] 中的主要结果是基于S为序幺半群得到的，因此，一个自然的问题是，这些结果能否推广到S是一般的序半群上，这是本文的主要动机。在以S-poset为对象以S-次可乘映射为态射构成的范畴中，对于一类特殊的态射 ${\epsilon }_{\le }$，本文构造了任意S-poset的内射包。

2. 预备知识

设P是一个偏序集 [12]， $A\subseteq P$，定义 $\downarrow A=\{x\in P:\exists a\in A,s.t.x\le a\}$。如果 $A=\downarrow A$，则称A为下集。 $\downarrow a=\downarrow \left\{a\right\}$。本文用到的其它有关偏序集的概念和结论请参考文献 [12]。

定义2.1 [13] 设 $\left(S,\otimes \right)$ 是半群， $\left(S,\le \right)$ 是偏序集。如果 $\le$ 关于半群的乘法 $\otimes$ 是相容的，即 $\forall s_1,s_2,t_1,t_2\in S,s_1\le t_1,s_2\le t_2$，有 $s_1\otimes s_2\le t_1\otimes t_2$，则称 $\left(S,\otimes ,\le \right)$ 为序半群。进一步，如果 $\left(S,\otimes \right)$ 是一个幺半群，则称 $\left(S,\otimes ,\le \right)$ 是序幺半群。

如果没有特别说明，本文中的 $\left(S,\otimes ,\le \right)$ 均为序半群， $S^1$ 表示一个序幺半群带有幺元1。

定义2.2 [5] 设 $\left(A,\le \right)$ 是一个偏序集， $\ast :S\times A\to A$ 是一个映射( $\forall \left(s,a\right)\in S\times A$， $\ast \left(s,a\right)$ 记为 $s\ast a$ )。如果对任意的 $a,b\in A,s,t\in S$，满足以下条件：

(1) $\left(s\otimes t\right)\ast a=s\ast \left(t\ast a\right)$ ；

(2) $s\le t,a\le b\Rightarrow s\ast a\le t\ast b$，

则称 $\left(A,\ast ,\le \right)$ 为S-poset，为方便简记为 ${}_{S}A$ 或A。如果 $S^1$ 是一个序幺半群，S¹-poset A还需满足： $\forall a\in A,1\ast a=a$。

定义2.3 [11] 设 $\left({}_{S}A,\ast ,\le \right)$ 是S-poset， $\left(A,\le \right)$ 是完备格，且 $\forall M\subseteq A,s\in S$，都有 $s\ast \left(\vee M\right)=\vee \{s\ast m|m\in M\}$，则称 ${}_{S}Q$ 是一个S-quantale。 $s\ast \_:A\to A$ 有伴右随，记为 $s{\to }_S\_:A\to A$。

设 $\left({}_{S}A,\ast ,\le \right)$ 和 $\left({}_{S}B,\ast ,\le \right)$ 是S-poset，称映射 $f:{}_{S}A\to {}_{S}B$ 是S-可乘的(相应的，S-次可乘的)，如果 $\forall a\in A,s\in S$， $s\ast f\left(a\right)=f\left(s\ast a\right)$ (相应的， $s\ast f\left(a\right)\le f\left(s\ast a\right)$ )。

设 $\left({}_{S}A,\ast ,\le \right)$ 和 $\left({}_{S}B,\ast ,\le \right)$ 是S-poset，称映射 $f:{}_{S}A\to {}_{S}B$ 是S-poset同态(相应的S-poset次同态)，如果 $f:\left(A,\le \right)\to \left(B,\le \right)$ 是保序映射且f是S-可乘的(相应的，S-次可乘的)。

以S-poset为对象以S-poset同态为态射的范畴记为 ${}_{S}Pos$。

以S-poset为对象以S-poset次同态为态射的范畴记为 ${}_{S}Po{s}^{\le }$。

定义2.4 [14] 设 $A$ 是一个范畴，M是 $\text{A}$ 中的一个态射类，

1) 称 $A$ 中的对象C为M-内射的，如果对M中的任意态射 $m:A\to B$ 以及 $\text{A}$ 中的态射 $f:A\to C$，都存在唯一的态射 $g:B\to C$ 使得 $f=g\circ m$。

2) 称M中的态射 $m:A\to B$ 为M-本质的，如果对 $A$ 中任意态射 $f:B\to C$， $f\circ m\in M$ 有 $f\in M$。

3) 对于 $A$ 中的对象A的和对象B，称对象B是对象A的M-内射包，如果对象B是M-内射的，且存在一个M-本质态射 $m:A\to B$。

有关范畴的相关知识，本文未作解释的请参考文献 [14]。

3. 主要结果

注意本文中的S是一个序半群而不是序幺半群。但是根据文献 [11]，我们可以得到一系列相似的结论。为简明起见，我们省掉类似的证明。

设 $\epsilon$ 表示是序嵌入的S-poset同态构成的类。设 ${\epsilon }_{\le }$ 表示范畴 ${}_{S}Po{s}^{\le }$ 中满足条件： $\forall a,a^{\prime }\in A,s\in S$， $s\ast e\left(a\right)\le e\left(a^{\prime }\right)\Rightarrow s\ast a\le a^{\prime }$ 的态射构成的类。显然， $\epsilon \subseteq {\epsilon }_{\le }$。

通过类似于文献 [11] 中命题4和命题5的证明，可以得到以下结论：

命题3.1 (1)设 ${}_{S}Q$ 是一个S-quantale，则 ${}_{S}Q$ 在范畴 ${}_{S}Po{s}^{\le }$ 中是 ${\epsilon }_{\le }$ -内射的。

(2) 在范畴 ${}_{S}Po{s}^{\le }$ 中，每个S-quantale的收缩是S-quantale。

对任意一个偏序集P， $D\left(P\right)$ 表示P的所有下集组成的集合。设 $\left({}_{S}A,\ast ,\le \right)$ 是一个S-poset。对任意的 $X,Y\in D\left(A\right),s\in S$，定义

$s\ast X=\left\{s\ast x|x\in X\right\}$.

$s•X=\downarrow \left(s\ast X\right)$.

可以证明 $\left({}_{S}D\left(A\right),•,\subseteq \right)$ 也是一个S-quantale。因此，由命题3.1我们可以知道 ${}_{S}D\left(A\right)$ 在范畴 ${}_{S}Po{s}^{\le }$ 中是 ${\epsilon }_{\le }$ -内射的。而且，类似于文 [11] 中定理7的证明，可知 ${}_{S}A$ 在范畴 ${}_{S}Po{s}^{\le }$ 中是 ${\epsilon }_{\le }$ -内射的当且仅当 ${}_{S}A$ 是一个S-quantale。

回忆一下偏序集P上的映射 $j:P\to P$ 被称为P上的闭包算子，如果j是保序的，增值的，幂等的。令 $P_j=j\left(P\right)$，即 $P_j=\left\{x\in P|j\left(x\right)=x\right\}=\{j\left(x\right)|x\in P\}$。如果j是P上的闭包算子，则 $\forall a,b\in P$， $a\le j\left(b\right)\iff j\left(a\right)\le j\left(b\right)$。有关闭包算子的更多性质，请参考文献 [12]。

设 $\left({}_{S}A,\ast ,\le \right)$ 是S-poset，如果j是 $\left({}_{S}A,\ast ,\le \right)$ 上的闭包算子，且j是S-次可乘的，则j被称为 $\left({}_{S}A,\ast ,\le \right)$ 上的核映射。容易得到如下的结论：

1) 设j是S-poset $\left({}_{S}A,\ast ,\le \right)$ 上的核映射，则 $\forall a\in A,s\in S$， $j\left(s\ast a\right)=j\left(s\ast j\left(a\right)\right)$。

2) 设j是S-quantale $\left({}_{S}Q,\ast ,\le \right)$ 上的核映射，则 $\left({}_S\left(Q_j\right),{\ast }_j,\le \right)$ 是S-quantale，其中， $\forall a\in Q_j,s\in S$， $s{\ast }_{j}a=j\left(s\ast a\right)$。

设 $\left({}_{S}A,\ast ,\le \right)$ 是S-poset，对任意的 $D\in D\left(A\right)$，定义

$cl\left(D\right)=\left\{x\in A|\forall a\in A,s\in S,s•D\subseteq \downarrow a\Rightarrow s\ast x\le a\right\}$ ;

$ul\left(D\right)=\{x\in A|\forall b\in A,D\subseteq \downarrow b\Rightarrow x\le b\}$ ;

$cu\left(D\right)=cl\left(D\right)\cap ul\left(D\right)$.

引理3.2设 $\left({}_{S}A,\ast ,\le \right)$ 是S-poset，则 $cu$ 是S-quantale $\left({}_{S}D\left(A\right),•,\subseteq \right)$ 上的核映射，且 $\forall a\in A$， $cu\left(\downarrow a\right)=\downarrow a$。

证明：容易验证 $cl$ 和 $ul$ 是 $\left({}_{S}D\left(A\right),•,\subseteq \right)$ 上的闭包算子。所以 $cu$ 是 ${}_{S}D\left(A\right)$ 上的闭包算子。设 $s\in S,D\in D\left(A\right)$，为证明 $s•cu\left(D\right)\subseteq cu\left(s•D\right)$，只需证明 $s\ast cu\left(D\right)\subseteq cu\left(s•D\right)$。

(1) 设 $x\in cu\left(D\right),a\in A,t\in S,t•\left(s•D\right)\subseteq \downarrow a$，则 $\left(t\otimes s\right)•D\subseteq \downarrow a$。因为 $x\in cu\left(D\right)\subseteq cl\left(D\right)$，所以 $\left(t\otimes s\right)\ast x\le a$，从而 $t\ast \left(s\ast x\right)\le a$，因此 $s\ast x\in cl\left(s•D\right)$。

(2) 设 $x\in cu\left(D\right),b\in A,s•D\subseteq \downarrow b$，则 $x\in cu\left(D\right)\subseteq cl\left(D\right)$。所以 $s\ast x\le b$。从而 $s\ast x\in ul$ $\left(s•D\right)$。

由(1) (2)可知 $s\ast cu\left(D\right)\subseteq cl\left(s•D\right)\cap ul\left(s•D\right)=cu\left(s•D\right)$。

(3) 设 $k\in A$，则 $ul\left(\downarrow k\right)=\downarrow k$。设 $x\in ul\left(\downarrow k\right),a\in A,s\in S,s•\left(\downarrow k\right)\subseteq \downarrow a$，则 $s\ast x\le s\ast k\in s•\left(\downarrow k\right)\subseteq \downarrow a$，即 $s\ast x\le a$，所以 $x\in cl\left(\downarrow k\right)$，从而 $ul\left(\downarrow k\right)\subseteq cl\left(\downarrow k\right)$。因此 $cu\left(\downarrow k\right)=ul\left(\downarrow k\right)\cap cl\left(\downarrow k\right)=ul\left(\downarrow k\right)=\downarrow k$。

由引理3.2，可以得到如下的命题：

命题3.3设 $\left({}_{S}A,\ast ,\le \right)$ 是S-poset，则 $\left({}_S\left(D{\left(A\right)}_{cu}\right),{•}_{cu},\subseteq \right)$ 是一个S-quantale。因此 $\left({}_S\left(D{\left(A\right)}_{cu}\right),{•}_{cu},\subseteq \right)$ 在范畴 ${}_{S}Po{s}^{\le }$ 中是 ${\epsilon }_{\le }$ 内射的。

设 $\left({}_{S}A,\ast ,\le \right)$ 是S-poset，定义一个映射 $\eta :A\to D{\left(A\right)}_{cu}$ 为：

$\forall a\in A,\eta \left(a\right)=\downarrow a$.

定理3.4设 $\left({}_{S}A,\ast ,\le \right)$ 是S-poset，则 $\left({}_S\left(D{\left(A\right)}_{cu}\right),{•}_{cu},\subseteq \right)$ 是 $\left({}_{S}A,\ast ,\le \right)$ 在范畴 ${}_{S}Po{s}^{\le }$ 中的 ${\epsilon }_{\le }$ -内射包。

证明：只需证明 $\eta :{}_{S}A\to {}_{S}D{\left(A\right)}_{cu}$ 是 ${\epsilon }_{\le }$ -本质的。

(1) 设 $s\in S,a\in A$，则 $s{•}_{cu}\eta \left(a\right)=cu\left(s•\downarrow \left(a\right)\right)=cu\left(\downarrow \left(s\ast a\right)\right)=\downarrow \left(s\ast a\right)=\eta \left(s\ast a\right)$。所以 $\eta :{}_{S}A\to {}_{S}D{\left(A\right)}_{cu}$ 是S-次可乘的。又因为 $\eta$ 是序嵌入，从而， $\eta \in \epsilon \subseteq {\epsilon }_{\le }$，因此 $\eta \in {\epsilon }_{\le }$。

(2) 设 $\psi :\left({}_S\left(D{\left(A\right)}_{cu}\right),{•}_{cu},\subseteq \right)\to \left({}_{S}B,\ast ,\le \right)$ 是S-poset次同态，且 $\psi \circ \eta \in {\epsilon }_{\le }$。要证明 $\psi \in {\epsilon }_{\le }$，只需证明 $\forall D,D^{\prime }\in D{\left(A\right)}_{cu},t\in S$， $t\ast \psi \left(D\right)\le \psi \left(D^{\prime }\right)\Rightarrow t{•}_{cu}D\subseteq D^{\prime }$。

设 $D,D^{\prime }\in D{\left(A\right)}_{cu},t\in S$， $t\ast \psi \left(D\right)\le \psi \left(D^{\prime }\right)$，则 $D^{\prime }=cu\left(D^{\prime }\right)$， $t{•}_{cu}D=cu\left(t•D\right)$。

(i) 设 $s\in S,a\in A,s•D^{\prime }\subseteq \downarrow a$，则 $cu\left(s•D^{\prime }\right)\subseteq cu\left(\downarrow a\right)=\downarrow a=\eta \left(a\right)$。对任意的 $d\in D$，有

$\begin{array}{l}s\ast \left(t\ast \left(\psi \eta \left(d\right)\right)\right)=s\ast \left(t\ast \left(\psi \left(\downarrow d\right)\right)\right)\\ \le s\ast \left(t\ast \left(\psi \left(D\right)\right)\right)\left(\because \downarrow d\subseteq d\right)\\ \le s\ast \psi \left(D^{\prime }\right)\\ \le \psi \left(s{•}_{cu}{D}^{\prime }\right)\left(\because \psi 是S\text{-}次可乘的\right)\\ =\psi \left(cu\left(s•D^{\prime }\right)\right)\\ \le \psi \left(\eta (\; a\; )\right)\end{array}$

因为 $\psi \circ \eta \in {\epsilon }_{\le }$，从而 $s\ast \left(t\ast d\right)\le a$。由d的任意性可知 $s\ast \left(t\ast D\right)\subseteq \downarrow a$，所以 $s•\left(t•D\right)=s•\downarrow \left(t\ast D\right)=\downarrow \left(s\ast \left(t\ast D\right)\right)\subseteq \downarrow a$。对任意的 $x\in t{•}_{cu}D$，有 $x\in cl\left(t•D\right)$，从而 $s\ast x\le a$，所以。由于x的任意性，因此，。

(ii) 设，对任意的，有。由假设，可得。因此。

由于e的任意性，从而，所以。因此。

由(i)~(ii)可得。

引理3.5在S¹-poset中，。

证明：设，设，则。从而，所以。所以。因此。

通过定理3.4，引理3.5，可以重新得到文献 [11] 的主要结论。

命题3.6设是S¹-poset，则是在范畴中的内射包。

定义3.7设是S-poset，如果对任意的，有右伴随，即有一个映射，使得对任意的，，则称S-poset为剩余S-poset。

引理3.8在剩余S-poset中，。

证明：设。设。则。，，即，从而，。由假设，可得，即，从而，所以，因此。

由定理3.4和引理3.8，我们可以得到如下的结论。

命题3.9设是一个剩余S-poset，则是在范畴中的-内射包。

推论3.10在剩余S¹-poset中，。

4. 结论

本文运用序代数理论的相关知识，构造出了S-poset的内射包。并推广到S是序幺半群时的相应结果，最后得到剩余S-poset的内射包。