Hilbert空间的非对称能级研究

Study on Asymmetric Energy Level of Hilbert Space

摘要: 拓扑空间的相关理论在物理中有着非常广泛的应用，通过将Hilbert紧空间变换的理论推广到相对论量子力学的能级问题中，从而得到了在给定条件下非对称能级表达式，和在谐波振子状态下的相关物理量之间的关系。

Abstract: The theory of topological space is widely used in physics. By extending the theory of Hilbert compact space transformation to the energy level problem of relativistic quantum mechanics, the re-lationship between the expression of asymmetric energy level under given conditions and the re-lated physical quantities in the state of harmonic oscillator is obtained.

1. 引言

拓扑学和相对论量子力学是上世纪数学和物理研究发展出的重要成果，从中产生了很多新的方法和问题，两者之间通过相互关联性而衍生出的学科交叉问题更是数学物理研究的重点。

2. Hilbert紧空间与场方程的联系

考虑Schwarzschild度规下的时空方程 [1]：

$\text{d}{s}^2={\text{e}}^{\nu }\text{d}{t}^2-{\text{e}}^{\lambda }\text{d}{r}^2-r^2\left(\text{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \text{d}{\phi }^2\right)$

取Hilbert空间中的点坐标

$x^{\mu }=\left(ct,-r,-\theta ,-\phi \right)$ (1)

显然 $x^{\mu }\in H$。由于Hilbert空间存在可数的处处稠密集，若M为H的子集，U为 $x^{\mu }$ 的邻域，于是有 $\left[M\right]=M\cap U$， $M,U\subset S$，所以 $\left[M\right]=S$，因此S为稠密集 [2]。

因为 $S,U\subset H$，其中 $U\subset S$，并且H是线性拓扑空间，所以子空间S和U也同样如此 [3]。对于 $y^{\mu }\in S-U$ 必存在两个线性拓扑空间的线性算子 $A:H\to S-U$，使得

$A{x}^{\mu }=y^{\mu }$ (2)

这里算子 $A\in D_A$，且 $D_A$ 是线性流形。

因此，在所确定的线性空间中存在一点 $x_n$，使得

$\Vert x^{\mu }-x_n\Vert =\Vert A{x}^{\mu }-x_n\Vert$

现在考虑弱拓扑的情况，当 $n\to \infty$ 时， $x_n\to 0$ 为空间H的零邻域系 [3]， $x_n$ 不与距离的中点重合的情况下， $x^{\mu }$ 和 $y^{\mu }$ 是非对称的，从而有非零的参数 $\pm L$，使得

$2\Vert x^{\mu }\Vert \pm L=\Vert A{x}^{\mu }-x^{\mu }\Vert$

于是就有

$2\sqrt{c^2{t}^2+r^2+{\theta }^2+{\phi }^2}\pm L=\left(A-1\right)\sqrt{c^2{t}^2+r^2+{\theta }^2+{\phi }^2}$

由

$L:=\sqrt{c^2{t}^2+r^2+{\theta }^2+{\phi }^2}\Rightarrow 2L\pm L=\left(A-1\right)L$

得到 $A=\pm \frac{L}{L}+3$，再由式(1)和式(2)得到

$y^{\mu }=\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)\left(ct,-r,-\theta ,-\phi \right)$

由此得到方程：

$\text{d}{s^{\prime }}^2={g^{\prime }}_{\mu \nu }\text{d}{x}^{\mu }\text{d}{x}^{\nu }$

其中的度规为

${g^{\prime }}_{\mu \nu }=\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)\left[\begin{array}{cccc}{\text{e}}^{\nu }& & & 0\\ & -{\text{e}}^{\lambda }& & \\ & & -r^2& \\ 0& & & -r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right]$

${g^{\prime }}^{\mu \nu }=\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)\left[\begin{array}{cccc}{\text{e}}^{-\nu }& & & 0\\ & -{\text{e}}^{-\lambda }& & \\ & & -r^{-2}& \\ 0& & & -r^{-2}{\sin }^{-2}\theta \end{array}\right]$

根据Einstein场方程

${R^{\prime }}_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g^{\prime }}_{\mu \nu }{R}^{\prime }=\kappa {T^{\prime }}_{\mu \nu }$

其中Ricci张量为

${R^{\prime }}_{\mu \nu }=\frac{1}{\sqrt{-g^{\prime }}}{\partial }_{\alpha }\left(\sqrt{-g^{\prime }}{\Gamma }_{\mu \nu }^{\alpha }\right)-{\partial }_{\mu \nu }\left(\ln \sqrt{-g^{\prime }}-{\Gamma }_{\mu \beta }^{\alpha }{\Gamma }_{\nu \alpha }^{\beta }\right)$

并且由Christoffel记号的关系

${\Gamma }_{\mu \nu }^{\alpha }=\frac{1}{2}{g^{\prime }}^{\alpha \beta }{\Gamma }_{\beta \mu \nu }=\frac{1}{2}{g^{\prime }}^{\alpha \beta }\left(\frac{\partial {g^{\prime }}_{\beta \mu }}{\partial x^{\nu }}+\frac{\partial {g^{\prime }}_{\beta \nu }}{\partial x^{\mu }}-\frac{\partial {g^{\prime }}_{\mu \nu }}{\partial x^{\beta }}\right)$

其中 $g^{\prime }=\det \left({g^{\prime }}_{\mu \nu }\right)$，经过计算得到

$R^{\prime }={g^{\prime }}^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }={\text{e}}^{-\lambda }\left[{\nu }^{″}-\frac{1}{2}{\nu }^{\prime }{\lambda }^{\prime }+\frac{1}{2}{{\nu }^{\prime }}^2-\frac{2}{r}\left({\lambda }^{\prime }-{\nu }^{\prime }\right)+\frac{2}{r^2}\right]-\frac{2}{r^2}$

${R^{\prime }}_{11}=\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)\left(-\frac{1}{2}{\nu }^{″}+\frac{1}{4}{\nu }^{\prime }{\lambda }^{\prime }-\frac{1}{4}{{\nu }^{\prime }}^2+\frac{{\lambda }^{\prime }}{r}\right)$

${R^{\prime }}_{22}=\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)\left\{-{\text{e}}^{-\lambda }\left[1+\frac{1}{2}r\left({\nu }^{\prime }-{\lambda }^{\prime }\right)\right]+1\right\}$

${R^{\prime }}_{33}=\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)\left\{-{\text{e}}^{-\lambda }\left[1+\frac{1}{2}r\left({\nu }^{\prime }-{\lambda }^{\prime }\right)\right]{\sin }^2\theta +{\sin }^2\theta \right\}$

${R^{\prime }}_{00}=\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)\left[{\text{e}}^{\nu -\lambda }\left(\frac{1}{2}{\nu }^{″}-\frac{1}{4}{\nu }^{\prime }{\lambda }^{\prime }+\frac{1}{4}{{\nu }^{\prime }}^2+\frac{{\nu }^{\prime }}{r}\right)\right]$

由此可推出

$\begin{array}{c}\kappa {T^{\prime }}_{00}={R^{\prime }}_{00}-\frac{1}{2}{g^{\prime }}_{00}{R}^{\prime }\\ =\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)\{{\text{e}}^{\nu -\lambda }\left(\frac{1}{2}{\nu }^{″}-\frac{1}{4}{\nu }^{\prime }{\lambda }^{\prime }+\frac{1}{4}{{\nu }^{\prime }}^2+\frac{{\nu }^{\prime }}{r}\right)\\ -\frac{1}{2}{\text{e}}^{\nu -\lambda }\left[{\nu }^{″}-\frac{1}{2}{\nu }^{\prime }{\lambda }^{\prime }+\frac{1}{2}{{\nu }^{\prime }}^2-\frac{2}{r}\left({\lambda }^{\prime }-{\nu }^{\prime }\right)+\frac{2}{r^2}\right]-\frac{{\text{e}}^{\nu }}{r^2}\}\\ =\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)\left[{\text{e}}^{\nu -\lambda }\frac{{\nu }^{\prime }}{r}+\frac{{\text{e}}^{\nu -\lambda }}{r}\left({\lambda }^{\prime }-{\nu }^{\prime }\right)-\frac{2{\text{e}}^{\nu -\lambda }}{r^2}-\frac{{\text{e}}^{\nu }}{r^2}\right]\end{array}$

$\begin{array}{c}\kappa {T^{\prime }}_{11}={R^{\prime }}_{11}-\frac{1}{2}{g^{\prime }}_{11}{R}^{\prime }\\ =\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)(-\frac{1}{2}{\nu }^{″}+\frac{1}{4}{\nu }^{\prime }{\lambda }^{\prime }-\frac{1}{4}{{\nu }^{\prime }}^2+\frac{{\lambda }^{\prime }}{r}+\frac{1}{2}{\nu }^{″}\\ -\frac{1}{4}{\nu }^{\prime }{\lambda }^{\prime }+\frac{1}{4}{{\nu }^{\prime }}^2-\frac{{\lambda }^{\prime }-{\nu }^{\prime }}{r}+\frac{1}{r^2}-\frac{{\text{e}}^{\lambda }}{r^2})\\ =\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)\left(\frac{{\nu }^{\prime }}{r}+\frac{1-{\text{e}}^{\lambda }}{r^2}\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}\kappa {T^{\prime }}_{22}={R^{\prime }}_{22}-\frac{1}{2}{g^{\prime }}_{22}{R}^{\prime }\\ =\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)(-{\text{e}}^{-\lambda }-\frac{{\text{e}}^{-\lambda }r\left({\nu }^{\prime }-{\lambda }^{\prime }\right)}{2}+1+\frac{1}{2}r{\text{e}}^{-\lambda }-\frac{1}{4}{\text{e}}^{-\lambda }{\nu }^{\prime }{\lambda }^{\prime }\\ +\frac{1}{4}{\text{e}}^{-\lambda }{{\nu }^{\prime }}^2-{\text{e}}^{-\lambda }{\lambda }^{\prime }+{\text{e}}^{-\lambda }{\nu }^{\prime }+\frac{{\text{e}}^{-\lambda }}{r}+\frac{1}{r})\end{array}$

$\begin{array}{c}\kappa {T^{\prime }}_{33}={R^{\prime }}_{33}-\frac{1}{2}{g^{\prime }}_{33}{R}^{\prime }\\ =\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)\{{\text{e}}^{-\lambda }{\sin }^2\theta -\frac{1}{2}r\left({\nu }^{\prime }-{\lambda }^{\prime }\right){\text{e}}^{-\lambda }{\sin }^2\theta +{\sin }^2\theta \\ +\frac{1}{2}{r}^2{\sin }^2\theta \left[{\text{e}}^{-\lambda }{\nu }^{″}-\frac{1}{2}{\text{e}}^{-\lambda }{\nu }^{\prime }{\lambda }^{\prime }+\frac{1}{2}{\text{e}}^{-\lambda }{{\nu }^{\prime }}^2-\frac{2}{r}{\text{e}}^{-\lambda }\left({\lambda }^{\prime }-{\nu }^{\prime }\right)+\frac{2}{r^2}{\text{e}}^{-\lambda }-\frac{2}{r^2}\right]\}\\ =\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)[\frac{1}{2}r\left({\nu }^{\prime }-{\lambda }^{\prime }\right){\text{e}}^{-\lambda }{\sin }^2\theta +\frac{1}{2}{r}^2{\text{e}}^{-\lambda }{\nu }^{″}{\sin }^2\theta \\ -\frac{1}{4}{r}^2{\text{e}}^{-\lambda }{\nu }^{\prime }{\lambda }^{\prime }{\sin }^2\theta +\frac{1}{4}{\text{e}}^{-\lambda }{r}^2{{\nu }^{\prime }}^2{\sin }^2\theta ]\end{array}$

对于场方程 ${R^{\prime }}_{\mu \nu }=\kappa \left({T^{\prime }}_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g^{\prime }}_{\mu \nu }{T}^{\prime }\right)$ 取最低近似，即 $T^{\prime }={T^{\prime }}_{\mu \nu }{g^{\prime }}^{\mu \nu }\cong {T^{\prime }}_{\mu \nu }{{\eta }^{\prime }}^{\mu \nu }\cong {T^{\prime }}_{00}{{\eta }^{\prime }}^{00}={T^{\prime }}_{00}$。

所以有 ${{\eta }^{\prime }}_{\mu \nu }$ 下的弱引力场： ${R^{\prime }}_{\mu \nu }=\kappa \left({T^{\prime }}_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{{\eta }^{\prime }}_{\mu \nu }{T}^{\prime }\right)$，其中 $\left|{g^{\prime }}_{\mu \nu }-{{\eta }^{\prime }}_{\mu \nu }\right|\ll 1$，所以 $\left|g_{\mu \nu }-{\eta }_{\mu \nu }\right|\ll \frac{1}{\frac{L}{L}+3}$，由于

$\kappa T^{\prime }=\kappa {T^{\prime }}_{00}=\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)\left[{\text{e}}^{\nu -\lambda }\frac{{\nu }^{\prime }}{r}+\frac{{\text{e}}^{\nu -\lambda }}{r}\left({\lambda }^{\prime }-{\nu }^{\prime }\right)-\frac{2{\text{e}}^{\nu -\lambda }}{r^2}-\frac{{\text{e}}^{\nu }}{r^2}\right]$

其中Einstein场方程常数为 $\kappa =\frac{8\pi G}{c^4}$。所以

$T^{\prime }=\frac{\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)c^4}{8\pi G}\left(\frac{{\text{e}}^{\nu -\lambda }}{r}{\lambda }^{″}-\frac{2{\text{e}}^{\nu -\lambda }+{\text{e}}^{\nu }}{r^2}\right)$ (3)

这里令 $T=\frac{{\text{e}}^{\nu -\lambda }}{r}{\lambda }^{″}-\frac{2{\text{e}}^{\nu -\lambda }+{\text{e}}^{\nu }}{r^2}$，所以式(3)变为 $T^{\prime }=\frac{\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)c^4}{8\pi G}T$。

3. 谐波振子状态下的情况

将 $T^{\prime }$ 考虑为谐波振子的动能 [4] [5] [6]，所以 $H^{\prime }=T^{\prime }+V^{\prime }\left(z^{\mu }\right)$，因而

$H^{\prime }=T^{\prime }+V^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)c^4}{8\pi G}T+V^{\prime }\left(z^{\mu }\right)$，其中 $T^{\prime }=\frac{\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)c^4}{8\pi G}T=\frac{{p^{\prime }}^2}{2m}$ (4)

这里 $V^{\prime }\left(z^{\mu }\right)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{\left(z^{\mu }\right)}^2$， $\omega =\sqrt{\frac{\kappa }{m}}$。

考虑振子在 $x^{\mu }$ 与 $A{x}^{\mu }$ 两点确定的距离轴上运动的情况，即 $\Vert x\Vert$ 的取值为 $\min \left(\Vert x^{\mu }\Vert ,\Vert A{x}^{\mu }\Vert \right)<\Vert z^{\mu }\Vert <\max \left(\Vert x^{\mu }\Vert ,\Vert A{x}^{\mu }\Vert \right)$，因此在这种情况下势能 $V^{\prime }\left(z^{\mu }\right)\to 0$。所以

$E^{\prime }=T^{\prime }=\frac{1}{2}m\stackrel{•}{x^2}$，且 $\stackrel{•}{z^{\mu }}=\frac{\partial H^{\prime }}{\partial p^{\prime }}=\frac{p^{\prime }}{m}$ (5)

根据式(4)、(5)得到 ${\left(\stackrel{•}{z^{\mu }}\right)}^2=\frac{{p^{\prime }}^2}{m^2}=\frac{2}{m}{T}^{\prime }=\frac{\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)c^4}{4\pi Gm}T$，所以 $E^{\prime }=\frac{\left(\pm \frac{L}{L}+3\right)c^4}{8\pi G}T$，这里

$\left(-\frac{L}{L}+2\right)L<L<\left(\frac{L}{L}+2\right)L$。当 $L\to 0$ 时 $E^{\prime }\to \frac{3c^4}{8\pi G}T$，此时 $x_n$ 位于中点处；当 $L\to \left(\frac{L}{L}+2\right)L$ 时 ${E^{\prime }}^{(+)}\to \frac{L{c}^4}{8L\pi G}T+\frac{5c^4}{8\pi G}T$，得到情形(a)： $\Vert x_n\Vert$ 无限趋近 $\min \left(\Vert x^{\mu }\Vert ,\Vert A{x}^{\mu }\Vert \right)$ ；当 $L\to \left(-\frac{L}{L}+2\right)L$ 时 ${E^{\prime }}^{(-)}\to -\frac{L{c}^4}{8L\pi G}T+\frac{5c^4}{8\pi G}T$，得到情形(b)： $\Vert x_n\Vert$ 无限趋近 $\max \left(\Vert x^{\mu }\Vert ,\Vert A{x}^{\mu }\Vert \right)$。

根据情形(a)就有 $2\left(\Vert x^{\mu }\Vert +L_n\right)=\left(A-1\right)L$，所以

$L+2L=2L+2L_n\Rightarrow L=2L_n\Rightarrow {E^{\prime }}^{(+)}=\frac{L_n{c}^4}{4L\pi G}T+\frac{5c^4}{8\pi G}T={E^{\prime }}_n^{(\; +\; )}$

根据情形(b)就有 $\Vert x^{\mu }\Vert +L_n=\left(A-1\right)L$，所以

$L+L_n=-L+2L\Rightarrow -L=L_n-L\Rightarrow {E^{\prime }}^{(-)}=\frac{L_n{c}^4}{8L\pi G}T+\frac{c^4}{2\pi G}T={E^{\prime }}_n^{(\; -\; )}$

因此就得到紧空间内关于非对称点的能级：

${E^{\prime }}_n^{(+)}=\frac{L_n{c}^4}{4L\pi G}T+\frac{5c^4}{8\pi G}T$, ${E^{\prime }}_n^{(-)}=\frac{L_n{c}^4}{8L\pi G}T+\frac{c^4}{2\pi G}T$.

4. 总结

通过以上的论述和计算得到了在Hilbert紧空间变换条件下的两个从不同方向趋近的能级表达式，所得到的两个能级表达式体现为在谐波振子状态下的距离不对称性。然而相关的深入研究以及应用问题还需要进一步地加深探索。