1. 引言
模糊集理论的核心问题之一是相似度度量,其得到了国内外众多学者的关注和研究,很多学者己经将模糊相似度测度应用到模式识别、医疗诊断、聚类分析和多属性决策等领域。相似度度量是描述两个集合之间的相似程度的量,模糊模式识别的研究对象具有模糊性。不同的相似度度量的形式不同,各有所长,探讨模糊粗糙集的相似度的生成方法可以便于应用时有更多的选择。文章在分析L-模糊集相似度的性质基础上,给出模糊粗糙集的相似度的定义和生成方法,指出强相似度的生成还可以从不同角度通过构造特殊函数来实现。
2. 相似度
定义1 [1] 假设
是非空的偏序集,
,对于
有:
1) 当
时,
。
2) 当
时,
,则称D为L上的包含度函数。
为
在
中的包含度。
若修改(2)为:3) 当
时,满足:
,则称D为强包含度函数。
为
在
中的强包含度。
设
为论域,
,
是
上L-模糊集组成的集合,(
),
,
,
。
定义2 [2] 假设
为非空的偏序集,
,对于
有:
1)
。
2)
。
3) 当
时,
。则称SM为L上的相似度函数。
为
与
的相似度量。
若修改(3)为:当
时,
,则称SM为L上的强相似度函数。
为
与
的强相似度量。
定理1设
分别是
上的相似度函数,那么
是
上的相似度函数。而
是强相似度函数,那么SM也为强相似度函数,其中
,
,
。
证不妨设TS是反三角模,
是强相似度。
1) 显然
。
2)
。
3)
。
4)
。
定理1的意义是可以递推生成
上的(强)相似度函数。
定理2
为论域U上的全体L-模糊集,D为
上的包含度函数,那么
为
上的相似度函数。而当D为强包含度函数,那么SM为强相似度函数。
证:不妨设TS是反三角模,已知D是强包含度:
1) 显然
。
2)
,故
。
3) 由反三角模的对称性,易证SM的对称性。
4)
,
,
,
,
。从而SM为强相似度。
可以利用
上的包含度函数
通过不同的方式生成
上的相似度函数。也可以利用
上的强包含度函数
通过不同的方式生成
上的强相似度函数。如可以用递推法生成
上的(强)包含度函数 [1],然后根据定理2生成
上的(强)相似度函数。当然第一步根据定理2生成每一个
上的(强)相似度,第二步根据定理1通过递推法生成
上的(强)相似度也是可行的,这两种方式生成的(强)相似度可能是不同的。而下面的定理3说明这两种方式在一定的条件下生成的(强)相似度是相同的。当然,只要这两个过程使用的是同一个三角模或反三角模,则在
上生成的相似度就是相同的,但是在同一过程中不必要求是同一个三角模或反三角模。我们给出了结论(3) (4)。
定理3设
,
是
上的(强)包含度,则
1)
2)
3)
4)
只证(4)。(1) (2) (3)可类似证明。
证记
,
,
,
。即(4)成立。
3. 模糊粗糙集的相似度及生成
定义3X上模糊粗糙集组成的集合为
,如果映射
,
,
,
有:
1) 当
时,
。
2)
。
3) 当
时
。
则称
为
上的相似度函数,
为A与B之间的相似度量。把
简记为
。
若修改(3)为:当
时,
,则称
为
上的强相似度函数,
为A与B之间的强相似度量。
映射
,
。可证g为保序映射 [3]。因此就可由
上的(强)包含度和(强)相似度生成
上的(强)包含度和(强)相似度。
定理4设
,
。
分别为
上的(强)包含度,
分别为
上的(强)相似度.
则1)
是
上的(强)相似度.
2)
是
上的(强)相似度。其中
。
证明略。
下面通过构造某些函数而不是利用三角模或者反三角馍,依据(强)包含度函数生成新的(强)相似度函数。
定理5记
上的(强)包含度函数为D,
为一个对称非减函数满足
,那么对
,
为A与B之间的(强)相似度量。
证:以强相似度为例证。
1)
。
2)
。
3)
,则由f的非减性,
。
同理可证
。故
。
故
为A与B之间的强相似度量。