1. 引言
在整数环
上,设
且不全为0,对于gcd函数
,定义其和函数
,
2001年,Broughan [1] 证明了
的均值的渐近公式,对
,
,
其中
为Riemann zeta函数。
在2007年,Bordellès [2] 得出
,
其中A表示Glaisher-Kinkelin常数,
表示欧拉常数。
2010年,Tóth [3] 证明出,对
,
,
其中
出现在除数函数的均值的渐近公式:
。
对于
还有更深一步的研究,设
为实数,我们定义
,
当
时上式表示
的均值。2001年,Broughan [1] 详细的研究了
,并且得出
2007年,Broughan [4] 又改进了其之前得到的关于
的上述结论。除此之外,Tóth [5],Zhang和Zhai [6] 还研究了关于模n的正则整数的gcd和函数的均值问题。
以上都是基于常义的gcd和函数的研究,设
,
且不全为0,定义广义的gcd函数
,
并且定义广义的gcd和函数
,
Chaubey和Goel [7] 证明了的
的均值
,
其中
,当
时
。
基于以上在整数环
上的研究,类比到函数域上,我们同样可以研究算术函数的均值问题。本文将在有限域多项式环上讨论广义的gcd和函数的均值问题。
设
为具有q个元素的有限域,令
表示
上的一元多项式环,其元素形如:
,
;
令
表示
中首项系数为1的多项式的集合;
表示
中次数为n的首项系数为1的多项式的集合;设多项式
,令
表示f的范数,当
时,定义
。
定义多项式环
上广义的gcd函数:
设多项式
并且不全为0,多项式
,
为整数,若d满足:
1)
,
,
2) 若有任意的多项式h满足
,
,则一定有
。
则称d为
的广义的最大公因式,记为
或
。
设
,定义广义gcd函数的和函数
,
其中求和历遍所有的
,则我们有以下定理成立:
定理1.1设
为整数,则我们有
。
符号说明:
p
中的不可约多项式;
s 表示一个复数;
含有q个元素的有限域;
有限域
上的多项式环;
中首1多项式的集合;
中次数为n的首1多项式的集合;
表示f的范数;
复数s的实部;
上的Riemann zeta函数。
在本篇文章以下的讨论中,如无特别说明,我们所用的f都是
上的首一的非零多项式,即
。
2. 预备知识
2.1. 基本定义
2.1.1. Riemann zeta函数
上的Riemann zeta函数定义为
,
。
由 [8] 可知,
,
,
其中q表示有限域
的元素个数。
若令
,则我们可以将
定义为
,
。
的欧拉乘积形式为
,
其中乘积历遍所有首1的不可约多项式。
2.1.2. Dirichlet卷积和Dirichlet级数
设
和
为两个算术函数,他们的Dirichlet卷积定义为
,
。
设
为一个算术函数,定义其Dirichlet级数为
。
设
为算术函数,设
并且
,若
,则称
为可乘函数。显然有
为可乘函数,两个可乘函数的乘积以及Dirichlet卷积仍为可乘函数。
若设
为可乘函数,则我们有
,
其中乘积历遍所有首1的不可约多项式。
设
分别为函数
和
的Dirichlet级数,则我们有
,
2.2. 所需引理
引理2.2.1设d为一个多项式,
为广义的gcd函数,则有下列结论成立:
1)
且
.
2)
.
设
为整数,
为非零的首1多项式,定义广义的欧拉函数
。
引理2.2.2 设
,
表示广义的欧拉函数,则我们有以下结论成立:
1)
为可乘函数;
2) 设m为非负整数,则有
3)
的Dirichlet级数表示为
,
并且在
时该级数收敛。
证 1) 由
的定义可知,
,
利用公式
其中
为莫比乌斯函数,我们可得
,
交换求和顺序,我们有
。 (2.1)
令
,则有
,
其中
是一个可乘函数。
若我们令
,
,由Dirichlet卷积可知,
,又
为可乘函数,则
为可乘函数。
2) 将
带入到公式(2.1)可得结论成立。
3) 由
为可乘函数,我们有
。
由(2),我们可得
。
计算可知
。
由
的欧拉乘积以及收敛范围可知结论成立。
引理2.2.3设
,
为广义gcd函数的和函数,则有
1)
为可乘函数并且
,
其中
为可乘函数。
2)
的Dirichlet级数为
,
并且在
时该级数收敛。
证 1) 由
的定义可知
,
令
,则我们有
,
交换求和次序,可得
。
令
可得
,
令
,则有
。
从而令
以及Dirichlet卷积的定义可知结论成立。
2) 由(1)以及Dirichlet级数的性质可知,我们只需计算
和
。
由
的定义以及可乘性可知
,
由
的定义,只有当
时才不为0,从而可得
,
计算可知
。
从而由
以及
的收敛范围可知结论成立。
3. 定理1.1的证明
由引理2.2.3可知,
。 (3.1)
将等式右边的三个函数分别用级数来表示:
,
,
,
,
对于
,我们有
,
。
从而我们有
,
分别令
和
,可得
。
由于上式右边第二项在
时是无意义的,可定义为0,则有
。(3.2)
又由于
。 (3.3)
由公式(3.1),(3.2)和(3.3)比较两边系数可知定理成立。
基金项目
国家自然科学基金(项目编号:12071238)资助。