理论数学  >> Vol. 11 No. 2 (February 2021)

一类含一阶导数的三阶边值问题正解的存在性
Existence of Positive Solutions for a Class of Third-Order Boundary Value Problems with First Derivative

DOI: 10.12677/PM.2021.112032, PDF, HTML, XML, 下载: 66  浏览: 135 

作者: 赵 娇:西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州

关键词: 三阶ODE主特征值分歧正解Three-Order ODE Principle Eigenvalue Bifurcation Positive Solution

摘要: 考虑一类含一阶导数的三阶常微分方程(ordinary differential equation,简称ODE)边值问题其中λ>0是一个参数,0<η<1且1<α<1/η为常数。f(t,u,p):[0,1]×[0,∞)×[0,∞)→[0,∞)为连续函数,且f(t,0,0)=0。主要结果的证明基于全局分歧理论。
Abstract: This paper considers existence of positive solutions for a class of third-order ordinary differential equations boundary value problems with first derivative  where λ is a positive parameter, 0<η<1 and 1<α<1/η are given constants. f(t,u,p):[0,1]×[0,∞)×[0,∞)→[0,∞) is a continuous function, and f(t,0,0)=0. The proof of the main results is based upon global bifurcation techniques.

文章引用: 赵娇. 一类含一阶导数的三阶边值问题正解的存在性[J]. 理论数学, 2021, 11(2): 237-247. https://doi.org/10.12677/PM.2021.112032

1. 引言

三阶三点边值问题在应用数学和物理学的诸多领域都有应用,如具有恒定或变化截面的弯曲梁的挠度、三层梁、重力驱动的流动和加热棒平衡状态的研究等。近年来,关于这类问题的研究出现了一些结果 [1] - [8],特别地,文献 [2] 运用Guo-Krasnoselskii不动点定理研究了问题

{ u ( 3 ) ( t ) = a ( t ) f ( u ( t ) ) , t [ 0 , 1 ] , u ( 0 ) = u ( 0 ) = 0 , u ( 1 ) = α u ( η ) (1.1)

正解的存在性,其中 0 < η < 1 1 < α < 1 η 为给定常数,得到了如下结果:

定理A 若 f C ( [ 0, ) , [ 0, ) ) , a C ( [ 0 , 1 ] , [ 0, ) ) 且在 [ η α , η ] 上不恒为零,假设下列条件之一成立:

i) lim u 0 f ( u ) u = lim u f ( u ) u = 0

ii) lim u 0 f ( u ) u = lim u f ( u ) u = 0

则问题(1.1)至少存在一个正解。

文献 [3] 运用不动点指数理论研究了

{ u ( 3 ) ( t ) = λ f ( t , u ( t ) , u ( t ) , u ( t ) ) , t [ 0 , 1 ] , u ( 0 ) = u ( 0 ) = 0 , u ( 1 ) = α u ( η ) (1.2)

正解的存在性问题,所得结果如下:

假定:

(B1) λ 为正参数;

(B2) f : [ 0 , 1 ] × 3 [ 0, ) L 1 -Caratheodory函数;

(B3) 存在 f 0 , f ,使得

f 0 = lim | x | , | y | , | z | 0 min t [ 0 , 1 ] f ( t , x , y , z ) | x | + | y | + | z | , f = lim | x | , | y | , | z | 0 max t [ 0 , 1 ] f ( t , x , y , z ) | x | + | y | + | z | .

定理B 假定(B1)~(B3)成立,若 Λ ¯ f < Λ _ f 0 ,则对所有的

λ ( 1 Λ _ f 0 , 1 Λ ¯ f ) ,

问题(1.2)至少有一个正解。

我们注意到,文献 [2] 在非线性项分别满足超线性和次线性情形时,运用锥上的不动点理论得到正解的存在性,所得主要结果相对比较简单。文献 [3] 通过运用不动点指数理论研究了更一般的非线性三阶边值问题(1.2),得到了正解的存在性,对文献 [2] 做了一定的推广,但因所用工具的局限性,文献 [3] 中参数 λ 的取值范围不是最优的,所得主要结果也不是最优的,一个自然的问题是:能否用其他方法考虑三阶边值问题正解的存在性,从而给出参数 λ 的最优取值范围?

基于上述考虑,本文运用Rabinowitz全局分歧定理及Krein-Rutman定理考察三阶边值问题

{ u ( 3 ) ( t ) = λ f ( t , u ( t ) , u ( t ) ) , t [ 0 , 1 ] , u ( 0 ) = u ( 0 ) = 0 , u ( 1 ) = α u ( η ) (1.3)

正解的存在性。

本文总假定:

(H1) λ 为正参数, 0 < η < 1 , 1 < α < 1 η 为给定常数;

(H2) f : [ 0 , 1 ] × [ 0, ) × [ 0, ) [ 0, ) 为连续函数,且 f ( t , 0 , 0 ) = 0

(H3) 存在 a ( t ) , b ( t ) C ( [ 0 , 1 ] , ( 0, ) ) ,使得

f ( t , u , p ) = a ( t ) + ( | ( u , p ) | ) , | ( u , p ) | ( 0 , 0 ) 对于 t [ 0 , 1 ] 一致成立

f ( t , u , p ) = b ( t ) + ( | ( u , p ) | ) , | ( u , p ) | 对于 t [ 0 , 1 ] 一致成立,

这里 | ( u , p ) | : = u 2 + p 2

为研究问题(1.3),需考虑线性特征值问题

{ u ( 3 ) ( t ) = λ A ( t ) u , t [ 0 , 1 ] , u ( 0 ) = u ( 0 ) = 0 , u ( 1 ) = α u ( η ) (1.4)

其中 A ( t ) C ( [ 0 , 1 ] , ( 0 , ) ) λ 为参数。记 λ 1 ( A ) 是问题(1.4)的主特征值, φ 1 λ 1 ( A ) 对应的特征函数。

主要结果如下:

定理1.1 假定(H1)-(H3)成立,假设下列条件之一成立:

i) λ 1 ( a ) < λ < λ 1 ( b )

ii) λ 1 ( b ) < λ < λ 1 ( a )

则问题(1.3)至少存在一个正解。

2. 预备知识

引理2.1 [9] (Rabinowitz全局分歧定理)设E是Banach空间,考虑方程

x = μ L x + N ( μ , x ) , μ , x E (2.1)

假定:

(A1) 算子 L : E E 为线性紧算子;

(A2) 非线性算子 N : × E E 全连续,且 lim x 0 N ( μ , x ) x = 0

(A3) μ 0 为L在E中的本征值,且其代数重数 χ ( μ 0 ) 为奇数,其中

χ ( μ 0 ) = dim { m = 1 ker ( ( I μ 0 L ) m ) }

C ( μ 0 ) 为(2.1)式的非平凡解的闭包中包含点 C ( μ 0 ) 的连通分支,则有以下两种情形之一出现:

i) C ( μ 0 ) 无界;

ii) C ( μ 0 ) 还连接 ( μ ˜ , 0 ) μ ˜ 是不同于 μ 0 的本征值。

引理2.2 [9] (Krein-Rutman定理)设E是一个Banach空间,记 L ( E ) 为有界线性算子 T : E E 的全体

在范数 T = sup { T x | x = 1 } 下构成的Banach空间, r ( T ) = sup { | λ | | λ ρ ( T ) } 是T的谱半径。 K X

一个锥,满足 K \ K ¯ = E ,设 T L ( E ) 是一个紧的正算子,且 r ( T ) > 0 ,则 r ( T ) 是T的具有正特征函数的特征值。

引理2.3 [2] 假设 h ( t ) C ( [ 0 , 1 ] , ) ,若 0 < η < 1 1 < α < 1 η ,则线性边值问题

{ u ( 3 ) ( t ) = h ( t ) , t [ 0 , 1 ] , u ( 0 ) = u ( 0 ) = 0 , u ( 1 ) = α u ( η ) (2.2)

存在唯一解 u ( t ) ,且

u ( t ) = 0 1 G ( t , s ) h ( s ) d s . (2.3)

其中

G ( t , s ) = 1 2 ( 1 α η ) { ( 2 t s s 2 ) ( 1 α η ) + t 2 s ( α 1 ) , s min { η , t } , t 2 ( 1 α η ) + t 2 s ( α 1 ) , t s η , ( 2 t s s 2 ) ( 1 α η ) + t 2 ( α η s ) , η s t , t 2 ( 1 s ) , max { η , t } s .

引理2.4 [2] 令 0 < η < 1 1 < α < 1 η ,则有

0 G ( t , s ) g 0 ( s ) = 1 + α 1 α η s ( 1 s ) , ( t , s ) [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] . (2.4)

引理2.5 [2] 令 0 < η < 1 1 < α < 1 η ,则有

G ( t , s ) κ 0 g 0 ( s ) , ( t , s ) [ η α , η ] × [ 0 , 1 ] , (2.5)

其中 0 < κ 0 = η 2 2 α 2 ( 1 + α ) min { α 1 , 1 } < 1

引理2.6 [2] Green函数 G ( t , s ) 的一阶导数为

G t ( t , s ) = 1 1 α η { s ( 1 α η ) + t s ( α 1 ) , s min { η , t } , t ( 1 α η ) + t s ( α 1 ) , t s η , s ( 1 α η ) + t ( α η s ) , η s t , t ( 1 s ) , max { η , t } s .

0 < η < 1 1 < α < 1 η ,则有

i) 0 G t ( t , s ) g 1 ( s ) = 1 s 1 α η , ( t , s ) [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ]

ii) G t ( t , s ) κ 1 g 1 ( s ) , ( t , s ) [ η α , η ] × [ 0 , 1 ] , 0 < κ 1 = η < 1

Y = C [ 0 , 1 ] E = C 1 ( [ 0 , 1 ] , ) 分别在范数 u = max t [ 0 , 1 ] | x ( t ) | u = max { u , u } 下构成Banach空间。我们定义锥

K = { u E : u ( t ) 0 , t [ 0 , 1 ] , u ( t ) 0 , t [ 0 , 1 ] , min t [ η α , η ] u ( t ) κ 0 u , min t [ η α , η ] u ( t ) κ 1 u } .

定义积分算子 T : E E

T u ( t ) = λ 0 1 G ( t , s ) f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) d s , t [ 0 , 1 ] .

引理2.7 假设(H1)-(H2)成立,则 T : K K 是全连续算子。

证明 先证对任意 u K ,有 T u K

显然, T u ( t ) 0 , t [ 0 , 1 ] ,根据引理2.4可得

T u ( t ) = λ 0 1 G ( t , s ) f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) d s λ 0 1 g 0 ( s ) f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) d s .

则有

T u λ 0 1 g 0 ( s ) f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) d s .

所以,对 t [ η α , η ] ,由引理2.4及引理2.5,我们有

T u ( t ) = λ 0 1 G ( t , s ) f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) d s λ 0 1 κ 0 g 0 ( s ) f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) d s κ 0 T u ,

可推得

min t [ η α , η ] T u ( t ) κ 0 T u .

其次,由于 G t ( t , s ) 0 , ( t , s ) [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] ,可直接证得

( T u ) ( t ) λ 0 1 G t ( t , s ) f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) d s .

根据引理2.6,可得

( T u ) ( t ) λ 0 1 g 1 ( s ) f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) d s , (2.6)

对(2.6)式取上确界, t [ 0 , 1 ]

( T u ) λ 0 1 g 1 ( s ) f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) d s .

所以,对 t [ η α , η ] ,由引理2.6得

( T u ) ( t ) λ 0 1 κ 1 g 1 ( s ) f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) d s κ 1 ( T u ) ,

min t [ η α , η ] T u ( t ) κ 1 ( T u ) .

min t [ η α , η ] T u ( t ) max { κ 0 T u , κ 1 ( T u ) } .

所以 T u K

再证T是一个紧算子。设

B = { u E ; u r , r > 0 }

下证 T ( B ) C 1 [ 0 , 1 ] 上一致有界,由于 u B ,因此存在一个与r有关的函数 ϕ r ( s ) ,使得对任意的 s [ 0 , 1 ] ,有 f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) ϕ r ( s ) ,所以有

T u = sup t [ 0 , 1 ] | λ 0 1 G ( t , s ) f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) d s | λ 0 1 g 0 ( s ) f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) d s λ 0 1 g 0 ( s ) ϕ r ( s ) d s : = M 0

( T u ) = sup t [ 0 , 1 ] | λ 0 1 G t ( t , s ) f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) d s | λ 0 1 g 1 ( s ) f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) d s λ 0 1 g 1 ( s ) ϕ r ( s ) d s : = M 1

则有

T u max { M 0 , M 1 } , u B .

再证 T ( B ) C 1 [ 0 , 1 ] 上等度连续,对任意 t 1 , t 2 [ 0 , 1 ] ,不妨设 t 1 < t 2 ,则

| T u ( t 1 ) T u ( t 2 ) | λ 0 1 | G ( t 1 , s ) G ( t 2 , s ) | f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) d s λ 0 1 | G ( t 1 , s ) G ( t 2 , s ) | ϕ r ( s ) d s .

因为 G ( , s ) 连续,则对任意的 ε > 0 ,存在 δ ( ε ) > 0 ,使得当 | t 2 t 1 | < δ 时,有 | T u ( t 1 ) T u ( t 2 ) | < ε

同样的,

| ( T u ) ( t 1 ) ( T u ) ( t 2 ) | λ 0 1 | G t ( t 1 , s ) G t ( t 2 , s ) | f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) d s λ 0 1 | G t ( t 1 , s ) G t ( t 2 , s ) | ϕ r ( s ) d s

因为 G t ( , s ) 连续,则对任意的 ε > 0 ,存在 δ ( ε ) > 0 ,使得当 | t 2 t 1 | < δ 时,有 | ( T u ) ( t 1 ) ( T u ) ( t 2 ) | < ε

所以, T ( B ) C [ 0 , 1 ] 上等度连综上, T : K K 是全连续算子,结论得证。

引理2.8 假设(H2)-(H3)成立,则线性特征值问题(1.4)具有第一个特征值 λ 1 ( l , m ) 是简单的,并且对应的特征函数 φ 1 同样为正。

证明 显然,锥K是正规锥且有非空内部, K \ K ¯ = E ,K是一个完全锥。由引理2.7可知,T是一个紧的正算子。进一步,根据引理2.2可知T的谱半径 r ( T ) > 0 是简单特征值,且存在 φ 1 > 0 ,使得 T φ 1 = r ( T ) φ 1

3. 主要结果的证明

定义算子 L : D ( L ) X

L u : = u , u D ( L ) , (3.1)

其中 D ( L ) = { u C 3 [ 0 , 1 ] : u ( 0 ) = u ( 0 ) = 0 , u ( 1 ) = α u ( η ) } ,易知 L 1 : Y E 是紧的。假设存在 ζ , ξ C ( [ 0 , 1 ] × [ 0, ) × [ 0, ) , [ 0, ) ) ,使得

f ( t , u , p ) = a ( t ) u + ζ ( t , u , p ) , (3.2)

f ( t , u , p ) = b ( t ) u + ξ ( t , u , p ) . (3.3)

由条件(H3)可得

lim | ( u , p ) | 0 ζ ( t , u , p ) | ( u , p ) | = 0 t [ 0 , 1 ] 一致成立, (3.4)

lim | ( u , p ) | ξ ( t , u , p ) | ( u , p ) | = 0 t [ 0 , 1 ] 一致成立, (3.5)

ξ ˜ ( r ) = max { ξ ( t , u , p ) | 0 | ( u , p ) | r , t [ 0 , 1 ] } , (3.6)

ξ ˜ 非减且

lim r ξ ˜ ( r ) r = 0. (3.7)

考虑从平凡解 u 0 处产生的分歧问题

L u = θ λ a ( t ) u ( t ) + θ λ ζ ( t , u , u ) . (3.8)

易见,方程(3.8)等价于积分方程

u ( t ) = θ [ 0 1 G ( t , s ) λ a ( s ) u ( s ) d s ] : = ( θ L 1 λ a ( ) u ( ) + θ L 1 [ λ ζ ( ( ) , u ( ) , u ( ) ) d s ] ) ( t ) .

因为

L 1 [ λ ζ ( ( ) , u ( ) , u ( ) ) d s ] = max t [ 0 , 1 ] { 0 1 G ( t , s ) ζ ( t , u , u ) d s , 0 1 G ( t , s ) ζ ( t , u , u ) d s } N ζ ( ( ) , u ( ) , u ( ) ) .

所以

L 1 [ ζ ( t , u ( ) , u ( ) ) ] = o ( u ) , u 0.

根据引理2.1可知,存在问题(1.3)的正解集的连接 ( λ 1 ( a ) λ , 0 ) 的连通分支 C + ,进而, C + 的闭包是 ( λ 1 ( a ) λ , 0 ) C + 。根据引理1,本文只需考虑主特征值处产生的连通分支。

定理1.1的证明

显然,当 λ = 1 时,问题(3.8)的任意一个解 ( 1 , u ) 都是问题(1.3)的解u。以下只需证明 C + 穿过超平面 { 1 } × E × E ,为此需要证明 C + 连接 ( λ 1 ( a ) λ , 0 ) ( λ 1 ( b ) λ , ) 。设 ( μ n , y n ) C + 满足

μ n + y n

这里对任意的 n μ n > 0 。这是因为 ( 0 , 0 ) λ = 0 时问题(3.8)的唯一解且 C + ( { 0 } × E ) =

情形1: λ 1 ( a ) λ < 1 < λ 1 ( b ) λ ;我们需证

( λ 1 ( a ) λ , λ 1 ( b ) λ ) { λ | ( λ , u ) C + } .

证明分下面两步:

第一步:需证若存在一个常数 M > 0 ,使得

μ n ( 0 , M ] , (3.10)

则连通分支 C + 连接 ( λ 1 ( a ) λ , 0 ) ( λ 1 ( b ) λ , )

这种情形下有

y n . (3.11)

在方程

L y n μ n λ a ( t ) y n = μ n λ a ( t ) ξ ( t , y n ( t ) , y n ( t ) ) (3.12)

y ¯ n = y n y n ,显然 y ¯ n 在E中有界,故 y ¯ n 在E中有收敛子列,即存在 y ¯ E ,使得 y ¯ n y ¯ y ¯ = 1 。进一步,由条件(H3)和(3.5)式可知 ξ ˜ 非减,可得

| ξ ( y n ( t ) ) | y n ξ ˜ ( | y n ( t ) | ) y n ξ ˜ ( y n ) y n ξ ˜ ( y n ) y n

从而,

lim n | ξ ( y n ( t ) ) | y n = 0. (3.13)

对于(3.12)式,当 n 时,有

y ¯ ( t ) = 0 1 G ( t , s ) μ ¯ λ a ( s ) y ¯ ( s ) d s .

这里 μ ¯ : = lim n μ n

因此可得

L y ¯ = μ ¯ λ a ( t ) y ¯ ( t ) . (3.14)

下证

y ¯ C + . (3.15)

由于 E \ C + 是开集,故存在邻域 U ( Y ¯ , ρ 0 ) 使得

U ( Y ¯ , ρ 0 ) E \ C + .

这与 y ¯ n y ¯ y ¯ E y ¯ n C + 矛盾。因此 y ¯ C + 。根据引理2.8和特征值理论,可得

μ ¯ = λ 1 ( a ) λ , (3.16)

因此, C + 连接 ( λ 1 ( a ) λ , 0 ) ( λ 1 ( b ) λ , )

第二步:我们需证存在常数M,使得对任意的n,有 μ n ( 0 , M ]

( μ n , y n ) C + ,一方面,根据引理2.4可得

y n ( t ) = λ μ n 0 1 G ( t , s ) f ( s , y n ( s ) , y n ( s ) ) d s λ μ n 0 1 G ( t , s ) f ( s , y n ( s ) , y n ( s ) ) y n ( s ) d s y n λ μ n 0 1 1 + α 1 α η s ( 1 s ) f ( s , y n ( s ) , y n ( s ) ) y n ( s ) d s y n

所以

μ n ( λ 0 1 1 + α 1 α η s ( 1 s ) f ( s , y n ( s ) , y n ( s ) ) y n ( s ) d s ) 1 . (3.17)

y n ( t ) = λ μ n 0 1 G t ( t , s ) f ( s , y n ( s ) , y n ( s ) ) d s λ μ n 0 1 G t ( t , s ) f ( s , y n ( s ) , y n ( s ) ) y n ( s ) d s y n λ μ n 0 1 1 s 1 α η f ( s , y n ( s ) , y n ( s ) ) y n ( s ) d s y n ,

所以

μ n ( λ 0 1 1 s 1 α η f ( s , y n ( s ) , y n ( s ) ) y n ( s ) d s ) 1 . (3.18)

另一方面,结合引理2.5,有

y n ( t ) = λ μ n 0 1 G ( t , s ) f ( s , y n ( s ) , y n ( s ) ) d s λ μ n 0 1 κ 0 1 + α 1 α η s ( 1 s ) f ( s , y n ( s ) , y n ( s ) ) y n ( s ) d s y n ,

进一步可得

μ n ( λ 0 1 κ 0 1 + α 1 α η s ( 1 s ) f ( s , y n ( s ) , y n ( s ) ) y n ( s ) d s ) 1 : = M 2 , (3.19)

其中 0 < κ 0 = η 2 2 α 2 ( 1 + α ) min { α 1 , 1 } < 1

y n ( t ) = λ μ n 0 1 G t ( t , s ) f ( s , y n ( s ) , y n ( s ) ) d s λ μ n 0 1 ( 1 s ) η 1 α η f ( s , y n ( s ) , y n ( s ) ) y n ( s ) d s y n ,

进一步可得

μ n ( λ 0 1 ( 1 s ) η 1 α η f ( s , y n ( s ) , y n ( s ) ) y n ( s ) d s ) 1 : = M 3 , (3.20)

M = max { M 2 , M 3 } .

所以存在常数 M > 0 ,使得 | μ n | M ,结论得证。

情形2: λ 1 ( b ) λ < 1 < λ 1 ( a ) λ ;这种情形下,

若存在 ( μ n , y n ) C + ,使得

lim n ( μ n + y n ) =

lim n μ n = .

则有

( λ 1 ( b ) λ , λ 1 ( a ) λ ) { λ ( 0 , ) | ( λ , u ) C + } ,

进一步,有 ( { 1 } × E ) C +

假设存在常数 M > 0 ,使得对任意的 n N ,有

μ n ( 0 , M ] .

与情形1第一步证明方法类似,可得

( μ n , y n ) ( λ 1 ( a ) λ , 0 ) , n .

因此 C + 连接 ( λ 1 ( b ) λ , ) ( λ 1 ( a ) λ , 0 ) ,结论得证。

参考文献

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