模糊数对角算子宽度

Width of Fuzzy Number Diagonal Operator

摘要: 在经典宽度理论基础上，将模糊数构成的集合作为被逼近集，讨论对角矩阵宽度的渐近阶得到1≤s<∞相应结论。本文继以上工作，利用函数的扎德扩张原理及Hausdorff距离讨论模糊对角矩阵宽度当s=∞时的渐近阶。特别地，当模糊数集合限制在实数集合上时，这个误差估计和经典宽度理论相应的结果是一致的。

Abstract: Based on the classical width theory, the set of fuzzy numbers is regarded as the approximated set. The asymptotic order of the width of diagonal matrix is discussed to 1≤s<∞ . This paper continues the above work. Using the function’s Zadeh’s expansion principle to discuss the width of diagonal matrix asymptotic order when s=∞ . In particular, when fuzzy number set restrictions in real number set, the error estimation and the classical theory of the width of the corresponding results are consistent.

1. 引言

模糊数是模糊分析学中的一个重要研究领域，是实数概念的推广。它的应用也如同经典数遍及人工智能、决策优化、图像识别等诸多现代领域，充分体现了其在处理模糊性方面的优越性。宽度主要是从代数角度来研究集合或空间容量在一定意义下的最佳逼近问题，是逼近论的一个重要分支。宽度是函数逼近论中的主要的一个研究方向。主要目的是寻找函数类在一定意义下的最佳逼近方法，并对最佳逼近阶进行估计。宽度问题于1936年Kolmogorov首先 [1] 提出。A在R^N中的经典n-宽度在 [2] - [9] 可找到。模糊数学诞生于1965年由美国控制论专家L. A. Zadeh [10] 创立，同年他发表了《模糊集合论》。Zadeh和Chang [11] 于1972年把实数域R上的一族具有特殊性质的模糊集称为模糊数。研究模糊数一般借助其隶属函数来进行相关探讨，但有的模糊数其隶属函数相对较为复杂，研究起来会有一定的难度。所以模糊数其相对应的替代者，模糊数逼近问题便随之产生了。模糊数的逼近问题在数学领域中目前已经成为一项重要的研究课题。Han Y J，Liang L在 [12] 中讨论了当 $1\le s<\infty$ 时，模糊数对角矩阵中的逼近问题。本文将在此论文的基础上做进一步推广。

2. 预备知识

2.1. 模糊数

对于一个模糊集 $u:R^N\to \left[0,1\right]$ 假定：

1) u是正规模糊集；

2) u是上半连续的；

3) u的承集 $\text{supp}u=cl\left\{x\in R^N:u\left(x\right)>0\right\}$

紧集(其中cl表示集合的闭包运算)；

4) u是凸模糊集，即

$u\left(\lambda x+\left(1-\lambda \right)y\right)\ge \min \left\{u\left(x\right),u\left(y\right)\right\}$， $0\le \lambda \le 1$ 对任意的 $x,y\in R^N$，则称u为一个模糊数，令 $R^N$ 是N维欧式空间， $E^N$ 是全体模糊数的集合。 $R^N$ 可以嵌入到 $E^N$ 中，对 $\forall u\in R^N$ 定义

$\hat{u}\left(x\right)=\{\begin{array}{l}1,u=x;\\ 0,u\ne x.\end{array}$

对于 $u,v\in E^N$， $\alpha \in \left[0,1\right]$，u的 $\alpha$ 水平集为：

${\left[u\right]}^{\alpha }:=\{\begin{array}{l}\left\{x\in R^N:u\left(x\right)\ge \alpha \right\},0<\alpha \le 1;\\ \text{supp}u,\alpha =0.\end{array}$

在 $E^N$ 中定义代数运算：

${\left[u+v\right]}^{\alpha }={\left[u\right]}^{\alpha }+{\left[v\right]}^{\alpha },{\left[ku\right]}^{\alpha }=k{\left[u\right]}^{\alpha },k\in R,\alpha \in \left[0,1\right]$

若 $f:R^N\to R^N$ 是一个函数，我们通过 $\tilde{f}:E^N\to E^N$ 函数定义f的Zadeh扩张

$\tilde{f}\left(u\right)\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\underset{z\in f^{-1}\left(x\right)}{\sup }u\left(z\right),f^{-1}\left(x\right)\ne \phi ;\\ 0,f^{-1}\left(x\right)=\phi .\end{array}$

令 $x=\left(x_1,\cdots ,x_N\right)\in R^N$ 的n维赋范线性空间 $\left(R^N,\Vert •\Vert \right)$ 记为 $l_p^N$，定义范数如下：

${\Vert x\Vert }_p=\{\begin{array}{l}{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\left|x_i\right|}^p}\right)}^{1/p},1\le p<\infty ;\\ \underset{1\le i\le N}{\max }\left|x_i\right|,p=\infty .\end{array}$

2.2. 对角矩阵n-宽度

令 $D=diag\left\{D_1,\cdots ,D_N\right\}$ 是一个 $N\times N$ 阶的对角矩阵，假设 $D_1\ge D_2\ge \cdots \ge D_N>0$，令 $D_p=\left\{Dx:{\Vert x\Vert }_p\le 1\right\}$ 且 $D_p$ 的n宽度在文献 [2] [3] [13] 中可以找到。

定理A ( [3] [13] )当 $1\le p\le \infty$ 时

$d_n\left(D_p;l_p^N\right)=d^n\left(D_p;l_p^N\right)=b_n\left(D_p;l_p^N\right)={\delta }_n\left(D_p;l_p^N\right)=D_{n+1}$

定理B ( [2] )给定 $1\le q\le p\le \infty$，令 $\frac{1}{r}=\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$，则有

$d_n\left(D_p;l_q^N\right)=d^n\left(D_p;l_q^N\right)={\delta }_n\left(D_p;l_q^N\right)={\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{D}_k^r}\right)}^{\frac{1}{r}}$

3. 模糊数宽度

本文将使用以下符号。令 $X_n$ 是 $R^N$ 的n维子空间， $L^n$ 是 $R^N$ 的余维数为n的子空间， $S\left(X_n\right)$ 表示 $X_n$ 的单位球，令

${\tilde{X}}_n=\left\{u:u\in E^N;{\left[u\right]}^0\subseteq X_n\right\};$

${\tilde{L}}^n=\left\{u:u\in E^N;{\left[u\right]}^0\subseteq L^n\right\};$

$S\left({\tilde{X}}_{n+1}\right)=\left\{u:d\left(u,\hat{0}\right)\le 1,u\in {\tilde{X}}_{n+1}\right\}.$

令 ${\tilde{P}}_n$ 是秩为n的连续线性算子 $P_n:R^N\to R^N$ 的Zadeh扩张。

定义1令 $\left(E^N,d\right)$ 是一个距离空间，且 $A\subseteq E^N$。

1) A在 $E^N$ 中的Kolmogorov n-宽度定义为

$d_n\left(A;E^N\right)=\underset{{\tilde{X}}_n}{\inf }\underset{u\in A}{\sup }\underset{v\in {\tilde{X}}_n}{\inf }d\left(u,v\right).$

其中左边的下确界 ${\tilde{X}}_n$ 取遍 $E^N$ 中的所有n维子空间， ${\tilde{X}}_n\subset E^N$。

2) A在 $E^N$ 中的Bernstein n-宽度定义为

$b_n\left(A;E^N\right)=\underset{{\tilde{X}}_{n+1}}{\sup }\sup \left\{\lambda :\lambda S\left({\tilde{X}}_{n+1}\right)\subseteq A\right\}=\underset{{\tilde{X}}_{n+1}}{\sup }\underset{x\in \partial \left(A\cap {\tilde{X}}_{n+1}\right)}{\inf }d\left(u,\hat{0}\right)$

3) A在 $E^N$ 中的Gelfand n-宽度定义为

$d^n\left(A;E^N\right)=\underset{{\tilde{L}}^n}{\inf }\underset{x\in A\cap {\tilde{L}}^n}{\sup }d\left(u,\hat{0}\right)$

其中下确界 ${\tilde{L}}^n$ 取遍 $E^N$ 的所有子空间。

4) A在 $E^N$ 中的线性n-宽度定义为

${\delta }_n\left(A;E^N\right)=\underset{v\in {\tilde{P}}_n\left(A\right)}{\inf }\underset{u\in A}{\sup }d\left(u,v\right).$

其中下确界取遍所有的 ${\tilde{P}}_n$。

注：当A在实数集合中时，以上定义与经典宽度一致。

引理1 [13] 令 $\left(E^N,d\right)$ 是一个距离空间，且 $A\subseteq E^N$，则

1) ${\delta }_n\left(A;E^N\right)\ge d_n\left(A;E^N\right)$ ；

2) ${\delta }_n\left(A;E^N\right)\ge d^n\left(A;E^N\right)$。

4. $\tilde{D}$ n-宽度

我们选择 $E^N$ 上一个合适的距离d来建立 ${\Vert x-y\Vert }_p$ 和 $d\left(u,v\right)$， $x,y\in l_p^N$， $u,v\in E^N$，之间的关系。 $E^N$ 中集合之间的距离可以通过 ${\Vert x-y\Vert }_p$ 来估计。

令 $\kappa \left(R^N\right)$ 是 $l_p^N$ 中的非空紧集全体构成的空间，如果 $A,B\in \kappa \left(R^N\right)$， $1\le p<\infty$ 则A与B的Hausdorf距离定义为

$d_H^p\left(A,B\right)=\max \left\{\underset{a\in A}{\sup }\underset{b\in B}{\inf }{\Vert a-b\Vert }_p,\underset{b\in B}{\sup }\underset{a\in A}{\inf }{\Vert a-b\Vert }_p\right\}$

对 $u,v\in E^N,1\le p<\infty ,1\le s<\infty$， $\alpha \in \left[0,1\right]$，我们定义 $1\le p<\infty ,1\le s<\infty$

$d_s^p\left(u,v\right)={\left({\displaystyle {\int }_0^1{d}_H^p{\left({\left[u\right]}^{\alpha },{\left[v\right]}^{\alpha }\right)}^s\text{d}\alpha }\right)}^{1/s}.$

令 $L_{s,p}^N=\left(E^N,d_{s,p}\right)$， $d_{s,p}$ 为 $E^N$ 上的 $L_{s,p}^N$ 度量。

$d_{\infty ,p}\left(u,v\right)=\underset{\alpha \in \left[0,1\right]}{\sup }{d}_H^p\left({\left[u\right]}^{\alpha },{\left[v\right]}^{\alpha }\right)$，为模糊数空间 $E^N$ 上的上确界度量(或一致Hausdorf度量) [14]。

令 $L_{\infty ,p}^N=\left(E^N,d_{\infty ,p}\right)$， $d_{\infty ,p}$ 为 $E^N$ 上的 $L_{\infty ,p}^N$ 度量。

引理2令 $u\in E^N,k\in R,\alpha \in \left[0,1\right]$， $D=diag\left\{D_1,\cdots ,D_N\right\}$， $D_1\ge D_2\ge \cdots \ge D_N>0$ 是一个 $N\times N$ 阶的对角矩阵， $\tilde{D}$ 是 $D$ 的Zadeh扩张。则 $d_{\infty ,p}\left(\tilde{D}\left(ku\right),\hat{0}\right)=\left|k\right|d_{\infty ,p}\left(\tilde{D}\left(u\right),\hat{0}\right)$。

证明：因为 $\text{supp}\hat{0}=\left\{0\right\}$，所以

$\begin{array}{l}{d}_{\infty ,p}\left(\tilde{D}{\left[u\right]}^{\alpha },k{\left[\hat{0}\right]}^{\alpha }\right)\\ =\underset{\alpha \in \left[0,1\right]}{\sup }{d}_H^p\left(D{\left[u\right]}^{\alpha },k{\left[\hat{0}\right]}^{\alpha }\right)\\ =\underset{\alpha \in \left[0,1\right]}{\sup }\max \left\{\underset{a\in {\left[u\right]}^{\alpha }}{\sup }\underset{b\in k{\left[\hat{0}\right]}^{\alpha }}{\inf }{\Vert Da-b\Vert }_p,\underset{b\in k{\left[\hat{0}\right]}^{\alpha }}{\sup }\underset{a\in {\left[u\right]}^{\alpha }}{\inf }{\Vert Da-b\Vert }_p\right\}\\ =\underset{\alpha \in \left[0,1\right]}{\sup }\underset{a\in {\left[u\right]}^{\alpha }}{\sup }{\Vert Da\Vert }_p\end{array}$

若 $0\le r_1\le r_2\le 1$， ${\left[u\right]}^{r_2}\subset {\left[u\right]}^{r_1}$，于是 $d_{\infty ,p}\left(\tilde{D}u,k\hat{0}\right)=\underset{a\in {\left[u\right]}^0}{\sup }{\Vert Da\Vert }_p$。

类似的我们可以证得： $d_{\infty ,p}\left(\tilde{D}\left(ku\right),\hat{0}\right)=\left|k\right|d_{\infty ,p}\left(\tilde{D}\left(u\right),\hat{0}\right)$。

在本文中，我们关注的是n-宽度的估计：

${\tilde{D}}_P=\left\{\tilde{D}u:u\in E^N,d_{\infty ,p}\left(u,\hat{0}\right)\le 1\right\}$ 和 ${\tilde{D}}_p^{-1}=\left\{{\tilde{D}}^{-1}u:u\in E^N,d_{\infty ,p}\left(u,\hat{0}\right)\le 1\right\}$

通常情况下，使用 [9] $b_n\left(A;X\right)={\sup }_{X_{n+1}}{\inf }_{x\in \partial \left(A\cap X_{n+1}\right)}\Vert x\Vert$ 的一个简化形式。为便于计算我们引入了 $b_n\left({\tilde{D}}_P;L_{\infty }\right)$ 的相似定义。

定义2当 $s=\infty ,1\le p\le \infty$ 时， $b_n\left({\tilde{D}}_P;L_{\infty ,P}^N\right)=\underset{{\tilde{X}}_{n+1}}{\sup }\underset{\begin{array}{c}u\in {\tilde{X}}_{n+1}\\ d_{\infty }^p\left(u,\hat{0}\right)=1\end{array}}{\inf }d\left(\tilde{D}u,\hat{0}\right)$

现在我们陈述主要结果：

定理1 当 $s=\infty$，

${\delta }_n\left({\tilde{D}}_p;L_{\infty ,p}^N\right)=d_n\left({\tilde{D}}_p;L_{\infty ,p}^N\right)=d^n\left({\tilde{D}}_p;L_{\infty ,p}^N\right)=b_n\left({\tilde{D}}_p;L_{\infty ,p}^N\right)=D_{n+1}$

定理2 当 $1\le q\le p\le \infty$， $s=\infty$，令 $\frac{1}{r}=\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$，则有

${\delta }_n\left({\tilde{D}}_P;L_{\infty ,q}^N\right)=d_n\left({\tilde{D}}_P;L_{\infty ,q}^N\right)=d^n\left({\tilde{D}}_P;L_{\infty ,q}^N\right)={\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{D}_k^r}\right)}^{\frac{1}{r}}$

注：当 $1\le q\le p\le \infty$ 时，定理1与定理2显然定理A与B的一般化。

证明这两个定理前我们需要一些引理

引理3 当 $1\le p\le \infty$

1) ${\delta }_n\left({\tilde{D}}_P;L_{\infty ,P}^N\right)\ge d_n\left({\tilde{D}}_P;L_{\infty ,P}^N\right)\ge b_n\left({\tilde{D}}_P;L_{\infty ,P}^N\right)$。

2) ${\delta }_n\left({\tilde{D}}_P;L_{\infty ,p}^N\right)\ge d^n\left({\tilde{D}}_P;L_{\infty ,p}^N\right)\ge b_n\left({\tilde{D}}_P;L_{\infty ,p}^N\right)$。

证明方法类似于 [13]，此处我们省略其证明。

引理4 对 $p=\infty$， $n<N$，时 $b_n\left({\tilde{D}}_P;L_{\infty ,p}^N\right)d^{N-n-1}\left({\tilde{D}}_p;L_{\infty ,p}^N\right)=1$

证明方法类似于 [13] 此处我们省略其证明。

定理1的证明：令 $p_n=diag\left(D_1,\cdots ,D_n,0,\cdots ,0\right)$，对任意的 $u\in E^N$，有

$\begin{array}{c}{d}_H^p\left({\left[\tilde{D}u\right]}^{\alpha },{\left[{\tilde{P}}_{n}u\right]}^{\alpha }\right)=d_H^p\left(D{\left[u\right]}^{\alpha },P_n{\left[u\right]}^{\alpha }\right)\\ =\max \left\{\underset{a\in {\left[u\right]}^{\alpha }}{\sup }\underset{b\in {\left[u\right]}^{\alpha }}{\inf }{\Vert Da-P_{n}b\Vert }_p,\underset{b\in {\left[u\right]}^{\alpha }}{\sup }\underset{a\in {\left[u\right]}^{\alpha }}{\inf }{\Vert Da-P_{n}b\Vert }_p\right\}\\ \underset{a\in {\left[u\right]}^{\alpha }}{=\max }{\Vert \left(D-P_n\right)a\Vert }_p\end{array}$ (1)

因此

$\begin{array}{c}{\delta }_n\left({\tilde{D}}_p;L_{\infty ,p}^N\right)=\underset{{\tilde{P}}_n}{\inf }\underset{u\in E^N}{\sup }{\Vert \tilde{D}u-{\tilde{P}}_{n}u\Vert }_p\le \underset{d_{\infty }^p\left(u,\hat{0}\right)\le 1}{\max }{d}_{\infty ,p}\left(\tilde{D}u,{\tilde{P}}_{n}u\right)\\ =\underset{u\ne \hat{0}}{\max }\frac{d_{\infty ,p}\left(\tilde{D}u,{\tilde{P}}_{n}u\right)}{d_{\infty ,p}\left(u,\hat{0}\right)}=\underset{u\ne \hat{0}}{\max }\frac{\underset{\alpha \in \left[0,1\right]}{\sup }{d}_H^p\left({\left[\tilde{D}u\right]}^{\alpha },{\left[{\tilde{P}}_{n}u\right]}^{\alpha }\right)}{\underset{\alpha \in \left[0,1\right]}{\sup }{d}_H^p\left({\left[u\right]}^{\alpha },{\left[\hat{0}\right]}^{\alpha }\right)}\\ =\underset{u\ne \hat{0}}{\max }\frac{\underset{a\in {\left[u\right]}^0}{\max }{\Vert \tilde{D}-{\tilde{P}}_n\left(a\right)\Vert }_p}{\underset{a\in {\left[u\right]}^0}{\max }{\Vert a\Vert }_p}=\underset{u\ne \hat{0}}{\max }\frac{\underset{a\in {\left[u\right]}^0}{\max }{\left({\displaystyle {\sum }_{i=n+1}^N{\left|{\tilde{D}}_i{a}_i\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}}{\underset{a\in {\left[u\right]}^0}{\max }{\Vert a\Vert }_p}\\ \le \underset{u\ne \hat{0}}{\max }\frac{D_{n+1}\left(\underset{a\in {\left[u\right]}^0}{\max }{\left({\displaystyle {\sum }_{i=n+1}^N{\left|a_i\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}\right)}{\underset{a\in {\left[u\right]}^0}{\max }{\Vert a\Vert }_p}\le D_{n+1}\end{array}$

同理 ${\delta }_n\left({\tilde{D}}_p;L_{\infty ,p}^N\right)\le 1/D_{n+1}$。

由引理4知： $b_n\left({\tilde{D}}_p,L_{\infty ,p}^N\right)={\left(d^{M-n-1}\left({\tilde{D}}_p^{-1},L_{\infty ,p}^N\right)\right)}^{-1}\ge {\left({\delta }_n\left({\tilde{D}}_p^{-1},L_{\infty ,p}^N\right)\right)}^{-1}$，因此 $b_n\left({\tilde{D}}_p,L_{\infty ,p}^N\right)=D_{n+1}$ 通过引理3，我们证明了这四个n-宽等于 $D_{n+1}$。

引理5令 $1\le p,q<\infty$，且 $\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime }}=\frac{1}{q}+\frac{1}{q^{\prime }}=1$。则 $d_n\left({\tilde{D}}_p;L_{\infty ,q}^N\right)\ge d^n\left({\tilde{D}}_{q^{\prime }};L_{\infty ,p}^N\right)$。

证明方法类似于 [13] 此处我们省略其证明。

定理2的证明，首先证明： ${\delta }_n\left({\tilde{D}}_p;L_{\infty ,q}^N\right)\le {\left({\displaystyle {\sum }_{k=n+1}^N{D}_k^r}\right)}^{1/r}$。

令 $p_n=diag\left(D_1,\cdots ,D_n,0,\cdots ,0\right)$，对任意的 $u\in E^N$，如定理1中(1)的证明

$d_H^q\left({\left[\tilde{D}u\right]}^{\alpha },{\left[{\tilde{P}}_{n}u\right]}^{\alpha }\right)=\underset{a\in {\left[u\right]}^{\alpha }}{\sup }{\Vert \left(D-P_n\right)a\Vert }_q=\underset{a\in {\left[u\right]}^{\alpha }}{\sup }{\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{\left|D_k{a}_k\right|}^q}\right)}^{1/q},$

又由 $\frac{1}{r}=\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$ 和Holder不等式有

${\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{\left|D_k{a}_k\right|}^q}\right)}^{1/q}\le {\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{\left|D_k\right|}^r}\right)}^{1/r}{\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{\left|a_k\right|}^p}\right)}^{1/p},$

所以有

$\begin{array}{c}{d}_H^q\left({\left[\tilde{D}u\right]}^{\alpha },{\left[{\tilde{P}}_{n}u\right]}^{\alpha }\right)\le \underset{a\in {\left[u\right]}^{\alpha }}{\sup }{\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{\left|D_k\right|}^r}\right)}^{1/r}{\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{\left|a_k\right|}^p}\right)}^{1/p}\\ \le {\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{\left|D_k\right|}^r}\right)}^{1/r}\underset{a\in {\left[u\right]}^{\alpha }}{\sup }{\left({\displaystyle \underset{k=1}{\overset{N}{\sum }}{\left|a_k\right|}^p}\right)}^{1/p}\\ \le {\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{\left|D_k\right|}^r}\right)}^{1/r}{d}_H^p\left({\left[u\right]}^{\alpha },{\left[\hat{0}\right]}^{\alpha }\right)\end{array}$

所以

$\begin{array}{c}{\delta }_n\left({\tilde{D}}_p;L_{\infty ,q}^N\right)=\underset{P_n}{\inf }\underset{u\in E^N}{\sup }{\Vert \tilde{D}u-{\tilde{P}}_{n}u\Vert }_p\\ \le \underset{d_{\infty }^p\left(u,\hat{0}\right)\le 1}{\max }{d}_{\infty ,p}^N\left({\left[Du\right]}^{\alpha },{\left[P_{n}u\right]}^{\alpha }\right)\\ \le \underset{d_{\infty }^p\left(u,\hat{0}\right)\le 1}{\max }\underset{\alpha \in \left[0,1\right]}{\sup }{d}_H^q\left(D\left({\left[u\right]}^{\alpha }\right),P_n\left({\left[u\right]}^{\alpha }\right)\right)\\ \le \underset{d_p\left(u,\hat{0}\right)}{\max }{\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{\left|D_k\right|}^r}\right)}^{1/r}{d}_{\infty ,p}^N\left(u,\hat{0}\right)\\ \le {\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{\left|D_k\right|}^r}\right)}^{1/r}\end{array}$ (2)

现证明： $d^n\left({\tilde{D}}_p,L_{\infty ,q}^N\right)\ge {\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{\left|D_k\right|}^r}\right)}^{1/r}$，

由引理1得： $d_H^q\left({\left[\tilde{D}u\right]}^{\alpha },{\left[\hat{0}\right]}^{\alpha }\right)=d_H^q\left(D\left({\left[u\right]}^{\alpha }\right),{\left[\hat{0}\right]}^{\alpha }\right)=\underset{a\in {\left[u\right]}^{\alpha }}{\text{max}}{\Vert Da\Vert }_q=\underset{a\in {\left[u\right]}^{\alpha }}{\text{max}}{\left({\displaystyle \underset{k=1}{\overset{N}{\sum }}{\left|D_k{a}_k\right|}^q}\right)}^{1/q}$

且 $d_H^p\left({\left[u\right]}^{\alpha },{\left[\hat{0}\right]}^{\alpha }\right)=\underset{a\in {\left[u\right]}^{\alpha }}{\max }{\left({\displaystyle \underset{k=1}{\overset{N}{\sum }}{\left|a_k\right|}^p}\right)}^{1/p}$

又由 $d^n\left({\tilde{D}}_p,L_{\infty ,q}^N\right)$ 的定义和定理B得

$d^n\left({\tilde{D}}_P,L_{\infty ,q}^N\right)\ge d^n\left(D_P,L_{\infty ,q}^N\right)=d^n\left(D_P,l_q^N\right)={\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{D}_k^r}\right)}^{1/r}$ (3)

结合式子(2)，(3)和引理1的(2)

有 ${\delta }_n\left({\tilde{D}}_p,L_{\infty ,q}^N\right)=d^n\left({\tilde{D}}_p,L_{\infty ,q}^N\right)={\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{D}_k^r}\right)}^{1/r}$

类似的有 ${\delta }_n\left({\tilde{D}}_{q^{\prime }},L_{\infty ,p}^N\right)={\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{D}_k^r}\right)}^{1/r}$ 和 $d^n\left({\tilde{D}}_{q^{\prime }},L_{\infty ,p^{\prime }}^N\right)\ge {\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{D}_k^r}\right)}^{1/r}$

又由引理1(1)和引理5得 $d_n\left({\tilde{D}}_P;L_{\infty ,q}^N\right)\ge {\left({\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{N}{\sum }}{D}_k^r}\right)}^{1/r}$。

基金项目

2020年“西华杯”大学生创新创业项目(2020108)。