基于MATLAB的近似直线机构的解析分析与实现

Analysis and Implement of an Approximate Straight-Line Mechanism Based on MATLAB

摘要: 近似直线机构因组成构件少、机构的累积误差小、传动效率高，在冶金工业和轻工业自动化生产线、物流行业的物料垂直搬运与输送中起到很重要的作用。运用解析法、机构学原理来分析该近似直线机构的运动特性，分析了不同尺寸案例并在MATLAB软件平台上实现，为后续的概念设计和方案设计实施提供了便利和基础。

Abstract: Because of less components, small cumulative error and high transmission efficiency, the ap-proximate straight-line mechanism plays an important role in metallurgy industrial and light in-dustry automatic production line, material vertical handling and transportation in logistics indus-try. Analytical method and mechanism theory applied to analyze the motion characteristics of the approximate straight-line mechanism. Differential size samples analyzed, implemented by MATLAB, it’s convenient for conceptual and scheme design of project.

1. 引言

在平面四杆机构(含曲柄摇杆机构、双摇杆机构)中有一类机构能够实现近似直线运动轨迹，如在港口广泛使用的门座式起重机 [1] [2]、物流行业的垂直上下传递输送物料的装置 [3]，在选矿机械的直线筛分机器、冶金企业轧钢系统中的推钢机的机械传动、工业企业的钢材送入加热炉的送料搬运机械系统 [4] [5] [6] 中。

2. 近似直线机构的运动轨迹分析

机构分析方法在过去普遍使用图解法 [4] - [10]，随着计算机技术的普及，解析分析法 [2] [11] [12] 得到了广泛应用。图1所示为一近似直线机构，它由曲柄 $\overline{AC}$ 、连杆 $\overline{CB}$ 、摇杆 $\overline{EB}$ 和机架 $\overline{AE}$ 组成，在满足一定的条件下，连杆 $\overline{CB}$ 的延长线的D点可得到近似直线运动轨迹。

α为铰点C和铰点E的连线CE与机架的夹角；β为连线CE与摇杆 $\overline{EB}$ 的夹角；γ为连杆 $\overline{CB}$ 与摇杆 $\overline{EB}$ 的夹角，此即为该机构的传动角；θ为连杆 $\overline{CB}$ (包含其延长线 $\overline{BD}$ )与水平线的夹角；φ为曲柄 $\overline{AC}$ 与机架 $\overline{AE}$ 的夹角(逆时针为正)； $l_{AC}$ 为曲柄 $\overline{AC}$ 的长度； $l_{CB}$ 为连杆 $\overline{CB}$ 的长度； $l_{EB}$ 为摇杆 $\overline{EB}$ 的长度； $l_{AE}$ 为机架 $\overline{AE}$ 的长度； $l_{BD}$ 为连杆 $\overline{CB}$ 延长线的长度。

Figure 1. Geometrical relationship of approximate straight-line mechanism

图1. 近似直线机构的几何关系图

为了得到D点的运动轨迹，分二种情况讨论：

(1) 曲柄 $\overline{AC}$ 在0˚~180˚范围内

因曲柄 $\overline{AC}$ 可在360˚范围活动，摇杆 $\overline{EB}$ 只在有限范围内摆动，四边形AEBC的构型也会发生很大的变化。

此时，在图1中连接铰点C和铰点E，由余弦定理可求解得连线CE的长度 $l_{CE}$ ：

$l_{CE}=\sqrt{l_{AC}^2+l_{AE}^2-2\cdot l_{AC}\cdot l_{AE}\cos \phi }$ (1)

式中：φ为曲柄 $\overline{AC}$ 的转动角(输入角)。

由三角形△ACE，据余弦定理可求得α角：

$\alpha =\arccos \left(\frac{l_{CE}^2+l_{AE}^2-l_{AC}^2}{2\cdot l_{CE}\cdot l_{AE}}\right)$ (2)

再据三角形△CBE，由余弦定理可求得β角：

$\beta =\arccos \left(\frac{l_{CE}^2+l_{EB}^2-l_{CB}^2}{2\cdot l_{CE}\cdot l_{EB}}\right)$ (3)

同理，可求得该直线机构的传动角γ：

$\gamma =\arccos \left(\frac{l_{CB}^2+l_{EB}^2-l_{CE}^2}{2\cdot l_{CB}\cdot l_{EB}}\right)$ (4)

传动角γ能很好地说明该水平直线机构的传动特性。

连杆 $\overline{CB}$ (包含其延长线 $\overline{BD}$ )与水平线的夹角θ可由式(5)求得。

$\theta ={180}^{\circ }-\left(\alpha +\beta +\gamma \right)$ (5)

所以，点D的轨迹方程即得。

$\{\begin{array}{l}{x}_D=l_{AC}\cdot \cos \phi +l_{CD}\cdot \cos \theta \\ y_D=l_{AC}\cdot \sin \phi +l_{CD}\cdot \sin \theta \end{array}$ (6)

(2) 曲柄 $\overline{AC}$ 在180˚~360˚范围内

当曲柄 $\overline{AC}$ 在180˚~360˚活动时，四边形AEBC的构型变化了，所以其几何关系发生了较大的变化，见图2所示。

Figure 2. Schematic geometrical relationship of approximate straight-line mechanism

图2. 近似直线机构的几何关系示意图

由图2可知，此时的夹角θ应该由式(7)求解得到。

$\theta ={180}^{\circ }-\left(\beta -\alpha +\gamma \right)$ (7)

点D的轨迹方程也有变化，可由式(8)得到。

$\{\begin{array}{l}{x}_D=l_{AE}-l_{EB}\cdot \cos \left(\beta -\alpha \right)+l_{BD}\cdot \cos \theta \\ y_D=l_{EB}\cdot \sin \left(\beta -\alpha \right)+l_{BD}\cdot \sin \theta \end{array}$ (8)

3. 摇杆 $\overline{EB}$ 的摆角分析

摇杆 $\overline{EB}$ 虽然只在有限范围内摆动，但其摆动角 $\psi$ (与水平线的夹角，逆时针为正)关系式：

(1) φ在0˚~180˚时

$\psi ={180}^{\circ }-\left(\alpha +\beta \right)$ (9)

(2) φ在180˚~360˚时

$\psi ={180}^{\circ }-\left(\beta -\alpha \right)$ (10)

4. 案例分析

分析案例1。据文献 [3]、 [5] 的信息有： $l_{CB}=l_{EB}=l_{BD}=2.5\ast l_{AC}$ ； $l_{AE}=2\ast l_{AC}$。为便于在MATLAB软件平台上编程实现，为方便分析，取 $l_{AC}=10$ 单位量，表1为分析计算的结论，其轨迹输出可见图3和图4，图5为其摆角变化，图6为该直线机构的传动角变化。

Figure 3. Motion curve of point D ( $\phi \in \left[0˚,360˚\right]$ )

图3. D点的轨迹图(φ在0˚~360˚变化)

Figure 4. Motion curve of point D ( $\phi \in \left[90˚,270˚\right]$ )

图4. D点的轨迹图(直线段，φ在90˚~270˚变化)

Table 1. Results of analysis on two cases

表1. 案例分析的结论

Figure 5. Result of swing angle ψ of rocker $\overline{EB}$

图5. 摇杆 $\overline{EB}$ 的摆角ψ输出图

Figure 6. Result of transmission angle

图6. 传动角输出图

分析案例2。据文献 [6]，其已知数据有： $l_{CB}=l_{EB}=l_{BD}=4\ast l_{AC}$ ； $l_{AE}=3\ast l_{AC}$。为便于比较，同样地，取 $l_{AC}=10$ 单位量。其输出结论如表1和图7~9所示。

二个案例分析表明：

在同样的曲柄活动范围(即φ在90˚~270˚变化)，比较图4和图7，其D点的输出直线段的有效区间：案例1的直线段长为40单位，案例1的垂直方向差值为0.0975单位，相对差值(垂直方向差值/直线段)0.002438；案例2的直线段长度为46.4758单位，垂直方向差值为0.4317单位，相对差值(垂直方向差值/直线段)为0.002648；显然，案例1比案例2的要好。要保持较好的直线度值，案例2的活动区间就必须缩小。

Figure 7. Motion curve of point D ( $\phi \in \left[90˚,270˚\right]$ )

图7. D点的轨迹图(直线段，φ在90˚~270˚变化)

Figure 8. Result of swing angle ψ of rocker $\overline{EB}$

图8. 摇杆 $\overline{EB}$ 的摆角ψ输出图

Figure 9. Result of transmission angle

图9. 传动角输出图

5. 结论

运用解析分析的方法对近似直线机构进行了运动学分析，得到了该近似直线机构的运动轨迹方程、传动角、摆角等重要的信息，为具体的机构选型与设计打下了扎实基础，方便项目的概念设计和方案设计实施。

(1) 在同样的曲柄活动范围(即φ在90˚~270˚变化)，案例1的直线段长的区段比案例2的要大一些；案例1比案例2的要好。

(2) 摇杆 $\overline{EB}$ 的摆角输出，随尺寸的增大而输出相应的变小；案例1优于案例2。

(3) 传动角的变化趋势也是随尺寸增大而输出变小，这说明案例1的传动性能更佳。

(4) 案例1的综合性能比案例2更好，直线度更好一些，直线段的区域更大。

附录：程序代码

% MATLAB 实现程序

% AC为曲柄(主动件，φ为输入角)

% C、B、D在一条直线上；机架为AE；摇杆为EB

% CB=EB=BD=2.5*AC；AE=2*AC

%求D点的轨迹

clc;

AC=10;

CB=2.5.*AC;

EB=2.5.*AC;

BD=2.5.*AC;

AE=2.*AC;

phia=[0:2:180]*pi/180; %曲柄输入角在0到180°时

CE=sqrt(AC.*AC+AE.*AE-2.*AC.*AE*cos(phia)); %计算CE长度

alph=acos((CE.*CE+AE.*AE-AC.*AC)./(2.*CE.*AE)); %α

beta=acos((CE.*CE+EB.*EB-CB.*CB)./(2.*CE.*EB)); %β

gama =acos((CB.*CB+EB.*EB-CE.*CE)./(2.*CB.*EB)); %γ传动角

sita=pi-(alph+beta)-gama;

gama11= gama*180/pi;

baijiao=(pi-(alph+beta))*180/pi;%摇杆的摆角输出（°）

xd1=AC.*cos(phia)+(CB+BD).*cos(sita); %D点的横坐标

yd1=AC.*sin(phia)+(CB+BD).*sin(sita); %D点的纵坐标

phia1=[180:2:360]*pi/180; %当曲柄输入角在180°到360°时

CE1=sqrt(AC.*AC+AE.*AE-2.*AC.*AE*cos(2.*pi-phia1)); %计算CE长度

alph1=acos((CE1.*CE1+AE.*AE-AC.*AC)./(2.*CE1.*AE)); %α

beta1=acos((CE1.*CE1+EB.*EB-CB.*CB)./(2.*CE1.*EB)); %β

gama1=acos((CB.*CB+EB.*EB-CE1.*CE1)./(2.*CB.*EB)); %γ传动角

sita1=pi-(beta1-alph1)-gama1; %注意：几何关系变化

gama11= gama1*180/pi;

baijiao1=(pi-( beta1-alph1))*180/pi; %摇杆的摆角输出（°）

xd2=AE-EB.*cos(beta1-alph1)+BD.*cos(sita1); %D点的横坐标

yd2=EB.*sin(beta1-alph1)+BD.*sin(sita1); %D点的纵坐标

plot(xd1,yd1,xd2,yd2)%绘制轨迹图

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