多面体空间上的保正交算子

The Preserving Orthogonal Operators on Polyhedral Space

摘要: 本文主要研究多面体空间上保正交算子的性质。我们证明了二维多面体空间的单位球面上的保正交算子是一个满等距，且可以把二维多面体空间的单位球面映成二维多面体空间的单位球面，进而可以延拓到全空间等距。

Abstract: In this paper, we research the properties of preserving orthogonal operators on polyhedral space. We proved that the orthogonality-preserving operator on the unit sphere of a two-dimensional polyhedron space is a surjective isometry, and the unit sphere of a two-dimensional polyhedron space can be mapped into a unit sphere of a two-dimensional polyhedron space, and then the surjective isometry can be extended to a linear isometry on the whole space.

1. 引言

欧氏空间中的正交性的概念在各个领域都广泛的应用，一些学者将其概念推广到一般空间中，引出了广义正交性的概念。设X为一个赋范线性空间， $B_X$ 为X的单位球， $S_X$ 为X的单位球面， $x,y\in X$，如果不等式 $\Vert x+\alpha y\Vert \ge \Vert y\Vert$ 对任意的 $\alpha \in R$ 都成立，我们称x Birkhoff正交于y，记作 $x{\perp }_{B}y$。在一般赋范线性空间中，Birkhoff正交具有齐次性，但不具有对称性和可加性。

设 $X,Y$ 为赋范线性空间， $T:X\to Y$ 为保Birkhoff正交映射，若 $x,y\in X$ 满足 $x{\perp }_{B}y$，则有

$T\left(x\right){\perp }_{B}T(\; y\; )$

两个内积空间之间的保正交映射一定是一个等距映射的标量倍 [1]。

2. 多面体空间上的保正交算子

定义1 [2] 设X是一个赋范线性空间， $x,y\in X$。若不等式

$\Vert x+\alpha y\Vert \ge \Vert x\Vert$

对任意的实数 $\alpha$ 都成立，则我们称x Birkhoff正交于y，记作 $x{\perp }_{B}y$。

如果 $x{\perp }_{B}y$，可以理解为x到y所在直线上任意一点的距离都不小于 $\Vert x\Vert$，也可以理解为 $x+\alpha y$ 所在直线在x点支撑球面 $\left\{z:z\in span\left\{x,y\right\},\Vert z\Vert =\Vert x\Vert \right\}$。

定理1 设x和y是赋范线性空间X中两个线性无关的向量， $L=span\left\{x,y\right\}$，则 $x{\perp }_{B}y$ 当且仅当直线 $x+\langle -y,y\rangle$ 在x点出支撑球面 $\Vert x\Vert B_L$。

定理2 [3] 设X为一个赋范线性空间， $x,y\in X$，则 $x{\perp }_{B}y$ 当且仅当存在线性泛函f，满足 $\left|f\left(x\right)\right|=\Vert f\Vert \Vert x\Vert$，并且 $f\left(y\right)=0$。

定理3设X是一个二维赋范线性空间， $x,y\in S\left(X\right)$，若X上存在一个非零元

z，使得 $x{\perp }_{B}z$， $y{\perp }_{B}z$，则我们有 $\left[x,y\right]\subset S\left(X\right)$ 或者 $\left[x,-y\right]\subset S\left(X\right)$。

证明：由于X是一个二维赋范线性空间，故存在 $f\in S\left(X^{*}\right)$。使得

$f\left(z\right)=0$

因此，对于任意的 $x_0\in S\left(X\right)$， $\alpha \in R$，有

$f\left(x_0\right)=f\left(x_0+\alpha z\right)\le \underset{\alpha \in R}{\inf }\Vert x_0+\alpha z\Vert \le \Vert x_0\Vert =1$

故有

$\underset{x_0\in S\left(X\right)}{\sup }f\left(x_0+\alpha z\right)=\underset{x_0\in S\left(X\right)}{\sup }\left(\underset{\alpha \in R}{\inf }\Vert x_0+\alpha z\Vert \right)=1$

由于 $x{\perp }_{B}z$，故有

$\underset{x_0\in S\left(X\right)}{\sup }\left(\underset{\alpha \in R}{\inf }\Vert x_0+\alpha z\Vert \right)=\underset{\alpha \in R}{\inf }\Vert x+\alpha z\Vert =1$

那么

$f\left(x\right)=1$

又因为 $y{\perp }_{B}z$，根据Birkhoff正交定义，对任意的 $\alpha \in R$ 有

$\Vert y+\alpha z\Vert \ge \Vert y\Vert$，

$\Vert -y-\alpha z\Vert \ge \Vert -y\Vert$，

取 $\beta =-\alpha$，有

$\Vert -y+\beta z\Vert \ge \Vert -y\Vert$，

则

$-y{\perp }_{B}z$，

故同理可得 $f\left(y\right)=1$ 或 $f\left(-y\right)=1$。

由映射f的线性性可得

$f\left(\lambda x+\left(1-\lambda \right)y\right)=1$

或

$f\left(\lambda x+\left(1-\lambda \right)\left(-y\right)\right)=1$

其中 $\lambda \in \left[0,1\right]$。由于

$\Vert \lambda x+\left(1-\lambda \right)y\Vert \ge f\left(\lambda x+\left(1-\lambda \right)y\right)=1$

$\Vert \lambda x+\left(1-\lambda \right)y\Vert \le \lambda \Vert x\Vert +\left(1-\lambda \right)\Vert y\Vert =1$

$\Vert \lambda x+\left(1-\lambda \right)\left(-y\right)\Vert \ge f\left(\lambda x+\left(1-\lambda \right)\left(-y\right)\right)=1$

$\Vert \lambda x+\left(1-\lambda \right)\left(-y\right)\Vert \le \lambda \Vert x\Vert +\left(1-\lambda \right)\Vert -y\Vert =1$

所以

$\Vert \lambda x+\left(1-\lambda \right)y\Vert =1$

$\Vert \lambda x+\left(1-\lambda \right)\left(-y\right)\Vert =1$

根据 $\lambda$ 的任意性有 $\left[x,y\right]\subset S\left(X\right)$ 或 $\left[x,-y\right]\subset S\left(X\right)$。

定理4 [4] 对赋范线性空间中的任意两个向量x和y，总存在一个实数 $\alpha$ 使得 $x{\perp }_B\alpha x+y$。

已知多边形空间X的单位球上的不光滑点至多可数个，现设 $ext\left(A\right)$ 为 $B_X$ 的端子集， $NonS\left(S_X\right)$ 是 $S_X$ 上不光滑点集，显然 $NonS\left(S_X\right)\subset ext\left(A\right)$。根据多边形定义，对任意的 $x\in ext\left(A\right)$，存在 $S_X$ 的支撑超平面 $H_{f_1},H_{f_2}$，使得

$x\in H_{f_1}\cap H_{f_2}$

因此

$NonS\left(S_X\right)=ext(\; A\; )$

于是有

$S_X\subset B_X=conv\left(ext\left(A\right)\right)=conv\left(NonS\left(S_X\right)\right)$

不妨设

$NonS\left(S_X\right)=\left\{x_1,\cdots ,x_n,\cdots \right\}$

其中 $x_1,x_2\in H_{f_1},x_2,x_3\in H_{f_2}$，于是有 $S_X=\underset{x_i\in NonS\left(S_X\right)}{\cup }\left[x_i,x_{i+1}\right]$。

定理5 [5] 设X和Y是赋范空间， $T_0:S_X\to S_Y$ 是一个等距映射，那么自然拓展T是线性等距映射当且仅当对任意是 $x,y\in S_X$ 且 $\Vert x+y\Vert \ge 1$，有 $T\left(x+y\right)=T\left(x\right)+T\left(y\right)$。

定理6 设X为二维多边形空间，Y为赋范线性空间，若 $T:X\to Y$ 为一个保Birkhoff正交的满线性映射，则存在F为X到Y上的一个满等距且Y为二维多边形空间。

证明：根据上文内容可知，存在 $A=\left\{x_1,\cdots ,x_n,\cdots \right\}\subset NonS\left(S_X\right)$，满足对任意的 $x_i\in A$，有 $x_i,x_{i+1}\in H_{y_i}$， $H_{y_i}$ 为 $S_X$ 的支撑超平面，使得 $S_X=\underset{x_i\in NonS\left(S_X\right)}{\cup }\left[x_i,x_{i+1}\right]$。

对于任意不同的点p和q，我们分别用 $\left[p,q\right],\langle p,q\rangle$ 和 $[p,q\rangle$ 表示p和q之间的线段，穿过p和q的直线和从p开始穿过q的射线，令 $y_1\in S_X$，我们用 $H_{y_1}^{+}$ 和 $H_{y_1}^{+}$ 表示以直线 $\langle -y_1,y_1\rangle$ 为边界的X两个半开平面，用 $l\left(y_1\right),r\left(y_1\right)$ 表示 $S_X\cap H_{y_1}^{+}$ 上平行于直线 $\langle -y_1,y_1\rangle$ 的最大线段 $\left[r\left(y_1\right),l\left(y_1\right)\right]$ 的两个端点，且有 $r\left(y_1\right)-l\left(y_1\right)$ 是 $y_1$ 的正整数倍，当 $S_X$ 上没有平行于直线 $\langle -y_1,y_1\rangle$ 的非平凡线段，那么 $r\left(y_1\right)=l\left(y_1\right)\in S_X\cap H_{y_1}^{+}$。

不妨设 $y_1$ 满足 $r\left(y_1\right)\ne l\left(y_1\right)$，令 $r\left(y_1\right)=x_1,l\left(y_1\right)=x_2$ 则有

$x_1{\perp }_B{y}_1,x_2{\perp }_B{y}_1$

$y_1=k_1\left(x_2-x_1\right),k_1\in R$

由于T为保Birkhoff正交映射，故

$T\left(x_1\right){\perp }_{B}T(\; y\; 1\; )$

$T\left(x_2\right){\perp }_{B}T(\; y\; 1\; )$

设映射 $T_1:Y\to Y$ 满足

$T_{1}T\left(x_1\right)=\frac{T\left(x_1\right)}{\Vert T\left(x_1\right)\Vert }$

$T_{1}T\left(x_2\right)=\frac{T\left(x_2\right)}{\Vert T\left(x_2\right)\Vert }$

$T_1\left(0\right)=0$

且

$T_1\left(\lambda T\left(x_1\right)+\left(1-\lambda \right)T\left(x_2\right)\right)=\lambda T\left(x_1\right)+\left(1-\lambda \right)T\left(x_2\right),\lambda \in R$

故

$T_{1}T\left(x_1\right),T_{1}T\left(x_2\right)\in S_Y$

易知 $T_{1}T$ 是一个线性算子。由于

$\begin{array}{c}\Vert T_{1}T\left(x_1\right)+\alpha T\left(y_1\right)\Vert =\Vert \frac{1}{\Vert T\left(x_1\right)\Vert }T\left(x_1\right)+\alpha T\left(y_1\right)\Vert \\ =\frac{1}{\Vert T\left(x_1\right)\Vert }\Vert T\left(x_1\right)+\Vert T\left(x_1\right)\Vert \alpha T\left(y_1\right)\Vert \\ \ge \frac{1}{\Vert T\left(x_1\right)\Vert }\Vert T\left(x_1\right)\Vert \\ =\Vert T_{1}T\left(x_1\right)\Vert \end{array}$

故

$T_{1}T\left(x_1\right){\perp }_{B}T(\; y\; 1\; )$

同理可得

$T_{1}T\left(x_2\right){\perp }_{B}T(\; y\; 1\; )$

由定理3有

$\left[T_{1}T\left(x_1\right),T_{1}T\left(x_2\right)\right]\subset S_Y$

或

$\left[T_{1}T\left(x_1\right),-T_{1}T\left(x_2\right)\right]\subset S_Y$

由于不满足

$T_{1}T\left(\lambda x_1+\left(1-\lambda \right)\left(-x_2\right)\right){\perp }_{B}T(\; y\; 1\; )$

故

$\left[T_{1}T\left(x_1\right),-T_{1}T\left(x_2\right)\right]\not\subset S_Y$

现需证 $T_{1}T\left(x_1\right)\ne T_{1}T\left(x_2\right)$，即T为单射，若T不是单射，则存在 $x\ne y$ 使得

$T\left(x\right)=T(\; y\; )$

令

$z=x-y$

根据定理4，对任意的 $v\notin \langle -z,z\rangle$，存在 $\alpha \in R$，满足

$z{\perp }_B\alpha z+v$

于是有

$T\left(z\right){\perp }_{B}T\left(\alpha z+y\right)$

由于

$T\left(z\right)=T\left(x-y\right)=T\left(x\right)-T\left(y\right)=0$

故

$T\left(z\right){\perp }_{B}T(\; y\; )$

由于v的任意性，故存在 $v\in X$，使得

$z\bcancel{{\perp }_B}v$

这与 $T\left(z\right){\perp }_{B}T\left(y\right)$ 矛盾，故T为单射。于是有

$T\left(y\right)={\alpha }_1\left(T_{1}T\left(x_1\right)-T_{1}T\left(x_2\right)\right),{\alpha }_1\in R$

那么就有

${\alpha }_1\left(T_{1}T\left(x_1\right)-T_{1}T\left(x_2\right)\right)=T\left(k_1\left(x_1-x_2\right)\right)$

$\Rightarrow T_{1}T\left(x_2-x_1\right)=\frac{k_1}{{\alpha }_1}T\left(x_2-x_1\right)$

$\Rightarrow T_{1}T\left(x_2\right)-T_{1}T\left(x_1\right)=\frac{T\left(x_2\right)}{\Vert T\left(x_2\right)\Vert }-\frac{T\left(x_1\right)}{\Vert T\left(x_1\right)\Vert }=\frac{k_1}{{\alpha }_1}T\left(x_2\right)-\frac{k_1}{{\alpha }_1}T(\; x\; 1\; )$

故

$\frac{1}{\Vert T\left(x_1\right)\Vert }=\frac{1}{\Vert T\left(x_2\right)\Vert }=\frac{k_1}{{\alpha }_1}$

故

$T_{1}T\left(x\right)=\frac{k_1}{{\alpha }_1}T\left(x\right),x\in \left[x_1,x_2\right]$

故有

$\Vert T_{1}T\left(x\right)\Vert =\Vert x\Vert =1$

现取 $x_i,x_{i+1},y_i\in S_X$，令 $T_i:Y\to Y$ 为如下定义算子

$T_{i}T\left(x_i\right)=\frac{T\left(x_i\right)}{\Vert T\left(x_i\right)\Vert }$

$T_{i}T\left(x_{i+1}\right)=\frac{T\left(x_{i+1}\right)}{\Vert T\left(x_{i+1}\right)\Vert }$

$T_i\left(0\right)=0$

且

$T_i\left(\lambda T\left(x_i\right)+\left(1-\lambda \right)T\left(x_{i+1}\right)\right)=\lambda T\left(x_i\right)+\left(1-\lambda \right)T\left(x_{i+1}\right),\lambda \in R$

使得

$T_{i}T\left({x^{\prime }}_i\right)=\frac{k_i}{{\alpha }_i}T\left({x^{\prime }}_i\right)$

其中 $k_i,{\alpha }_i\in R,{x^{\prime }}_i\in \left[x_i,x_{i+1}\right]$，且有

$\frac{1}{\Vert T\left(x_i\right)\Vert }=\frac{1}{\Vert T\left(x_{i+1}\right)\Vert }=\frac{k_i}{{\alpha }_i}$

令 $T_{i+1}:Y\to Y$ 为

$T_{i+1}T\left(x_{i+1}\right)=\frac{T\left(x_{i+1}\right)}{\Vert T\left(x_{i+1}\right)\Vert }$

$T_{i+1}T\left(x_{i+2}\right)=\frac{T\left(x_{i+2}\right)}{\Vert T\left(x_{i+2}\right)\Vert }$

$T_{i+1}\left(0\right)=0$

且

$T_{i+1}\left(\lambda T\left(x_{i+1}\right)+\left(1-\lambda \right)T\left(x_{i+2}\right)\right)=\lambda T\left(x_{i+1}\right)+\left(1-\lambda \right)T\left(x_{i+2}\right),\lambda \in R$

使得

$T_{i+1}T\left({x^{\prime }}_{i+1}\right)=\frac{k_{i+1}}{{\alpha }_{i+1}}T\left({x^{\prime }}_{i+1}\right)$

其中 $k_{i+1},{\alpha }_{i+1}\in R,{x^{\prime }}_{i+1}\in \left[x_{i+1},x_{i+2}\right]$，且有

$\frac{1}{\Vert T\left(x_{i+1}\right)\Vert }=\frac{1}{\Vert T\left(x_{i+2}\right)\Vert }=\frac{k_{i+1}}{{\alpha }_{i+1}}=\frac{k_i}{{\alpha }_i}$

故取 ${x^{\prime }}_i=x_{i+1},{x^{\prime }}_{i+1}=x_{i+1}$ 时，有

$T_{i}T\left(x_{i+1}\right)=T_{i+1}T\left(x_{i+1}\right)$

因此 $T_i=T_{i+1}$，由i的任意性可知，对任意的 $x\in S_X$ 有

$\Vert T_{1}T\left(x\right)\Vert =\Vert x\Vert$

令 $F=T_{1}T$，则F是单位球面间的满等距且Y为二维多边形空间。

球面间的满等距成立，根据定理5，可以延拓到全空间等距。

3. 结论

本文我们广泛讨论了多面体空间中保正交算子的相关性质，证明了二维多面体空间的单位球面上的保正交算子是一个满等距，该算子可以把二维多面体空间的单位球面映成二维多面体空间的单位球面，且可以延拓到全空间等距。