双曲空间
当
时是完备的,结合黎曼流形知识,截面曲率是常数-1,即:给定是维数以后,任意两个这样的空间是等距的 [1],双曲空间
中有大量的模空空间,但是,最重要的一类模空间是等分空间模,也就是Poincaré模,即双曲空间或者Lorentz模。在涉及到旋转对称的时候,Poincaré球模极其有用,下面,我们利用Poincaré球模讨论问题,给定
,我们用
来表示
中中心在原点的单位球。双曲空间中的Poincaré球模是单位球
赋予下面的距离
.
与黎曼距离相匹配的体积元是
.
设
,用
,表示从x到0的测地距离,
时,用
表示球心在原点 半径为
的测地开球。仍然用
表示
中Euclidean梯度,同时用
表示
中的标准内积,相对于距离g,在任何切向空间中,双曲梯度
和内积
为如下形式:
.
为简单起见,对
里的光滑函数u,我们用
,因此有如下的关系
. (1.1)
结合(4.1.1),我们知道到Sobolev空间是
完备的形式,当定义在Poincaré球模上的空间
被赋予范数
时,我们把它表示为
。
里径向组成对称的函数构成的子空间我们用
表示。
众所周知,双曲空间
中的对称问题是个很重要的问题。现在,我们来回忆一些双曲空间的重排理论。设
表示下面的函数:
.
对上面的函数u,它的分布函数用
表示,定义为
.
函数
是非增右连续的。那么u的非增重排函数
定义为
.
注意到
是非增的,现在定义u径向非增重排函数
为
. (1.2)
我们再定义一个
上的函数
:
. (1.3)
这里
表示R中单位球的体积,因为
都有同样的非增重排函数,对任意的非增函数
,有
. (1.4)
这个不等式是两次变换替换的结果,但是,由Pólya-Szego原则,有
.
引理1. 设
,对任意的
,那么对所有的
,有
.
这里,
。
证明:参考Lam和Lu等人 [2] [3] [4] [5] [6] 使用分割水平集的方法,设
,则有如下不等式
(1.5)
对于II,我们需要一个简单而又有技巧的工具,简单验证可知,函数
关于ρ的单调递减的函数,而且
,设
,则
。因此有
对于不等式I,由重排理论得
.
类似于 [7] 和 [8],令
,那么
,把u写成位势形式:
由O’Neil’s引理 [9] 和变量替换,经过简单计算可得:
这里
令
则
可以表示成如下的形式:
令
为如下形式
下面我们需要证明
。这里的C是
有关的常数。(从现在开始,我们统一用C表示某个合适的正常数,可能行与行之间是不同的数)。现在,我们需要证明:
1) 存在与
有关的常数满足
;
2) 设
,那么存在依赖于
的两个常数
和
满足
.
参考 [7] 中引理5.1的方法可知
.
这里的C是与
有关的常数,结合
可得
1) 得证
下面,我们证明2)。设
,不失一般性,假设
。设
,并且
。那么,经过计算可得:
因此
后续计算完全类似于文献 [10] 的方法,此处我们略去这些计算。
定理1. 设
,则对任意的
,
(1.6)
成立,而且,当
时,上式取不到上确界。
证明:由 [11] 可知
.
则
由引理1可得
,由 [12] 中定理1可得
。
注意到,定理(1)中的
达不到
,一个很自然的问题是什么条件下
可以取到
,下面的定理2给出了回答。
定理2:设
,
,则当
时
(1.7)
成立。
证明:
由 [13] 中Adachi-Tabaka不等式可知,如果
,当
时有
,令
那么
,再令
,那么
,由1.4和 [14] 可得当
时
因此,
即:
我们注意到:当
时,定理1包含Moser-Trudinger不等式。(1.4)作为特殊情况之一;当
时,定理1是 [12] 中定理1.1改进的形式,而且,根据(1.4)中常数的最佳性质,可以知道(1.7)中
也是最佳的。在断点情况,即当
时,(1.7)中的上确界是取不到,此情形下, [14] [15] 把Hardy-Moser-Trudinger不等式从 [16] 的二维空间推广到了任意维数空间。
NOTES
*通讯作者。