多孔径蜂窝微穿孔结构的吸声性能优化与分析

Optimization Design and Analysis of Sound Absorption Performance of Multi Aperture Honeycomb Micro Perforated Structure

摘要: 本文为了提高四孔径蜂窝–微穿孔板结构的吸声性能，利用马大猷经典微穿孔板声电类比理论，推导出四孔径蜂窝–微穿孔板结构理论模型。采用粒子群算法，以目标频带内吸声曲线最为饱满作为优化目标，对四孔径蜂窝–微穿孔板结构四个区域的穿孔率、孔径、板厚和腔深进行优化。结果表明，与常规参数的蜂窝–微穿孔结构相比，优化后结构的吸声峰值和带宽都得到了提升。

Abstract: In order to improve the sound absorption performance of four aperture honeycomb microperforated plate structure, a theoretical model of four aperture honeycomb microperforated plate structure is derived by using Ma Dayou’s classical acoustic electric analogy theory of microperforated plate. The particle swarm optimization (PSO) algorithm is used to optimize the perforation rate, aperture, thickness and cavity depth of the four regions of the four aperture honeycomb micro perforated plate structure with the most full absorption curve in the target frequency band as the optimization objective. The results show that compared with the conventional parameters of the honeycomb micro perforated structure, the optimized structure has improved the sound absorption peak and bandwidth.

1. 引言

蜂窝–微穿孔结构是将微穿孔板放置在蜂窝上表面的一种组合结构，不仅弥补了传统蜂窝结构吸声性能不足的问题，还保留着蜂窝结构一定的隔声性能。因此，越来越来多的科研人员对其展开了研究。Christina Naify等 [1] 将声网帽添加在蜂窝内部，并且改变声网帽在蜂窝内部的位置，以此来增强蜂窝板隔吸声性能。张丰辉等 [2] 在传统蜂窝夹层架构中引入波纹结构，并将面板和波纹打微穿孔，形成蜂窝–微穿孔波纹结构。研究表明结构不仅拥有优异的力学承载性能，还实现了低频段的宽频有效降噪。张克姝 [3] 将微穿孔板和铝蜂窝结合起来，实验和仿真显示，与传统铝蜂窝结构相比，蜂窝–微穿孔结构隔声性能相近，但吸声性能明显提高。

对于传统微穿孔板结构而言，采用智能优化算法对其进行参数优化以获得期望的吸声频带是重要的研究方向。Heidi Ruiz等 [4] 使用模拟退火算法对多层微穿孔板结构进行优化，拓宽了结构的吸声带宽。王静云等 [5] 将粒子群算法应用于变截面微穿孔结构，获得了期望的声学性能。Chang Yingchun等 [6] 用模拟退火算法对受限制的组合微穿孔板结构进行优化，为微穿孔结构提供新的设计思路。隋林强等 [7] 采用标准遗传算法解决双层微穿孔板结构参数设计问题，取得了良好的结果。

虽然前人针对蜂窝–微穿孔板结构参数优化进行了研究，但基本是单参数或双参数优化，并没有针对孔径、穿孔率、腔深和板厚四种参数的优化研究。而粒子群算法相比于其他算法具有收敛速度快、操作简单等特点，因此，本文采用粒子群算法对四孔径蜂窝–微穿孔结构的孔径、穿孔率、腔深和板厚进行优化。并与常规参数下的结构对比，来探讨粒子群算法在蜂窝–微穿孔结构吸声性能研究中的可行性。

2. 四孔径蜂窝–微穿孔板结构的理论模型

2.1. 传统微穿孔板结构理论模型

根据马大猷 [8] 先生对微穿孔板结构的理论推导可知，将微穿孔板结构进行声电类比简化之后，仍然能获得较为符合实际的结果。对于单层微穿孔板而言，示意图和声电类比图分别如图1、图2所示：

Figure 1. Basic structure diagram of single layer micro perforated plate

图1. 单层微穿孔板基本结构示意图

Figure 2. Acoustoelectric analogy diagram of single layer micro perforated plate

图2. 单层微穿孔板声电类比示意图

那么，单层微穿孔结构的相对声阻抗z的表达式为：

$z=r+j\omega m+z_D$ (1)

其中：

$r=\frac{32\mu t}{\sigma c_0{d}^2}\cdot \left[\sqrt{1+\frac{k^2}{32}}+\frac{\sqrt{2k}}{8}\cdot \frac{d}{t}\right]$ (2)

$m=\frac{t}{\sigma c_0}\cdot \left[1+{\left(9+\frac{k^2}{2}\right)}^{-1/2}+0.85\frac{d}{t}\right]$ (3)

$k=\left(d/2\right)\cdot \sqrt{\omega /\mu }=d\cdot \sqrt{f/10}$ (4)

其中r为微穿孔板相对声阻率，m是相对声质量， $\omega$ 是入射圆频率， $\mu$ 是粘滞系数， $c_0$ 是空气中声速，k是穿孔板常数， $\sigma$ 、t、d和D分别为微穿孔板的穿孔率，板厚，孔径和腔深。而 $z_D$ 为空腔的相对声阻抗率，表示为：

$z_D=-j\cot \left(\omega D/c\right)$ (5)

当垂直入射时，吸声系数 $\alpha$ 写为：

$\alpha =\frac{4\mathrm{Re}\left(z\right)}{{\left[1+\mathrm{Re}\left(z\right)\right]}^2+{\left[\mathrm{Im}\left(z\right)\right]}^2}$ (6)

2.2. 四孔径蜂窝–微穿孔板结构理论

四孔径蜂窝–微穿孔板结构是指将背腔分隔成四个区域，每个区域都有独立的孔径、穿孔率、腔深和板厚，而这正是影响结构吸声性能的四个参数。分隔之后四个区域彼此独立，分别拥有四个共振峰，而不同的共振峰能起到拓宽整个结构吸声频带的作用。用声电类比理论来解释，可理解为微穿孔板上流经四个区域微孔的声体积流分别汇入各自的空腔。那么，在计算中，应将四个区域的微孔先与各自空腔串联，再相互并联。四孔径微穿孔板结构示意图如图3所示：

Figure 3. Structure diagram of four aperture honeycomb micro perforated plate

图3. 四孔径蜂窝-微穿孔板结构示意图

四孔径蜂窝-微穿孔板结构的相对声阻抗 $Z_{total}$ 为：

$Z_{total}=\left(\frac{{\phi }_1}{Z_1}+\frac{{\phi }_2}{Z_2}+\frac{{\phi }_3}{Z_3}+\frac{{\phi }_4}{Z_4}\right)$ (7)

其中， ${\phi }_1$ 、 ${\phi }_2$ 、 ${\phi }_3$ 和 ${\phi }_4$ 为四个区域占截面总面积的比值， $Z_1$ 、 $Z_2$ 、 $Z_3$ 和 $Z_4$ 分别为对应区域的相对声阻抗率。因此，当正入射时，四孔径蜂窝–微穿孔板结构的吸声系数 [9] 为：

$\alpha =\frac{4\mathrm{Re}\left(Z_{total}\right)}{{\left[1+\mathrm{Re}\left(Z_{total}\right)\right]}^2+{\left[\mathrm{Im}\left(Z_{total}\right)\right]}^2}$ (8)

3. 基于粒子群算法的四孔径蜂窝–微穿孔吸声性能优化

为由前面的分析可以，蜂窝–微穿孔板结构的吸声性能由四个区域的穿孔率，孔径，板厚和腔深决定，那么变量一共有十六个之多，因此本文采用全局搜素能力强，收敛速度快的粒子群算法对结构进行优化。

粒子群算法基本思想是通过适应度函数来比较每个粒子的个体最优解和全局最优解，由此来决定下一步搜索方向。粒子群算法基本流程如下：

1) 初始化粒子群，包括群体规模N，每个粒子的位置xi和速度vi。

2) 计算每一个粒子的适应度值f(xi)。

3) 计算每个粒子，用它的适应度值f(xi)和个体极值f(pbesti)比较，如果f(xi) > f(pbesti)，则用f(xi)替换掉f(pbesti)。

4) 计算每个粒子，用它的适应度值f(xi)和全局极值f(gbesti)比较，如果f(xi) > f(gbesti)，则用f(xi)替换掉f(gbesti)。

5) 根据式(4-1)和式(4-2)更新粒子的位置xi和速度vi。

6) 如果满足结束条件(误差足够好或到达最大循环次数)退出，否则返回步骤2。

定义适应度函数为给定频带内吸声曲线最饱和，即：

$fitness={\displaystyle {\int }_{f_{\min }}^{f_{\max }}\alpha \left(f\right)\text{d}f}$ (9)

其中， $f_{\max }$ 、 $f_{\min }$ 为优化区间的上下限频率， $\alpha \left(f\right)$ 是频率为f时结构的吸声系数。由于函数连续，为了使得函数可搜寻，将其离散化：

$fitness={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\alpha }_i\Delta f}$ (10)

其中， $\Delta f$ 为上下限频率之差。

定义优化区间为200~2000 Hz，四个区域变量范围都相同：穿孔率为0.1~30，板厚0.1~1 mm，孔径0.1~1 mm，空腔范围为0.001~0.05 m。优化结果如表1所示：

Table 1. Optimization results of four aperture honeycomb micro perforated plate

表1. 四孔径蜂窝–微穿孔板优化结果

为了验证算法的准确性，现任意取两组参数，数据如表2，表3所示：

Table 2. Take any parameter one

表2. 任取参数一

Table 3. Take any parameter two

表3. 任取参数二

将上表1，表2，表3的参数带入公式，并且将优化后各区域独立参与吸声的曲线绘制出来，吸声曲线如图4、图5所示：

Figure 4. Comparison of sound absorption coefficient between optimized parameters and arbitrary parameters

图4. 优化参数与任取参数吸声系数对比图

Figure 5. Comparison of sound absorption coefficient between common absorption and independent absorption in four areas

图5. 四区域共同吸声与独立吸声的吸声系数对比图

由图4可知，优化后的吸声曲线相比于任取数据的两组曲线显得更为饱和，不仅最大系数更高，而且吸声带宽更广，从500 Hz到2000 Hz，吸声系数更是几乎都在0.8以上。并且从图5中可以看出，优化后的曲线有四个共振峰，正好对应蜂窝-微穿孔板结构的四个区域，具体对应关系如图5。而其余两组参数至多只有两个共振峰，虽然同为四孔径蜂窝-微穿孔板结构，但由于其参数是随机取得，因此其共振峰相距甚远，且多数共振峰不在本文设定的200~2000 Hz范围内，所以难以达到有目的、成体系的吸声效果。这体现了粒子群算法在四孔径蜂窝-微穿孔板结构中的可行性与优越性。

4. 结论

本文根据前人对蜂窝–微穿孔结构的研究，将粒子群算法应用在四孔径蜂窝–微穿孔板结构中，对四个区域的孔径、腔深、穿孔率和板厚进行优化，以目标频带内吸声曲线饱和为适应度函数。优化结果显示，相比于未优化的参数，经粒子群算法优化后的吸声曲线不仅最大吸声系数更高，吸声频带也变宽。因此，粒子群算法可为蜂窝–微穿孔板结构提供快速有效的优化方法。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(51965041)。