理论数学  >> Vol. 11 No. 3 (March 2021)

具有Hardy项的半线性椭圆方程正径向对称解的存在性
Existence of Positive Radial Symmetric Solutions for Semilinear Elliptic Equation with Hardy Exponent

DOI: 10.12677/PM.2021.113045, PDF, HTML, XML, 下载: 91  浏览: 185 

作者: 李时雨:上海理工大学理学院,上海

关键词: Hardy-Sobolev临界指数山路引理Moser迭代比较原理Hardy-Sobolev Critical Exponent Mountain Pass Lemma Moser Iteration Comparison Principle

摘要: 本文主要研究了以下具有Dirichlet边界条件的椭圆方程在BR(0)中正径向对称解的存在性:,u>0。其中   且2*(a,s)是临界指数。我们主要利用山路引理、Moser迭代和比较原理证明该方程正径向对称解的存在性。
Abstract: In this paper, we study the existence of positive radial symmetric solutions of , u>0 in BR(0) with Dirichlet boundary condition. Here, and 2*(a,s) is a critical exponent. We mainly prove the existence of positive radial symmetric solution of the equation by using the mountain pass lemma, Moser iteration and comparison principle.

文章引用: 李时雨. 具有Hardy项的半线性椭圆方程正径向对称解的存在性[J]. 理论数学, 2021, 11(3): 336-345. https://doi.org/10.12677/PM.2021.113045

1. 引言

本文主要研究了以下具有Dirichlet边界的椭圆方程:

{ d i v ( | x | 2 a u ) = μ u | x | 2 ( 1 + a ) + u 2 * ( a , s ) 1 ε | x | s , u > 0 , x Ω , u = 0 , x Ω , (1.1)

其中 Ω N ( N 3 ) 中的球 B R ( 0 ) ,且 0 a < μ ¯ μ ¯ = ( N 2 2 ) 2 2 * ( a , s ) = 2 ( N s ) N 2 ( 1 + a ) 2 N a N 2 s < 2 ( 1 + a ) 0 < ε < 2 * ( a , s ) 1 0 μ < ( μ ¯ a ) 2

(1.1)是具有加权Hardy位势的半线性椭圆方程,它属于非线性微分方程。而非线性微分方程是非线性科学的主要研究方向,它在微分几何、数学物理、生态学、经济学和工程技术中都有广泛而深入的研究,而椭圆方程便是实际问题中常见的非线性微分方程,如热力学中的气体燃烧理论 [1]、几何中的Yamabe问题 [2]、人口动力系统 [3]、调和分析中的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式 [4] 等。

Cao和Peng在 [5] 中利用Moser迭代和比较原理证明了下面方程径向对称解的存在性:

{ Δ u = μ u | x | 2 + u 2 * 1 ε , u > 0 , x Ω , u = 0 , x Ω ,

其中, 0 μ < μ ¯ = ( N 2 2 ) 2 2 * = 2 N N 2

受到文献 [5] 启发,本文研究了问题(1.1),主要结论如下:

定理1.1:假设 2 * ( a , s ) = 2 ( N s ) N 2 ( 1 + a ) 2 N a N 2 s < 2 ( 1 + a ) ,则问题(1.1)有径向对称正解。

2. 预备知识

问题(1.1)对应能量泛函为 E : H 0 1 ( Ω , | x | 2 a ) ,其中

E ( u ) = 1 2 ( Ω | x | 2 a | u | 2 μ u 2 | x | 2 ( 1 + a ) ) 1 2 * ( a , s ) ε Ω | x | s | u | 2 * ( a , s ) ε u H 0 1 ( Ω , | x | 2 a )

显然, E ( u ) 的临界点就是(1.1)的解。在 H 0 1 ( Ω , | x | 2 a ) 上定义范数:

u ( Ω | x | 2 a | u | 2 μ u 2 | x | 2 ( 1 + a ) ) 1 2 .

下面给出本文需要的几个基本引理。

引理2.1: [6]

假设 2 N a N 2 s < 2 ( 1 + a ) 2 q 2 * ( a , s ) 0 μ < ( μ ¯ a ) 2 ,有

(1) 加权Hardy不等式

Ω u 2 | x | 2 ( 1 + a ) 1 ( μ ¯ a ) 2 Ω | u | 2 | x | 2 a u H 0 1 ( Ω , | x | 2 a )

(2) 加权Sobolev-Hardy不等式存在一个常数 C > 0 ,使得

( Ω u q | x | s ) 1 / q C u u H 0 1 ( Ω , | x | 2 a )

(3) 对于 q < 2 * ( a , s ) ,从 H 0 1 ( Ω , | x | 2 a ) L q ( Ω ) 的映射 u | x | q s u 是紧的。

引理2.2:(Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式) [7]

对所有 u C 0 ( N ) ,有

( N | x | b q | u | q ) p / q C a , b N | x | a p | D u | p

其中当 n > p 时, < a < n p p 0 b a 1 q = n p n p + p ( b a )

n p 时, < a < n p p p n p < b a 1 q = n p n p + p ( b a )

引理2.3: [8]

假设V是自反Banach空间且具有范数 ,设 M V 是V的弱闭子集。设 E : M { + } 是强制的且在M上关于V序列弱下半连续,即假设满足以下条件:

(1) (强制性)当 u 时, E ( u ) ,其中 u M

(2) (序列弱下半连续性)对任意 u M 存在M中的序列 { u m } ,在V上 u m u 使得

E ( u ) lim inf m E ( u m )

那么E在M上下有界且在M上达到其最小值。

引理2.4: [6]

u C 2 ( B R \ { 0 } ) C 1 ( B R ¯ \ { 0 } ) 且u满足

{ i ( | x | β i u ) + K | x | α u q = 0 , x B R \ { 0 } , u > 0 , x B R \ { 0 } , u = 0 , x B R \ { 0 } ,

其中K是正常数。那么当 q 1 β ( 1 2 β + N 2 ) 0 1 2 β α q 时,在 B R \ { 0 } 中u是径向对称的。

3. 主要结果证明

3.1. 正解存在性证明

首先,我们证明以下Dirichlet问题非负解的存在性:

{ d i v ( | x | 2 a u ) = μ u | x | 2 ( 1 + a ) + u 2 * ( a , s ) 1 ε | x | s , x Ω , u = 0 , x Ω , (3.1)

其中 Ω N ( N 3 ) 中的球 B R ( 0 ) ,且 0 a < μ ¯ μ ¯ = ( N 2 2 ) 2 2 * ( a , s ) = 2 ( N s ) N 2 ( 1 + a ) 2 N a N 2 s < 2 ( 1 + a ) 0 < ε < 2 * ( a , s ) 1 0 μ < ( μ ¯ a ) 2

问题(3.1)对应能量泛函为:

J ( u ) = 1 2 u 2 1 2 * ( a , s ) ε Ω | x | s | u | 2 * ( a , s ) ε u H 0 1 ( Ω , | x | 2 a )

引理3.1:对任意 c ,泛函J都满足 ( P S ) c 条件。

证明:取 c 并假设 { u n } 是水平c上的PS序列,即 J ( u n ) c 和在 ( H 0 1 ( Ω , | x | 2 a ) ) * 内有 J ( u n ) 0 。这意味着存在一个常数 M > 0 ,使得

| J ( u n ) | M . (3.2)

根据 J ( u n ) 0 ,可得

o ( 1 ) u n = J ( u n ) , u n = u n 2 Ω | x | s | u n | 2 * ( a , s ) ε . (3.3)

计算(3.2) 1 2 * ( a , s ) ε (3.3)得,

M + o ( 1 ) u n 1 2 u n 2 1 2 * ( a , s ) ε Ω | x | s | u | 2 * ( a , s ) ε 1 2 * ( a , s ) ε u n 2 + 1 2 * ( a , s ) ε Ω | x | s | u | 2 * ( a , s ) ε = ( 1 2 1 2 * ( a , s ) ε ) u n 2

这意味着 { u n } 有界。通过通常论证,存在一个子序列仍然记为 { u n } 且存在 u H 0 1 ( Ω , | x | 2 a ) 使得

· 在 H 0 1 ( Ω , | x | 2 a ) 中, u n u

· 在 L 2 * ( a , s ) ε ( Ω ) 中, | x | s 2 * ( a , s ) ε u n | x | s 2 * ( a , s ) ε u

· u n Ω 上几乎处处收敛到u。

接下来,我们证明 u n 到u是强收敛。首先,根据以上分析,可得当 n 时,

u n | x | s 2 * ( a , s ) ε u | x | s 2 * ( a , s ) ε L 2 * ( a , s ) ε ( Ω ) 0 .

因为 J ( u n ) 0 u n u ,所以 J ( u n ) , u n u 0 且显然有 J ( u ) , u n u 0

因此,当 n 时,一方面有

J ( u n ) J ( u ) , u n u | J ( u n ) , u n u | + | J ( u ) , u n u | = o ( 1 )

另一方面有,

J ( u n ) J ( u ) , u n u = u n u 2 Ω | x | s ( | u n | 2 * ( a , s ) 2 ε u n | u | 2 * ( a , s ) 2 ε u ) ( u n u ) .

根据Hölder不等式,有

Ω | x | s | u n | 2 * ( a , s ) 2 ε u ( u n u ) Ω | x | s | u n | 2 * ( a , s ) 1 ε | u n u | = Ω | x | s 2 * ( a , s ) 1 ε 2 * ( a , s ) ε | u n | 2 * ( a , s ) 1 ε | x | s 1 2 * ( a , s ) ε | u n u | ( Ω | x | s | u n | 2 * ( a , s ) ε ) 2 * ( a , s ) 1 ε 2 * ( a , s ) ε | x | s 2 * ( a , s ) ε | u n u | L 2 * ( a , s ) ε ( Ω ) C u n 2 * ( a , s ) 1 ε u n | x | s 2 * ( a , s ) ε u | x | s 2 * ( a , s ) ε L 2 * ( a , s ) ε ( Ω ) = o ( 1 )

同理可得, Ω | x | s | u | 2 * ( a , s ) 2 ε u ( u n u ) = o ( 1 ) 。因此,

o ( 1 ) = J ( u n ) J ( u ) , u n u = u n u 2 + o ( 1 )

即在 H 0 1 ( Ω , | x | 2 a ) u n u 且对任意 c ,泛函J都满足 ( P S ) c 条件。

引理3.2:泛函J允许在非负函数集内存在 ( P S ) c 序列,其中

c = inf g Γ max t [ 0 , 1 ] J ( g ( t ) ) Γ = { g C ( [ 0 , 1 ] , H 0 1 ( Ω ) ) : g ( 0 ) = 0 , J ( g ( 1 ) ) < 0 } .

证明:接下来我们证明J满足山路引理的所有假设。显然, J ( 0 ) = 0

由加权Hardy-Sobolev不等式可得

J ( u ) = 1 2 u 2 1 2 * ( a , s ) ε Ω | x | s | u | 2 * ( a , s ) 1 ε u 1 2 u 2 C 1 u 2 * ( a , s ) ε .

对任意 a , s ,我们选择足够小的 ε 使得 2 * ( a , s ) ε > 2 。根据以上分析,存在 ρ , e > 0 ,使得对任意 u { u H 0 1 ( Ω , | x | 2 a ) : u = e } J ( u ) ρ 。此外,对任意 u H 0 1 ( Ω , | x | 2 a ) ,有

J ( t u ) = t 2 2 u 2 t 2 * ( a , s ) ε 2 * ( a , s ) ε Ω | x | s | u | 2 * ( a , s ) 1 ε u .

因此,当 t + J ( t u ) 。因此,我们可以选择合适的 t 0 > 0 ,使得 J ( t 0 u ) < 0 。根据山路引理,可知J允许存在 ( P S ) c 序列,并且由于对任意的 u H 0 1 ( Ω , | x | 2 a ) ,都有 J ( | u | ) J ( u ) ,故这个序列可以在非负函数集合中被选择。证毕!

通过引理3.1、3.2和山路引理,我们得到了问题(1.1)的一个非负解 u H 0 1 ( Ω , | x | 2 a ) ,再通过极大值原理,该解是正解。

3.2. 径向对称性证明

接下来,记问题(1.1)中的 2 * ( a , s ) 1 ε = p > 0 ,并研究解 u ε H 0 1 ( Ω , | x | 2 a ) 的奇异性和径向对称性。根据标准椭圆的正则性理论得, u ε ( x ) C 2 ( Ω \ { 0 } ) C 1 ( Ω ¯ \ { 0 } ) 。因此, u ε ( x ) 的奇点是原点。

假设 u ε H 0 1 ( Ω , | x | 2 a ) 满足问题(1.1)。令 υ ( x ) = | x | ν u ( x ) ν = ( μ ¯ a ) ( μ ¯ a ) 2 μ ,可得

{ d i v ( | x | 2 a 2 ν υ ) = | x | ( 2 * ( a , s ) ε ) ν s υ 2 * ( a , s ) 1 ε , υ > 0 x Ω , υ = 0 x Ω . (3.4)

根据标准椭圆的正则性理论得, υ ε ( x ) C 2 ( Ω \ { 0 } ) C 1 ( Ω ¯ \ { 0 } )

引理3.3:(1) υ ( x ) H 0 1 ( Ω , | x | 2 a 2 v ) ;(2) υ ( x ) Ω 上有界。

证明:(1)对任意满足(1.1)的 u ( x ) H 0 1 ( Ω , | x | 2 a ) ,根据加权Hardy不等式,我们有

Ω | x | 2 a 2 ν | υ | 2 = Ω | x | 2 a 2 ν | | x | ν u + ν | x | ν 2 u x | 2 2 ( Ω | x | 2 a | u | 2 + ν 2 Ω u 2 | x | 2 ( 1 + a ) ) C

因此, υ ( x ) = | x | ν u ( x ) H 0 1 ( Ω , | x | 2 a 2 v )

(2)根据引理2.2提到的Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式,得对任意 u ( x ) H 0 1 ( Ω , | x | 2 a 2 ν )

( Ω | x | m | u | 2 ) 1 2 C m , n ( Ω | x | n | u | p ( m , n ) ) 1 p ( m , n ) , (3.5)

其中 m = 2 a 2 ν n = ( 2 * ( a , s ) ε ) ν s p ( m , n ) = 2 * ( a , s ) + ε ν ( μ ¯ a ) 2 μ

注意到 υ ( x ) 满足

Ω | x | m υ φ = Ω | x | n υ p φ φ H 0 1 ( Ω , | x | m ) .

定义 υ l = min { υ ( x ) , l } l > 1 。设 t > 1 ,取上式中 φ = υ υ l 2 ( t 1 ) H 0 1 ( Ω , | x | m )

Ω | x | m | υ | 2 υ l 2 ( t 1 ) + 2 ( t 1 ) Ω | x | m | υ l | 2 υ l 2 ( t 1 ) = Ω | x | n υ p + 1 υ l 2 ( t 1 )

因此,

( Ω | x | n ( υ υ l t 1 ) p ( m , n ) ) 2 p ( m , n ) C m , n 2 Ω | x | m | ( υ υ l t 1 ) | 2 2 C m , n 2 ( ( t 1 ) 2 Ω | x | m | υ l | 2 υ l 2 ( t 1 ) + Ω | x | m | υ | 2 υ l 2 ( t 1 ) ) 2 C m , n 2 t Ω | x | n υ p + 2 t 1 (3.6)

根据(3.6)和Levi’s定理,由 υ L p + 2 t 1 ( Ω , | x | n ) 可知 υ L t p ( m , n ) ( Ω , | x | n )

接下来定义

{ p 1 + 2 t 0 = p ( m , n ) , p 1 + 2 t j + 1 = p ( m , n ) t j , (3.7)

{ M 0 = ( C C m , n 2 ) p ( m , n ) 2 , M j + 1 = ( 2 C m , n 2 t j M j ) p ( m , n ) 2 , (3.8)

其中 j = 0 , 1 , 2 , ,C是满足 Ω | x | m | υ | 2 C 的固定常数。

由(3.7)可得

t j = ( 2 1 p ( m , n ) ) j + 1 ( p ( m , n ) p 1 ) + p 1 p ( m , n ) 2

结合(3.8)和 [9] 中类似计算可得 d > 0 (d与j无关)使得 M j e d t j 1

又因为 2 < p + 1 < p ( m , n ) ,故对所有 j 0 都有 t j > 1 且当 j + t j +

结合(3.6)、(3.7)和(3.8),得

Ω | x | n υ p + 2 t 1 1 ( 2 C m , n 2 t 0 ) p ( m , n ) 2 ( Ω | x | n υ p + 2 s 0 1 ) p ( m , n ) 2 ( 2 C m , n 2 t 0 ) p ( m , n ) 2 ( C p ( m , n ) 2 C m , n p ( m , n ) ) p ( m , n ) 2 ( 2 C m , n 2 t 0 M 0 ) p ( m , n ) 2 M 1

类似地我们有, Ω | x | n υ p + 2 t j 1 M j

C ( Ω , n ) = max x Ω | x | n ,并根据 p 1 + 2 t j + 1 = p ( m , n ) t j 可得

| υ | L p ( m , n ) t j ( Ω ) ( Ω | υ | p ( m , n ) t j | x | n | x | n ) 1 p ( m , n ) t j C ( Ω , n ) 1 p ( m , n ) t j | υ | L p ( m , n ) t j ( Ω , | x | n ) 1 p ( m , n ) t j C ( Ω , n ) 1 p ( m , n ) t j M j + 1 1 p ( m , n ) t j C ( Ω , n ) 1 p ( m , n ) t j e d p ( m , n ) t j

对上述不等式两边取极限并利用当 j + t j + ,得 | υ | L ( Ω ) e d p ( m , n ) 。证毕!

根据引理3.3,可知 υ ( x ) = | x | ν u ( x ) Ω 内有上界。对于 υ ( x ) = | x | ν u ( x ) 的下界我们有

引理3.4:假设 u ( x ) H 0 1 ( Ω , | x | 2 a 2 v ) 满足问题(1.1),则对任意 B ρ Ω ,都存在一个 C ( ρ ) > 0 使得对

x B ρ Ω 都有 u ( x ) C ( ρ ) | x | ν

证明:令 f ( x ) = min { | x | s u 2 * ( a , s ) 1 ε ( x ) , l } l > 0 ,则 f L ( Ω )

假设 u 1 0 u 1 H 0 1 ( Ω , | x | 2 a ) 是下面线性方程的解;

{ d i v ( | x | 2 a u 1 ) = μ u 1 | x | 2 ( 1 + a ) + f , x Ω , u 1 = 0 , x Ω . (3.9)

U = u u 1 ,则 U H 0 1 ( Ω , | x | 2 a ) 且U满足

{ d i v ( | x | 2 a U ) = μ U | x | 2 ( 1 + a ) + g , x Ω , U = 0 , x Ω , (3.10)

其中 g 0 0 μ < ( μ ¯ a ) 2

由引理2.3可知,问题(3.9)和(3.10)有解。再根据加权Hardy不等式和比较原理 [10],可知u是问题(3.9)的一个上解且 0 u 1 u 。证明如下,将(3.10)的两边同时乘以 U : = max { 0 , U ( x ) } 并分部积分可得

Ω | x | 2 a | U | 2 = Ω μ ( U ) 2 | x | 2 ( 1 + a ) + Ω g U .

这意味着 U = 0 ,即 U 0

根据引理3.3得,存在一个常数 C 1 > 0 使得 0 u 1 u C 1 | x | ν ,因此我们只需证明 u 1 有下界即可。

因为在 Ω u 1 0 u 1 0 d i v ( | x | 2 a u 1 ) 0 ,所以存在 δ > 0 和充分小的 ρ > 0 使得对任意 x B 2 ρ 都有 u 1 δ 。选择合适的 C ( ρ ) > 0 C ( ρ ) 满足当 | x | ρ C ( ρ ) | x | ν δ ,并取 ω = ( u 1 C | x | ν ) 。因为 B ρ | | x | ν | 2 < u 1 H 0 1 ( B ρ ) ,所以 ω H 0 1 ( B ρ )

结合(3.9)和 | x | ν d i v ( | x | 2 a u ) μ u | x | 2 ( 1 + a ) = 0 的弱解的事实,可知 u 1 | x | ν 的线性组合是 d i v ( | x | 2 a u 1 ) = μ u 1 | x | 2 ( 1 + a ) + f 的弱解。因此

d i v ( | x | 2 a ( u 1 C | x | ν ) ) = μ u 1 C | x | ν | x | 2 ( 1 + a ) + f .

对上式两边同时乘以 ω 并分部积分得

B ρ | x | 2 a | ω | 2 + Ω μ ω 2 | x | 2 ( 1 + a ) = Ω f ω 0 .

又因为 0 μ < ( μ ¯ a ) 2 ,所以 ω 0

ω 0 还有第二种证法:只需证明 B ρ | x | 2 a | ω | 2 + B ρ μ ω 2 | x | 2 ( 1 + a ) 0 即可。显然

0 > B ρ | x | 2 a | ω | 2 + B ρ μ ω 2 | x | 2 ( 1 + a ) = B ρ | x | 2 a ( u 1 C | x | ν ) ω B ρ μ | x | 2 ( 1 + a ) ( u 1 C | x | ν ) ω = B ρ f ω C ( B ρ | x | 2 a | x | ν ω B ρ μ | x | 2 ( 1 + a ) | x | ν ω ) = B ρ f ω + C ν ρ 2 a + ν + 1 B ρ ω > C ν ρ 2 a + ν + 1 B ρ ω 0

显然矛盾,证毕!

结合引理3.3和引理3.4,我们得到

命题3.5:假设 u ( x ) H 0 1 ( Ω , | x | 2 a 2 v ) 满足问题(1.1)且 0 μ < ( μ ¯ a ) 2 ,则对任意 Ω Ω ,都存在两个正常数 C 1 C 2 ,使得

{ u ( x ) | x | ν C 1 , x Ω Ω , u ( x ) | x | ν C 2 , x Ω .

最后我们给出定理1.1的证明。

定理1.1的证明:根据以上分析,我们只需证明 υ ( x ) Ω 中是径向对称的。根据标准椭圆的正则性理论,我们有 υ ( x ) C 2 ( Ω \ { 0 } ) C 1 ( Ω ¯ \ { 0 } ) 。由(2.4)可知,

i ( | x | 2 a 2 ν i υ ) + | x | ( 2 * ( a , s ) ε ) ν s υ 2 * ( a , s ) 1 ε = 0 . (3.11)

β = 2 a 2 ν α = ( 2 * ( a , s ) ε ) ν s q = 2 * ( a , s ) 1 ε K = 1 时,(3.11)显然满足引理2.4中的条件。证毕!

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