具脉冲的三种群害虫模型的动力学性质

Dynamical Properties of a Three Species Pest Model with Impulses

摘要: 基于害虫控制策略，研究固定时刻种植树木和投放害虫天敌的脉冲种群系统模型，利用Floquet理论和比较原理，研究害虫灭绝周期解的存在性和全局渐进稳定性，给出森林病虫害控制给出重要理论依据。

Abstract: Based on the pest control strategy, the impulsive population system model of planting trees and releasing natural enemies at fixed time is studied. By using Floquet theory and comparison princi-ple, the existence and global asymptotic stability of periodic solution of pest extinction are studied, and the important theoretical basis for forest pest control is given.

1. 引言

林业是我国经济发展的重要组成部分，而林业发展面临着科技水平低、病害虫严重等各种问题，尤其是在森林的漫长生育发展过程中，害虫的侵袭，森林病虫害时有发生。对于森林化学防治而言，害虫产生抗药性、误杀天敌以及污染环境的问题十分突出，因此生物防治虫害显得尤为重要。生物防治的主要手段是定期投放害虫天敌，以达到控制或根除害虫的目的。很显然害虫天敌的投放不是连续的，因此模型中加入脉冲效应更加切合实际。另外，每年人工定期植树，对于树木数量的增长来讲也具有脉冲效应，因此用脉冲动力系统描述这种现象更符合生态实际，关于具脉冲的害虫管理模型，国内外学者进行了大量的研究，见文献 [1] [2] [3] [4]。

本文在已有文献的基础上，以森林害虫的生物控制策略为前提，建立三种群脉冲微分系统模型，在固定时刻投放害虫天敌，定时种植树木，利用脉冲微分方程的Floquet理论和比较原理研究了害虫灭绝周期解的存在性和全局渐进稳定性，对已有结果进行了优化和推广。

2. 三种群动力学模型

根据树木、害虫、天敌这三个种群之间的关系，建立三种群脉冲微分系统模型。 $x_1\left(t\right)$ 表示t时刻森林中害虫的总量， $x_2\left(t\right)$ 表示t时刻森林中树木的数量， $y\left(t\right)$ 表示t时刻森林中具有的害虫天敌数量。在固定时刻释放害虫天敌和新植入树木的脉冲微分模型为：

$\{\begin{array}{l}{\stackrel{\dot{}}{x}}_1\left(t\right)=\alpha x_1\left(t\right)-\eta x_1\left(t\right)y\left(t\right)+\gamma x_1\left(t\right)x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\dot{}}{x}}_2\left(t\right)=\beta x_2\left(t\right)-{\mu }_2{x}_1\left(t\right)x_2\left(t\right)\\ \stackrel{\dot{}}{y}\left(t\right)=d\eta x_1\left(t\right)y\left(t\right)-\mu y\left(t\right)t\ne n\tau \\ \Delta x_1\left(t\right)=0\\ \Delta x_2\left(t\right)=p_2\\ \Delta y\left(t\right)=pt=n\tau ,n=1,2,\cdots \end{array}$ (1)

其中， $\alpha$ 表示害虫的内禀增长率， $\mu >0$ 表示害虫天敌的死亡率， ${\mu }_2>0$ 树木的死亡率， $\beta$ 表示树木的增植率， $\eta >0$ 表示单位时间内害虫被天敌吃掉的概率， $\gamma >0$ 表示害虫对树木的破坏系数， $d>0$ 表示天敌以害虫作为食物的增长系数，p表示 $t=n\tau \left(n\in Z^{+}\right)$ 时刻向森林中投放的天敌数量， $p_2$ 表示 $n\tau$ 时刻新种植的树木的数量， $\tau$ 是脉冲效应周期， $\Delta y\left(t\right)=y\left(t^{+}\right)-y\left(t\right)$。

模型(1)的解 $x\left(t\right)=\left(x_1\left(t\right),x_2\left(t\right),y\left(t\right)\right)$ 是分段连续函数，当 $t\in \left(n\tau ,\left(n+1\right)\tau \right)$ 时， $x\left(t\right)$ 是连续的。令 $f=\left(f_1,f_2,f_3\right)$ 为(1)的前三个方程右端的映射，显然f的光滑性保证了解的存在唯一性。

3. 模型及其适定性

不要使用空格、制表符设置段落缩进，不要通过连续的回车符(换行符)调整段间距。

这部分首先给出模型(1)的害虫灭绝周期解，通过脉冲微分方程的比较原理和Floquet理论及得到了周期解不稳定和全局渐进稳定的条件。

定理3.1 模型(1)有一个害虫灭绝周期解 $\left(0,{\tilde{x}}_2\left(t\right),\tilde{y}\left(t\right)\right)$ ；且对于(1)的每一个解 $y\left(t\right)\to \tilde{y}\left(t\right),\left(t\to \infty \right)$ ； $x_2\left(t\right)\to {\tilde{x}}_2\left(t\right),\left(t\to \infty ,\beta <0\right)$，其中： ${\tilde{x}}_2\left(t\right)=\frac{p_2{\text{e}}^{\beta \left(t-n\tau \right)}}{1-{\text{e}}^{\beta \tau }},t\in \left(n\tau ,\left(n+1\right)\tau \right)$， $\tilde{y}\left(t\right)=\frac{p{\text{e}}^{-\mu \left(t-n\tau \right)}}{1-{\text{e}}^{-\mu \tau }},t\in \left(n\tau ,\left(n+1\right)\tau \right)$， $x_2\left(t\right)={\tilde{x}}_2\left(t\right)+\left(x_2\left(0^{+}\right)-\frac{p_2}{1-{\text{e}}^{\beta \tau }}\right){\text{e}}^{\beta \left(t-n\tau \right)}$， $y\left(t\right)=\tilde{y}\left(t\right)+\left(y\left(0^{+}\right)-\frac{p}{1-{\text{e}}^{-\mu \tau }}\right){\text{e}}^{-\mu \left(t-n\tau \right)}$。

证明：当 $x_1\left(t\right)=0$ 时，考虑(1)的子系统：

$\{\begin{array}{ll}\stackrel{\dot{}}{y}\left(t\right)=-\mu y\left(t\right),\hfill & t\ne n\tau \hfill \\ \Delta y\left(t\right)=p,\hfill & t=n\tau \hfill \end{array}$ (2)

容易得到(2)的一个正周期解：

$\{\begin{array}{l}\tilde{y}\left(t\right)=\frac{p{e}^{-\mu \left(t-n\tau \right)}}{1-{\text{e}}^{-\mu \tau }},t\in \left(n\tau ,\left(n+1\right)\tau \right)\\ y\left(0^{+}\right)=\frac{p}{1-{\text{e}}^{-\mu \tau }}\end{array}$

因此，(2)的任一解可以表示为：

$y\left(t\right)=\tilde{y}\left(t\right)+\left(y\left(0^{+}\right)-\frac{p}{1-{\text{e}}^{-\mu \tau }}\right){\text{e}}^{-\mu \left(t-n\tau \right)}$

显然 $\underset{t\to \infty }{\lim }y\left(t\right)=\tilde{y}\left(t\right)$。

考虑(1)的另一个子系统

$\{\begin{array}{ll}{\stackrel{\dot{}}{x}}_2\left(t\right)=\beta x_2\left(t\right),\hfill & t\ne n\tau \hfill \\ \Delta x_2\left(t\right)=p_2,\hfill & t=n\tau \hfill \end{array}$ (3)

同样的方法，可以得到(3)的正周期解和任一解的表达式：

$\{\begin{array}{l}{\tilde{x}}_2\left(t\right)=\frac{p_2{\text{e}}^{\beta \left(t-n\tau \right)}}{1-{\text{e}}^{\beta \tau }},t\in \left(n\tau ,\left(n+1\right)\tau \right)\\ x_2\left(0^{+}\right)=\frac{p_2}{1-{\text{e}}^{\beta \tau }}\end{array}$

$x_2\left(t\right)={\tilde{x}}_2\left(t\right)+\left(x_2\left(0^{+}\right)-\frac{p_2}{1-{\text{e}}^{\beta \tau }}\right){\text{e}}^{\beta \left(t-n\tau \right)}$

若 $\beta <0$， $\underset{t\to \infty }{\lim }{x}_2\left(t\right)={\tilde{x}}_2\left(t\right)$，从而得到(1)的一个害虫灭绝的周期解 $\left(0,{\tilde{x}}_2\left(t\right),\tilde{y}\left(t\right)\right).$ 证毕。

定理3.2 对于系统(1)的害虫灭绝周期解 $\left(0,{\tilde{x}}_2\left(t\right),\tilde{y}\left(t\right)\right)$ ：

1) 若 $\beta >0$，则 $\left(0,{\tilde{x}}_2\left(t\right),\tilde{y}\left(t\right)\right)$ 是不稳定的；

2) 若 $\beta =0$， $p\ge \frac{\alpha \mu \tau }{\eta {\text{e}}^{\mu n\tau }}$，则 $\left(0,{\tilde{x}}_2\left(t\right),\tilde{y}\left(t\right)\right)$ 是稳定的；

3) 若 $\beta <0$， $p>\frac{\alpha \beta \mu \tau -\gamma p_2\mu {\text{e}}^{-\beta n\tau }}{\eta {\text{e}}^{\mu n\tau }}$，则 $\left(0,{\tilde{x}}_2\left(t\right),\tilde{y}\left(t\right)\right)$ 是全局渐进稳定的。

为了证明定理方便，我们首先引入如下引理。

引理3.1 [5] 对于齐次线性T-周期脉冲微分方程：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=A\left(t\right)x,t\ne t_k,t\in R\\ \Delta x=B_{k}x,t=t_k,k\in Z\end{array}$ (4)

假设有下面的条件：

$H_1:A(·)\in PC\left(R,C^{n\times n}\right),A\left(t+T\right)=A\left(t\right)\left(t\in R\right);$

$H_2:B_k\in C^{n\times n},\det \left(E+B_k\right)\ne 0,t_k<t_{k+1}\left(k\in Z\right);$

$H_3:\exists q\in N,使得B_{k+q}=B_k,t_{k+q}=t_k+T,\left(k\in Z\right).$

若H₁~H₃均成立，则(4)的每一个基解矩阵都可以表示为如下形式：

$X\left(t\right)=\Phi \left(t\right){\text{e}}^{Gt},\left(t\in R\right)$ (5)

其中 $G\in C^{n\times n}$ 是常值矩阵， $\Phi (·)\in P{C}^1\left(R,C^{n\times n}\right)$ 为可逆矩阵且是T-周期的。

下面开始证明定理：

首先，作变换 $s\left(t\right)=x_1\left(t\right),u\left(t\right)=x_2\left(t\right)-{\tilde{x}}_2\left(t\right),v\left(t\right)=y\left(t\right)-\tilde{y}\left(t\right)$，则(3.1)在 $\left(0,{\tilde{x}}_2\left(t\right),\tilde{y}\left(t\right)\right)$ 处的近似线性系统为：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{\dot{}}{s}\left(t\right)\\ \stackrel{\dot{}}{u}\left(t\right)\\ \stackrel{\dot{}}{v}\left(t\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\alpha -\eta \tilde{y}\left(t\right)+\gamma {\tilde{x}}_2\left(t\right)& 0& 0\\ -{\mu }_2{\tilde{x}}_2\left(t\right)& \beta & 0\\ d\eta \tilde{y}\left(t\right)& 0& -\mu \end{array}\right)(\begin{array}{c}s\left(t\right)\\ u\left(t\right)\\ v(\; t\; )\end{array})$

容易得到满足 $\Phi \left(0\right)=E$ 的基解矩阵为：

$\Phi \left(t\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\text{e}}^{{\displaystyle {\int }_0^{\tau }\left(\alpha -\eta \tilde{y}\left(s\right)+\gamma {\tilde{x}}_2\left(s\right)\right)\text{d}s}}& 0& 0\\ *& {\text{e}}^{\beta t}& 0\\ **& 0& {\text{e}}^{-\mu t}\end{array}\right)$

在下面的计算中没有用到的式子我们用 $*,**$ 表示。

模型(1)的线性脉冲条件为：

$\left(\begin{array}{c}s\left({\left(n\tau \right)}^{+}\right)\\ u\left({\left(n\tau \right)}^{+}\right)\\ v\left({\left(n\tau \right)}^{+}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}s\left(n\tau \right)\\ u\left(n\tau \right)\\ v\left(n\tau \right)\end{array}\right)$

单值矩阵

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\Phi \left(\tau \right)=\left(\begin{array}{ccc}{\text{e}}^{{\displaystyle {\int }_0^{\tau }\left(\alpha -\eta \tilde{y}\left(s\right)+\gamma {\tilde{x}}_2\left(s\right)\right)\text{d}s}}& 0& 0\\ *& {\text{e}}^{\beta t}& 0\\ **& 0& {\text{e}}^{-\mu t}\end{array}\right)$

的特征值为：

${\lambda }_1={\displaystyle {\int }_0^{\tau }\left(\alpha -\eta \tilde{y}\left(s\right)+\gamma {\tilde{x}}_2\left(s\right)\right)\text{d}s}$， ${\lambda }_2={\text{e}}^{\beta t}$， ${\lambda }_3={\text{e}}^{-\mu t}<1$，由引理3.1：

1) 当 $\beta >0$ 时， ${\lambda }_2={\text{e}}^{\beta t}>1$，则 $\left(0,{\tilde{x}}_2\left(t\right),\tilde{y}\left(t\right)\right)$ 是不稳定的；

2) 当 $\beta =0$， ${\lambda }_1={\text{e}}^{{\displaystyle {\int }_0^{\tau }\left(\alpha -\frac{\eta p\exp \left\{-\mu \left(s-n\tau \right)\right\}}{1-\exp \left\{-\mu \tau \right\}}\right)\text{d}s}}$， ${\lambda }_2={\text{e}}^{\beta t}=1$，当 $p\ge \frac{\alpha \mu \tau }{\eta {\text{e}}^{\mu n\tau }}$ 时， ${\lambda }_1\le 1$， $\left(0,{\tilde{x}}_2\left(t\right),\tilde{y}\left(t\right)\right)$ 是稳定的；

3) 当 $\beta <0$， ${\lambda }_2={\text{e}}^{\beta t}\le 1$， ${\lambda }_1=\exp \left\{{\displaystyle {\int }_0^{\tau }\left(\alpha -\frac{\eta p\exp \left\{-\mu \left(s-n\tau \right)\right\}}{1-\exp \left\{-\mu \tau \right\}}+\frac{\gamma p_2\exp \left\{\beta \left(s-n\tau \right)\right\}}{1-\exp \left\{\beta \tau \right\}}\right)\text{d}s}\right\}$

所以当 $p>\frac{\alpha \beta \mu \tau -\gamma p_2\mu {\text{e}}^{-\beta n\tau }}{\eta {\text{e}}^{\mu n\tau }}$ 时， ${\lambda }_1<1$，从而 $\left(0,{\tilde{x}}_2\left(t\right),\tilde{y}\left(t\right)\right)$ 是全局渐进稳定的。

下面证明当 $\beta <0$ 时， $\left(0,{\tilde{x}}_2\left(t\right),\tilde{y}\left(t\right)\right)$ 是全局吸引的。

根据已知条件选取 $\epsilon >0$，使得

$\sigma =\exp \left({\displaystyle {\int }_{n\tau }^{\left(n+1\right)\tau }\left(\alpha -\eta \left(\tilde{y}\left(t\right)-\epsilon \right)+\gamma \left({\tilde{x}}_2\left(t\right)+\epsilon \right)\right)\text{d}t}\right)<1$

注意到 $\stackrel{\dot{}}{y}\left(t\right)\ge -\mu y\left(t\right),{\stackrel{\dot{}}{x}}_2\left(t\right)\le \beta x_2\left(t\right),\left(\beta <0\right)$。考虑脉冲微分方程

$\{\begin{array}{ll}\stackrel{\dot{}}{z}\left(t\right)=-\mu z\left(t\right),\hfill & t\ne n\tau \hfill \\ \Delta z\left(t\right)=p,\hfill & t=n\tau \hfill \end{array}$ (6)

$\{\begin{array}{ll}\stackrel{\dot{}}{u}\left(t\right)=\beta u\left(t\right),\hfill & t\ne n\tau \hfill \\ \Delta z\left(t\right)=p_2,\hfill & t=n\tau \hfill \end{array}$ (7)

由文献 [6] 定理容易看出，当t充分大时

$y\left(t\right)\ge z\left(t\right)>\tilde{y}\left(t\right)-\epsilon$ (8)

$x_2\left(t\right)\le u\left(t\right)<{\tilde{x}}_2\left(t\right)+\epsilon$ (9)

不失一般性，我们假设 $t\ge 0$ 时，(8)式和(9)式成立，由(1)得

$\{\begin{array}{ll}{\stackrel{\dot{}}{x}}_1\left(t\right)\le x_1\left(t\right)\left[\alpha -\eta \left(\tilde{y}\left(t\right)-\epsilon \right)+\gamma \left({\tilde{x}}_2\left(t\right)+\epsilon \right)\right],\hfill & t\ne n\tau \hfill \\ \Delta x_1\left(t\right)=0,\hfill & t=n\tau \hfill \end{array}$ (10)

在 $\left(n\tau ,\left(n+1\right)\tau \right)$ 上对(10)积分得：

$x_1\left(\left(n+1\right)\tau \right)\le x_1\left(n\tau \right){\text{e}}^{{\displaystyle {\int }_n^{n+1}\left(\alpha -\eta \left(\tilde{y}\left(t\right)-\epsilon \right)+\gamma \left({\tilde{x}}_2\left(t\right)+\epsilon \right)\right)\text{d}t}}=x_1\left(n\tau \right)\sigma$ (11)

所以 $x_1\left(n\tau \right)\le x_1\left(0^{+}\right){\sigma }^n$，于是当 $n\to \infty$ 时， $x_1\left(n\tau \right)\to 0$。当 $t\in \left(n\tau ,\left(n+1\right)\tau \right)$ 时， $0<x_1\left(t\right)\le x_1\left(n\tau \right){\text{e}}^{\alpha \tau }$ 所以，当 $n\to \infty$ 时， $x_1\left(t\right)\to 0$。

令 $m_1=\frac{p\exp \left\{-\mu \tau \right\}}{1-\exp \left\{-\mu \tau \right\}}-\epsilon >0$， $\epsilon$ 为任意小的正数，由于当t充分大时，对任意的 $\epsilon >0$， $y\left(t\right)>\tilde{y}\left(t\right)-\epsilon$，进而 $y\left(t\right)\ge m_1$。不妨设当 $t\ge 0$ 时， $y\left(t\right)\ge m_1$。对于 $0<{\epsilon }_1<\frac{\mu m_1}{d\eta }$，存在 ${\tau }_0>0$ 使得当 $t\ge {\tau }_0$ 时， $0<x_1\left(t\right)<{\epsilon }_1$。不妨设 $t>0$ 时， $0<x_1\left(t\right)<{\epsilon }_1$，由(1)得 $-\mu y\left(t\right)\le \stackrel{\dot{}}{y}\left(t\right)\le y\left(t\right)\left(-\mu +d\eta {\epsilon }_1{m}_1\right)$。由引理3.2得 $z\left(t\right)\le y\left(t\right)\le \omega \left(t\right)$，且 $n\to \infty$ 时 $z\left(t\right)\to \tilde{y}\left(t\right)$， $\omega \left(t\right)\to \tilde{\omega }\left(t\right)$。其中 $z\left(t\right),\omega \left(t\right)$ 分别为(6)和下面脉冲微分方程的解：

$\{\begin{array}{ll}\stackrel{\dot{}}{\omega }\left(t\right)=\omega \left(t\right)\left(-\mu +d\eta {\epsilon }_1{m}_1\right),\hfill & t\ne n\tau \hfill \\ \Delta \omega \left(t\right)=p,\hfill & t=n\tau \hfill \end{array}$

$\tilde{\omega }\left(t\right)=\frac{p{\text{e}}^{\left(-\mu +d\eta {\epsilon }_1{m}_1\right)\left(t-n\tau \right)}}{1-{\text{e}}^{\left(-\mu +d\eta {\epsilon }_1{m}_1\right)\tau }},t\in \left(n\tau ,\left(n+1\right)\tau \right)$

故对于 $\forall {\epsilon }_2>0$， $\exists {\tau }_1>0$，当 $t>{\tau }_1$ 时，有 $\tilde{y}\left(t\right)-{\epsilon }_2\le y\left(t\right)\le \tilde{\omega }\left(t\right)+{\epsilon }_2$。

当 ${\epsilon }_2\to 0$，且 $t\to \infty$ 时， $\tilde{y}\left(t\right)-{\epsilon }_2\le y\left(t\right)\le \tilde{y}\left(t\right)+{\epsilon }_2$， $y\left(t\right)\to \tilde{y}\left(t\right)$。同样的方法可以得到，当 $n\to \infty$ 时 $x_2\left(t\right)\to {\tilde{x}}_2\left(t\right).$ 证毕。

由上述研究结果可以看出，当害虫天敌的脉冲释放量满足一定条件时，害虫天敌将在森林中持续生存，森林数量维持在一个预期水平。这种生物防治害虫的方法符合实际，也为控制森林虫害提供了理论依据。

基金项目

河南省教育厅重点科研项目(18B110020)。