上行瑞利衰落信道下SCMA码本设计

Design of SCMA Codebook for Uplink Rayleigh Fading Channel

摘要: 稀疏码多址接入(SCMA)是一种具有竞争力的码域非正交多址接入技术，通过将调制与稀疏扩频结合在一起，有效提升了通信系统的频谱效率。该文针对现有码本设计中存在的一些问题，提出了一种适用于上行瑞利衰落信道的新型码本设计优化方案。首先将母星座设计从实数域推广到复数域，提高码本设计的自由度；其次，以最大化最小乘积距离为目标，通过遗传算法对码本各参数进行优化。仿真结果表明提出的码本在上行瑞利衰落信道下误码率性能较以往码本有明显改善。

Abstract: Sparse code multiple access (SCMA) is a competitive non-orthogonal code domain multiple access technology. By combining modulation with sparse spread spectrum, it can effectively improve the spectral efficiency of communication system. In this paper, a new optimization scheme of codebook design for uplink Rayleigh fading channel is proposed to solve the existing problems in codebook design. Firstly, the parent constellation design is extended from the real number domain to the complex number domain to improve the freedom of codebook design. Secondly, in order to maximize the minimum product distance, the parameters of the codebook were optimized by genetic algorithm. Simulation results show that the BER performance of the proposed codebook is better than that of previous codebooks in uplink Rayleigh fading channel.

1. 引言

非正交多址接入(Non-Orthogonal Multiple Access, NOMA)作为5G NR (The Fifth Generation Mobile Communication System New Radio, 5G 新空口)的核心关键技术，在近年来备受关注 [1]。稀疏码多址接入(Sparse Code Multiple Access, SCMA)就是其中的典型代表 [2]。SCMA系统将星座调制与稀疏扩频结合在一起，直接将输入的比特流映射为用户码本中的多维复数码字。这样，SCMA系统能够充分利用多维码字以及成型增益来改进其性能，较LDS系统有显著改进。

SCMA方案由Hosein Nikopour等人在2013年正式提出，文献 [3] 系统的提出了一种基于格星座的多阶段次优的SCMA码本设计方法，规范了码本设计步骤，此后大多数学者按照该设计思路对码本设计进行研究。文献 [4] 提出了一种基于星形正交振幅度调制(star quadrature amplitude modulation, Star-QAM)的码本设计方案，该方法主要通过增大码字间的最小欧式距离对码本进行优化，该码本在高斯信道下性能得到明显提升，但在瑞利信道中效果不是很理想。文献 [5] 提出了上行瑞利衰落信道的SCMA多用户码本设计方案，通过将SCMA系统等效为MIMO系统，以最大化系统截止概率为准则设计码本，生成的码本在瑞利信道下有很好的表现。

在瑞利衰落信道下，SCMA码本性能主要与码本间的最小乘积距离(MPD)有关 [6]，因此本文以最大化最小乘积距离为目标并通过遗传算法对码本中的参数进行优化，仿真结果表明在上行瑞利衰落信道下SCMA系统的误码率性能有明显的改善。

2. SCMA系统模型及码本设计理论

2.1. SCMA系统模型

本文采用SCMA上行链路模型，即J个用户共享K个正交资源块，其中 $J>K$，过载率定义为 $\lambda =J/K$。SCMA下行链路通信系统模型如图1所示，不同用户生成的码字在正交资源节点上进行多路复用 [7]，因此同步之后的接收信号向量 $y={\left(y_1,\cdots ,y_K\right)}^{\text{T}}$ 在数学上表示为：

$y={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{J}{\sum }}diag\left(h_j\right)x_j}+n$ (1)

其中 $x_j={\left(x_{1,j},\cdots ,x_{K,j}\right)}^{\text{T}}$ 为用户j发送的K维码字， $h_j={\left(h_{1,j},\cdots ,h_{K,j}\right)}^{\text{T}}$ 为信道增益， $diag(\cdot )$ 为向量对角化， $n={\left(n_1,\cdots ,n_K\right)}^{\text{T}}$ 为加性高斯白噪声并且 $n~\mathcal{C}\mathcal{N}\left(0,{\sigma }^2{I}_K\right)$。

Figure 1. SCMA uplink communication system model

图1. SCMA上行链路通信系统模型

2.2. 码本设计理论

在SCMA系统信号发送端，不同于一般的低密度签名技术(LDS)，SCMA编码器将调制与稀疏扩频结合在一起，直接将大小为 ${\log }_2\left(M\right)$ 的比特流 $b_j$ 映射为码本 ${\chi }_j$ 中的K维复稀疏码字 $x_j$，码本大小 $\left|{\chi }_j\right|=M$。这个过程可以定义为

$f:{\mathbb{B}}^{{\log }_2\left(M\right)}\to \chi ,x=f\left(b\right)$ (2)

目前为止，最优的SCMA码本设计仍然是一个开放性的问题，但是我们可以通过多步方法得到一个次优的SCMA码本结构 [3]。首先，我们需要将比特流映射到 $N\left(N<K\right)$ 维的母星座 $\mathcal{C}$，其中 $\left|\mathcal{C}\right|=M$。这一步可以定义为：

$g:{\mathbb{B}}^{{\log }_2\left(M\right)}\to \mathcal{C},c=g\left(b\right)$ (3)

在得到母星座之后，经过星座算子 $\Delta$ 和稀疏扩频之后就可以生成每个用户各自的码本。整个次优的SCMA码本的优化过程图2所示。首先得到N维性能较好的母星座，再通过星座操作算子 $\Delta$ 以及扩频矩阵 $V$ 生成用户码本，其中星座操作算子包含旋转操作算子和置换操作算子。

Figure 2. Suboptimal SCMA codebook design process

图2. 次优SCMA码本设计过程

星座操作算子 $\Delta$ 以及扩频矩阵 $V$ 设计技术已经很成熟，故本文旨在设计一个性能较好的母星座。

2.3. 最小乘积距离

我们定义叠加星座为 $\Gamma$，并且有 $x\left(1\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{J}{\sum }}{x}_j}\in \Gamma$ 以及 $x\left(2\right)\in \Gamma$。那么传输向量 $x^1$ 与传输向量 $x^2$ 的成对差错概率(PEP)可以表示如下：

$p\left(x^1\to x^2|h\right)=Q\left(\sqrt{\frac{{\left|h\left(x^1-x^2\right)\right|}^2}{2N_0}}\right)$ (4)

其中 $Q\left(x\right)$ 为互补累积分布函数， $Q\left(x\right)={\displaystyle {\int }_x^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{1}{2}{t}^2\right)\text{d}t}$。

那么，当传输 $x\left(1\right)$ 时，发生错误的概率可以通过以下公式给出：

$p\left(x\left(1\right)|h\right)={\displaystyle \underset{c=1}{\overset{M^J-1}{\sum }}Q\left(\sqrt{\frac{{\left|h\left(x\left(1\right)-x\left(c\right)\right)\right|}^2}{2N_0}}\right)}$ (5)

对于瑞利衰落信道，上述成对差错概率可以表述为 [8]：

$p\left(x\to y\right)\le \frac{1}{2}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{K}{\prod }}\frac{1}{1+\frac{{\left(x_k-y_k\right)}^2}{8N_0}}}$ (6)

对于较高信噪比，公式(7)可以进一步表述为：

$p\left(x\to y\right)\le \frac{1}{2}\frac{1}{{\left(\frac{\eta }{8}\frac{E_b}{N_0}\right)}^l{d}_p^{\left(l\right)}{\left(x,y\right)}^2}$ (7)

其中 $d_p^{\left(l\right)}\left(x,y\right)$ 为标准化的最小乘积距离，值越大，成对差错概率越小。l为向量 $x$ 与 $y$ 不同的元素数目。

因此码本间最小乘积距离对于SCMA系统在瑞利信道的性能具有重要影响，将其定义如下：

$\text{MPD}=\underset{j}{\min }\left\{{\displaystyle \underset{k=1,x_{j,p}^k\ne x_{j,q}^k}{\overset{K}{\prod }}\left|x_{j,p}^k-x_{j,q}^k\right|},1\le p<q\le M\right\},$ (8)

其中 $x_{j,p}^k$ 为用户j的第m个码字占据第k个资源节点的元素。

3. 瑞利衰落信道下SCMA码本设计及优化

3.1. SCMA码本设计

在本文中，我们引入了一种新的母星座结构。对于 $N=2,M=4$，其具体结构如下式(9)所示，母星座结构如图3所示：

$C_{2\times 4}=\left(\begin{array}{cccc}\rho \omega {\text{e}}^{j\theta }& \omega & -\omega & -\rho \omega {\text{e}}^{j\theta }\\ -\omega & \rho \omega {\text{e}}^{j\theta }& -\rho \omega {\text{e}}^{j\theta }& \omega \end{array}\right)$ (9)

其中 $\omega =a+bj$， $\rho$ 为母星座外环与内环之比。不同于Lisu Yu等人提出的母星座结构 [4]，我们在星座外环额外添加了旋转角度 $\theta$，将母星座从实数域推广到复数域，从而提高码本结构设计的自由度，得到性能更好的码本。

Figure 3. Parental constellation structure

图3. 母星座结构

类似于低密度签名(LDS)系统，我们可以将星座算子 $\Delta$ 与稀疏扩频矩阵 $V$ 结合在一起，并用签名矩阵 $S=\left(S_1,S_2,\cdots ,S_J\right)$ 代替 $S_j=\left(S_j^1,\cdots ,S_j^K\right)=V_j{\Delta }_j{I}_c$，其中 $I_c$ 为全1的列向量。对于用户j，其码本如下所示：

${\chi }_j=ezc\left(\text{diag}\left(S_j\right)\right)\mathcal{C}$ (10)

其中 $diag(\cdot )$ 为向量对角化， $ezc\left(B\right)$ 为移除矩阵 $B$ 全零列之后生成的矩阵，具体如公式(11)所示

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& 0& 0\\ 0& a_2& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}{a}_1& 0\\ 0& a_2\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ (11)

不同于文献 [9] 等人提出的Latin结构，本文构造一种新的签名矩阵 $S_{4\times 6}$ 如下所示

$S_{4\times 6}=\left[\begin{array}{cccccc}0& z_1& z_2& 0& z_3& 0\\ z_1& 0& z_2& 0& 0& z_3\\ 0& z_3& 0& z_2& 0& z_1\\ z_3& 0& 0& z_2& z_1& 0\end{array}\right].$ (12)

其中 $z_i={\text{e}}^{j{\phi }_i}$， ${\phi }_i$ 分别表示分配给位于 $z_i$ 位置上的旋转角度。

3.2. 瑞利衰落信道下码本优化

以最大化最小乘积距离为目标对功率不平衡码本进行优化，具体过程表示如下：

$\begin{array}{ll}\underset{\phi ,\rho ,\theta ,\omega }{\max }\hfill & \text{MPD}\hfill \\ \text{s}\text{.t}\text{.}\hfill & 0<{\phi }_i<\pi ,\forall i=1,2,\cdots ,d_f\hfill \\ \hfill & 0<\theta <\pi \hfill \\ \hfill & \rho \ge 1,\hfill \end{array}$ (13)

其中最小乘积距离MPD是参数 $\phi ,\rho ,\theta ,\omega$ 的函数，同样为了不同码本之间比较的公平性，码本中码字的平均能量设定为1。

最终遗传算法求解结果如图4所示。其中图4上半部分为最小乘积距离的优化结果，经过95次迭代之后算法收敛，码本的最小乘积距离达到1.00。

Figure 4. Optimization results of genetic algorithm

图4. 遗传算法优化结果

4. 仿真

本文中选取了Star-QAM码本，GA码本 [10] 以及Chen码本 [11] 与本文优化的码本进行比较，不同码本的比较结果如表1所示。值得注意的是，基于高斯信道优化后功率不平衡码本的最小乘积距离最大，比Chen码本高出了0.22，比Star-QAM码本高出了0.28。故新码本在上行瑞利衰落信道下表现更好。

利用MATLAB仿真对比上述四个码本的误码率，各仿真参数如表2所示：

Table 1. Summative comparison of different codebooks

表1. 不同码本总结性比较

Table 2. SCMA codebook simulation parameters

表2. SCMA码本仿真参数

Figure 5. Comparison of BER performance between different codebooks in uplink Rayleigh fading channel

图5. 上行瑞利衰落信道下不同码本之间BER性能比较

图5显示了不同码本在上行瑞利衰落信道的BER性能，可以看出优化后的功率不平衡码本在高斯信道下的性能明显优于其它码本，在BER = 1e−3时，功率不平衡码本相对于Chen码本，GA码本以及Star-QAM码本的性能增益分别为0.7 dB，1.0 dB和3.0 dB。

5. 结论

本文提出了一种新型码本结构，通过在母星座上添加了旋转角度θ提高码本结构设计的自由度，使得设计出的码本容易推广；此外，在瑞利衰落信道下以最大化最小乘积距离为目标，通过遗传算法对码本中的参数进行优化。仿真结果表明提出的码本在瑞利衰落信道下误码率性能较以往码本有明显改善。

基金项目

教育部春晖计划项目(No. Z2017065)。