理论数学  >> Vol. 11 No. 4 (April 2021)

具有临界增长的分数阶带有磁场的SchrO¨dinger方程解的多重性
Multiplicity for FractionalSchrO¨dinger Equation with Magnetic Fields and Critical Growth

DOI: 10.12677/PM.2021.114066, PDF, HTML, XML, 下载: 20  浏览: 59 

作者: 姚安妮:上海理工大学理学院,上海

关键词: 分数阶磁拉普拉斯临界Ljusternik-Schnirelmann理论多重性Fractional Magnetic Laplacian Critical Ljusternik-Schnirelmann Theory Multiplicity

摘要: 本文研究了下列具有临界增长的含磁场的分数阶Schrödinger方程解的多重性 其中ε > 0 是参数,s∈(0,1),N≥3 ,(-Δ)As 是分数阶的磁拉普拉斯算子,V∈C(ℝN ,ℝ)和A∈C0,α (ℝN,ℝN),α∈(0,1]是磁位势。在V的局部条件下以及ε充分小时,本文利用变分方法、截断技巧、Nehari流形方法和Ljusternik-Schnirelmann理论得到了上述方程解的多重性。
Abstract: In this paper, we investigate the multiplicity for fractional Schrödinger equation with magnetic fields and critical growth where ε > 0 is a parameter, s∈(0,1) , N ≥ 3 ,(-Δ)As is the fractional magnetic Laplacian operators,V ∈C (ℝN ,ℝ) and A∈C0,α (ℝN,ℝN),α ∈(0,1] is magnetic potential.Under a local condition on the potential V and ε is sufficiently small, we obtain some multiplicity results by variational methods, truncated techniques, Nehari manifold method and the Ljusternik-Schnirelmann theory.

文章引用: 姚安妮. 具有临界增长的分数阶带有磁场的SchrO¨dinger方程解的多重性[J]. 理论数学, 2021, 11(4): 527-538. https://doi.org/10.12677/PM.2021.114066

1. 绪论现状

1.1. 研究背景及现状

Schrödinger方程是量子力学的基本方程,是1926年奥地利理论物理学家薛定谔提出的,用来描述量子力学系统的波函数或者态函数的偏微分方程。它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律,在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用,文献 [1] [2] 大量说明。近年来,随着科学技术和现代数学基础理论的不断发展,分数阶磁拉普拉斯算子在各领域中频繁出现,已经引起了许多学者的关注。分数阶Schrödinger方程是分数阶量子力学中的重要方程之一,被应用在很多领域,比如薄障碍问题、控制系统、晶体错位等,已经成为了新的研究趋势之一。

d’Avenia和Squassina [3] 研究了下列方程基态解的存在性

ε 2 s ( Δ ) A / ε s u + V ( x ) u = f ( | u | 2 ) u , x N , (1.1)

此时 ε = 1 ,V是一个常数。Zhang,Squassina和Zhang [4] 证明了山路解的存在性。当电势 V ( x ) 满足Rabinowitz [5] 提出的下列条件时

lim inf | x | V ( x ) > inf x N V ( x ) , (1.2)

Ambrosio [6] 得到了问题(1.1)在连续非线性项f具有临界增长和超临界增长的假设下非平凡弱解的存在性和集中性。2011年,Alves和Figueiredo [7] 等数学工作者研究了下列一个带磁场的非线性Schrödinger方程,并将其解的数目与其势能达到最小值的集合的拓扑结构联系起来

i h ψ t = ( h i A ( z ) ) 2 ψ + U ( z ) ψ f ( | ψ | 2 ) ψ , z N ,

其中 t N 2 ψ ( x ) ,h是普朗克常数, U ( z ) 是实电势, A : N N 是磁位势,非线性项 f C 1 ( , ) 是超线性函数。Schrödinger算子被定义为

( h i A ( z ) ) 2 ψ : = h 2 Δ ψ 2 h i A ψ + | A | 2 ψ div A .

2016年,Figueiredo和Siciliano [8] 利用Neari流形方法、Ljusternik-Schnirelmann理论和Morse迭代证明了下列分数阶Schrödinger方程在 N 上,当 ε 0 + 时,正解的多重性

ε 2 s ( Δ ) s u + V ( z ) u = f ( u ) , u ( z ) > 0 ,

其中 N > 2 s 0 < s < 1 ( Δ ) s 是分数阶拉普拉斯, f C 1 ( , ) 。2017年,Ambrosio [9] 进一步研究了上述方程在超临界情况下正解的多重性。同一年,Ambrosio和d’Avenia [10] 利用变分方法、罚函数方法、Ljusternik-Schnirelmann理论,研究了下列分数阶带磁次临界增长Schrödinger方程

ε 2 s ( Δ ) A / ε s u + V ( x ) u = f ( | u | 2 ) u , x N ,

其中 ε > 0 是一个参数, s ( 0 , 1 ) N 3 A C ( N , N ) 是连续势, f : 是一阶连续函数。分数阶拉普拉斯算子定义为

( Δ ) A s u ( x ) = c N , s lim r 0 B r c ( x ) u ( x ) e i ( x y ) A ( x + y 2 ) u ( y ) | x y | N + 2 s d y , c N , s : = 4 s Γ ( N + 2 s 2 ) π N / 2 | Γ ( s ) | .

2018年,Ambrosio [11] 进一步利用变分方法和Ljusternik-Schnirelmann理论,研究了下列带有泊松项的临界增长的磁分数阶Schrödinger方程解的存在性和集中性

ε 2 s ( Δ ) A / ε s u + V ( x ) u + ε 2 t ( | x | 2 t 3 | u | 2 ) u = f ( | u | 2 ) u + | u | 2 s 2 u , x 3 ,

其中 ε > 0 是一个参数, s ( 3 4 , 1 ) t ( 0 , 1 ) 2 s = 6 3 2 s 是临界指数, V : 3 是正连续势, A : 3 3 光滑磁位势且 f C 1 ( , ) 。2020年,Ji和Rădulescu [12] 结合变分方法、罚函数方法和Ljusternik-Schnirelmann理论,证明了下列非线性磁Schrödinger方程解的多重性

{ ( ε i A ( x ) ) 2 u + V ( x ) u = f ( | u | 2 ) , x N ( N 2 ) , u H 1 ( N , ) ,

其中 ε > 0 是正参数, V : N 是连续函数,磁位势 A : N N 是Hölder连续且 f C ( , )

1.2. 研究内容以及预备知识

本文受 [6] [11] 影响,主要研究了下列方程在 N 上解的多重性

ε 2 s ( Δ ) A / ε s u + V ( x ) u = f ( | u | 2 ) u + | u | 2 s 2 , x N . (1.3)

其中令非线性项 f C 1 ( , ) ,当 t 0 时, f ( t ) = 0 且满足下列性质:

(h1) lim t 0 f ( t ) = 0

(h2) 存在常数 C 0 > 0 q , p ( 2 , 2 s ) ,使得对任意的 t 0 都有;

f ( t ) C 0 t q 2 2 , lim t f ( t ) t p 2 2 = 0 ;

其中 2 s = 2 N N 2 s 是Sobolev临界指数;

(h3) 存在 θ ( 2 , p ) ,使得对任意的 t > 0 都有

0 < θ 2 F ( t ) t f ( t ) ,

其中 F ( t ) = 0 t f ( τ ) d τ 是h的原函数;

(h4) f ( t ) ( 0 , ) 上是单调递增的。

而且在本论文中,我们假设位势V满足下列条件:

(V1) inf x N V ( x ) = V 0 > 0

(V2) 存在一个有界开集 Λ N 使得

0 < V 0 = inf x Λ V ( x ) < min x Λ V ( x ) .

观察到

M : = { x Λ : V ( x ) = V 0 } .

本文的主要定理如下:

定理1.1 假设V满足(V1),(V2)且f满足(h1)~(h4),则对任意 σ > 0 ,使得

M σ : = { x N : dist ( x , M ) < σ } Λ ,

存在 ε σ > 0 ,使得对任意 ε ( 0 , ε σ ) ,问题(1.3)有至少 c a t M σ ( M ) 个非平凡解

下面给出本文将要用到的一些基础知识。

A = 0 , 0 < s < 1 时,定义分数阶Sobolev空间如下:

H s ( N , ) = { u L 2 ( N , ) : 2 N | u ( x ) u ( y ) | 2 | x y | N + 2 s d x d y < } .

定义Gagliardo半范数如下:

[ u ] s 2 = 2 N | u ( x ) u ( y ) | 2 | x y | N + 2 s d x d y .

定义空间 H s ( N , ) 的范数为

u H s 2 = u L 2 2 + [ u ] s 2 .

A 0 , 0 < s < 1 时,定义复空间 L 2 ( N , ) 的内积为

u , v L 2 = ( N u v ¯ d x )

定义Gagliardo半范数如下:

[ u ] s , A 2 = 2 N | u ( x ) u ( y ) e i A ( x + y 2 ) ( x y ) | 2 | x y | N + 2 s d x d y .

定义 D A s ( N , ) 空间如下

D A s ( N , ) = { u L 2 s ( N , ) [ u ] s , A < } ,

定义分数阶磁Sobolev空间如下:

H A s ( N , ) = { u L 2 ( N , ) : [ u ] s , A < } .

显然 H A s ( N , ) 是Hibert空间,赋予下列的实标量内积

u , v s , A = u , v L 2 + 2 N ( u ( x ) u ( y ) e i A ( x + y 2 ) ( x y ) ) ( v ( x ) v ( y ) e i A ( x + y 2 ) ( x y ) ) ¯ | x y | N + 2 s d x d y .

定义空间 H A s ( N , ) 的范数为

u H A s 2 = u L 2 2 + [ u ] s 2 .

引理1.2.1 (嵌入定理) [3] 对任意 r [ 2 , 2 s ] ,空间 H A s ( N , ) 可以连续嵌入到空间 L r ( N , ) ;对任意 r [ 1 , 2 s ) 和紧集 O N ,空间 H A s ( N , ) 可以紧嵌入到空间 L r ( O , )

引理1.2.2 (反磁不等式) [3] 对任意 u H A s ( N , ) ,有 u H A s ( N , ) 且有下列不等式成立

[ | u | ] s [ u ] s , A .

引理1.2.3 (Ljusternik-Schnirelmann theory) [13] 令 M 是一个光滑的Banach-Finsler流形。假设泛函 J C 1 ( M , ) 且下有界,满足(PS)c条件,则J有至少 c a t M ( M ) 个临界点。

定义1.2.1 [13] 设X是一个拓扑空间, A X 是一个闭子集。则称

cat X ( A ) : = inf { k N { + } | k F 1 , , F k , 使 A i = 1 k F i }

为A在X中的Ljusternik-Schnirelmann畴数。

定义1.3.2 [13] 称一个集合F在M中是可收缩的,如果 η : [ 0 , 1 ] × M M 使得 η ( 0 , ) = i d M η ( 1 , F ) = 一个点集。

注记1.2.1 因为 s ( 0 , 1 ) 是固定的,为了简便,我们将 [ ] s [ ] s , A 分别记为 [ ] [ ] A

2. 临界问题解的多重性

2.1. 辅助问题解的多重性

首先通过 u ( x ) u ( ε x ) 的变量替换,我们可以看到方程(1.3)与下列问题等价

( Δ ) A ε s u + V ε ( x ) u = f ( | u | 2 ) u + | u | 2 s 2 u , x N , (2.1)

其中 A ε ( x ) : = A ( ε x ) V ε ( x ) : = V ( ε x ) 。然后利用截断技巧处理问题。

固定常数 k > 1 a > 0 使得 f ( a ) + a 2 s 2 2 = V 0 k ,我们引入方程

f ˜ ( t ) : = { f ( t ) + ( t + ) 2 s 2 2 , t a ; V 0 k , t > a ,

g ( x , t ) = χ Λ ( x ) ( f ( t ) + ( t + ) 2 s 2 2 ) + ( 1 χ Λ ( x ) ) f ˜ ( t ) .

其中 χ Λ Λ 上的特征函数,记 G ( t ) = 0 t g ( τ ) d τ

显然,我们根据假设(h1)~(h4),经过标准计算容易得到 g ( x , t ) 满足下列条件:

(k1) 对任意 x N ,都有 lim t 0 g ( x , t ) = 0

(k2) 对任意 x N t > 0 ,有 g ( x , t ) f ( t ) + t 2 s 2 2

(k3) (i) 对任意 x Λ t > 0 ,有 0 G ( x , t ) g ( x , t ) t V ( x ) k t

(ii) 对任意 x N \ Λ t > 0 ,有 0 G ( x , t ) g ( x , t ) t V ( x ) k t

(k4) (i) 对任意 x Λ ,有 t g ( x , t ) ( 0 , + ) 上是单调递增的;

(ii) 对任意 x N \ Λ ,有 t g ( x , t ) ( 0 , + ) 上是单调递增的。

然后考虑下列辅助问题

( Δ ) A ε s u + V ε ( x ) u = g ε ( x , | u | 2 ) u , x N , (2.2)

其中 g ε ( x , t ) : = g ( ε x , t ) 。注意到,如果u是方程(2.2)的解使得对任意 x N \ Λ ε

| u ( x ) | 2 a , (2.3)

其中 Λ ε : = { x N : ε x Λ } ,则u也是原始问题的解即方程(2.1)。

显然可以找到方程(2.2)的弱解对应的是下列Euler-Lagrange泛函的临界点

J ε ( u ) = 1 2 u ε 2 1 2 N G ε ( x , | u | 2 ) d x ,

其中泛函 u : N 是有定义的,且u属于空间

H ε s = { u D A s ( , ) : N V ε ( x ) | u | 2 d x < }

带有实数内积为

u , v H ε s = ( 2 N ( u ( x ) u ( y ) e i A ( x + y 2 ) ( x y ) ) ( v ( x ) v ( y ) e i A ε ( x + y 2 ) ( x y ) ) ¯ | x y | N + 2 s d x d y + N V ε ( x ) u v ¯ d x )

另一方面,考虑方程(2.2)的自治问题如下

V 0 u = f ( u 2 ) u + | u | 2 s 2 u , x N , (2.4)

定义泛函 I 0 : H s ( N , ) ,则对应能量泛函为

I 0 ( u ) = 1 2 u 0 2 1 2 N H ( u 2 ) d x 1 2 s N | u | 2 s d x .

定义泛函 J ε 的Nehari流形如下

N ε : = { u H ε s \ { 0 } : J ε ( u ) , u = 0 } ,

考虑g的增长性条件,我们可以得到存在与u无关的r使得对任意 u N ε ,有

u ε > r , (2.5)

实际上,固定 u N ε ,我们得到

0 = u ε 2 N g ε ( x , | u | 2 ) | u | 2 d x u ε 2 1 k N g ε ( x ) | u | 2 d x C u L 2 s ( ) 2 s k 1 k u ε 2 C u L 2 s ( ) 2 s .

引理2.1.1 [6] 泛函 J ε 满足下列性质:

(i) J ε ( 0 ) = 0

(ii) 存在 β , r > 0 ,使得对任意 u H ε s u ε = r ,都有 J ε ( u ) β

(iii) 存在 e H ε s e ε > r ,使得 J ε ( e ) < 0

由引理2.1.1,定义山路水平集为

c ε = inf γ Γ ε max t [ 0 , 1 ] J ε ( γ ( t ) ) ,

其中

Γ ε = { γ C ( [ 0 , 1 ] , H ε s ) : γ ( 0 ) = 0 and J ε ( γ ( 1 ) ) < 0 } .

由参考文献 [14] 易得

c ε = inf u H ε s \ { 0 } sup t 0 J ε ( t u ) = inf u N ε J ε ( u ) ,

引理2.1.2 [6] 令 c 使得 c < s N S N 2 s ,则泛函 J ε 在空间 H ε s 上满足(PS)c条件。

根据多重性的证明方法,为了获得多个临界点,我们需要将泛函 J ε 约束在 N ε 上作,那接下来的紧性证明很重要。 λ n 0

命题2.1.1令 c 使得 c < s N S N 2 s ,则泛函 J ε 约束在 N ε 上也满足(PS)c条件。

证明:令 { u n } N ε 使得,当 n ,有 J ε ( u n ) c J ε ( u n ) | N ε 0 。则存在 { λ n } ,使得

J ε ( u n ) = λ n T ε ( u n ) + o n ( 1 ) , (2.6)

其中定义 T ε : H ε s

T ε ( u ) = u ε 2 N g ε ( x , | u | 2 ) | u | 2 d x .

利用 J ε ( u n ) , u n = 0 和g的定义可得

T ε ( u n ) , u n = 2 u n ε 2 2 N g ε ( x , | u n | 2 ) | u n | 4 d x 2 N g ε ( x , | u n | 2 ) | u n | 2 d x = 2 N g ε ( x , | u n | 2 ) | u n | 4 d x = 2 Λ ε { | u n | 2 a } g ε ( x , | u n | 2 ) | u n | 4 d x 2 { N \ Λ ε } { | u n | 2 > a } g ε ( x , | u n | 2 ) | u n | 4 d x = 2 Λ ε { | u n | 2 a } g ε ( x , | u n | 2 ) | u n | 4 d x (2.7)

= 2 Λ ε { | u n | 2 a } [ f ( | u n | 2 ) | u n | 4 + 2 s 2 2 ( | u n | 2 ) 2 s 2 2 1 2 | u n | 4 ] d x = 2 Λ ε { | u n | 2 a } [ f ( | u n | 2 ) | u n | 4 + ( 2 s 2 ) ( | u n | 2 ) 2 s 2 2 1 2 | u n | 4 ] d x 0.

其中上述等式的证明还用到了(h4), 2 s = 2 N N 2 s > 2 以及

g ε ( x , | u n | 2 ) | u n | 4 = 0 , | u n | 2 > a .

根据式子(2.7)和 { u n } H ε s 上的有界性可知, T ε ( u n ) , u n l 0 。如果 l = 0 ,则在 L 2 s ( N , ) 上,有 | u n | 0 。利用 J ε ( u n ) , u n = 0 可得

0 ( 1 1 k ) u n ε 2 o n ( 1 ) ,

这可以推断出 u n ε 2 0 ,与式子(2.5)矛盾,因此 l < 0 。由式子(2.6)可得 λ n 0 ,则 { u n } 是无约束泛函的一个(PS)c序列。最后利用引理2.1.2,此命题得证。

推论2.1.1泛函 J ε N ε 上的临界点就是 J ε H ε s 上的临界点。

接下来要证明集合M的拓扑结构和辅助问题(2.2)正解的个数之间的关系,我们先要介绍两类映射 Φ ε β ε 。在此之前,先证明一个紧性结果,它对于定义映射和证明辅助问题(2.2)的解是原问题(2.1)的解是非常重要的。

命题2.1.2令 ε n 0 { u n } N ε n 使得 J ε n ( u n ) c 0 。则存在 ( y ˜ n ) N ,使得 v n ( x ) = | u n ( x + y ˜ n ) | H s ( N , ) 中有一个强收敛子列。此外,在子列意义下,当 n 时,有 y n : = ε n y ˜ n y 0 M

证明:类似参考文献 [6] 中的引理3.6的证明,我们可以得到此命题。

考虑 σ > 0 使得 M σ Λ ,选择 η C 0 ( + , [ 0 , 1 ] ) 使得

η ( t ) = { 1 , 0 t σ 2 ; 0 , t σ .

对任意 y M = { x Λ : V ( x ) = V 0 } ,定义

Ψ ε , y ( x ) : = η ( | ε x y | ) w ( ε x y ε ) e ( i τ y ( ε x y ε ) ) ,

这里 τ y ( x ) : = j N A j ( y ) x j w H s ( N , ) 是自治问题(2.4)的一个正基态解。

t ε > 0 是唯一正数使得

max t 0 J ε ( t Ψ ε , y ) = J ε ( t ε Ψ ε , y ) ,

则易得 t ε Ψ ε , y N ε 。现在我们定义映射 Φ ε : M N ε

Φ ε ( y ) : = t ε Ψ ε , y ,

通过构造得,对任意 y M Φ ε ( y ) 有一个紧支集且它是连续的。

注记2.1.1 为了运算简便,我们将 Φ ε n ( y n ) , Ψ ε n , y n t ε n 分别记作 Φ n , Ψ n t n

引理2.1.3 泛函 J ε y M 时一致满足下列极限

lim ε 0 J ε ( Φ ε ( y ) ) = c 0 .

证明:反证法。假设不成立,则存在 σ 0 > 0 { y n } M ,取 ε n 0 ,有

| J ε n ( Φ n ) c 0 | σ 0 . (2.8)

利用参考文献 [10] 和Lebesgue控制收敛定理得

Ψ n ε n 2 w 0 2 ( 0 , ) , (2.9)

Ψ n L 2 s ( N ) w L 2 s ( N ) . (2.10)

另一方面,考虑 J ε n ( Φ n ) , Φ n = 0 ,作变量替换 z = ε n x y n ε n ,则

t n 2 Ψ n ε n 2 = N g ( ε n z + y n , | t n η ( | ε n z | ) w ( z ) | 2 ) | t n η ( | ε n z | ) w ( z ) | 2 d z . (2.11)

如果 z B δ / ε n ( 0 ) ,那么 ε n z + y n B σ ( y n ) M σ Λ 。再利用函数g和 η 的定义可得

t n 2 Ψ n ε n 2 = N h ( | t n η ( | ε n z | ) w ( z ) | 2 ) | t n η ( | ε n z | ) w ( z ) | 2 + | t n η ( | ε n z | ) w ( z ) | 2 s d z . (2.12)

通过(h4)和等式(2.11),结合函数 η B δ / 2 ( 0 ) B δ / ε n ( 0 ) 中取值为1,得当n充分大时,有

Ψ n ε n 2 = 1 t n 2 N ( h ( | t n Ψ n | 2 ) | Ψ n | 2 + | t n Ψ n | 2 s ) d z B σ / ( 2 ε n ) ( 0 ) | w ( z ) | 2 s d z t n 2 s 2 B δ / 2 ( 0 ) | w ( z ) | 2 s d z t n 2 s 2 w ( ξ ) 2 s | B δ / 2 ( 0 ) | , (2.13)

这里 w ( ξ ) = min z B δ / 2 ( 0 ) w ( z ) > 0 。接下来我们证明:当 ε n 0 时, t n 1 。一方面,如果当 ε n 0 时, t n ,利用式子(2.9)、(2.10)和(2.13)得 w 0 2 = ,这产生一个矛盾。另一方面,如果当 ε n 0 时, t n 0 ,根据式子(2.12)、(2.9)、(2.10)以及条件(k1)、(k2)得 t n 2 Ψ n ε n 2 0 ,这与等式(2.5)矛盾。总结得出:当 ε n 0 时, t n t 0 ( 0 , ) 。现在对等式(2.12)两边取 n ,则

t 0 2 w 0 2 = N ( h ( ( t 0 w ) 2 ) ( t 0 w ) 2 + ( t 0 w ) 2 s ) d z .

w N 0 I 0 ( w ) , w = 0 ,得

w 0 2 = N h ( w 2 ) w 2 d x + N w 2 s d x .

考虑上述两个等式,我们推断出

0 = N ( h ( ( t 0 w ) 2 ) h ( w 2 ) ) w 2 d x + ( t 0 2 s 2 1 ) N w 2 s d x .

再根据(h4)得 t 0 = 1 。现在对等式(2.11)两边取 n ,得

lim n J ε n ( Φ n ) = I 0 ( w ) = c 0 ,

这与式子(2.8)矛盾。因此,此引理得证。

根据上述引理,令 σ > 0 ,取 ρ = ρ ( σ ) > 0 使得 M σ B ρ ( 0 ) ,先定义函数 ϒ : N N

ϒ ( x ) = { x , | x | < ρ ; ρ x / | x | , | x | ρ .

然后定义重心映射 β ε : N ε N

β ε ( u ) : = 1 u L 2 ( N ) 2 N ϒ ( ε x ) | u ( x ) | 2 d x .

通过Lebesgue控制收敛定理以及数列 { y n } M M σ B ρ ( 0 ) ,易得 β ε y M 一致满足下列极限

lim ε 0 β ε ( Φ ε ( y ) ) = y . (2.14)

接下来定义Nehari流形的一个子集如下

N ˜ ε = { u N ε : J ε ( u ) c 0 + h 1 ( ε ) } ,

其中 h 1 : + ,且当 ε 0 时, h 1 ( ε ) 0 。实际上,固定 y M ,由引理2.1.3得当 ε 0 时, h 1 ( ε ) = | J ε ( Φ ε ( y ) ) c 0 | 0 。因此 Φ ε ( y ) N ˜ ε 即对任意 ε > 0 N ˜ ε 。现在我们给出 N ˜ ε 和重心映射 β ε 之间的关系,并加以证明。

引理2.1.4 对任意 σ > 0 ,我们有

lim ε 0 sup u N ˜ ε dist ( β ε ( u ) , M σ ) = 0.

证明:令当 n 时, ε n 0 ,则存在 { u n } N ˜ ε n 使得

sup u N ˜ ε n inf y M σ | β ε n ( u ) y | = inf y M σ | β ε n ( u ) y | + o n ( 1 ) .

因此只要证明存在 { y n } M σ ,使得下式成立即可

lim n | β ε n ( u n ) y | = 0. (2.15)

利用引理1.3.1得,对任意 t 0 ,有 I 0 ( t | u n | ) J ε n ( t u n ) ,根据 { u n } N ˜ ε n N ε n ,可得

c 0 max t 0 I 0 ( t | u n | ) max t 0 J ε n ( t u n ) = J ε n ( u n ) c 0 + h 1 ( ε n ) , (2.16)

由此推出当 n 时, J ε n ( u n ) c 0 。再利用命题2.1.1,得存在 { y ˜ n } N 使得,当n充分大时, y n = ε n y ˜ n M σ 。作变量替换 z = x y ˜ n ,则

β ε n ( u n ) = y n + N ( ϒ ( ε n z + y n ) y n ) | u n ( z + y ˜ n ) | 2 d z N | u n ( z + y ˜ n ) | 2 d z .

最后根据 ε n x + y n y 0 M σ ,可得 β ε n = y n + o n ( 1 ) 。因此,式子(2.15)成立即此引理得证。

现在我们将证明M的拓扑结构与辅助问题(2.3)解的多重性之间的关系。

定理2.1.1 对任意 σ > 0 使得 M σ Λ ,存在 ε ˜ σ > 0 使得,对任意 ε ( 0 , ε ˜ σ ) ,辅助问题(2.2)有至少 c a t M σ ( M ) 个非平凡解。

证明:考虑 σ > 0 使得 M σ Λ ,利用方程(2.14),引理2.1.3以及引理2.1.4,类似参考文献 [15] 的讨论,可推断出存在 ε ˜ σ > 0 ,对任意 ε ( 0 , ε ˜ σ ) ,映射链

M Φ ε N ˜ ε β ε M σ

是有定义的且 β ε Φ ε 同伦于恒等映射 I d : M M σ 。结合参考文献 [4] 中的引理2.2.2推断出

c a t N ˜ ε ( N ˜ ε ) c a t M σ ( M ) . (2.17)

结合命题2.1.1和Ljusternik-Schnirelmann理论可得 J ε N ˜ ε 上存在至少 c a t N ˜ ε ( N ˜ ε ) 个临界点。再利用推论2.1.1可得方程(2.2)有至少 c a t M σ ( M ) 非平凡解。

2.2. 定理1.1的证明

在这一部分我们将证明我们的主要结果。实际上,我们需要证明定理2.1.1中得到的解满足不等式(2.3)即辅助问题的解在一定条件下是方程(2.1)的解。

引理2.2.1 取 ε n 0 ,令 u n N ˜ ε n 是方程(2.2)的一个解,则 J ε n ( u n ) c 0 。而且, v n ( x ) : = | u n ( + y ˜ n ) | 满足 v n L ( N , ) 且存在常数 C > 0 使得,对任意 n N ,有

v n L ( N ) C ,

这里的 y ˜ n 是由命题2.1.1给出的。进一步有

lim | x | | v n ( x ) | = 0

证明:利用 J ε n ( u n ) c 0 + h 1 ( ε n ) lim n h 1 ( ε n ) = 0 以及引理2.1.4中的方程(2.16),可得 J ε n ( u n ) c 0 。类似参考文献 [6] 中引理2.8证明,易得 { v n } L ( N , ) 上是有界的且 lim | x | | v n ( x ) | = 0

定理1.1的证明 该证明分为如下2步:

第1步:证明方程(2.2)的解是方程(2.1)的解。即取 σ 使得 M σ Λ ,证明存在 ε ^ σ > 0 使得对任意 ε ( 0 , ε ^ σ ) > 0 ,方程(2.2)的任意解 u n N ˜ ε 都满足

u ε n L ( N \ Λ ε n ) 2 a . (2.18)

这里我们利用反证法。假设上式不成立,则可以找到一个序列 ε n 0 ,对任意 u n : = u ε n N ˜ ε n ,使得

u n L ( N \ Λ ε n ) 2 > a . (2.19)

由于 J ε n ( u n ) c 0 + h 1 ( ε n ) lim n h 1 ( ε n ) = 0 ,根据引理2.1.4中的方程(2.16)可得 J ε n ( u n ) c 0 。然后利用命题2.1.2可得,存在 y ˜ n N 使得对 y 0 M ,有 ε n y ˜ n y 0

因此,我们可以找到一个 r > 0 ,使得对所有的 n N B r ( ε n y ˜ n ) Λ 。也就是说对任意 n N 当n充分大时, B r ε n ( y ˜ n ) 。故

N \ Λ ε n N \ B r ε n ( y ˜ n ) .

根据引理2.2.1知存在 R > 0 使得对任意 n N ,当 | x | R v n 2 a ,这里 v n ( x ) : = | u n ( + y ˜ n ) | 。故对任意 x N \ B R ( y ˜ n ) , n N ,有 | u n | 2 a 。因此存在 v N ,对任意 n ν r ε n > R 使得

N \ Λ ε n N \ B r ε n ( y ˜ n ) N \ B R ( y ˜ n ) ,

由此可以推断出对任意 x N \ Λ ε n n ν ,有 | u n | 2 a 。对照方程(2.19)这就产生了一个矛盾即证明了我们的目标。现在令 ε σ = min { ε ^ σ , ε ˜ σ } ,固定 ε ( 0 , ε σ ) ,利用定理2.1.1,得方程(2.1)有至少 c a t M σ ( M ) 个解。

第2步:证明方程(2.1)的解是方程(1.3)的解。如果 u ε N ˜ ε 是这些解中的一个,利用g的定义和方程(2.18)可以推断出 u ε 也是方程(2.2)的解。现在取 u ^ ε ( x ) = u ε ( x ε ) ,可以得到 u ε 也是方程(1.3)的一个解。

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