应用数学进展  >> Vol. 10 No. 4 (April 2021)

概率框架下对角算子的熵数
Entropy Number of Diagonal Operators under Probabilistic Framework

DOI: 10.12677/AAM.2021.104105, PDF, HTML, XML, 下载: 16  浏览: 39 

作者: 孙 璐, 陈 锦:西华大学,四川 成都

关键词: 有限维对角算子无限维对角算子概率框架熵数The Finite Dimensional Diagonal Operators Infinite Dimensional Diagonal Operators Probability Setting Entropy Numbers

摘要: 本文主要讨论了有限维对角算子和无限维对角算子分别在概率框架下的熵数,并估计了其渐近阶。
Abstract: In this paper, we mainly talked about the entropy numbers of the finite dimensional diagonal operators which satisfied , and infinite dimensional diagonal operators which satisfied and estimated its asymptotic order.

文章引用: 孙璐, 陈锦. 概率框架下对角算子的熵数[J]. 应用数学进展, 2021, 10(4): 963-973. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.104105

1. 引言及主要结果

熵数是Kolmogorov在20世纪30年代提出的一个非常重要的几何概念,它刻画的是有限个元素构成的集合对集合K的逼近程度 [1] - [7]。函数空间的熵数一经提出,就得到了国内外学者们的广泛关注,Pietsch [8] 的专著《Operator Ideals》一书中就出现了熵数理论,书中重点描述了熵数的基本性质,同时刻画了有限维恒等算子的熵数。熵数的基本性质也在Carl和Stephani [9]、Edmunds和Triebel [10] 以及Lorentz [11] 等人的专著中有非常详细的阐述。1998年,Belinsky [12] 就具有混合偏导数的函数类的熵数问题做了深入研究。Dinh Dung [13] 研究了具有共同光滑函数类的熵数。

接着,对角算子的熵数研究就紧锣密鼓的开始了,Schütt [14] 研究了有限维恒等算子的熵数,并得到了精确渐近阶,它推广了B. Carl [15] 的结果。2005年,Thomas Kühn [10] [16] [17] 讨论了满足一定衰减条件的无穷维对角算子的熵数。2011年,韩永杰 [18] 讨论了有限维恒等算子在概率框架下的熵数,得到了其渐近阶。2018年,王桐心 [19] 讨论了无穷维恒等算子在最坏框架下和概率框架下的熵数,并得到了其渐进阶。2019年陈锦 [20] 讨论了有限维对角算子和无限维对角算子在最坏框架下的熵数。在以上研究成果的基础上,本文讨论有限维对角算子和无限维对角算子在概率框架下的熵数,并估计其渐近阶。

首先,给出本文需要用到的符号和定义。

假设 ( X , · ) 为一个赋范线性空间, W X ,其中W包含一个由W中开集生成的Borel域,在B上赋予一个概率测度 μ ,那么: μ 是定义在Borel域上的非负的、 σ -可加的函数,且 μ ( W ) = 1

定义1.1 设 δ ( 0 , 1 ] n 。则W关于测度 μ 在X中的 ( n , δ ) 熵数定义为

ε n , δ ( W , μ , X ) = inf G ε n ( W \ G , X )

也可以称为W在概率框架下的熵数,其中G跑遍B中测度不超过 δ 的Borel集。

定义1.2 设 ( X , · X ) 是一个赋范线性空间,同时 ( Y , · Y ) 也是一个赋范线性空间,且T为X到Y的有界线性算子, δ ( 0 , 1 ] n 。B为X中开集生成的Borel域, μ 为B上的概率测度,那么称

ε n , δ ( T : X Y , μ ) = inf G B ε n ( T ( X \ G ) , Y )

为算子T在概率框架下的熵数,其中G跑遍B中测度不超过 δ 的集合。

定义1.3 我们在 m 上赋予一个标准高斯测度 γ = γ m ,其中

γ m ( G ) = ( 2 π ) m 2 G exp ( 1 2 x l 2 m 2 ) d x .

G是 m 中任意一个Borel可测集,易见 γ m ( m ) = 1 。那么, m l q m 空间中关于标准高斯测度 γ m 的熵数就可表示为:

ε n , δ ( m , γ m , l q m ) = inf G ε n ( m \ G , l q m ) ,

G是跑遍所有满足 γ m ( G ) δ 的Borel子集。

定义1.4 在Hilbert空间 l 2 上赋予高斯测度 μ ,期望为零,协方差算子 C μ 的特征向量

e n ( n 0 = { 0 } ) 对应的特征值为 λ n = n ρ ( ρ > 1 ) ,即

C μ e n = λ n e n , n 0

y 1 , , y n l 2 中任一正交系, ξ j = C μ y j , y j j = 1 , , n ,B为 n 中任一Borel集,则 l 2 中柱集

G = { x l 2 | ( x , y 1 , , x , y n ) B }

的测度为

μ ( G ) = j = 1 n ( 2 π ξ j ) 1 2 B exp ( j = 1 n | μ j | 2 2 ξ j ) d μ 1 d μ n .

设D为 l 2 l q ( 1 q ) 的对角算子。本节主要讨论D在概率框架下的熵数,首先介绍一些符号。

对任意的 n 0 ,记

S k = { n 0 | 2 k 1 n < 2 k } .

则易见 m k = | S k | = 2 k 1 ,且 S k S k = ( k k ) 0 = k 0 S k ,对任意的 n 0 ,记

F k = s p a n { e n | n S k } .

则易见 F k l q ( 1 q ) m k 维子空间,同时,令

I k : F k m k

x = n S k x n e n I k x = j = 1 m k x 2 k 1 + j 1 e j ,

I k F k m k 上的线性同构,且

x l q = I k x l q m k = { x , e 2 k 1 + j 1 } j = 1 m k l q m k ( 1 p ) .

对于 n S k ,记

ξ n = C μ e n , e n = n ρ ,

从而,

1 2 k ρ < ξ n 2 ρ 2 k ρ .

ξ k = 1 2 k ρ ξ k = 2 ρ 2 k ρ ξ ¯ k = ( ξ 2 k 1 , , ξ 2 k 1 )

为了以后叙述方便,给出如下记号。

x = ( x 1 , , x m ) , y = ( y 1 , , y m ) , β , M m 1 q ,记

x y = ( x 1 y 1 , , x m y m ) , x β = ( x 1 β , , x m β ) , e ( x , M , l q m ) = inf y M x y l q m .

2. 主要结果的证明

首先介绍有限维对角算子在概率框架下的熵数。

韩永杰 [18] 首次提出并给出了有限维恒等算子在概率框架下的熵数,并得到了其渐近阶。

引理2.1 [18] 设 1 q 2 δ ( 0 , 1 2 ] ,则

ε n , δ ( I m ) : = ε n , δ ( I m : m l q m , γ m ) = ε n , δ ( m , l q m , γ m ) 2 n m m 1 q 1 2 m + ln 1 δ .

其中, I m m l q m 上的恒等算子。

引理2.2 [20] 设 1 q < p D m l p m l q m 上的对角算子, n ,则

sup 1 k m 2 n k ( σ 1 σ k ) 1 k k 1 q 1 p ε n ( D m ) sup 1 k m 2 n k ( σ 1 σ k ) 1 k m 1 q 1 p .

定理2.3 设 1 q 2 δ ( 0 , 1 2 ] n ,则

sup 1 k m 2 n k ( σ 1 σ k ) 1 k k 1 q 1 2 k + ln 1 δ ε n , δ ( D m : m l q m , γ m ) sup 1 k m 2 n k ( σ 1 σ k ) 1 k m 1 q 1 2 m + ln 1 δ .

证明:估计定理2.3的上界:

由文献 [21] 可知,一定存在绝对正常数 C 0 ,使得

γ m ( x m | x l 2 m > C 0 m + ln 1 δ ) δ .

由引理2.2,有

ε n , δ ( D m : m l q m , γ m ) ε n ( D m ( C 0 m + ln 1 δ ) B 2 m , l q m ) = C 0 m + ln 1 δ ε n ( D m ( B 2 m ) , l q m ) sup 1 k m 2 n k ( σ 1 σ k ) 1 k m 1 q 1 2 m + ln 1 δ .

估计定理2.1的下界:

1 k m

I k : l 2 k l 2 m

( x 1 , , x k ) ( x 1 , , x k , 0 , , 0 ) ,

P k : l q m l q k

( x 1 , , x k , , x m ) ( x 1 , , x k ) ,

D k : l 2 k l q k ,则 D k = P k D m I k

下证: ε n , δ ( D k : k l q k , γ k ) ε n , δ ( D m : m l q m , γ m )

事实上,存在 Q m m ,且 γ m ( Q m ) 1 δ ,使得

ε n , δ ( D m : m l q m , γ m ) = ε n ( D m ( Q m ) , l q m ) .

从而存在 y 1 , , y l ( l 2 n ) ,使得

D m ( Q m ) j = 1 l { y j + ε n , δ B q m } .

Q k = P k Q m ,则 γ k ( Q k ) 1 δ 。若不然, γ k ( Q k ) < 1 δ ,令

F = { ( x 1 , , x k , x k + 1 , , x m ) | ( x 1 , , x k ) Q k , < x j < , j = k + 1 , , m } ,

γ m ( F ) = γ k ( Q k ) < 1 δ ,而 Q m F ,矛盾。

因此,

ε n , δ ( D k : k l q k , γ k ) ε n , δ ( D k ( Q k ) , l q k , γ k ) .

易见, D k ( Q k ) = P k ( D m ( Q m ) ) ,所以

D k ( Q k ) j = 1 l { P k y j + ε n , δ B q k } .

所以

ε n , δ ( D k : k l q k , γ k ) ε n , δ ( D m : m l q m , γ m ) .

下面估计 ε n , δ ( D k : k l q k , γ k ) 的下界。

设G为 k 中任一Borel集,且 γ k ( G ) < δ 。对 t 0 ,令 G t = { x k | x l 2 k t } ,则存在 t 1 k + ln 1 δ ,使得 γ k ( G t 1 ) = δ

D = G G t 1 , D 1 = G D , D 2 = G t 1 D 。则

{ x l 2 k t 1 x D 1 x l 2 k t 1 x D 2

V o l k ( k G ) V o l k ( k G t 1 ) ,

那么

2 n k ε n ( D k ( k G t 1 ) , l q k ) ( V o l k ( D k ( k G t 1 ) ) V o l k ( B q k ) ) 1 k ( σ 1 σ k ) 1 k ( V o l k ( ( k G t 1 ) ) V o l k ( B q k ) ) 1 k ( σ 1 σ k ) 1 k ( t 1 k V o l k ( B 2 k ) V o l k ( B q k ) ) 1 k ( σ 1 σ k ) 1 k k 1 q 1 2 k + ln 1 δ .

ε n ( D k ( k G ) , l q k ) 2 n k ( σ 1 σ k ) 1 k k 1 q 1 2 k + ln 1 δ ,

从而

ε n , δ ( D k : k l q k , γ k ) 2 n k ( σ 1 σ k ) 1 k k 1 q 1 2 k + ln 1 δ ,

ε n , δ ( D m : m l q m , γ m ) sup 1 k m 2 n k ( σ 1 σ k ) 1 k k 1 q 1 2 k + ln 1 δ .

综上可知,定理2.1得证。

其次,介绍无穷维对角算子在概率框架下的熵数。

主要估计对角线元素满足 σ k = 1 k α 的无穷维对角算子在概率框架下的熵数。首先,介绍一些符号和定义。

下面建立估计对角算子在概率框架下熵数上界的离散化定理。

定理2.4 设D为 l 2 l q ( 1 q < ) 的对角算子,且对角线上元素满足

σ 1 σ 2 σ k > 0 , n , δ ( 0 , 1 2 ] , n 0

{ n k } 为非负整数列, { δ k } 为非负数列,且满足

k = 1 n k n , k = 1 δ k δ .

ε n , δ ( D ) : = ε n ( D : l 2 l q , μ ) k = 1 2 k 2 ρ ε n k , δ k ( D k : m k l q m k , γ m k ) .

其中

D k : l 2 m k l q m k

x = ( x 1 , , x m k ) D k x = ( σ 2 k 1 x 1 , , σ 2 k 1 x 2 k 1 ) .

估计定理2.4的上界:

证明:对于任意的 k 0 ε n k , δ k ( D k : m k l q m k , γ m k ) 的定义知,存在 M k l q m k ,使得 | M k | 2 n k ,且

γ m k ( { y m k | e ( D k y , M k , l q m k ) > ε n k , δ k } ) δ k .

其中 ε n k , δ k : = ε n k , δ k ( D k : m k l q m k , γ m k )

D k : l 2 l q

x = ( x n ) D k x = ( 0 , , 0 , , σ 2 k 1 x 2 k 1 , , σ 2 k 1 x 2 k 1 , 0 , ) ,

x l 2 ,则 D k x F k 。易见

e ( D k x , I k 1 M k , l q ) = e ( { D k x , e 2 k 1 + j 1 } j = 1 m k , M k , l q m k ) .

G k = { x l 2 | e ( D k x , I k 1 M k , l q ) > ξ k 1 2 ε n k , δ k } .

μ ( G k ) = μ ( { x l 2 | e ( { D k x , e 2 k 1 + j 1 } j = 1 m k , M k , l q m k ) ξ k 1 2 ε n k , δ k } ) = γ m k ( { y m k | e ( e ( D k y ) ξ ¯ k 1 2 , M k ξ ¯ 1 2 , l q m k ) > ξ k 1 2 ε n k , δ k } ) γ m k ( { y m k | ξ k 1 2 e ( D k y , M k , l q m k ) > ξ k 1 2 ε n k , δ k } ) = γ m k ( { y m k | e ( D k y , M k , l q m k ) > ε n k , δ k } ) δ k .

G = k = 1 G k , M = I k 1 M k

μ ( G ) μ ( G n ) δ k δ ,

| M | 2 n = 1 n k 2 n .

因此

ε n , δ ( D : l 2 l q , μ ) sup x l 2 \ G e ( D x , M , l q ) sup x l 2 \ G e ( D k x , I k 1 M k , l q ) k 2 k 2 ρ ε n k , δ k ( D k : m k l q m k , γ m k ) .

现在建立估计无穷维对角算子在概率框架下熵数下界的离散化定理。

定理2.5 设D满足引理1.1的条件, n ,记 k log n ,且 m k = 2 k + 1 ,则

ε n , δ ( D : l 2 l q , μ ) 2 k 2 ρ ε n , δ ( D k : m k l q m k , γ m k ) ,

其中,

D k : l 2 m k l q m k

x = ( x 1 , , x m k ) D k x = ( σ 2 k 1 x 1 , , σ 2 k 1 x 2 k 1 ) .

证明:令 S = { j | 2 k 1 j < 2 k 1 } ,则 | S | = 2 k 1 F s = s p a n { e j | j s } ,则 dim F s = 2 k 1

j S ξ j = C μ e j , e j = j ρ ,则 1 2 ρ k 2 ρ < ξ j 2 ρ 2 ρ k 。令

ξ k = 1 2 ρ k , ξ k = 2 ρ 2 ρ k , ξ ¯ k = ( ξ 2 k 1 , , ξ 2 k 1 ) .

M 1 l q F s 中的子集,且 | M | 2 n ,则

μ { x l 2 F s | e ( D k x , M 1 , l q F s ) > ε n , δ } δ .

其中 ε n , δ : = ε n , δ ( D : l 2 l q , μ )

I s : F s m k

x = j s x j e j I s x = j = 1 m k x 2 k 1 + j 1 e j .

I s F s m k 线性算子,且

x l q = I s x = { x , e 2 k 1 + j 1 } j = 1 m k l q m .

G = { y m k | e { ( D k y ) , ( I s M 1 ) , l q m k } > ξ k 1 2 ε n , δ } .

γ m k ( G ) = γ m k ( { y m k | e ( ( D k y ) ξ k 1 2 , ( I s M 1 ) ξ k 1 2 , l q m k ) > ε n , δ } ) γ m k ( { y m k | e ( ( D k y ) ξ ¯ k 1 2 , ( I s M 1 ) ξ ¯ k 1 2 , l q m k ) > ε n , δ } ) = μ ( { x l 2 F s | e ( ( D x , e j ) j s , I s M 1 , l q m k ) > ε n , δ } ) μ ( { x l 2 F s | e ( D x , M 1 , l q ) > ε n , δ } ) < δ .

所以

ε n , δ ( D k : m k l q m k , γ m k ) e ( D k ( m k \ G ) , I s M 1 , l q m k ) = sup y m k \ G e ( D k y , I s M 1 , l q m k ) 2 ρ 2 k ε n , δ .

ε n , δ ( D : l 2 l q , μ ) 2 ρ 2 k ε n , δ ( D k : m k l q m k , γ m k ) .

定理2.6设 1 q 2 D = ( σ k ) l 2 l q 上的对角算子,且 σ k 1 k α , ( α > 1 q 1 2 ) , n , δ ( 0 , 1 2 ] ,则

ε n , δ ( D : l 2 l q , μ ) n ( α + ρ 2 1 q ) 1 + 1 n ln 1 δ .

证明:估计定理2.6上界。

k ,令

n k = { 2 k 2 ( 1 β ) ( k k ) , k k 2 k 2 ( 1 + β ) ( k k ) , k > k , δ k = δ n k n ,

其中 k log n , 0 < β < 1

n k n , δ k δ ,且由引理2.1及定理2.5,得

ε n , δ ( D : l 2 l q , μ ) k = 1 2 ρ k 2 ε n k , δ k ( D k : m k l q m k , γ m k ) = k k 2 ρ k 2 ε n k , δ k ( D k : m k l q m k , γ m k ) + k > k 2 ρ k 2 ε n k , δ k ( D k : m k l q m k , γ m k ) = I 1 + I 2 .

I 1 k k 2 ρ k 2 sup 1 j m k 2 n k j ε n k , δ k ( 1 2 ( k 1 ) α 1 ( 2 k 1 + j 1 ) α ) 1 j m k 1 q 1 2 m k + ln 1 δ k k k 2 ρ k 2 2 2 k 2 ( 1 β ) ( k k ) 2 k 1 1 2 k ρ 2 k q + k k 2 ρ k 2 2 2 k 2 ( 1 β ) ( k k ) 2 k 1 1 2 k ρ 2 ( 1 q 1 2 ) k ln 1 δ 2 k 2 k 2 ( 1 β ) ( k k ) k k 2 ( ρ 2 + α 1 q ) k 2 2 2 ( 1 β ) ( k k ) + k k 2 ( ρ 2 + α 1 q + 1 2 ) k 2 2 2 ( 1 β ) ( k k ) β ( k k ) 2 ( ρ 2 + α 1 q ) k 0 ξ k 1 2 ( ρ 2 1 q ) ξ 2 ( 1 β ) ξ + 2 ( ρ 2 + α 1 q + 1 2 ) k 0 ξ k 2 ( ρ 2 1 q + 1 2 ) ξ 2 2 ( 1 β ) ξ β ξ ln 1 δ 2 ( ρ 2 + α 1 q ) k + 2 ( ρ 2 + α 1 q + 1 2 ) k ln 1 δ n ( ρ 2 + α 1 q ) 1 + 1 n ln 1 δ .

I 2 k > k 2 ρ k 2 sup 1 j m k 2 n k j ( 1 2 ( k 1 ) α 1 ( 2 k 1 + j 1 ) α ) j 2 ( 1 q 1 2 ) k 2 k + ln 2 β ( k k ) δ 2 ( ρ 2 + α 1 q ) k ξ > 0 2 ( ρ 2 + α 1 q ) ξ 2 2 ( 1 + β ) ξ + 2 ( ρ 2 + α 1 q ) k ξ > 0 2 ( ρ 2 + α + 1 2 1 q ) ξ 2 2 ( 1 β ) ξ β ξ ln 1 δ n ( ρ 2 + α 1 q ) 1 + 1 n ln 1 δ .

估计定理2.6的下界。

ε n , δ 2 ρ k 2 2 n 2 k 1 1 ( 2 k 1 ) α ( 2 k 1 ) 1 q 1 2 2 k 1 + ln 1 δ 2 ( ρ 2 + α 1 q + 1 2 ) k 2 k + ln 1 δ n ( ρ 2 + α 1 q ) 1 + 1 n ln 1 δ .

综上所述,定理2.6得证。

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