概率框架下对角算子的熵数

Entropy Number of Diagonal Operators under Probabilistic Framework

摘要: 本文主要讨论了有限维对角算子和无限维对角算子分别在概率框架下的熵数，并估计了其渐近阶。

Abstract: In this paper, we mainly talked about the entropy numbers of the finite dimensional diagonal operators which satisfied , and infinite dimensional diagonal operators which satisfied and estimated its asymptotic order.

1. 引言及主要结果

熵数是Kolmogorov在20世纪30年代提出的一个非常重要的几何概念，它刻画的是有限个元素构成的集合对集合K的逼近程度 [1] - [7]。函数空间的熵数一经提出，就得到了国内外学者们的广泛关注，Pietsch [8] 的专著《Operator Ideals》一书中就出现了熵数理论，书中重点描述了熵数的基本性质，同时刻画了有限维恒等算子的熵数。熵数的基本性质也在Carl和Stephani [9]、Edmunds和Triebel [10] 以及Lorentz [11] 等人的专著中有非常详细的阐述。1998年，Belinsky [12] 就具有混合偏导数的函数类的熵数问题做了深入研究。Dinh Dung [13] 研究了具有共同光滑函数类的熵数。

接着，对角算子的熵数研究就紧锣密鼓的开始了，Schütt [14] 研究了有限维恒等算子的熵数，并得到了精确渐近阶，它推广了B. Carl [15] 的结果。2005年，Thomas Kühn [10] [16] [17] 讨论了满足一定衰减条件的无穷维对角算子的熵数。2011年，韩永杰 [18] 讨论了有限维恒等算子在概率框架下的熵数，得到了其渐近阶。2018年，王桐心 [19] 讨论了无穷维恒等算子在最坏框架下和概率框架下的熵数，并得到了其渐进阶。2019年陈锦 [20] 讨论了有限维对角算子和无限维对角算子在最坏框架下的熵数。在以上研究成果的基础上，本文讨论有限维对角算子和无限维对角算子在概率框架下的熵数，并估计其渐近阶。

首先，给出本文需要用到的符号和定义。

假设 $\left(X,\Vert ·\Vert \right)$ 为一个赋范线性空间， $\varnothing \ne W\subset X$，其中W包含一个由W中开集生成的Borel域，在B上赋予一个概率测度 $\mu$，那么： $\mu$ 是定义在Borel域上的非负的、 $\sigma$ -可加的函数，且 $\mu \left(W\right)=1$。

定义1.1 设 $\delta \in \left(0,1\right]$， $n\in \mathbb{N}$。则W关于测度 $\mu$ 在X中的 $\left(n,\delta \right)$ 熵数定义为

${\epsilon }_{n,\delta }\left(W,\mu ,X\right)=\underset{G}{\inf }{\epsilon }_n\left(W\backslash G,X\right)$

也可以称为W在概率框架下的熵数，其中G跑遍B中测度不超过 $\delta$ 的Borel集。

定义1.2 设 $\left(X,{\Vert ·\Vert }_X\right)$ 是一个赋范线性空间，同时 $\left(Y,{\Vert ·\Vert }_Y\right)$ 也是一个赋范线性空间，且T为X到Y的有界线性算子， $\delta \in \left(0,1\right]$， $n\in \mathbb{N}$。B为X中开集生成的Borel域， $\mu$ 为B上的概率测度，那么称

${\epsilon }_{n,\delta }\left(T:X\to Y,\mu \right)=\underset{G\in B}{\inf }{\epsilon }_n\left(T\left(X\backslash G\right),Y\right)$

为算子T在概率框架下的熵数，其中G跑遍B中测度不超过 $\delta$ 的集合。

定义1.3 我们在 ${ℝ}^m$ 上赋予一个标准高斯测度 $\gamma ={\gamma }_m$，其中

${\gamma }_m\left(G\right)={\left(2\pi \right)}^{-\frac{m}{2}}{\displaystyle {\int }_G\exp \left(-\frac{1}{2}{\Vert x\Vert }_{l_2^m}^2\right)\text{d}x}.$

G是 ${ℝ}^m$ 中任意一个Borel可测集，易见 ${\gamma }_m\left({ℝ}^m\right)=1$。那么， ${ℝ}^m$ 在 $l_q^m$ 空间中关于标准高斯测度 ${\gamma }_m$ 的熵数就可表示为：

${\epsilon }_{n,\delta }\left({ℝ}^m,{\gamma }_m,l_q^m\right)=\underset{G}{\inf }{\epsilon }_n\left({ℝ}^m\backslash G,l_q^m\right),$

G是跑遍所有满足 ${\gamma }_m\left(G\right)\le \delta$ 的Borel子集。

定义1.4 在Hilbert空间 $l_2$ 上赋予高斯测度 $\mu$，期望为零，协方差算子 $C_{\mu }$ 的特征向量

$e_n\left(n\in \stackrel{0}{\mathbb{N}}=\mathbb{N}-\left\{0\right\}\right)$ 对应的特征值为 ${\lambda }_n=n^{-\rho }$ $\left(\rho >1\right)$，即

$C_{\mu }{e}_n={\lambda }_n{e}_n,n\in \stackrel{0}{\mathbb{N}}$

令 $y_1,\cdots ,y_n$ 为 $l_2$ 中任一正交系， ${\xi }_j=\langle C_{\mu }{y}_j,y_j\rangle$， $j=1,\cdots ,n$，B为 ${ℝ}^n$ 中任一Borel集，则 $l_2$ 中柱集

$G=\left\{x\in l_2|\left(\langle x,y_1\rangle ,\cdots ,\langle x,y_n\rangle \right)\in B\right\}$

的测度为

$\mu \left(G\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{\left(2\pi {\xi }_j\right)}^{-\frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_B\exp }}\left(-{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{{\left|{\mu }_j\right|}^2}{2{\xi }_j}}\right)\text{d}{\mu }_1\cdots \text{d}{\mu }_n.$

设D为 $l_2$ 到 $l_q\left(1\le q\le \infty \right)$ 的对角算子。本节主要讨论D在概率框架下的熵数，首先介绍一些符号。

对任意的 $n\in \stackrel{0}{\mathbb{N}}$，记

$S_k=\left\{n\in \stackrel{0}{\mathbb{N}}|2^{k-1}\le n<2^k\right\}.$

则易见 $m_k=\left|S_k\right|=2^{k-1}$，且 $S_k\cap S_{k^{\prime }}=\varnothing \left(k\ne k^{\prime }\right)$， $\stackrel{0}{\mathbb{N}}={\displaystyle \underset{k\in \stackrel{0}{\mathbb{N}}}{\sum }{S}_k}$，对任意的 $n\in \stackrel{0}{\mathbb{N}}$，记

$F_k=span\left\{e_n|n\in S_k\right\}.$

则易见 $F_k$ 为 $l_q\left(1\le q\le \infty \right)$ 的 $m_k$ 维子空间，同时，令

$I_k:F_k\to {ℝ}^{m_k}$

$x={\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }{x}_n{e}_n}\mapsto I_{k}x={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m_k}{\sum }}{x}_{2^{k-1}+j-1}{e^{\prime }}_j},$

则 $I_k$ 为 $F_k$ 到 ${ℝ}^{m_k}$ 上的线性同构，且

${\Vert x\Vert }_{l_q}={\Vert I_{k}x\Vert }_{l_q^{m_{{}_k}}}={\Vert {\left\{\langle x,e_{2^{k-1}+j-1}\rangle \right\}}_{j=1}^{m_k}\Vert }_{l_q^{m_{{}_k}}}\left(1\le p\le \infty \right).$

对于 $n\in S_k$，记

${\xi }_n=\langle C_{\mu }{e}_n,e_n\rangle =n^{-\rho },$

从而，

$\frac{1}{2^{k\rho }}<{\xi }_n\le \frac{2^{\rho }}{2^{k\rho }}.$

记 ${{\xi }^{\prime }}_k=\frac{1}{2^{k\rho }}$， ${{\xi }^{″}}_k=\frac{2^{\rho }}{2^{k\rho }}$， ${\bar{\xi }}_k=\left({\xi }_{2^{k-1}},\cdots ,{\xi }_{2^k-1}\right)$。

为了以后叙述方便，给出如下记号。

若 $x=\left(x_1,\cdots ,x_m\right),y=\left(y_1,\cdots ,y_m\right),\beta \in ℝ,M\subset {ℝ}^m$， $1\le q\le \infty$，记

$xy=\left(x_1{y}_1,\cdots ,x_m{y}_m\right),x^{\beta }=\left(x_1^{\beta },\cdots ,x_m^{\beta }\right),e\left(x,M,l_q^m\right)=\underset{y\in M}{\inf }{\Vert x-y\Vert }_{l_q^m}.$

2. 主要结果的证明

首先介绍有限维对角算子在概率框架下的熵数。

韩永杰 [18] 首次提出并给出了有限维恒等算子在概率框架下的熵数，并得到了其渐近阶。

引理2.1 [18] 设 $1\le q\le 2$， $\delta \in \left(0,\frac{1}{2}\right]$，则

${\epsilon }_{n,\delta }\left(I_m\right):={\epsilon }_{n,\delta }\left(I_m:{ℝ}^m\to l_q^m,{\gamma }_m\right)={\epsilon }_{n,\delta }\left({ℝ}^m,l_q^m,{\gamma }_m\right)\succ \prec 2^{-\frac{n}{m}}{m}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{m+\ln \frac{1}{\delta }}.$

其中， $I_m$ 为 ${ℝ}^m$ 到 $l_q^m$ 上的恒等算子。

引理2.2 [20] 设 $1\le q<p\le \infty$， $D_m$ 为 $l_p^m$ 到 $l_q^m$ 上的对角算子， $n\in \mathbb{N}$，则

$\underset{1\le k\le m}{\sup }{2}^{-\frac{n}{k}}{\left({\sigma }_1\cdots {\sigma }_k\right)}^{\frac{1}{k}}{k}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\ll {\epsilon }_n\left(D_m\right)\ll \underset{1\le k\le m}{\sup }{2}^{-\frac{n}{k}}{\left({\sigma }_1\cdots {\sigma }_k\right)}^{\frac{1}{k}}{m}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}.$

定理2.3 设 $1\le q\le 2$， $\delta \in \left(0,\frac{1}{2}\right]$， $n\in \mathbb{N}$，则

$\underset{1\le k\le m}{\sup }{2}^{-\frac{n}{k}}{\left({\sigma }_1\cdots {\sigma }_k\right)}^{\frac{1}{k}}\cdot k^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{k+\ln \frac{1}{\delta }}\ll {\epsilon }_{n,\delta }\left(D_m:{ℝ}^m\to l_q^m,{\gamma }_m\right)\ll \underset{1\le k\le m}{\sup }{2}^{-\frac{n}{k}}{\left({\sigma }_1\cdots {\sigma }_k\right)}^{\frac{1}{k}}\cdot m^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{m+\ln \frac{1}{\delta }}.$

证明：估计定理2.3的上界：

由文献 [21] 可知，一定存在绝对正常数 $C_0$，使得

${\gamma }_m\left(x\in {ℝ}^m{|\Vert x\Vert }_{l_2^m}>C_0\sqrt{m+\ln \frac{1}{\delta }}\right)\le \delta .$

由引理2.2，有

$\begin{array}{c}{\epsilon }_{n,\delta }\left(D_m:{ℝ}^m\to l_q^m,{\gamma }_m\right)\le {\epsilon }_n\left(D_m\left(C_0\sqrt{m+\ln \frac{1}{\delta }}\right)B_2^m,l_q^m\right)\\ =C_0\sqrt{m+\ln \frac{1}{\delta }}{\epsilon }_n\left(D_m\left(B_2^m\right),l_q^m\right)\\ \ll \underset{1\le k\le m}{\sup }{2}^{-\frac{n}{k}}{\left({\sigma }_1\cdots {\sigma }_k\right)}^{\frac{1}{k}}\cdot m^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{m+\ln \frac{1}{\delta }}.\end{array}$

估计定理2.1的下界：

令 $1\le k\le m$，

$I_k:l_2^k\to l_2^m$

$\left(x_1,\cdots ,x_k\right)\mapsto \left(x_1,\cdots ,x_k,0,\cdots ,0\right),$

$P_k:l_q^m\to l_q^k$

$\left(x_1,\cdots ,x_k,\cdots ,x_m\right)\mapsto \left(x_1,\cdots ,x_k\right),$

$D_k:l_2^k\to l_q^k$，则 $D_k=P_k{D}_m{I}_k$。

下证： ${\epsilon }_{n,\delta }\left(D_k:{ℝ}^k\to l_q^k,{\gamma }_k\right)\le {\epsilon }_{n,\delta }\left(D_m:{ℝ}^m\to l_q^m,{\gamma }_m\right)$。

事实上，存在 $Q_m\subset {ℝ}^m$，且 ${\gamma }_m\left(Q_m\right)\ge 1-\delta$，使得

${\epsilon }_{n,\delta }\left(D_m:{ℝ}^m\to l_q^m,{\gamma }_m\right)={\epsilon }_n\left(D_m\left(Q_m\right),l_q^m\right).$

从而存在 $y_1,\cdots ,y_l\left(l\le 2^n\right)$，使得

$D_m\left(Q_m\right)\subset {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{l}{\cup }}\left\{y_j+{\epsilon }_{n,\delta }{B}_q^m\right\}}.$

令 $Q_k=P_k{Q}_m$，则 ${\gamma }_k\left(Q_k\right)\ge 1-\delta$。若不然， ${\gamma }_k\left(Q_k\right)<1-\delta$，令

$F=\left\{\left(x_1,\cdots ,x_k,x_{k+1},\cdots ,x_m\right)|\left(x_1,\cdots ,x_k\right)\in Q_k,-\infty <x_j<\infty ,j=k+1,\cdots ,m\right\},$

则 ${\gamma }_m\left(F\right)={\gamma }_k\left(Q_k\right)<1-\delta$，而 $Q_m\subset F$，矛盾。

因此，

${\epsilon }_{n,\delta }\left(D_k:{ℝ}^k\to l_q^k,{\gamma }_k\right)\le {\epsilon }_{n,\delta }\left(D_k\left(Q_k\right),l_q^k,{\gamma }_k\right).$

易见， $D_k\left(Q_k\right)=P_k\left(D_m\left(Q_m\right)\right)$，所以

$D_k\left(Q_k\right)\subset {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{l}{\cup }}\left\{P_k{y}_j+{\epsilon }_{n,\delta }{B}_q^k\right\}}.$

所以

${\epsilon }_{n,\delta }\left(D_k:{ℝ}^k\to l_q^k,{\gamma }_k\right)\ll {\epsilon }_{n,\delta }\left(D_m:{ℝ}^m\to l_q^m,{\gamma }_m\right).$

下面估计 ${\epsilon }_{n,\delta }\left(D_k:{ℝ}^k\to l_q^k,{\gamma }_k\right)$ 的下界。

设G为 ${ℝ}^k$ 中任一Borel集，且 ${\gamma }_k\left(G\right)<\delta$。对 $t\ge 0$，令 $G_t=\left\{x\in {ℝ}^k|{\Vert x\Vert }_{l_2^k}\ge t\right\}$，则存在 $t_1\ge \sqrt{k+\ln \frac{1}{\delta }}$，使得 ${\gamma }_k\left(G_{t_1}\right)=\delta$。

令 $D=G\cap G_{t_1},D_1=G-D,D_2=G_{t_1}-D$。则

$\{\begin{array}{l}{\Vert x\Vert }_{l_2^k}\le t_{1}x\in D_1\\ {\Vert x\Vert }_{l_2^k}\ge t_{1}x\in D_2\end{array}$

且

$Vo{l}_k\left({ℝ}^k-G\right)\ge Vo{l}_k\left({ℝ}^k-G_{t_1}\right),$

那么

$\begin{array}{c}{2}^{\frac{n}{k}}{\epsilon }_n\left(D_k\left({ℝ}^k-G_{t_1}\right),l_q^k\right)\ge {\left(\frac{Vo{l}_k\left(D_k\left({ℝ}^k-G_{t_1}\right)\right)}{Vo{l}_k\left(B_q^k\right)}\right)}^{\frac{1}{k}}\\ \ge {\left({\sigma }_1\cdots {\sigma }_k\right)}^{\frac{1}{k}}{\left(\frac{Vo{l}_k\left(\left({ℝ}^k-G_{t_1}\right)\right)}{Vo{l}_k\left(B_q^k\right)}\right)}^{\frac{1}{k}}\\ \ge {\left({\sigma }_1\cdots {\sigma }_k\right)}^{\frac{1}{k}}{\left(\frac{t_1^{k}Vo{l}_k\left(B_2^k\right)}{Vo{l}_k\left(B_q^k\right)}\right)}^{\frac{1}{k}}\\ \ge {\left({\sigma }_1\cdots {\sigma }_k\right)}^{\frac{1}{k}}{k}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{k+\ln \frac{1}{\delta }}.\end{array}$

即

${\epsilon }_n\left(D_k\left({ℝ}^k-G\right),l_q^k\right)\ge 2^{-\frac{n}{k}}{\left({\sigma }_1\cdots {\sigma }_k\right)}^{\frac{1}{k}}{k}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{k+\ln \frac{1}{\delta }},$

从而

${\epsilon }_{n,\delta }\left(D_k:{ℝ}^k\to l_q^k,{\gamma }_k\right)\gg 2^{-\frac{n}{k}}{\left({\sigma }_1\cdots {\sigma }_k\right)}^{\frac{1}{k}}{k}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{k+\ln \frac{1}{\delta }},$

故

${\epsilon }_{n,\delta }\left(D_m:{ℝ}^m\to l_q^m,{\gamma }_m\right)\gg \underset{1\le k\le m}{\sup }{2}^{-\frac{n}{k}}{\left({\sigma }_1\cdots {\sigma }_k\right)}^{\frac{1}{k}}{k}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{k+\ln \frac{1}{\delta }}.$

综上可知，定理2.1得证。

其次，介绍无穷维对角算子在概率框架下的熵数。

主要估计对角线元素满足 ${\sigma }_k=\frac{1}{k^{\alpha }}$ 的无穷维对角算子在概率框架下的熵数。首先，介绍一些符号和定义。

下面建立估计对角算子在概率框架下熵数上界的离散化定理。

定理2.4 设D为 $l_2$ 到 $l_q\left(1\le q<\infty \right)$ 的对角算子，且对角线上元素满足

${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge \cdots \ge {\sigma }_k\ge \cdots >0,n\in \mathbb{N},\delta \in \left(0,\frac{1}{2}\right],n\in \stackrel{0}{\mathbb{N}}$

$\left\{n_k\right\}$ 为非负整数列， $\left\{{\delta }_k\right\}$ 为非负数列，且满足

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_k}\le n,{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\delta }_k}\le \delta .$

则

${\epsilon }_{n,\delta }\left(D\right):={\epsilon }_n\left(D:l_2\to l_q,\mu \right)\ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-\frac{k}{2}\rho }}{\epsilon }_{n_k,{\delta }_k}\left(D_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right).$

其中

$D_k:l_2^{m_k}\to l_q^{m_k}$

$x=\left(x_1,\cdots ,x_{m_k}\right)\mapsto D_{k}x=\left({\sigma }_{2^{k-1}}{x}_1,\cdots ,{\sigma }_{2^k-1}{x}_{2^k-1}\right).$

估计定理2.4的上界：

证明：对于任意的 $k\in \stackrel{0}{\mathbb{N}}$ 由 ${\epsilon }_{n_k,{\delta }_k}\left(D_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)$ 的定义知，存在 $M_k\subset l_q^{m_k}$，使得 $\left|M_k\right|\le 2^{n_k}$，且

${\gamma }_{m_k}\left(\left\{y\in {ℝ}^{m_k}|e\left(D_{k}y,M_k,l_q^{m_k}\right)>{\epsilon }_{n_k,{\delta }_k}\right\}\right)\le {\delta }_k.$

其中 ${\epsilon }_{n_k,{\delta }_k}:={\epsilon }_{n_k,{\delta }_k}\left(D_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)$。

令

$D^k:l_2\to l_q$

$x=\left(x_n\right)\mapsto D^{k}x=\left(0,\cdots ,0,\cdots ,{\sigma }_{2^{k-1}}{x}_{2^{k-1}},\cdots ,{\sigma }_{2^k-1}{x}_{2^k-1},0,\cdots \right),$

对 $x\in l_2$，则 $D^{k}x\in F_k$。易见

$e\left(D^{k}x,I_k^{-1}{M}_k,l_q\right)=e\left({\left\{\langle D^{k}x,e_{2^{k-1}+j-1}\rangle \right\}}_{j=1}^{m_k},M_k,l_q^{m_k}\right).$

令

$G_k=\left\{x\in l_2|e\left(D^{k}x,I_k^{-1}{M}_k,l_q\right)>{{\xi }^{″}}_k{}^{\frac{1}{2}}{\epsilon }_{n_k,{\delta }_k}\right\}.$

则

$\begin{array}{c}\mu \left(G_k\right)=\mu \left(\left\{x\in l_2|e\left({\left\{\langle D^{k}x,e_{2^{k-1}+j-1}\rangle \right\}}_{j=1}^{m_k},M_k,l_q^{m_k}\right)\ge {{\xi }^{″}}_k^{\frac{1}{2}}{\epsilon }_{n_k,{\delta }_k}\right\}\right)\\ ={\gamma }_{m_k}\left(\left\{y\in {ℝ}^{m_k}|e\left(e\left(D_{k}y\right){\bar{\xi }}_k^{\frac{1}{2}},M_k^{}{\bar{\xi }}^{\frac{1}{2}},l_q^{m_k}\right)>{{\xi }^{″}}_k^{\frac{1}{2}}{\epsilon }_{n_k,{\delta }_k}\right\}\right)\\ \le {\gamma }_{m_k}\left(\left\{y\in {ℝ}^{m_k}|{{\xi }^{″}}_k^{\frac{1}{2}}e\left(D_{k}y,M_k,l_q^{m_k}\right)>{{\xi }^{″}}_k^{\frac{1}{2}}{\epsilon }_{n_k,{\delta }_k}\right\}\right)\\ ={\gamma }_{m_k}\left(\left\{y\in {ℝ}^{m_k}|e\left(D_{k}y,M_k,l_q^{m_k}\right)>{\epsilon }_{n_k,{\delta }_k}\right\}\right)\\ \le {\delta }_k.\end{array}$

令 $G={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\cup }}{G}_k},M={\displaystyle \sum I_k^{-1}}{M}_k$。

则

$\mu \left(G\right)\le {\displaystyle \sum \mu \left(G_n\right)\le {\displaystyle \sum {\delta }_k}}\le \delta ,$

$\left|M\right|\le 2^{{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_k}}\le 2^n.$

因此

$\begin{array}{c}{\epsilon }_{n,\delta }\left(D:l_2\to l_q,\mu \right)\ll \underset{x\in l_2\backslash G}{\sup }e\left(Dx,M,l_q\right)\\ \ll \underset{x\in l_2\backslash G}{\sup }{\displaystyle \sum e\left(D_{k}x,I_k^{-1}{M}_k,l_q\right)}\\ \ll {\displaystyle \underset{k}{\sum }{2}^{-\frac{k}{2}\rho }}{\epsilon }_{n_k,{\delta }_k}\left(D_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right).\end{array}$

现在建立估计无穷维对角算子在概率框架下熵数下界的离散化定理。

定理2.5 设D满足引理1.1的条件， $n\in \mathbb{N}$，记 $k\succ \prec \log n$，且 $m_k=2^{k+1}$，则

${\epsilon }_{n,\delta }\left(D:l_2\to l_q,\mu \right)\gg 2^{-\frac{k}{2}\rho }{\epsilon }_{n,\delta }\left(D_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right),$

其中，

$D_k:l_2^{m_k}\to l_q^{m_k}$

$x=\left(x_1,\cdots ,x_{m_k}\right)\mapsto D_{k}x=\left({\sigma }_{2^{k-1}}{x}_1,\cdots ,{\sigma }_{2^k-1}{x}_{2^k-1}\right).$

证明：令 $S=\left\{j|2^{k-1}\le j<2^k-1\right\}$，则 $\left|S\right|=2^{k-1}$， $F_s=span\left\{e_j|j\in s\right\}$，则 $\dim F_s=2^{k-1}$，

对 $\forall j\in S$， ${\xi }_j=\langle C_{\mu }{e}_j,e_j\rangle =j^{-\rho }$，则 $\frac{1}{2^{\rho k}{2}^{\rho }}<{\xi }_j\le \frac{2^{\rho }}{2^{\rho k}}$。令

${{\xi }^{\prime }}_k=\frac{1}{2^{\rho k}},{{\xi }^{″}}_k=\frac{2^{\rho }}{2^{\rho k}},{\bar{\xi }}_k=\left({\xi }_{2^{k-1}},\cdots ,{\xi }_{2^k-1}\right).$

令 $M_1$ 为 $l_q\cap F_s$ 中的子集，且 $\left|M\right|\le 2^n$，则

$\mu \left\{x\in l_2\cap F_s|e\left(D_{k}x,M_1,l_q\cap F_s\right)>{\epsilon }_{n,\delta }\right\}\le \delta .$

其中 ${\epsilon }_{n,\delta }:={\epsilon }_{n,\delta }\left(D:l_2\to l_q,\mu \right)$。

令

$I_s:F_s\to {ℝ}^{m_k}$

$x={\displaystyle \underset{j\in s}{\sum }{x}_j}{e}_j\mapsto I_{s}x={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m_k}{\sum }}{x}_{2^{k-1}+j-1}}{e^{\prime }}_j.$

则 $I_s$ 为 $F_s$ 到 ${ℝ}^{m_k}$ 线性算子，且

${\Vert x\Vert }_{l_q}=\Vert I_{s}x\Vert ={\Vert {\left\{\langle x,e_{2^{k-1}+j-1}\rangle \right\}}_{j=1}^{m_k}\Vert }_{l_q^m}.$

令

$G=\left\{y\in {ℝ}^{m_k}|e\left\{\left(D_{k}y\right),\left(I_s{M}_1\right),l_q^{m_k}\right\}>{{\xi }^{\prime }}_k^{{}^{-\frac{1}{2}}}{\epsilon }_{n,\delta }\right\}.$

则

$\begin{array}{c}{\gamma }_{m_k}\left(G\right)={\gamma }_{m_k}\left(\left\{y\in {ℝ}^{m_k}|e\left(\left(D_{k}y\right){{\xi }^{\prime }}_k^{{}^{\frac{1}{2}}},\left(I_s{M}_1\right){{\xi }^{\prime }}_k^{{}^{\frac{1}{2}}},l_q^{m_k}\right)>{\epsilon }_{n,\delta }\right\}\right)\\ \le {\gamma }_{m_k}\left(\left\{y\in {ℝ}^{m_k}|e\left(\left(D_{k}y\right){\bar{\xi }}_k^{{}^{\frac{1}{2}}},\left(I_s{M}_1\right){\bar{\xi }}_k^{{}^{\frac{1}{2}}},l_q^{m_k}\right)>{\epsilon }_{n,\delta }\right\}\right)\\ =\mu \left(\left\{x\in l_2\cap F_s|e\left({\left(Dx,e_j\right)}_{j\in s},I_s{M}_1,l_q^{m_k}\right)>{\epsilon }_{n,\delta }\right\}\right)\\ \le \mu \left(\left\{x\in l_2\cap F_s|e\left(Dx,M_1,l_q\right)>{\epsilon }_{n,\delta }\right\}\right)<\delta .\end{array}$

所以

$\begin{array}{c}{\epsilon }_{n,\delta }\left(D_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)\le e\left(D_k\left({ℝ}^{m_k}\backslash G\right),I_s{M}_1,l_q^{m_k}\right)\\ =\underset{y\in {ℝ}^{m_k}\backslash G}{\sup }e\left(D_{k}y,I_s{M}_1,l_q^{m_k}\right)\\ \ll 2^{\frac{\rho }{2}k}{\epsilon }_{n,\delta }.\end{array}$

即

${\epsilon }_{n,\delta }(D:l_2\to l_q,\mu )\gg 2^{-\frac{\rho }{2}k}{\epsilon }_{n,\delta }\left(D_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right).$

定理2.6设 $1\le q\le 2$， $D=\left({\sigma }_k\right)$ 为 $l_2$ 到 $l_q$ 上的对角算子，且 ${\sigma }_k\succ \prec \frac{1}{k^{\alpha }},\left(\alpha >\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right),n\in \mathbb{N},\delta \in \left(0,\frac{1}{2}\right]$,则

${\epsilon }_{n,\delta }\left(D:l_2\to l_q,\mu \right)\succ \prec n^{-\left(\alpha +\frac{\rho }{2}-\frac{1}{q}\right)}\sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}.$

证明：估计定理2.6上界。

对 $\forall k\in \mathbb{N}$，令

$n_k=\{\begin{array}{l}{2}^k{2}^{\left(1-\beta \right)\left(k^{\prime }-k\right)},k\le k^{\prime }\\ 2^k{2}^{\left(1+\beta \right)\left(k^{\prime }-k\right)},k>k^{\prime }\end{array},{\delta }_k=\frac{\delta \cdot n_k}{n},$

其中 $k^{\prime }\succ \prec \log n,0<\beta <1$。

则 ${\displaystyle \sum n_k\le n,{\displaystyle \sum {\delta }_k\le \delta }}$，且由引理2.1及定理2.5，得

$\begin{array}{c}{\epsilon }_{n,\delta }\left(D:l_2\to l_q,\mu \right)\ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-\frac{\rho k}{2}}{\epsilon }_{n_k,{\delta }_k}}\left(D_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)\\ ={\displaystyle \underset{k\le k^{\prime }}{\sum }{2}^{-\frac{\rho k}{2}}{\epsilon }_{n_k,{\delta }_k}\left(D_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)+{\displaystyle \underset{k>k^{\prime }}{\sum }{2}^{-\frac{\rho k}{2}}{\epsilon }_{n_k,{\delta }_k}\left(D_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)}}\\ =I_1+I_2.\end{array}$

$\begin{array}{c}{I}_1\ll {{\displaystyle \underset{k\le k^{\prime }}{\sum }{2}^{-\frac{\rho k}{2}}\underset{1\le j\le m_k}{\sup }{2}^{-\frac{n_k}{j}}{\epsilon }_{n_k,{\delta }_k}\left(\frac{1}{2^{\left(k-1\right)\alpha }}\cdots \frac{1}{{\left(2^{k-1}+j-1\right)}^{\alpha }}\right)}}^{\frac{1}{j}}\cdot m_k^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{m_k+\ln \frac{1}{{\delta }_k}}\\ \ll {\displaystyle \underset{k\le k^{\prime }}{\sum }{2}^{-\frac{\rho k}{2}}}{2}^{-\frac{2^k{2}^{\left(1-\beta \right)\left(k^{\prime }-k\right)}}{2^{k-1}}}\cdot \frac{1}{2^{k\rho }}\cdot 2^{\frac{k}{q}}+{\displaystyle \underset{k\le k^{\prime }}{\sum }{2}^{-\frac{\rho k}{2}}}{2}^{-\frac{2^k{2}^{\left(1-\beta \right)\left(k^{\prime }-k\right)}}{2^{k-1}}}\cdot \frac{1}{2^{k\rho }}\cdot 2^{\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)k}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }\frac{2^k}{2^k{2}^{\left(1-\beta \right)\left(k^{\prime }-k\right)}}}\\ \ll {\displaystyle \underset{k\le k^{\prime }}{\sum }{2}^{-\left(\frac{\rho }{2}+\alpha -\frac{1}{q}\right)k}}{2}^{-2\cdot 2^{\left(1-\beta \right)\left(k^{\prime }-k\right)}}+{\displaystyle \underset{k\le k^{\prime }}{\sum }{2}^{-\left(\frac{\rho }{2}+\alpha -\frac{1}{q}+\frac{1}{2}\right)k}}\cdot 2^{-2\cdot 2^{\left(1-\beta \right)\left(k^{\prime }-k\right)}}\sqrt{\beta \left(k^{\prime }-k\right)}\\ \ll 2^{-\left(\frac{\rho }{2}+\alpha -\frac{1}{q}\right)k^{\prime }}{\displaystyle \underset{0\le \xi \le k^{\prime }-1}{\sum }{2}^{\left(\frac{\rho }{2}-\frac{1}{q}\right)\xi -2^{\left(1-\beta \right)\xi }}+2^{-\left(\frac{\rho }{2}+\alpha -\frac{1}{q}+\frac{1}{2}\right)k^{\prime }}{\displaystyle \underset{0\le \xi \le k^{\prime }}{\sum }{2}^{\left(\frac{\rho }{2}-\frac{1}{q}+\frac{1}{2}\right)\xi -2\cdot 2^{\left(1-\beta \right)\xi }}\sqrt{\beta \xi }}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\\ \ll 2^{-\left(\frac{\rho }{2}+\alpha -\frac{1}{q}\right)k^{\prime }}+2^{-\left(\frac{\rho }{2}+\alpha -\frac{1}{q}+\frac{1}{2}\right)k^{\prime }}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\ll n^{-\left(\frac{\rho }{2}+\alpha -\frac{1}{q}\right)}\sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}.\end{array}$

$\begin{array}{c}{I}_2\ll {{\displaystyle \underset{k>k^{\prime }}{\sum }{2}^{-\frac{\rho k}{2}}\underset{1\le j\le m_k}{\sup }{2}^{-\frac{n_k}{j}}\left(\frac{1}{2^{\left(k-1\right)\alpha }}\cdots \frac{1}{{\left(2^{k-1}+j-1\right)}^{\alpha }}\right)}}^j\cdot 2^{\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)k}\sqrt{2^k+\ln \frac{2^{-\beta \left(k^{\prime }-k\right)}}{\delta }}\\ \ll 2^{-\left(\frac{\rho }{2}+\alpha -\frac{1}{q}\right)k^{\prime }}{\displaystyle \underset{\xi >0}{\sum }{2}^{-\left(\frac{\rho }{2}+\alpha -\frac{1}{q}\right)\xi -2\cdot 2^{-\left(1+\beta \right)\xi }}+2^{-\left(\frac{\rho }{2}+\alpha -\frac{1}{q}\right)k^{\prime }}{\displaystyle \underset{\xi >0}{\sum }{2}^{-\left(\frac{\rho }{2}+\alpha +\frac{1}{2}-\frac{1}{q}\right)\xi -2\cdot 2^{\left(1-\beta \right)\xi }}\sqrt{\beta \xi }}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\\ \ll n^{-\left(\frac{\rho }{2}+\alpha -\frac{1}{q}\right)}\sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}.\end{array}$

估计定理2.6的下界。

$\begin{array}{c}{\epsilon }_{n,\delta }\gg 2^{-\frac{\rho k}{2}}{2}^{-\frac{n}{2^{k-1}}}\frac{1}{{\left(2^k-1\right)}^{\alpha }}{\left(2^{k-1}\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{2^{k-1}+\ln \frac{1}{\delta }}\\ \gg 2^{-\left(\frac{\rho }{2}+\alpha -\frac{1}{q}+\frac{1}{2}\right)k}\sqrt{2^k+\ln \frac{1}{\delta }}\\ \gg n^{-\left(\frac{\rho }{2}+\alpha -\frac{1}{q}\right)}\sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}.\end{array}$

综上所述，定理2.6得证。