理论数学  >> Vol. 11 No. 4 (April 2021)

含Φ-Laplace算子的拟线性椭圆型方程解的存在性
Existence of Solutions for Quasilinear Elliptic Equation with Φ-Laplacian Operator

DOI: 10.12677/PM.2021.114069, PDF, HTML, XML, 下载: 15  浏览: 55 

作者: 孙爱群:上海理工大学理学院,上海

关键词: 拟线性椭圆型方程Nehari流形方法纤维映射极小化方法Quasilinear Elliptic Equation Nehari Manifold Method Fibering Maps Minimizing Method

摘要: 该文研究了全空间中一类含Φ-Laplace算子和位势项的拟线性椭圆型方程解的存在性,利用Nehari流形方法和纤维映射等技巧,得到方程至少有两个非平凡解。
Abstract: The paper deals with the existence results of solutions to a quasilinear elliptic problem with Φ-Laplacian operator and potential well on ℝN. Nehari manifold and fibering maps are used to obtain the existence two nontrivial solutions.

文章引用: 孙爱群. 含Φ-Laplace算子的拟线性椭圆型方程解的存在性[J]. 理论数学, 2021, 11(4): 562-573. https://doi.org/10.12677/PM.2021.114069

1. 引言

我们将研究 N 中的拟线性椭圆型方程

Δ Φ u + V ( x ) ϕ ( | u | ) u = f ( x , u ) , u W 1 , Φ ( N ) (1)

非平凡解的存在性,其中 Δ Φ u = div ( ϕ ( | u | ) u ) Φ -Laplace算子,并且 Φ ( t ) = 0 t s ϕ ( s ) d s t f : N × 是Carathéodory函数。

拟线性椭圆型方程具有较强的物理背景,是非牛顿流体、等离子物理、图像处理等领域研究相关物理现象的重要模型,见 [1] 和 [2]。近些年来,在有界区域上讨论拟线性椭圆型方程的文章已有很多,如文献 [3] 和 [4],研究了非线性项在不满足(AR)条件下,方程解的存在性和多重性问题。在文献 [5] 中,Carvalho等利用Nehari方法和形变引理研究了下列问题的正负解和变号解的存在性。

{ d i v ( ϕ ( | u | ) u ) = f ( x , u ) , x Ω , u = 0 , x Ω . (2)

本文的结果是对前人研究成果的推广和完善。

对函数 ϕ ( x ) V ( x ) f ( x , t ) 做如下假设。函数 ϕ C 2 ( [ 0 , + ) , [ 0 , + ) ) ,并且满足下列条件:

( ϕ 1 ) t t ϕ ( t ) ( 0 , + ) 是增函数;

( ϕ 2 ) lim t 0 t ϕ ( t ) = 0 lim t t ϕ ( t ) =

( ϕ 3 ) 对任意 t > 0 ,存在常数 l , m ( 1 , N ) ,使得

1 < l 2 : = inf t > 0 ( t ϕ ( t ) ) t ( t ϕ ( t ) ) sup t > 0 ( t ϕ ( t ) ) t ( t ϕ ( t ) ) = : m 2 < N 2

( ϕ 4 ) 存在N-函数

Ψ ( t ) = 0 t ψ ( s ) d s

其中 ψ : [ 0 , ) [ 0 , ) 是连续函数,且满足

( a 1 ) 1 < l m < l Ψ : = inf t > 0 ψ ( t ) t Ψ ( t ) sup t > 0 ψ ( t ) t Ψ ( t ) = : m Ψ < l * = l N N l

( V 1 ) V C ( N ) V 0 = inf N V > 0

( V 2 ) 对所有的 M > 0 μ ( V 1 ( , M ] ) < ,其中 μ N 中的Lebesgue测度。

假设 f : N × 是Carathéodory函数, F ( x , t ) = 0 t f ( x , s ) d s t ,此外,f还满足以下条件:

( f 1 ) 存在常数 C > 0 ,使得

| f ( x , t ) | C ( 1 + ψ ( t ) ) t x N

( f 2 ) lim t 0 f ( x , t ) ψ ( t ) < λ 对几乎所有的 x N 一致成立;

( f 3 ) t f ( x , t ) | t | m 2 t \ { 0 } 上单调递增;

( f 4 ) lim | t | f ( x , t ) | t | m 2 t = + 对几乎所有的 x N 一致成立。

注1.1在条件 ( ϕ 3 ) 下,可以推出下面的不等式:

l 2 inf t > 0 ϕ ( t ) t ϕ ( t ) sup t > 0 ϕ ( t ) t ϕ ( t ) m 2 1 < l : = inf t > 0 ϕ ( t ) t 2 Φ ( t ) sup t > 0 ϕ ( t ) t 2 Φ ( t ) = : m < N

注1.2经验证,下列函数满足条件 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 4 ) ( f 1 ) - ( f 4 )

Φ ( t ) = | t | a log ( 1 + | t | ) ψ 1 ( t ) = q t q 1 log ( 1 + t ) + t q t + 1 f ( x , t ) = { ψ 2 ( t ) , 0 < t < 1 , d ψ 1 ( t ) , 1 < t < .

与文献 [5] 相比,本文是在全空间中进行研究的,不满足Orlicz-Sobolev空间中的Poincaré不等式,另外,本文中的非线性项不满足(AR)条件(见文献 [6] ),为了克服这些困难,采用Nehari方法,需要证明Nehari流形是C1的,再利用极小化方法得到解的存在性。

本文的主要结果如下:

定理1.1假设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) ( V 1 ) - ( V 2 ) ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立,则问题(1)在 W V 1 , Φ ( N ) 中存在非零基态解。

定理1.2设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 4 ) ( V 1 ) - ( V 2 ) ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立,则问题(1)至少有两个非平凡解 u 1 u 2 ,且 u 1 0 u 2 0

2. 预备知识和基本引理

L Φ ( Ω ) = { u : Ω , Ω Φ ( | u ( x ) | ) d x < } ,在Luxemburg范数

u Φ = inf { k > 0 | Ω Φ ( | u ( x ) | k ) d x 1 }

的意义下, L Φ ( Ω ) 是一个Banach空间,通常称为Orlicz空间。Orlicz-Sobolev空间 W 1 , Φ ( N ) C 0 ( N ) 在范数 u 1 = u Φ + u Φ 下的完备化。

为了研究问题(1),在假设 ( V 1 ) ( ϕ 1 ) ( ϕ 3 ) 成立的前提下,记 W V 1 , Φ ( N ) W 1 , Φ ( N ) 的子空间:

W V 1 , Φ ( N ) = { u W 1 , Φ ( N ) | N V ( x ) Φ ( | u ( x ) | ) < }

W V 1 , Φ ( N ) 上定义范数 u = u Φ + u Φ , V ,其中

u Φ , V = inf { k > 0 | N V ( x ) Φ ( | u ( x ) | k ) d x 1 }

易知 ( W V 1 , Φ ( N ) , ) 是可分的、自反的Banach空间(见 [7] )。

首先给出本文需要的几个基本引理。

引理2.1 [8] 假设 ϕ 满足 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) ,对 t 0 ,令

ξ 1 ( t ) = min { t l , t m } ξ 2 ( t ) = max { t l , t m }

则对于任意 ρ , t > 0 u L Φ ( N ) ,成立

ξ 1 ( t ) Φ ( ρ ) Φ ( ρ t ) ξ 2 ( t ) Φ ( ρ ) ξ 1 ( u Φ ) N Φ ( | u ( x ) | ) d x ξ 2 ( u Φ )

引理2.2 [9] 假设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) ( V 1 ) 条件成立,则对任意 u W V 1 , Φ ( N ) ,有

ξ 1 ( u Φ , V ) N V ( x ) Φ ( | u ( x ) | ) d x ξ 2 ( u Φ , V )

其中 ξ 1 ( t ) ξ 2 ( t ) 由引理2.1中给出。

引理2.3 [8] 假设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 条件成立,对任意 ρ , t > 0 u L Ψ ( N )

ξ 1 ( t ) Ψ ( ρ ) Ψ ( ρ t ) ξ 2 ( t ) Ψ ( ρ ) ξ 1 ( u Ψ ) N Ψ ( | u ( x ) | ) d x ξ 2 ( u Ψ )

其中 ξ 1 ( t ) ξ 2 ( t ) 由引理2.1中给出。

引理2.4 [9] 假设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 2 ) ( V 1 ) ( V 2 ) 条件成立, Ψ 满足

lim t 0 ¯ Ψ ( t ) Φ ( t ) < + lim | t | + ¯ Ψ ( t ) Φ * ( t ) = 0

那么 W V 1 , Φ ( N ) ↪↪ L Ψ ( N ) ,其中 Φ * ( t ) 满足:当 t 0 时, Φ 1 ( t ) = 0 t Φ 1 ( s ) s ( N +1 ) / N d s t < 0 时, Φ * ( t ) = Φ * ( t ) 。特别地, W V 1 , Φ ( N ) ↪↪ L Φ ( N )

问题(1)所对应的能量泛函为

I ( u ) = N ( Φ ( | u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x N F ( x , u ) d x u W V 1 , Φ ( N ) (3)

其中 F ( x , t ) = 0 t f ( x , s ) d s s 。易知 I ( u ) C 1 ,且对任意 φ W V 1 , Φ ( N ) ,成立

I ( u ) , φ = N ( ϕ ( | u | ) u φ + V ( x ) ϕ ( | u | ) u φ ) d x N f ( x , u ) φ d x

因此,寻找问题(1)的弱解等价于找泛函I的临界点。

如果问题(1)的弱解存在,那么它一定属于Nehari流形 M

M = { u W V 1 , Φ ( N ) \ { 0 } : I ( u ) , u = 0 }

为探索泛函I在Nehari流形上的行为,我们将借助纤维映射进行分析。对 u W V 1 , Φ ( N ) ,定义纤

维映射 h u ( t ) : t I ( t u ) ( t > 0 )

h u ( t ) = N ( Φ ( t | u | ) + V ( x ) Φ ( t | u | ) ) d x N F ( x , t u ) d x

( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 条件可得纤维映射 h u ( t ) C 2 ,且

h u ( t ) = N t ( ϕ ( t | u | ) | u | 2 + V ( x ) ϕ ( t | u | ) u 2 ) d x N f ( x , t u ) u d x

h u ( t ) = N ( t ϕ ( t | u | ) | u | 3 + ϕ ( t | u | ) | u | 2 ) d x + N ( t V ( x ) ϕ ( t | u | ) | u | 3 + V ( x ) ϕ ( t | u | ) u 2 ) d x N f ( x , t u ) u 2 d x

容易看出, M = { u W V 1 , Φ ( N ) \ { 0 } : h u ( 1 ) = 0 } ;若u是泛函I的局部极小(大)值,则 h u ( t ) t = 1 处取得局部极小(大)值;对 t > 0 t u M 当且仅当 h u ( t ) = 0

3. 定理1.1的证明

本节的主要工作是证明定理1.1。

引理3.1假设 ( f 1 ) ( f 2 ) 成立,若在 W V 1 , Φ ( N ) 中有 u n u ,则下列结论成立:

(1) N f ( x , u n ) u n d x N f ( x , u ) u d x ;(2) N F ( x , u n ) d x N F ( x , u ) d x

证首先证明(1)。假设 { u n } W V 1 , Φ ( N ) 中的序列,满足

u n u (在 W V 1 , Φ ( N ) 中)。

根据引理2.4,存在 { u n } 的一个子列(仍记为其本身),使得

u n u (在 L Ψ ( N ) 中)。

那么存在 { u n } 的一个子列(仍记为其本身),以及函数 h L Ψ ( N ) ,使得

u n u a.e. x N | u n | h a.e. x N

( f 1 ) ( a 1 ) 可得

| f ( x , u n ) u n | C | u n | + C ψ ( u n ) | u n | C h + C ψ ( h ) h C h + C m Ψ Ψ ( h ) L 1 ( N )

由Lebesgue控制收敛定理,有

lim n N f ( x , u n ) u n d x = N f ( x , u ) u d x

下面证明(2)。由 ( f 2 ) 可得

lim t 0 F ( x , t ) Ψ ( t ) = lim t 0 f ( x , t ) ψ ( t ) < λ

对任意 ε > 0 充分小,存在 δ > 0 ,成立

| F ( x , t ) | Ψ ( t ) < λ ε x N | t | < δ

因此

| F ( x , u n ) | < ( λ ε ) | Ψ ( u n ) | ( λ ε ) Ψ ( h ) L 1 ( N )

由Lebesgue控制收敛定理,有 lim n N F ( x , u n ) d x = N F ( x , u ) d x 。证毕。

注3.1给定 ε > 0 充分小,由 ( f 1 ) ( f 2 ) 可知,存在常数 C ε > 0 ,使得

| f ( x , t ) | ( λ ε ) | ψ ( t ) | + C ε ψ ( t ) t

从而

| F ( x , t ) | ( λ ε ) Ψ ( t ) + C ε Ψ ( t ) t (4)

( f 2 ) ( a 1 ) ,可得

lim sup t 0 f ( x , t ) t Ψ ( t ) < λ m Ψ (5)

再根据 ( f 1 ) 和(5)可得

| f ( x , t ) t | ( λ m Ψ ε ) Ψ ( t ) + C ε Ψ ( t ) t (6)

分别对(4)和(6)关于x在 N 上积分,对 ε > 0 充分小,存在 C ε > 0 ,使得对任意 u W V 1 , Φ ( N )

N f ( x , u ) u d x ( λ m Ψ ε ) N Ψ ( u ) d x + C ε N Ψ ( u ) d x

N F ( x , u ) d x ( λ ε ) N Ψ ( u ) d x + C ε N Ψ ( u ) d x

利用引理2.1和引理2.4,对 u W V 1 , Φ ( N ) ,有

N f ( x , u ) u d x ( λ m Ψ ε ) max { u l Ψ , u m Ψ } + C ε max { u l Ψ , u m Ψ } (7)

N F ( x , u ) d x ( λ ε ) max { u l Ψ , u m Ψ } + C ε max { u l Ψ , u m Ψ } (8)

下面将研究纤维映射在无穷远处和原点附近的行为。

引理3.2 设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) ( V 1 ) - ( V 2 ) ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立,对 u W V 1 , Φ ( N ) \ { 0 } ,则成立:

(1) lim t 0 h u ( t ) t m 1 > 0 lim t h u ( t ) t m 1 = ;(2) lim t 0 h u ( t ) t m > 0 lim t h u ( t ) t m =

证 先证(1)。因为

h u ( t ) = N t ( ϕ ( t | u | ) | u | 2 + V ( x ) ϕ ( t | u | ) u 2 ) d x N f ( x , t u ) u d x

由注1.1,引理2.1以及(7)可得

t h u ( t ) = N ( ϕ ( t | u | ) | t u | 2 + V ( x ) ϕ ( t | u | ) | t u | 2 ) d x N f ( x , t u ) t u d x l N ( Φ ( t | u | ) + V ( x ) Φ ( t | u | ) ) d x N f ( x , t u ) t u d x l t m N ( Φ ( | u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x ( λ m Ψ ε + C ε ) max { t u l Ψ , t u m Ψ }

对任意 u W V 1 , Φ ( N ) \ { 0 } ,当 0 < t < 1 时,有

h u ( t ) t m 1 l N ( Φ ( | u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x ( λ m Ψ ε + C ε ) max { t u l Ψ , t u m Ψ } t m

由于 m < l Ψ ,于是 h u ( t ) t m 1 l N ( Φ ( | u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x + ο ( 1 ) ,故 lim t 0 h u ( t ) t m 1 > 0

进一步,根据引理2.1,当 t > 1 时,有

t h u ( t ) = N ( ϕ ( t | u | ) | t u | 2 + V ( x ) ϕ ( | t u | ) | t u | 2 ) d x N f ( x , t u ) t u d x m t m N ( Φ ( | u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x N f ( x , t u ) t u d x

所以 h u ( t ) t m 1 m N ( Φ ( | u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x 1 t m N f ( x , t u ) t u d x 。利用 ( f 4 ) 可得

lim inf t N f ( x , t u ) t u t m d x = lim inf t N f ( x , t u ) | t u | m 2 t u | u | m d x = +

由Fatou引理,结合上式,有

lim t h u ( t ) t m 1 m N ( Φ ( | u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x lim inf t N f ( x , t u ) t u t m d x =

结论(2)可以根据L’Hospital法则得到。证毕。

引理3.3 设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) ( V 1 ) 成立,则

u W V 1 , Φ ( N ) N ( ϕ ( | u | ) | u | 2 + V ( x ) ϕ ( | u | ) u 2 ) d x

u W V 1 , Φ ( N ) N ( m Φ ( | u | ) ϕ ( | u | ) | u | 2 + V ( x ) ( m Φ ( | u | ) ϕ ( | u | ) u 2 ) ) d x

都是弱下半连续的。

证 此引理的证明是初等的,此处从略。

引理3.4假设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) ( V 2 ) ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立,那么对 u W V 1 , Φ ( N ) \ { 0 } ,存在唯一的

t max ( u ) > 0 ,使得 t max ( u ) u M ,并且对任意 u M ,有 I ( u ) > 0

证设 u W V 1 , Φ ( N ) \ { 0 } ,根据引理3.2知,当t足够小, h u ( t ) > 0 ;当t足够大, h u ( t ) < 0 ,则 h u ( t ) 至少存在 t max ( u ) ( 0 , ) ,使得 h u ( t max ( u ) ) = 0 ,从而 t max ( u ) u M

下面证明 t max ( u ) 是唯一的。事实上,由注1.1,对任意 x N t > 0 ,有

d d t ( ϕ ( t | u | ) ( t u ) u t m 1 ) = | u | 2 ( ϕ ( t | u | ) | ( t u ) | ( m 2 ) ϕ ( t | u | ) ) t m 1 0 (9)

同理可得

d d t ( V ( x ) ϕ ( t | u | ) t u 2 t m 1 ) = u 2 ( ϕ ( t | u | ) | t u | ( m 2 ) V ( x ) ϕ ( t | u | ) ) t m 1 0 (10)

h u ( t ) = I ( t u ) , u ,结合(3.6)、(3.7)和 ( f 3 ) ,对任意 t > 0 u W V 1 , Φ ( N ) \ { 0 }

d d t ( h u ( t ) t m 1 ) N d d t ( f ( x , t u ) | t u | m 2 t u ) | u | m d x < 0 (11)

因此, t h u ( t ) t m 1 ( 0 , ) 上是递减函数,从而 h u ( t ) 有唯一的极大值点 t max ( u ) > 0 ,并且

t max ( u ) u M ,由(11)式可知,对任意 u W V 1 , Φ ( N ) \ { 0 } t > 0 ,有 h u ( t ) < 0 。根据引理3.2(1)知 h ( t max ( u ) ) > 0 ,故 I ( t max ( u ) u ) > 0 。因为 u M 当且仅当 t max ( u ) = 1 ,故对任意 u M ,有 I ( u ) > 0 。证毕。

引理3.5设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) ( V 2 ) 成立,定义 J : W V 1 , Φ ( N )

J ( u ) = N ( ϕ ( | u | ) | u | 2 + V ( x ) ϕ ( | u | ) u 2 ) d x

J ( u ) C 1 的,且

J ( u ) , v = N ( 2 ϕ ( | u | ) + ϕ ( | u | ) | u | ) u v d x + N V ( x ) ( 2 ϕ ( | u | ) + ϕ ( | u | ) | u | ) u v d x u , v W V 1 , Φ ( N )

证 此证明是基本的,这里略去。

引理3.6设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) ( V 2 ) ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立,那么 M W V 1 , Φ ( N ) C 1 子流形,并且泛函I在 M 的临界点是I在 W V 1 , Φ ( N ) 上的临界点。

证 由 h u ( t ) 的定义知,对 u W V 1 , Φ ( N ) \ { 0 } h u ( t ) = I ( t u ) , u 。定义函数 G ( u ) : = I ( u ) , u ,根据引理3.5,对任意 u W V 1 , Φ ( N ) \ { 0 } ,知 G C 1 。由引理3.4的证明过程可得, h u ( t ) t = 1 处取得全局极大值,且当 t > 0 时,对任意 u W V 1 , Φ ( N ) \ { 0 } ,有 h u ( t ) < 0 ,因此

G ( u ) = I ( u ) ( u , u ) + I ( u ) , u = h u ( 1 ) < 0 u M

因为 M = G 1 ( 0 ) ,且0是 G ( u ) 的正则值,所以 M W V 1 , Φ ( N ) C 1 子流形。

不失一般性,假设 u 0 是I在 M 中的局部极小值点,那么 u 0 也是下列极小化问题的解

{ min I ( u ) h ( u ) = 0

因此,由Lagrange乘数定理,存在Lagrange乘子 μ 1 ,使得

I ( u 0 ) = μ 1 G ( u 0 )

于是

I ( u 0 ) , u 0 = μ 1 G ( u 0 ) , u 0 = 0

由于

G ( u 0 ) , u 0 = h u ( 1 ) < 0 u 0 M

所以 μ = 0 ,从而 I ( u 0 ) = 0 ,故 u 0 是I的极小值点。证毕。

引理3.7设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) ( V 2 ) ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立,那么存在常数 C > 0 ,使得对任意 u M ,有 u > C

证 反证。假设存在 { u n } M ,对任意整数 n 1 ,有 u n 1 n 。给定 ε > 0 ,由(3.4)知,存在 C ε > 0 ,使得

N ( Φ ( | u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x 1 l N ( ϕ ( | u n | ) u n 2 + V ( x ) ϕ ( | u n | ) u n 2 ) d x = 1 l N f ( x , u n ) u n d x 1 l ( λ m Ψ ε ) N Ψ ( | u n | ) d x + C ε l N Ψ ( | u n | ) d x 1 l ( λ m Ψ ε ) max { u n l Ψ , u n m Ψ } + C ε l max { u n l Ψ , u n m Ψ } = C 1 max { u n l Ψ , u n m Ψ } + C 2 max { u n l Ψ , u n m Ψ }

不妨假设 u n Φ u n Φ , V ,则有 u n Φ 1 2 u n n = 1 , 2 , ,因此

N ( Φ ( | u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x min { u n Φ l , u n Φ m } ( 1 2 ) m min { u n l , u n m } = ( 1 2 ) m u n m

所以

( 1 2 ) m u n m N ( Φ ( | u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x C u n l Ψ + C 2 u n l Ψ C 3 u n l Ψ

其中 C 1 C 2 C 3 是大于0的常数,进一步有 1 < C 3 u n l Ψ m 。由于 l Ψ > m 。两边取极限,当 n

时,上式与 u n 1 n 相矛盾,所以Nehari流形中元素的范数有正下界。证毕。

C M = inf u M I ( u ) ,首先证明I的任何极小化序列在 W V 1 , Φ ( N ) 上是有界的。

引理3.8假设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) ( V 1 ) - ( V 2 ) ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立,设 { u n } 是泛函I在Nehari流形 M 中的极小化序列,那么 { u n } W V 1 , Φ ( N ) 中有界。

证反证。如果 { u n } W V 1 , Φ ( N ) 中无界,则存在子序列(仍记为其本身),使得

lim n u n = ,且 u n > 1 n N

因为 { u n } M I ( u ) 的极小化序列,故 lim n I ( u n ) = inf u M I ( u ) ,且

I ( u n ) u n m = ο n ( 1 )

v n = u n u n n = 1 , 2 , ,则 { v n } W V 1 , Φ ( N ) ,且 v n = 1 n N 。因此存在 W V 1 , Φ ( N ) 中的元素v,使得 v n v (在 W V 1 , Φ ( N ) 中)。

我们断言 v 0 。事实上,假设 v 0 ,因为 { u n } M ,则

I ( u n ) = max t > 0 I ( t u n ) n N

设常数 z > 0 ,则

C M + ο n ( 1 ) I ( z v n ) = N ( Φ ( z | v n | ) + V ( x ) Φ ( z | v n | ) ) d x N F ( x , z v n ) d x

由于在 W V 1 , Φ ( N ) 中有 v n 0 ,根据引理3.1(2)知 N F ( x , z v n ) d x 0 。不妨假设 v n Φ v n Φ , V ,则有 v n Φ 1 2 v n n = 1 , 2 , 。由引理2.1和引理2.2,得到

C M + ο n ( 1 ) = I ( u n ) N ( Φ ( z | v n | ) + V ( x ) Φ ( z | v n | ) ) d x + ο n ( 1 ) min { z v n Φ l , z v n Φ m } + min { z v n Φ , V l , z v n Φ , V m } + ο n ( 1 ) min { z v n Φ l , z v n Φ m } + ο n ( 1 ) min { 1 2 z v n l , 1 2 z v n m } + ο n ( 1 )

对上述不等式两边取极限,则 C M min { ( 1 2 z ) l , ( 1 2 z ) m } z > 0 。得到矛盾,故 v 0

n ,由引理2.1,

N F ( x , u n ) u n m d x = 1 u n m N ( Φ ( | u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x + ο n ( 1 ) N ( Φ ( | v n | ) + V ( x ) Φ ( | v n | ) ) d x + ο n ( 1 ) max { v n Φ l , v n Φ m } + max { v n Φ , V l , v n Φ , V m } + ο n ( 1 ) = v n Φ l + v n Φ , V l + ο n ( 1 ) v n + ο n ( 1 ) = 1 + ο n ( 1 )

得到

lim sup n N F ( x , u n ) u n m d x 1

另一方面,根据Fatou引理和 ( f 4 ) ,注意到 v 0 ,则

lim inf n N F ( x , u n ) u n m d x N lim inf n F ( x , u n ) u n m d x = N lim inf n F ( x , u n ) | u n | m | v n | m d x = +

矛盾,因此 { u n } W V 1 , Φ ( N ) 中有界。证毕。

引理3.9设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) ( V 1 ) - ( V 2 ) ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立,则存在 u M ,使得 C M = I ( u ) > 0

证设 { u n } 是泛函I在 M 中的极小化序列,由引理3.8, { u n } W V 1 , Φ ( N ) 中有界,从而存在 u W V 1 , Φ ( N ) ,使得 u n u (在 W V 1 , Φ ( N ) 中)。

易见 u 0 。事实上,假设 u 0 ,对 { u n } M ,有

0 N ( Φ ( | u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x 1 l N ( ϕ ( | u n | ) | u n | 2 + V ( x ) ϕ ( | u n | ) u n 2 ) d x = 1 l N f ( x , u n ) u n d x (12)

根据引理3.1(1)可得 N f ( x , u n ) u n d x = ο n ( 1 ) ,结合12(3.9)式,则有 u n 0 ( n ),这与引理3.7

中的结论 u > C 相矛盾,故 u 0

由引理3.3(1)和引理3.1(2)知, u W V 1 , Φ ( N ) I ( u ) , u 是弱下半连续的,故

I ( u ) , u lim inf n I ( u n ) , u n = 0

从而 h u ( 1 ) = I ( u ) , u 0 ,根据引理3.4及其证明过程知,存在 t ( 0 , 1 ] 使得 h u ( t u ) = 0 ,故 t u M

我们断言当 t = 1 时, u M 。反证。假设 t ( 0 , 1 ) ,则

C M I ( t u ) = I ( t u ) 1 m I ( t u ) , t u = N ( Φ ( t | u | ) 1 m ϕ ( t | u | ) t 2 | u | 2 + V ( x ) Φ ( t | u | ) 1 m V ( x ) ϕ ( t | u | ) t 2 u 2 ) d x + N ( 1 m f ( x , t u ) t u F ( x , t u ) ) d x (13)

( f 1 ) 可得

d d t { 1 m f ( x , t ) t F ( x , t ) } = t m m d d t { f ( x , t ) t m 1 } > 0

故对任意 x N t 1 m f ( x , t ) t F ( x , t ) ( 0 , ) 上递增。利用 ( ϕ 3 ) ,通过简单计算可以得到

t Φ ( t | u | ) 1 m ϕ ( t | u | ) t 2 | u | 2 + V ( x ) Φ ( t | u | ) 1 m V ( x ) ϕ ( t | u | ) t 2 u 2

( 0 , ) 上递增。由(12)和(13)可得

C M < R N ( Φ ( | u | ) 1 m ϕ ( | u | ) | u | 2 ) d x + R N ( V ( x ) Φ ( | u | ) 1 m V ( x ) ϕ ( | u | ) u 2 ) d x + N ( 1 m f ( x , u ) u F ( x , u ) ) d x

根据引理3.3(2)和引理3.1,

C M < lim n R N ( Φ ( | u n | ) 1 m ϕ ( | u n | ) | u n | 2 ) d x + R N ( V ( x ) Φ ( | u n | ) 1 m V ( x ) ϕ ( | u n | ) u n 2 ) d x + N ( 1 m f ( x , u n ) u n F ( x , u n ) ) d x = lim n ( I ( u n ) 1 m I ( u n ) u n ) = C M

上式是一个矛盾的结论,故 t = 1 ,且 u M 。证毕。

定理1.1的证明 设 { u n } 是泛函在流形 M 中的极小化序列,由引理3.8知,存在流形 M 中的元素u,使得 u n u 。由引理2.4可得在 L Φ ( N ) 中有 u n u

下面的证明分为两步:第一步证明在 W V 1 , Φ ( N ) 中有 u n u ;第二步证明u是泛函I在 W V 1 , Φ ( N ) 中的临界点。

第一步:反证。存在 δ 1 > 0 ,使得

lim inf n N ( Φ ( | u n u | ) + V ( x ) Φ ( | u n u | ) ) d x δ 1 > 0 (14)

根据Brezis-Lieb引理(见文献 [10] )有

lim inf n N ( ( Φ ( | u n | ) Φ ( | u n u | ) ) + V ( x ) ( Φ ( | u n | ) Φ ( | u n u | ) ) ) d x = N ( Φ ( | u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x (15)

由(14)和(15)可得

N ( Φ ( | u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x lim n N ( Φ ( | u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x δ 1 < lim n N ( Φ ( | u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x

再根据Lebesgue控制收敛定理,有

C M = lim n I ( u n ) = lim n { N ( Φ ( | u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x N F ( x , u n ) d x } > I ( u )

上式是一个矛盾结论,故在 W V 1 , Φ ( N ) 中有 u n u

第二步:因为 I ( u ) C 1 ,故 I ( u n ) I ( u ) 。根据引理3.9知, u M ,且

C M = I ( u ) = min u M I ( u ) > 0

由引理3.6可得 M W V 1 , Φ ( N ) C 1 的子流形,故u是泛函I在流形 M 中的临界点,从而u是泛函I在 W V 1 , Φ ( N ) 中的临界点。

4. 定理1.2的证明

考虑截断函数 f ± : N ×

f + ( x , t ) = { f ( x , t ) , t 0 , 0 , t < 0 , f ( x , t ) = { f ( x , t ) , t 0 , 0 , t > 0 ,

显然 f ± 都是连续的,那么对应的能量泛函为 I ± : W V 1 , Φ ( N )

I ± ( u ) = N ( Φ ( | u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x N F ± ( x , u ) d x u W V 1 , Φ ( N )

其中 F ± ( x , t ) = 0 t f ± ( x , s ) d s x N t 。与 f + f 相对应的Nehari流形分别为

M + = { u W V 1 , Φ ( N ) \ { 0 } : I + ( u ) , u = 0 }

M = { u W V 1 , Φ ( N ) \ { 0 } : I ( u ) , u = 0 }

由引理3.7可知, M ± C 1 的子流形,并且 M ± 中的元素的范数有正下界,此外 c ± = inf w M ± I ± ( w ) 是泛函 I ± 的临界值,故泛函I有两个临界点 u 1 , u 2 W V 1 , Φ ( N ) \ { 0 } ,使得

I + ( u 1 ) = c + > 0 I ( u 2 ) = c > 0

给定 u W V 1 , Φ ( N ) \ { 0 } ,令 u + = max { u , 0 } u = min { u , 0 } ,因此 u = u + + u 。取 u 1 作为测试函数,则有

0 N ( Φ ( | u 1 | ) + V ( x ) Φ ( | u 1 | ) ) d x 1 l N ( ϕ ( | u 1 | ) | u 1 | 2 + V ( x ) ϕ ( | u 1 | ) u 1 2 ) d x = 1 l N f ( x , u 1 ) u 1 d x = 0 (16)

由(16)知 u 1 0 ,故 u 1 0 u 1 0 ,同理可得 u 2 0 u 2 0 。证毕。

参考文献

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