1. 绪论现状
1.1. 研究背景及现状
非线性偏微分方程的研究在很早之前就已经得到了广大学者的关注。特别是在数学、物理、化学等学术领域中,非线性偏微分问题得到了广泛的应用。近些年来,关于
-Laplacian问题解的存在性、唯一性和正则性结果已经得到了大量完整的结论 [1] [2] [3]。如今,
-Laplacian问题在处理一些全变分图像恢复问题、数学图像处理和计算视觉等方面有了进一步的深入研究 [4] [5] [6]。这些变量指数椭圆问题的解决,对数学学科以后的发展具有很大的影响。
本文将在学者的基础上,深入探究
-Laplacian问题在局部、非局部情况下解的存在性,可以说
-Laplacian为
-Laplacian问题的自然拓展,考虑了一种新的变化图像能够去噪的模型。
近些年来,变量指数椭圆问题吸引了广大学者的关注。2010年,Andreianov、Bendahmane等 [7] 研究了下列典型问题
(1.1)
得到了方程(1.1)弱解的存在性。进一步,为了在
中使得相关的解是保序且收缩的。2019年,Chipot、Oliverira [8] 考虑了如下方程
(1.2)
其中
是一个光滑有界区域,
是给定的函数并且
为变量指数函数,用小扰动的方法证明了弱解的存在性。方程(1.2)的提出源于Zhikov [9] 介绍的
-Laplacian方程的拓展。在过去的二十年里,人们对这一领域的兴趣主要来源于建模应用 [10] [11],例如热流体或电流变流体和图像复原 [12]。
2019年,Chipot、Oliverira [8] 研究了非局部情形下的方程
(1.3)
其中
为给定的函数,
,
为非线性指数的函数,这里
。在这种情况下,给出映射b的一些合适的例子,例如
或者对于
且
,
。通过Schauder不动点定理研究了其弱解的存在性问题。
1.2. 预备知识
这一部分介绍本文用到的数学符号和基础知识。
变指数函数p由弱解u决定,而u最终取决于变量x。p可以写成可变指数
:
。这可以促使我们在指数可变的Sobolev空间中寻找方程的解。在过去的20年。函数空间的数学理论发展得如此之快,以至于现在可以用这个理论来分析原方程。因此我们可利用具有可变指数的Lebesgue空间及Sobolev空间的性质来解决问题 [2] [10] [11]。符号“
”和“
”分别表示在相应空间中强收敛和弱收敛。
令
表示所有Lebesgue可测函数
的集合,并定义:
其中
。定义
为所有Lebesgue可测函数
的空间且满足,
其对应Luxembourg范数为
,
为巴拿赫空间。
若对任意的
满足
(1.4)
则
是可分的,且
在
中稠密。同时,
在
中也稠密。
若对任意的
满足
(1.5)
则
是自反的。在方程(1.5)成立的情况下,定义
为
的对偶空间,其中
为
的Holder共轭,且两者满足
。
从
的定义及方程(1.5)中,我们可以得到
同时,从
空间及其范数的定义可知,若方程(1.5)成立,则满足
同时,利用这两个方程,我们可以得到
(1.6)
Young不等式:对任意的
,
及正常数
,任意的都有
Holder不等式:对任意的,,都有
(1.7)
同时,若方程(1.7)成立,则对h满足方程(1.4)且对有界区域,都有连续嵌入到中,其中对几乎处处的都成立。
假设对任意的都有弱导数,定义空间
其对应范数。
若方程(1.4)成立,则可分;若方程(1.5)成立,则自反,同时当对几乎处处的,都有连续嵌入到成立。定义空间,其对应范数为,若,则的范数等价于。
不同于经典Sobolev空间,在空间中,光滑函数不一定是稠密的。故定义为范数定义下的闭包,且满足。
若为有界区域,为Lipschitz连续,且h满足局部Holder连续,则在中稠密。
局部Holder连续:若满足
(1.8)
则h为局部Holder连续。也就是
其中且定义为对为连续递增的函数,使得。若方程(1.8)成立,则。特别的,若对有,则h为局部Holder连续。
局部Holder连续的性质对变量指数Sobolev空间中建立Sobolev不等式是非常重要。定义的点态Sobolev共轭为:
若在中h为可测函数满足且方程(1.8),则有,对任意的,其中正常数C取决于,d及方程(1.8)。另一方面,若h满足方程(1.8)且,则有,对任意的都成立,其中正常数C取决于,d及方程(1.8)。
引理1.3.1 [13] 假设对几乎处处的,常数和,以及任意的,满足以下条件:
i);
ii) 当时,在中有;
iii) 当时,在中弱收敛于;
iv) 对常数C有;
则有
(1.9)
(1.10)
证明:由Young不等式得:对,及,有
得到
(1.11)
令b为中的函数,,代入方程(1.11),由假设i)得到
(1.12)
由假设ii) iii),使得方程(1.12)中取极限时
得
(1.13)
令,这里,即,
代入上式
所以
当时,
当时,
所以,得到
故
令,则
由iv),得,即
继而得到
2. 局部问题解的存在性
2.1. 引言
本章研究在为局部情况时,如下变量指数椭圆方程:
(2.1)
其中是一个光滑有界区域,是给定的函数并且为变量指数函数。利用奇异摄动技术和Schauder不动点定理证明了局部问题(2.1)的弱解的存在性。
2.2. 准备知识
首先定义方程(2.1)弱解的集合如下:
若,对所有的,则这个集合为Banach空间。
范数定义为:
同时,若,则范数等同于。另外,若对于常数,满足,p连续,则由方程(1.8)可知,是的闭子集,且是可分的和自反的。
另外,对,定义为的对偶空间。
2.3. 主要结论
这一部分,简述本章的主要结论。
定义2.3.1假设方程(2.1)中的连续,且满足对任意,和为常数,有
且f满足。若u满足
则为方程(2.1)的弱解。
其中为与的内积。
定理2.3.2 令为有界区域,且边界满足Lipschitz连续。同时,假设为Lipschitz连续函数,对任意,有
(2.2)
且f满足,则方程(2.1)至少有一个弱解。
2.4. 局部问题解的存在性
首先,考虑以下方程:对任意,有
(2.3)
这里为方程(2.2)的常数。接下来,我们给出方程(2.3)弱解的定义。
定义2.4.1 假设为Lipschitz连续函数,且满足方程(2.2),若u满足对任意的,有
则u为方程(2.3)的弱解。
其中为和的内积。
引理2.4.1 假设为Lipschitz连续函数,且满足方程(2.2),f满足,则方程(2.3)存在一个弱解。
证明:给定。由方程(2.2)及f的假设条件,可得对几乎处处的,有
(2.4)
且
因此固定,由算子的单调性,可知方程对任意的
(2.5)
存在唯一弱解。将代入上式,利用Holder不等式,得
其中正常数。因此,若对,为方程(2.2)中的上常数,则得到
(2.6)
其中正常数,与w无关。
并且,由,可知紧嵌入中,即得,其中正常数与w无关。因此,考虑映射,其中及,下面证明映射B是连续的:
事实上,假设为中的序列,使得
在中,当,有
(2.7)
当时,在中几乎处处有
(2.8)
对,令为方程组(2.5)的解,且令,也就是满足对任意,
(2.9)
结合方程(2.6),可得到,其中C不依赖于n。
因此,由的自反性,这里我们将序列记作,可知存在使得
在中,当时,有
(2.10)
在中,当时,有
(2.11)
考虑到方程组(2.9)的第二行,可得对任意的
(2.12)
由单调性,可得对任意的
(2.13)
将代入方程(2.12),并且利用方程(2.13),可知对,有
(2.14)
根据的假设及勒贝格定理可知对任意的
在中,当时,有
(2.15)
在中,当时,有。
利用方程(2.10)和方程(2.15),在方程(2.14)中取极限,即,则对任意的,有
(2.16)
令,其中,。由方程(2.16),可得
即
上式中,令,则容易得到任意的,有
即由唯一性可知。故由方程(2.11)可知,在,当时,。
由极限的唯一性可得,在,当时,。
所以是连续的。
因此,有Schauder不动点定理,映射B有唯一的不动点,故引理2.4.1成立。
定理2.3.2的证明。由引理2.4.1,可得对任意的,存在,有任意的满足
(2.17)
且对任意的几乎处处的,有
令代入方程(2.17),得
(2.18)
根据方程(1.6),得
因此由Holder不等式(1.7)得
(2.19)
这里。因此有
(2.20)
由杨不等式,可知
结合方程(2.18)和方程(2.20),得到
由,得
方程两边同时除以,得
因此,由的有界性,得
(2.21)
这里常数C不依赖于。方程(2.19)有
从而得到
(2.22)
这里常数C不依赖于。由于紧嵌入,表明对于序列,这里存在,使得
在中,当时,
(2.23)
在中,当时,
(2.24)
在中,当时,。
在中,当时,几乎处处有
(2.25)
根据方程(2.2)和的假设,得,为Holder连续。利用方程(2.25),得到当时
(2.26)
(2.27)
和
(2.28)
在方程(2.21)中,令,结合方程(2.21),(2.24),(2.26),(2.27)和(2.28),由引理1.3.1可得和
因此可得
(2.29)
在方程(2.17)中,令和,得到对于任意的,有
(2.30)
且有单调性,可得对任意的,有
(2.31)
将方程(2.30)代入方程(2.31),得到对任意的
(2.32)
结合方程(2.15)和方程(2.25),可得对于任意一个v,在中,当时,有
(2.33)
结合方程(2.22),(2.23)和方程(2.33),在方程(2.32)中取极限,得到对任意的,有
(2.34)
根据方程(2.2)和的假设,和为Holder连续函数,因为稠密性,得在中稠密,进一步得到对
(2.35)
此外在方程(2.35)中令,这里,,得
因此
结合方程(2.29)可知,定理2.3.2成立。