投射余可解的Gorenstein平坦模和Gorenstein AC投射模

Projectively Coresolved Gorenstein Flat Modules and Gorenstein AC Projective Modules

摘要: 本文我们给出了Gorenstein AC投射模的类与投射余可解的Gorenstein平坦模的类等价的条件，证明了在凝聚环R上，Gorenstein AC投射模的类，投射余可解的Gorenstein平坦模的类与Ding投射模的类等价。同时也给出了Gorenstein AC投射模的类与Gorenstein投射模的类等价的充分必要条件，证明了在任意环R上，Gorenstein AC投射模的类与Gorenstein投射模的类等价当且仅当Level模的类包含在Gorenstein投射模的类的右正交中。最后我们给出了Gorenstein AC投射模的类与Gorenstein投射模的类在凝聚环上等价的一些充分必要条件。

Abstract: In this paper, we give a condition in order for the class of Gorenstein AC projective modules to co-incide with the class of projectively coresolved Gorenstein flat modules, we prove that the class of Gorenstein AC projective modules equal to the class of projectively coresolved Gorenstein flat modules equal to the class of Ding projective modules over coherent rings. We also give a necessary and sufficient condition in order for the class of Gorenstein AC projective modules to coincide with the class of Gorenstein projective modules, we prove that the class of Gorenstein AC projective modules to coincide with the class of Gorenstein projective modules if and only if the class of level modules belongs to the right orthogonal class with respect to Gorenstein projective modules. And we give some necessary and sufficient conditions in order for the class of Gorenstein AC projective modules to coincide with the class of Gorenstein projective modules over coherent rings.

1. 引言

近年来，相对同调代数，特别是其中的Gorenstein同调理论受到代数学界专家们的广泛关注。1995年，Jenda和Enochs在 [1] 中，作为G-维数为0的模的推广，引入了Gorenstein投射模和Gorenstein内射模的概念；为了与平坦模对应，1993年，Enochs，Jenda和Torrecillas在 [2] 中定义了Gorenstein平坦模。Ding，Li和Mao在 [3] 中考虑了Gorenstein投射模的一种特殊情况，即强Gorenstein投射模。因为Ding，Li和Mao在这方面的杰出工作，Gillespie在 [4] [5] 中称强Gorenstein投射模为Ding投射模。

最近，Saroch和Stovicek在 [6] 中引入了一个新的模，即投射余可解的Gorenstein平坦模。Iacob在 [7] 中对这些模的类进行了细致的研究，证明了投射余可解的Gorenstein平坦模的类与Ding投射模的类等价当且仅当每一个Ding投射模是Gorenstein平坦模，最后证明了在凝聚环的条件下投射余可解的Gorenstein平坦模的类与Ding投射模的类等价。同时也给出了投射余可解的Gorenstein平坦模的类与Gorenstein投射模的类等价的一些充分必要条件。为了进一步刻画Gorenstein同调代数在一般环上的性质，Bravo，Gillespie和Hovey在 [8] 中引入了Level模的概念，这是对平坦模的自然推广，继而引入了Gorenstein AC投射模。在Noetherian环上，Gorenstein AC投射模就是Gorenstein投射模。在凝聚环上，Gorenstein AC投射模就是Ding投射模。

受上述研究的启发，本文研究了Gorenstein AC投射模的类与投射余可解的Gorenstein平坦模的类等价以及Gorenstein AC投射模的类与Gorenstein投射模的类等价的一些充分必要条件。

2. 预备知识

除非特别说明，本文中所有的环R是结合环，所有的R-模都是左R-模。投射模的类，内射模的类，平坦模的类以及Level模的类分别用 $\mathcal{P}$ 、 $\mathcal{I}$ 、 $\mathcal{F}$ 、 $\mathcal{L}$ 表示。 $M\left(R\right)$ 表示R-模范畴。对于任意R-模的类 $\mathcal{X}$，我们记：

${\mathcal{X}}^{\perp }=\left\{Y\in M\left(R\right)|{\text{Ext}}_R^1\left(X,Y\right)=0,任意的X\in \mathcal{X}\right\}$，

${}^{\perp }\mathcal{X}=\left\{Y\in M\left(R\right)|{\text{Ext}}_R^1\left(Y,X\right)=0,任意的X\in \mathcal{X}\right\}$。

定义2.1 1) 称R-模F是超有限表示模，如果R-模F有一个投射分解

$\cdots \to P_2\to P_1\to P_0\to F\to 0$

其中 $P_i$ 是有限生成的。

2) 称R-模L是Level模，如果对任意的超有限表示模F，有 ${\text{Tor}}_1^R\left(F,L\right)=0$。

3) 称R-模A是绝对clean模，如果对任意的超有限表示模F，有 ${\text{Ext}}_R^1\left(F,A\right)=0$。

定义2.2 考虑投射R-模的正合列

$\mathbb{P}:\cdots \to P_1\to P_0\to P^0\to P^1\to \cdots$

其中 $M\cong \text{Ker}\left(P^0\to P^1\right)$。

1) 若对任意的投射R-模Q，有 ${\text{Hom}}_R\left(\mathbb{P},Q\right)$ 正合，则称R-模M是Gorenstein投射模。用 $\mathcal{G}\mathcal{P}$ 表示Gorenstein投射模的类。

2) 若对任意的平坦R-模F，有 ${\text{Hom}}_R\left(\mathbb{P},F\right)$ 正合，则称R-模M是Ding投射模。用 $\mathcal{D}\mathcal{P}$ 表示Ding投射模的类。

3) 若对任意的Level R-模L，有 ${\text{Hom}}_R\left(\mathbb{P},L\right)$ 正合，则称R-模M是Gorenstein AC投射模。用 $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}$ 表示Gorenstein AC投射模的类。

4) 若对任意的内射右R-模I，有 $I{\otimes }_R\mathbb{P}$ 正合，则称R-模M是投射余可解的Gorenstein平坦模。用 $\mathcal{P}\mathcal{G}\mathcal{F}$ 表示投射余可解的Gorenstein平坦模的类。

定义2.3 称 R-模M是Gorenstein平坦模，如果存在平坦R-模的正合列

$\mathbb{F}:\cdots \to F_1\to F_0\to F^0\to F^1\to \cdots$

其中 $M\cong \text{Ker}\left(F^0\to F^1\right)$，使得对任意的内射右R-模I，有 $I{\otimes }_R\mathbb{F}$ 正合。用 $\mathcal{G}\mathcal{F}$ 表示Gorenstein平坦模的类。

定义2.4 称R-模M是强Gorenstein投射模，如果存在投射R-模的正合列

$\mathbb{P}:\cdots \to P\to P\to P\to P\to \cdots$

其中 $M\cong \text{Ker}\left(P\to P\right)$，使得对任意的投射R-模Q，有 ${\text{Hom}}_R\left(\mathbb{P},Q\right)$ 正合。

注记 由定义可知， $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}\subseteq \mathcal{D}\mathcal{P}\subseteq \mathcal{G}\mathcal{P}$， $\mathcal{P}\mathcal{G}\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}\mathcal{F}$。

3. 主要结果

命题3.1 设R是任意环。则下列条件等价：

1) $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}\subseteq \mathcal{G}\mathcal{F}$。

2) 对任意的R-模 $M\in \mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}$，有 $M^{+}\in \mathcal{G}{\mathcal{I}}_{}$。

3) ${\mathcal{I}}^{+}\subseteq \mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}^{\perp }$。

证明 1) ⟹ 2) 设 $M\in \mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}$。因为 $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}\subseteq \mathcal{G}\mathcal{F}$，所以M是Gorenstein平坦的，从而由( [9]，定理3.6)知， $M^{+}\in \mathcal{G}{\mathcal{I}}_{}$。

2) ⟹ 1) 设 $M\in \mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}$。则存在投射R-模的正合列

$\mathbb{P}:\cdots \to P_1\to P_0\to P_{-1}\to P_{-2}\to \cdots$

其中 $M\cong \text{Ker}\left(P_{-1}\to P_{-2}\right)$， $Z_j\mathbb{P}=\text{Ker}\left(P_j\to P_{j-1}\right)\in \mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}$ 且对任意的Level R-模L，有 ${\text{Hom}}_R\left(\mathbb{P},L\right)$ 正合。所以有内射R-模的正合列

${\mathbb{P}}^{+}:\cdots \to P_{-1}^{+}\to P_0^{+}\to P_1^{+}\to P_2^{+}\to \cdots$

又由假设知 $Z_j{\mathbb{P}}^{+}\in \mathcal{G}\mathcal{I}$，所以对任意的内射右R-模I，有 ${\text{Hom}}_R\left(I,{\mathbb{P}}^{+}\right)$ 正合。由伴随同构知 ${\text{Hom}}_R\left(I,{\mathbb{P}}^{+}\right)\cong {\left(I{\otimes }_R\mathbb{P}\right)}^{+}$，所以 ${\left(I{\otimes }_R\mathbb{P}\right)}^{+}={\text{Hom}}_R\left(I{\otimes }_R\mathbb{P},Q/Z\right)$ 正合。又因为 $Q/Z$ 是忠实内射的，所以 $I{\otimes }_R\mathbb{P}$ 正合，因此 $M\in \mathcal{G}\mathcal{F}$。

2) ⟹ 3) 设 $M\in \mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}$。则 $M^{+}\in \mathcal{G}\mathcal{I}$。从而对任意的内射右R-模I，有

${\text{Ext}}_R^1\left(M,I^{+}\right)\cong {\text{Ext}}_R^1\left(I,M^{+}\right)=0$，

所以 ${\mathcal{I}}^{+}\subseteq \mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}^{\perp }$。

3) ⟹ 2) 设 $M\in \mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}$。则存在投射R-模的正合列

$\mathbb{P}:\cdots \to P_1\to P_0\to P_{-1}\to P_{-2}\to \cdots$

其中 $M\cong \text{Ker}\left(P_{-1}\to P_{-2}\right)$ 且有 $Z_j\mathbb{P}=\text{Ker}\left(P_j\to P_{j-1}\right)\in \mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}$。因为 ${\mathcal{I}}^{+}\subseteq \mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}^{\perp }$，所以对任意的内射右R-模I，有 ${\text{Ext}}_R^1\left(Z_j\mathbb{P},I^{+}\right)=0$。因此对任意的内射右R-模I，有 ${\text{Ext}}_R^1\left(I,Z_j{\mathbb{P}}^{+}\right)=0$。故对任意的内射右R-模I， ${\text{Hom}}_R\left(I,{\mathbb{P}}^{+}\right)$ 正合且 ${\mathbb{P}}^{+}$ 是内射模的正合列。从而证得 $M^{+}\in \mathcal{G}\mathcal{I}$。

下面我们讨论 $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}=\mathcal{G}\mathcal{P}$ 的条件。

引理3.2 在任意环R上， $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}\subseteq \mathcal{P}\mathcal{G}\mathcal{F}$。

证明 设 $M\in \mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}$。则存在投射R-模的正合列

$\mathbb{P}:\cdots \to P_1\to P_0\to P^0\to P^1\to \cdots$

其中 $M\cong \text{Ker}\left(P^0\to P^1\right)$ 且对任意的Level R-模L，有 ${\text{Hom}}_R\left(\mathbb{P},L\right)$ 正合。由( [10]，命题2.7)知，对任意的绝对clean右R-模A，有 $A{\otimes }_R\mathbb{P}$ 正合。又因为内射R-模一定是绝对clean R-模，所以对任意的内射右R-模I，有 $I{\otimes }_R\mathbb{P}$ 正合。因此 $M\in \mathcal{P}\mathcal{G}\mathcal{F}$。

定理3.3 若R是凝聚环，则 $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}=\mathcal{D}\mathcal{P}=\mathcal{P}\mathcal{G}\mathcal{F}$。

证明 由定义知， $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}\subseteq \mathcal{D}\mathcal{P}$。设 $M\in \mathcal{D}\mathcal{P}$。则存在投射R-模的正合列

$\mathbb{P}:\cdots \to P_1\to P_0\to P^0\to P^1\to \cdots$

其中 $M\cong \text{Ker}\left(P^0\to P^1\right)$ 且对任意的平坦R-模F，有 ${\text{Hom}}_R\left(\mathbb{P},F\right)$ 正合。又因为R是凝聚环。由( [8]，推论2.11)知，Level R-模是平坦R-模，所以对任意的Level R-模L，有 ${\text{Hom}}_R\left(\mathbb{P},L\right)$ 正合。因此 $M\in \mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}$。故 $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}=\mathcal{D}\mathcal{P}$。又由引理3.2和( [7]，推论1)知， $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}\subseteq \mathcal{P}\mathcal{G}\mathcal{F}$， $\mathcal{P}\mathcal{G}\mathcal{F}\subseteq \mathcal{D}\mathcal{P}$。因此 $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}=\mathcal{D}\mathcal{P}=\mathcal{P}\mathcal{G}\mathcal{F}$。

命题3.4 $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}=\mathcal{G}\mathcal{P}$ 当且仅当 $\mathcal{L}\in \mathcal{G}{\mathcal{P}}^{\perp }$。

证明 必要性：由定义知， $\mathcal{L}\subseteq \mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}^{\perp }$，而 $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}=\mathcal{G}\mathcal{P}$，所以 $\mathcal{L}\in \mathcal{G}{\mathcal{P}}^{\perp }$。

充分性：由定义知， $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}\subseteq \mathcal{G}\mathcal{P}$。设 $M\in \mathcal{G}\mathcal{P}$。则存在投射R-模的正合列

$\mathbb{P}:\cdots \to P_1\to P_0\to P_{-1}\to P_{-2}\to \cdots$

其中 $\text{M}\cong \text{Ker}\left(P_{-1}\to P_{-2}\right)$ 且有 $Z_j\mathbb{P}=\text{Ker}\left(P_j\to P_{j-1}\right)\in \mathcal{G}\mathcal{P}$。因为 $\mathcal{L}\in \mathcal{G}{\mathcal{P}}^{\perp }$，所以对任意的Level R-模L，有 ${\text{Ext}}_R^1\left(Z_j\mathbb{P},L\right)=0$。因此对任意的Level R-模L， ${\text{Hom}}_R\left(\mathbb{P},L\right)$ 正合。故 $M\in \mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}$。

推论3.5 设R是凝聚环。则 $\mathcal{P}\mathcal{G}\mathcal{F}=\mathcal{G}\mathcal{P}$ 当且仅当 $\mathcal{L}\in \mathcal{G}{\mathcal{P}}^{\perp }$。

证明 必要性：由定理3.3知， $\mathcal{P}\mathcal{G}\mathcal{F}=\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}$。因为 $\mathcal{L}\subseteq \mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}^{\perp }$，所以 $\mathcal{L}\subseteq \mathcal{P}\mathcal{G}{\mathcal{F}}^{\perp }$。又因为 $\mathcal{P}\mathcal{G}\mathcal{F}=\mathcal{G}\mathcal{P}$，所以 $\mathcal{L}\in \mathcal{G}{\mathcal{P}}^{\perp }$。

充分性：因为R是凝聚环，所以由定理3.3知， $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}=\mathcal{D}\mathcal{P}=\mathcal{P}\mathcal{G}\mathcal{F}$。又因为 $\mathcal{L}\in \mathcal{G}{\mathcal{P}}^{\perp }$，所以由命题3.4，得 $\mathcal{P}\mathcal{G}\mathcal{F}=\mathcal{G}\mathcal{P}$。

定理3.6 设R是凝聚环。则下列条件等价：

1) $\mathcal{G}\mathcal{P}\subseteq \mathcal{G}\mathcal{F}$。

2) $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}=\mathcal{G}\mathcal{P}$。

3) 对任意的R-模 $M\in \mathcal{G}\mathcal{P}$，有 $M^{+}\in \mathcal{G}\mathcal{I}$。

4) ${\mathcal{I}}^{+}\subseteq \mathcal{G}{\mathcal{P}}^{\perp }$。

证明 2) ⟹ 1) 因为 $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}\subseteq \mathcal{P}\mathcal{G}\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}\mathcal{F}$，而 $\mathcal{G}{\mathcal{P}}_{\text{ac}}=\mathcal{G}\mathcal{P}$，所以 $\mathcal{G}\mathcal{P}\subseteq \mathcal{G}\mathcal{F}$。

1) ⟹ 2) 由定义知，。下证。设M是强Gorenstein投射模。则存在投射R-模的正合列

其中。由假设知，，所以对任意的内射右R-模I，有。又因为有短正合列，所以对任意的内射右R-模A，有正合列

所以正合。因此。设。因为是强Gorenstien投射模的直和项且投射余可解的Gorenstien平坦模的类关于直和项封闭，所以。又因为R是凝聚环，由定理3.3知，，所以。

1) ⇔ 3) 由( [11]，定理2.2)可得。

3) ⟹ 4) 设。因为，所以对任意的内射右R-模I，有。又因为，所以。

4) ⟹ 3) 设。则存在投射R-模的正合列

其中。从而有正合列

且。因为，所以对任意的内射右R-模I，有。因此正合。故。

下面我们讨论模的Gorenstein AC投射预覆盖的存在性。

引理3.7 设R是凝聚环。若，则存在特殊的Gorenstein AC投射预覆盖，其中。

证明 因为由( [12]，定理2.13)知，是完全的余挠对，所以存在短正合列

其中，。又因为且，所以。因此。由( [6]，定理4.11)知，。又因为R是凝聚环，所以对上述短正合列，由定理3.3知，且。从而得是M的一个特殊的Gorenstein AC投射预覆盖。

设 是环。我们记

且称之为R-模M的Gorenstein平坦维数。

命题3.8 设R是凝聚环。则每一个Gorenstein平坦维数有限的模都有一个特殊的Gorenstein AC投射预覆盖。

证明 设M的Gorenstein平坦维数有限。则由( [9]，引理3.17)知，存在短正合列

其中且D的平坦维数有限。对T，由引理3.7知，T有一个特殊的Gorenstein AC投射预覆盖，即存在正合列

其中且。从而有拉回图

所以正合，其中。又因为D的平坦维数有限且，所以X的平坦维数有限。因此。故是M的一个特殊的Gorenstein AC投射预覆盖。

基金项目

国家自然科学基金项目(11761060)。

参考文献