理论数学  >> Vol. 11 No. 4 (April 2021)

超临界分枝过程的大偏差速率
Large Deviation Rates for Supercritical Branching Process

DOI: 10.12677/PM.2021.114076, PDF, HTML, XML, 下载: 10  浏览: 41 

作者: 王小娟, 王 娟:上海理工大学理学院,上海

关键词: Q-矩阵超临界分枝过程大偏差Q-Matrix Supercritical Branching Process Large Deviation

摘要: 假设{Y(t);t ≥0}是带移民的连续时间分枝过程,其中分枝概率是{bk;k≥0},移民概率是{aj;j≥0}。令b0=0,0 < bk≠1(k≥1),1 < m=Σk=0kbk < ∞,0 < a=Σj=0jbj < ∞和 。首先,我们证明 是一个上鞅并且收敛到随机变量K。然后,我们在α > 0和ε > 0时,当{bk;k≥0}和{ak;k≥0}满足多种矩条件,研究P(|K(t)-K| > ε)在t趋于无穷时的衰减速率。
Abstract: Suppose {Y(t);t ≥0} is the continuous time supercritical branching process with offspring rates {bk;k≥0} and immigration rates {aj;j≥0}. Let b0=0, 0 < bk≠1(k≥1),1 < m=Σk=0 kbk < ∞, 0 < a=Σj=0 jbj < ∞ and . Firstly, we suppose that is a sub-martingale and converges to a random variable K. Then we study the decay rates of P(|K(t)-K| > ε) as  t→∞ for α > 0, ε > 0 under various moment conditions on {ak;k≥0} and {bk;k≥0}.

文章引用: 王小娟, 王娟. 超临界分枝过程的大偏差速率[J]. 理论数学, 2021, 11(4): 626-639. https://doi.org/10.12677/PM.2021.114076

1. 引言

假设 { Z ( t ) ; t 0 } 的取值为非负整数,用 Z ( t ) 表示t时刻超临界分枝过程的粒子数,则从一个祖先出发的过程可以用以下递归关系表示:

Z ( t ) = i = 1 Z ( t s ) Z t s i ( s ) + Y t s ( s ) , t > 0 , s 0 , Z ( 0 ) = 1 , (1.1)

其中 Z t s i ( s ) 表示t-s时刻第i个个体在t时刻产生的粒子数, { Z t s i ( s ) ; t s > 0 , i 1 } 是独立同分布的随机变量,并且具有相同的母函数 F ( s , t ) = k = 0 p k ( t ) s k s [ 0 , 1 ] { Y t s ( s ) ; s 0 } 也是i.i.d。并且具有相同的母函数 H ( s , t ) = k = 0 h k ( t ) s k s [ 0 , 1 ] 。此外 { Y ( s ) ; s 0 } { Z i ( s ) ; s > 0 , i 1 } 独立。由于我们考虑的是上临界的情况,即是 m : = k = 1 k p k ,其中 p k = lim t p k ( t ) 。根据Harris变换 [1],我们可以把 p 0 > 0 转化为 p 0 = 0 的情况。所以不失一般性,在之后的文章中我们假设 p 0 = 0

特别地,如果 Y ( s ) 0 ,即没有移民加入的情形,那么 { Z ( t ) ; t 0 } 退化为上临界分枝过程,记为 { X ( t ) ; t 0 } ,根据 [2] 可知,存在非负的规范化序列 C ( t ) 使得

W ( t ) : = X ( t ) C ( t ) a .s . W , t (1.2)

其中 { W ( t ) ; t 0 } 是一个鞅。

如果考虑加入移民,即存在一些时刻s,使得 Y ( s ) 0 。根据Seneta [3] 可知,对于(1.2.1)定义的带移民的超临界分枝过程 { Z ( t ) ; t 0 } ,仍存在非负的规范化序列 C ( t ) 使得

V ( t ) : = Z ( t ) C ( t ) V a . s . , t (1.3)

而且,文献 [3] 中还提出超临界分枝过程和带移民的超临界分枝过程的 C ( t ) 是相同的,并且满足对 ε ( 0 , λ 1 ) 都存在着与 ε 相关的整数 N ( ε ) > 0 ,满足

C ( 0 ) = 1 , C ( t ) , C ( t + s ) C ( t ) m ( s ) , t , c 1 ( e λ 1 + ε ) C ( t ) c 2 e λ t , t N ( ε ) . (1.4)

其中 c 1 c 2 为非负常数。本文中我们取 C ( t ) = e λ t

注1.1根据 [3] 只要移民满足 E log Y < 总能找到规范化函数 C ( t ) ,使其满足式(1.3),而不用对移民分布做任何限制。所以我们默认本文中所取得 C ( t ) 都满足式(1.3)。

为了研究方面,我们引入 Z ( t ) 的Q-矩阵 Q = ( q i j ; i , j Z + )

q i j : = { i b j i + 1 + a j i if i 0 , j i , i b 0 if i 0 , j = i 1 , 0 otherwise .

其中:

b j 0 ( j 1 ) 0 < b 1 = j 1 b j <

a j 0 ( j 0 ) 0 < a 0 = j 0 a j <

如果用 G ( s , t ) 来表示带移民的超临界分枝过程 { Z ( t ) ; t 0 } 的母函数,则

G ( s , t ) = G 1 ( s , t ) = F ( s , t ) H ( s , t ) , t > 0 , s [ 0 , 1 ] , (1.5)

而且 G ( s , 0 ) = F ( s , 0 ) = s

为了叙述的方便,下面我们回忆 G ( s , t ) 已知的衰减速率和收敛性质:

命题1.1 (Liu [4] 和Ney [5] )假设 m > 1 ,定义

R ( s , t ) : = H ( s , t ) e a 0 t Q ( s , t ) : = F ( s , t ) e b 1 t

t 时,

ϱ ( s , t ) : = G ( s , t ) e ( a 0 + b 1 ) t = R ( s , t ) Q ( s , t ) R ( s ) Q ( s ) = : ϱ ( s ) , (1.6)

上述的收敛对任意的 s K 是一致的,K为 [ 0 , 1 ) 上的任一闭子区间。并且 R ( s ) Q ( s ) 分别满足下列泛函方程:

G ( s ) R ( F ( s ) ) = e a 0 R ( s ) 0 s < 1 R ( 0 ) = 1 R ( 1 ) =

Q ( F ( s ) ) = e b 1 Q ( s ) 0 s < 1 Q ( 0 ) = 0 Q ( 1 ) =

另外, R ( s ) Q ( s ) 可以分别表示为级数 R ( s ) = k = 0 q k s k Q ( s ) = k = 0 v k s k

由于直接求 Z ( t + s ) / Z ( t ) 的大偏差有些困难,所以在本章的证明中,我们做如下变换:

K ( t ) = e λ t [ Z ( t ) e λ ( t + 1 ) 1 e λ 1 e a + λ ] , (1.7)

其中 0 < a = λ e λ 1 <

本节我们主要研究 { Z ( t ) ; t 0 } 其中引入的移民不全为0。我们关心粒子数 Z ( t ) 的大偏差,即在 { b k ; k 0 } { a k ; k 0 } 满足多种矩条件下,对于 α > 0 ,和 ε > 0 时研究下列式子的大偏差,

P ( | K ( t ) K | > ε ) , t .

下面是本文的主要定理。

定理1.1 假设对于 θ 0 > 1 B ( θ 0 ) < A ( θ 0 ) < 。则对于一些 ε > 0 我们有

lim t e ( b 1 + a 0 ) t P ( | Z ( t + v ) Z ( t ) e λ v | > ε | Z ( 0 ) = 1 ) = l = 1 ϕ ( v , l , ε ) ρ l < , (1.8)

其中,

ϕ ( v , l , ε ) = P ( | X l ¯ ( v ) + Y ( v ) l e λ v | > ε ) ,

X l ¯ ( v ) = j = 1 l X j ( v ) l { ρ l } 是引理2.2中定义的。

定理1.2 假设对于固定的 ε > 0 v > 0 ,存在常数 C ε ( v ) ,在 r > 0 l 1 时满足 λ r > ( b 1 + a 0 ) ϕ ( v , l , ε ) l r C ε ( v ) ,则(1.8)成立。

推论1.1 假设对于 b 1 < a 0 δ > 0 E [ Z 2 + δ ( 1 ) ] < ,则(1.8)成立。

定理1.3 假设对于 θ 0 > 0 v > 0 E ( e θ 0 Z ( v ) | Z ( 0 ) = 1 ) < ,则存在 θ 1 > 0 满足

C 1 = sup t 0 E [ e θ 1 K ( t ) ] < .

定理1.4假设对于 θ 0 > 0 v > 0 E ( e θ 0 Z ( v ) | Z ( 0 ) = 1 ) < ,则存在 C 2 ξ > 0 满足

P ( | K ( t ) K | > ε ) C 2 e ξ ε 2 / 3 e λ t / 3 .

2. 预备知识

在开始定理证明之前,我们先介绍一些证明过程中用到的引理或性质,这样可以避免证明的繁琐。

引理2.1假设 η > 0 j > 0 k > 0 ,如果 lim t e η t p j k ( t ) = ϕ j k 0 存在,则对于 b > 0 ,我们有

lim t e b t 0 t e ( η + b ) v p j k ( v ) d v = b 1 ϕ j k

引理2.2对于 i 1 lim t e ( b 1 + a 0 ) t p 1 k ( t ) = ρ k 存在,并且当 k 0 时, ρ k ρ 1 = 1 成立。再者 ϱ ( w ) = k = 1 ρ k w k 满足下式:

( b 1 + a 0 ) ϱ ( w ) = B ( w ) ϱ ( w ) + A ( w ) ϱ ( w ) , 0 w 1 , (2.1)

并且 ϱ ( 0 ) = 0

证明:根据Kolmogorov向前方程,

p 1 k ( t ) = i = 1 k p 1 i ( t ) ( i b k i + 1 + a k i ) , k 1. (2.2)

k = 1 时,

p 11 ( t ) = p 11 ( t ) ( b 1 + a 0 ) ,

也就是

p 11 ( t ) = e ( b 1 + a 0 ) t ,

因此

ρ 1 = lim t e ( b 1 + a 0 ) t p 11 ( t ) = 1.

k = 2 时,

p 12 ( t ) = p 11 ( t ) ( b 2 + a 1 ) + p 12 ( t ) ( 2 b 1 + a 0 ) ,

也就是

e ( 2 b 1 + a 0 ) t p 12 ( t ) = ( b 2 + a 1 ) 0 t p 11 ( v ) e ( 2 b 1 + a 0 ) v d v ,

根据引理2.1知:

ρ 2 = lim t e ( b 1 + a 0 ) t p 12 ( t ) = ( b 2 + a 1 ) 0 t p 11 ( v ) e ( 2 b 1 + a 0 ) v d v = ρ 1 ( b 2 + a 1 ) b 1 ρ 1 .

k = k 时,

p 1 k ( t ) = i = 1 k 1 p 1 i ( t ) ( i b k i + 1 + a k i ) + p 1 k ( t ) ( k b 1 + a 0 ) ,

也就是

e ( k b 1 + a 0 ) t p 1 k ( t ) = i = 1 k 1 ( i b k i + 1 + a k i ) 0 t p 1 i ( v ) e ( k b 1 + a 0 ) v d v ,

因此

ρ k = lim t e ( b 1 + a 0 ) t p 1 k ( t ) = 1 ( k 1 ) b 1 i = 1 k 1 ( i b k i + 1 + a k i ) ρ i ρ 1 .

再者,

k = 0 e ( b 1 + a 0 ) t p j k ( t ) s k = B ( v ) k = 1 e ( b 1 + a 0 ) t p j k ( t ) k v k 1 + A ( v ) k = 0 e ( b 1 + a 0 ) t p j k ( t ) v k ,

因此,

{ k = 0 e ( b 1 + a 0 ) t p j k ( t ) v k } t + ( b 1 + a 0 ) k = 0 e ( b 1 + a 0 ) t p j k ( t ) v k = B ( v ) k = 1 e ( b 1 + a 0 ) t p j k ( t ) k v k 1 + A ( v ) k = 0 e ( b 1 + a 0 ) t p j k ( t ) v k .

t

( b 1 + a 0 ) ϱ ( v ) = B ( v ) ϱ ( v ) + A ( v ) ϱ ( v ) .

注意到,

Z ( t + v ) = i = 1 Z ( t ) ξ t , i ( v ) + Y ( v ) ,

这里 { Y ( v ) ; v 0 } 是独立同分布的并且它的母函数是 H ( s , t ) = j = 0 h 1 j ( t ) s j { ξ t , i ( v ) ; t 0 , j 1 } 也是独立同分布的并且它的母函数是 F ( s , t ) = j = 0 p 1 j ( t ) s j

性质2.1假设 E M log M < 是通过生成的代数。则是一个上鞅并且几乎处处收敛到随机变量K。

证明:根据的定义可知,对于

因此是上鞅。我们知道当且仅当,所以,则是一个可积的上鞅,并且几乎肯定收敛到r.v.K。

根据的定义可知,。定义

为了计算的方便,我们将研究之间的关系。假设

显然,在上增加并且。此外,对于,因为,我们有;对于,因为,我们有。因此,k的迭代中不增,在中不减(相对于n)。

性质2.2如果,假设,则对于,当并且

(2.3)

这里的是下式的单根,

(2.4)

(2.5)

证明:因为。我们知道对于

因此的定义是在,并且当。当时,因为

所以

这就意味着当。定义。再者当时,

因此

a.s.,

时,。因此我们可知也就是当。现在,对于时,存在使得

因此,存在。

再者,满足(2.3)~(2.5)。所以当

再者

因为当。因此。最后,我们很容易看出(2.3)~(2.5)解的唯一性。

性质2.3假设。则

(2.6)

其中表示对t取整。

证明:当时,由于,则

假设时成立,

然后,对于

因此(2.6)得证。

3. 定理证明

定理1.1的证明:由于可以定义为:

(3.1)

其中时独立同分布的,因此

对于固定的

其中是任意常数。因此

因为,所以。我们可以得出当时,存在使得

因此存在使得时,。根据马尔科夫不等式,我们知道存在,使得根据引理(2.2),

证毕。

定理1.2的证明:当时,等价于。基于这个事实和定理的假设,对于存在另外的使得。不失一般性,我们用定义,因此

注意到

通过对收敛定理的简单修改,可以证明

时,

因此,

因为,如果下式成立则证明将是完整的。

(3.2)

其中

对于固定的,令关于的反函数。可以明显看出当。注意到,所以,

其中

由于,而且满足

根据假设,则对于,我们能够找到满足。因此对于

这意味着

所以

(3.3)

时,有

(3.4)

我们可以看出(3.3)和(3.4)暗示着(3.2),证毕。

推论1.1的证明:由于,对于任意。因此对于,存在使得。根据马尔科夫不等式,可得

根据假设,

而且对于任意的,存在常数使得。另外

定理1.3的证明:不失一般性,我们假设对任意的。首先我们证明

(3.5)

由于等价于,而且

上式中用到。因此(3.5)成立。根据性质2.3,当时,

再者,当根据性质2.3

由于

因此当时,

对于,当时我们可得。根据性质2.2

并且上式是正的和有限的。因此我们能找到使得

定理1.4的证明:根据定理1.3,我们先给出一个估计。假设当。因此对于。如果是U的独立同分布副本并且,I和是同分布的变量,则当时,

注意到

我们有

,则

对于,我们知道。因此

注意到

其中粒子中第j种粒子在时刻的种群大小,是第j个原始父变量在t时刻下降线上的极限随机变量,和I是同分布变量。根据独立性可知,

其中,

另外,

因此,

因此,

其中。对于任意的

选择,则。因此

其中。类似的方法可以证明的成立,证毕。

参考文献

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