超临界分枝过程的大偏差速率

Large Deviation Rates for Supercritical Branching Process

摘要: 假设{Y(t);t ≥0}是带移民的连续时间分枝过程，其中分枝概率是{b_k;k≥0}，移民概率是{a_j;j≥0}。令b₀=0，0 < b_k≠1(k≥1)，1 < m=Σ_k=0^∞kb_k < ∞，0 < a=Σ_j=0^∞jb_j < ∞和 。首先，我们证明 是一个上鞅并且收敛到随机变量K。然后，我们在α > 0和ε > 0时，当{b_k;k≥0}和{a_k;k≥0}满足多种矩条件，研究P(|K(t)-K| > ε)在t趋于无穷时的衰减速率。

Abstract: Suppose {Y(t);t ≥0} is the continuous time supercritical branching process with offspring rates {b_k;k≥0} and immigration rates {a_j;j≥0}. Let b₀=0, 0 < b_k≠1(k≥1),1 < m=Σ_k=0^∞ kb_k < ∞, 0 < a=Σ_j=0^∞ jb_j < ∞ and . Firstly, we suppose that is a sub-martingale and converges to a random variable K. Then we study the decay rates of P(|K(t)-K| > ε) as  t→∞ for α > 0, ε > 0 under various moment conditions on {a_k;k≥0} and {b_k;k≥0}.

1. 引言

假设 $\left\{Z\left(t\right);t\ge 0\right\}$ 的取值为非负整数，用 $Z\left(t\right)$ 表示t时刻超临界分枝过程的粒子数，则从一个祖先出发的过程可以用以下递归关系表示：

$Z\left(t\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{Z\left(t-s\right)}{\sum }}{Z}_{t-s}^i\left(s\right)}+Y_{t-s}\left(s\right),t>0,s\ge 0,Z\left(0\right)=1,$ (1.1)

其中 $Z_{t-s}^i\left(s\right)$ 表示t-s时刻第i个个体在t时刻产生的粒子数， $\left\{Z_{t-s}^i\left(s\right);t-s>0,i\ge 1\right\}$ 是独立同分布的随机变量，并且具有相同的母函数 $F\left(s,t\right)={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{p}_k}\left(t\right)s^k$， $s\in \left[0,1\right]$ ； $\left\{Y_{t-s}\left(s\right);s\ge 0\right\}$ 也是i.i.d。并且具有相同的母函数 $H\left(s,t\right)={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{h}_k}\left(t\right)s^k$， $s\in \left[0,1\right]$。此外 $\left\{Y\left(s\right);s\ge 0\right\}$ 和 $\left\{Z^i\left(s\right);s>0,i\ge 1\right\}$ 独立。由于我们考虑的是上临界的情况，即是 $m:={\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }k{p}_k}$，其中 $p_k=\underset{t\to \infty }{\lim }{p}_k\left(t\right)$。根据Harris变换 [1]，我们可以把 $p_0>0$ 转化为 $p_0=0$ 的情况。所以不失一般性，在之后的文章中我们假设 $p_0=0$。

特别地，如果 $Y\left(s\right)\equiv 0$，即没有移民加入的情形，那么 $\left\{Z\left(t\right);t\ge 0\right\}$ 退化为上临界分枝过程，记为 $\left\{X\left(t\right);t\ge 0\right\}$，根据 [2] 可知，存在非负的规范化序列 $C\left(t\right)$ 使得

$W\left(t\right):=\frac{X\left(t\right)}{C\left(t\right)}\stackrel{\text{a}\text{.s}\text{.}}{\to }W,$ 当 $t\to \infty$ (1.2)

其中 $\left\{W\left(t\right);t\ge 0\right\}$ 是一个鞅。

如果考虑加入移民，即存在一些时刻s，使得 $Y\left(s\right)\ne 0$。根据Seneta [3] 可知，对于(1.2.1)定义的带移民的超临界分枝过程 $\left\{Z\left(t\right);t\ge 0\right\}$，仍存在非负的规范化序列 $C\left(t\right)$ 使得

$V\left(t\right):=\frac{Z\left(t\right)}{C\left(t\right)}\to V\text{a}.\text{s}.,$ 当 $t\to \infty$ (1.3)

而且，文献 [3] 中还提出超临界分枝过程和带移民的超临界分枝过程的 $C\left(t\right)$ 是相同的，并且满足对 $\forall \epsilon \in \left(0,\lambda -1\right)$ 都存在着与 $\epsilon$ 相关的整数 $N\left(\epsilon \right)>0$，满足

$\begin{array}{l}C\left(0\right)=1,\\ C\left(t\right)\to \infty ,\frac{C\left(t+s\right)}{C\left(t\right)}\to m\left(s\right),t\to \infty ,\\ c_1\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda }}{1+\epsilon }\right)\le C\left(t\right)\le c_2{\text{e}}^{\lambda t},t\ge N\left(\epsilon \right).\end{array}$ (1.4)

其中 $c_1$， $c_2$ 为非负常数。本文中我们取 $C\left(t\right)={\text{e}}^{\lambda t}$。

注1.1根据 [3] 只要移民满足 $E\log Y<\infty$ 总能找到规范化函数 $C\left(t\right)$，使其满足式(1.3)，而不用对移民分布做任何限制。所以我们默认本文中所取得 $C\left(t\right)$ 都满足式(1.3)。

为了研究方面，我们引入 $Z\left(t\right)$ 的Q-矩阵 $Q=\left(q_{ij};i,j\in Z_{+}\right)$。

$q_{ij}:=\{\begin{array}{ll}i{b}_{j-i+1}+a_{j-i}\hfill & \text{if}i\ge 0,j\ge i,\hfill \\ i{b}_0\hfill & \text{if}i\ge 0,j=i-1,\hfill \\ 0\hfill & \text{otherwise}\text{.}\hfill \end{array}$

其中：

$b_j\ge 0\left(j\ne 1\right)$， $0<-b_1={\displaystyle \underset{j\ne 1}{\sum }{b}_j}<\infty$，

$a_j\ge 0\left(j\ne 0\right)$， $0<-a_0={\displaystyle \underset{j\ne 0}{\sum }{a}_j}<\infty$。

如果用 $G\left(s,t\right)$ 来表示带移民的超临界分枝过程 $\left\{Z\left(t\right);t\ge 0\right\}$ 的母函数，则

$G\left(s,t\right)=G_1\left(s,t\right)=F\left(s,t\right)H\left(s,t\right),t>0,s\in \left[0,1\right],$ (1.5)

而且 $G\left(s,0\right)=F\left(s,0\right)=s$。

为了叙述的方便，下面我们回忆 $G\left(s,t\right)$ 已知的衰减速率和收敛性质：

命题1.1 (Liu [4] 和Ney [5] )假设 $m>1$，定义

$R\left(s,t\right):=\frac{H\left(s,t\right)}{{\text{e}}^{a_{0}t}}$， $Q\left(s,t\right):=\frac{F\left(s,t\right)}{{\text{e}}^{b_{1}t}}$。

当 $t\to \infty$ 时，

$\varrho \left(s,t\right):=\frac{G\left(s,t\right)}{{\text{e}}^{\left(a_0+b_1\right)t}}=R\left(s,t\right)Q\left(s,t\right)\nearrow R\left(s\right)Q\left(s\right)=:\varrho \left(s\right),$ (1.6)

上述的收敛对任意的 $s\in K$ 是一致的，K为 $\left[0,1\right)$ 上的任一闭子区间。并且 $R\left(s\right)$ 和 $Q\left(s\right)$ 分别满足下列泛函方程：

$G\left(s\right)R\left(F\left(s\right)\right)={\text{e}}^{a_0}R\left(s\right)$， $0\le s<1$， $R\left(0\right)=1$， $R\left(1\right)=\infty$ ；

$Q\left(F\left(s\right)\right)={\text{e}}^{b_1}Q\left(s\right)$， $0\le s<1$， $Q\left(0\right)=0$， $Q\left(1\right)=\infty$。

另外， $R\left(s\right)$ 和 $Q\left(s\right)$ 可以分别表示为级数 $R\left(s\right)={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{q}_k}{s}^k$ 和 $Q\left(s\right)={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{v}_k}{s}^k$。

由于直接求 $Z\left(t+s\right)/Z\left(t\right)$ 的大偏差有些困难，所以在本章的证明中，我们做如下变换：

$K\left(t\right)={\text{e}}^{-\lambda t}\left[Z\left(t\right)-\frac{{\text{e}}^{\lambda \left(t+1\right)}-1}{{\text{e}}^{\lambda }-1}{\text{e}}^{a+\lambda }\right],$ (1.7)

其中 $0<a=\frac{\lambda }{{\text{e}}^{\lambda }-1}<\infty$。

本节我们主要研究 $\left\{Z\left(t\right);t\ge 0\right\}$ 其中引入的移民不全为0。我们关心粒子数 $Z\left(t\right)$ 的大偏差，即在 $\left\{b_k;k\ge 0\right\}$ 和 $\left\{a_k;k\ge 0\right\}$ 满足多种矩条件下，对于 $\alpha >0$，和 $\epsilon >0$ 时研究下列式子的大偏差，

$P\left(\left|K\left(t\right)-K\right|>\epsilon \right),t\to \infty .$

下面是本文的主要定理。

定理1.1 假设对于 ${\theta }_0>1$， $B\left({\theta }_0\right)<\infty$ 和 $A\left({\theta }_0\right)<\infty$。则对于一些 $\epsilon >0$ 我们有

$\underset{t\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{-\left(b_1+a_0\right)t}P\left(\left|\frac{Z\left(t+v\right)}{Z\left(t\right)}-{\text{e}}^{\lambda v}\right|>\epsilon |Z\left(0\right)=1\right)={\displaystyle \underset{l=1}{\overset{\infty }{\sum }}\varphi \left(v,l,\epsilon \right){\rho }_l}<\infty ,$ (1.8)

其中，

$\varphi \left(v,l,\epsilon \right)=P\left(\left|\overline{X_l}\left(v\right)+\frac{Y\left(v\right)}{l}-{\text{e}}^{\lambda v}\right|>\epsilon \right),$

$\overline{X_l}\left(v\right)={\displaystyle {\sum }_{j=1}^l\frac{X_j\left(v\right)}{l}}$， $\left\{{\rho }_l\right\}$ 是引理2.2中定义的。

定理1.2 假设对于固定的 $\epsilon >0$ 和 $v>0$，存在常数 $C_{\epsilon }\left(v\right)$，在 $r>0$ 和 $l\ge 1$ 时满足 $\lambda r>-\left(b_1+a_0\right)$ 和 $\varphi \left(v,l,\epsilon \right)\le l^{-r}\cdot C_{\epsilon }\left(v\right)$，则(1.8)成立。

推论1.1 假设对于 $b_1<a_0$ 和 $\delta >0$， $E\left[Z^{2+\delta }\left(1\right)\right]<\infty$，则(1.8)成立。

定理1.3 假设对于 ${\theta }_0>0$ 和 $v>0$， $E\left({\text{e}}^{{\theta }_{0}Z\left(v\right)}|Z\left(0\right)=1\right)<\infty$，则存在 ${\theta }_1>0$ 满足

$C_1={\sup }_{t\ge 0}E\left[{\text{e}}^{{\theta }_{1}K\left(t\right)}\right]<\infty .$

定理1.4假设对于 ${\theta }_0>0$ 和 $v>0$， $E\left({\text{e}}^{{\theta }_{0}Z\left(v\right)}|Z\left(0\right)=1\right)<\infty$，则存在 $C_2$ 和 $\xi >0$ 满足

$P\left(\left|K\left(t\right)-K\right|>\epsilon \right)\le C_2{\text{e}}^{-\xi {\epsilon }^{2/3}{\text{e}}^{\lambda t/3}}.$

2. 预备知识

在开始定理证明之前，我们先介绍一些证明过程中用到的引理或性质，这样可以避免证明的繁琐。

引理2.1假设 $\eta >0$， $j>0$ 和 $k>0$，如果 $\underset{t\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{\eta t}{p}_{jk}\left(t\right)={\varphi }_{jk}\ge 0$ 存在，则对于 $b>0$，我们有

$\underset{t\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{-bt}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\left(\eta +b\right)v}{p}_{jk}\left(v\right)\text{d}v}=b^{-1}{\varphi }_{jk}$。

引理2.2对于 $i\ge 1$， $\underset{t\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{-\left(b_1+a_0\right)t}{p}_{1k}\left(t\right)={\rho }_k$ 存在，并且当 $k\ge 0$ 时， ${\rho }_k\le {\rho }_1=1$ 成立。再者 $\varrho \left(w\right)={\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }{\rho }_k}{w}^k$ 满足下式：

$\left(b_1+a_0\right)\varrho \left(w\right)=B\left(w\right){\varrho }^{\prime }\left(w\right)+A\left(w\right)\varrho \left(w\right),0\le w\le 1,$ (2.1)

并且 $\varrho \left(0\right)=0$。

证明：根据Kolmogorov向前方程，

${p^{\prime }}_{1k}\left(t\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{p}_{1i}}\left(t\right)\left(i{b}_{k-i+1}+a_{k-i}\right),k\ge 1.$ (2.2)

当 $k=1$ 时，

${p^{\prime }}_{11}\left(t\right)=p_{11}\left(t\right)\left(b_1+a_0\right),$

也就是

$p_{11}\left(t\right)={\text{e}}^{\left(b_1+a_0\right)t},$

因此

${\rho }_1=\underset{t\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{-\left(b_1+a_0\right)t}{p}_{11}\left(t\right)=1.$

当 $k=2$ 时，

${p^{\prime }}_{12}\left(t\right)=p_{11}\left(t\right)\left(b_2+a_1\right)+p_{12}\left(t\right)\left(2b_1+a_0\right),$

也就是

${\text{e}}^{-\left(2b_1+a_0\right)t}{p}_{12}\left(t\right)=\left(b_2+a_1\right){\displaystyle {\int }_0^t{p}_{11}\left(v\right){\text{e}}^{-\left(2b_1+a_0\right)v}\text{d}v},$

根据引理2.1知：

${\rho }_2=\underset{t\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{-\left(b_1+a_0\right)t}{p}_{12}\left(t\right)=\left(b_2+a_1\right){\displaystyle {\int }_0^t{p}_{11}}\left(v\right){\text{e}}^{-\left(2b_1+a_0\right)v}\text{d}v=-\frac{{\rho }_1\left(b_2+a_1\right)}{b_1}\le {\rho }_1.$

当 $k=k$ 时，

${p^{\prime }}_{1k}\left(t\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k-1}{\sum }}{p}_{1i}}\left(t\right)\left(i{b}_{k-i+1}+a_{k-i}\right)+p_{1k}\left(t\right)\left(k{b}_1+a_0\right),$

也就是

${\text{e}}^{-\left(k{b}_1+a_0\right)t}{p}_{1k}\left(t\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k-1}{\sum }}\left(i{b}_{k-i+1}+a_{k-i}\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{p}_{1i}\left(v\right){\text{e}}^{-\left(k{b}_1+a_0\right)v}\text{d}v},$

因此

${\rho }_k=\underset{t\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{-\left(b_1+a_0\right)t}{p}_{1k}\left(t\right)=-\frac{1}{\left(k-1\right)b_1}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k-1}{\sum }}\left(i{b}_{k-i+1}+a_{k-i}\right){\rho }_i}\le {\rho }_1.$

再者，

${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\text{e}}^{-\left(b_1+a_0\right)t}}{p^{\prime }}_{jk}\left(t\right)s^k=B\left(v\right){\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\text{e}}^{-\left(b_1+a_0\right)t}}{p}_{jk}\left(t\right)k{v}^{k-1}+A\left(v\right){\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\text{e}}^{-\left(b_1+a_0\right)t}}{p}_{jk}\left(t\right)v^k,$

因此，

${\left\{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\text{e}}^{-\left(b_1+a_0\right)t}}{p}_{jk}\left(t\right)v^k\right\}}^{\prime }{}_t+\left(b_1+a_0\right){\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\text{e}}^{-\left(b_1+a_0\right)t}}{p}_{jk}\left(t\right)v^k=B\left(v\right){\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\text{e}}^{-\left(b_1+a_0\right)t}}{p}_{jk}\left(t\right)k{v}^{k-1}+A\left(v\right){\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\text{e}}^{-\left(b_1+a_0\right)t}}{p}_{jk}\left(t\right)v^k.$

令 $t\to \infty$，

$\left(b_1+a_0\right)\varrho \left(v\right)=B\left(v\right){\varrho }^{\prime }\left(v\right)+A\left(v\right)\varrho \left(v\right).$

注意到，

$Z\left(t+v\right)={\displaystyle {\sum }_{i=1}^{Z\left(t\right)}{\xi }_{t,i}}\left(v\right)+Y\left(v\right),$

这里 $\left\{Y\left(v\right);v\ge 0\right\}$ 是独立同分布的并且它的母函数是 $H\left(s,t\right)={\displaystyle {\sum }_{j=0}^{\infty }{h}_{1j}}\left(t\right)s^j$， $\left\{{\xi }_{t,i}\left(v\right);t\ge 0,j\ge 1\right\}$ 也是独立同分布的并且它的母函数是 $F\left(s,t\right)={\displaystyle {\sum }_{j=0}^{\infty }{p}_{1j}}\left(t\right)s^j$。

性质2.1假设 $EM\log M<\infty$ 和，是通过生成的代数。则是一个上鞅并且几乎处处收敛到随机变量K。

证明：根据的定义可知，对于，

因此是上鞅。我们知道当且仅当和，所以，则是一个可积的上鞅，并且几乎肯定收敛到r.v.K。

根据的定义可知，。定义

和

为了计算的方便，我们将研究和之间的关系。假设

显然，在上增加并且。此外，对于，因为，我们有；对于，因为，我们有。因此，k的迭代在中不增，在中不减(相对于n)。

性质2.2如果和，假设，则对于，当，并且

(2.3)

这里的是下式的单根，

(2.4)

(2.5)

证明：因为时。我们知道对于和，

因此的定义是在，并且当时。当时，因为

所以

这就意味着当时。定义。再者当时，

因此

a.s.,

当时，。因此我们可知也就是当时。现在，对于时，存在使得

因此，存在。

再者，满足(2.3)~(2.5)。所以当

当时

，

再者

和。

因为当时。因此。最后，我们很容易看出(2.3)~(2.5)解的唯一性。

性质2.3假设时。则

(2.6)

其中表示对t取整。

证明：当时，由于，则

，

假设时成立，

。

然后，对于，

因此(2.6)得证。

3. 定理证明

定理1.1的证明：由于可以定义为：

(3.1)

其中和时独立同分布的，因此

对于固定的，

其中和是任意常数。因此

因为和，所以。我们可以得出当和时，存在和使得

和

因此存在和使得时，。根据马尔科夫不等式，我们知道存在和，使得根据引理(2.2)，

证毕。

定理1.2的证明：当时，等价于。基于这个事实和定理的假设，对于存在另外的使得。不失一般性，我们用定义，因此

注意到

通过对收敛定理的简单修改，可以证明

当时，

因此，

因为，如果下式成立则证明将是完整的。

(3.2)

其中。

对于固定的，令是关于的反函数。可以明显看出当时。注意到，所以，

其中

由于，而且满足

根据假设，则对于和，我们能够找到满足。因此对于，

，

这意味着

所以

(3.3)

当时，有

(3.4)

我们可以看出(3.3)和(3.4)暗示着(3.2)，证毕。

推论1.1的证明：由于，对于任意有。因此对于，存在和使得。根据马尔科夫不等式，可得

根据假设，

而且对于任意的，存在常数使得。另外

定理1.3的证明：不失一般性，我们假设对任意的有。首先我们证明

(3.5)

由于等价于，而且

上式中用到。因此(3.5)成立。根据性质2.3，当时，

，

再者，当根据性质2.3

由于

因此当时，

对于，当时我们可得。根据性质2.2

并且上式是正的和有限的。因此我们能找到使得

定理1.4的证明：根据定理1.3，我们先给出一个估计。假设当时。因此对于，和。如果是U的独立同分布副本并且，I和是同分布的变量，则当时，

注意到

我们有

令，则

对于，我们知道。因此

注意到

其中是粒子中第j种粒子在时刻的种群大小，是第j个原始父变量在t时刻下降线上的极限随机变量，和I是同分布变量。根据独立性可知，

其中，

另外，

因此，

当，

因此，

其中。对于任意的，

选择，则。因此

其中。类似的方法可以证明的成立，证毕。