1. 引言及主要结论
本文主要考虑下列三维不可压MHD方程弱解的正则性
(1)
这里
,
和
分别表示未知流体速度向量场,磁流体速度向量场和标量压力场,
,
是初始条件,且满足在广义下有
。
众所周知在文献 [1] 中,指出满足初始条件时,方程(1)存在弱解是局部正则解。然而,是否存在全局正则性的弱解仍然是一个充满挑战的公开问题。但是,文献中有大量结果表明,如果对弱解施加一些附加条件,则对这个问题的回答是肯定的(参见 [2] - [14] )。对压力p附加一些条件同样也可得到弱解具有正则性(参见 [15] [16] )。在这些结果中,我们对仅涉及速度u,磁场b更感兴趣。
最近,Sadek Gala,Maria Alessandra Ragusa在 [7] 中证明了
,
或者
,
则弱解在
上是正则的。
重要结论之一是著名的Ni-Guo-Zhou准则(参见 [8] 定理1.3,类似的结果也可参考 [17] 定理 1.2)。如下
(2)
受文献 [7] 和 [8] 的启发,我们得到比文献 [7] 如下更优的结果如下定理1。
这里
.
定理1 假设
,且在广义积分条件下有
,设
是MHD方程的1在
上满足初始条件的弱解,且
,如果有
(3)
或者
(4)
则弱解在
上是正则的,
注:上式的q值比文献 [7] 的值相应减小,等式值相应增大,所以此结果比文献 [7] 结果更优。
2. 主要结果的证明
我们把方程(1)的第一个方程和第二个方程加减运算,把方程1转化为如下方程
(5)
为了证明定理1,让我们介绍一些辅助结论。我们给出三维乘法的Sobolev不等式及压力估计如下:
引理1 存在一个常数
,使得下式成立
. (6)
引理2 假设
是方程2.1组的光滑解,那么有下式成立
i)
(7)
ii)
(8)
iii)
(9)
注:这里
,引理1的详细证明参见Wu和Cao文献 [3],引理2的证明可参见文献 [16]。
定理1的证明:
因为 当
时,
,
当
时,
。
根据定理1和(2)式的假设,定理1的证明只要证明下式成立
.
在方程(5)的第一个和第二个方程两边分别用
作内积,利用
,分部积分相加得:
. (10)
用
分别与方程(5)的第一个和第二个方程作内积,利用
,然后相加得:
. (11)
针对定理1第一种情况的证明,利用Hölder不等式,Yuong不等式和式(8),对式(11)右边第一项进行估计得
(由Hölder不等式)
(由式(8))
(12)
类似
的估计方法,得到式(11)右边第二项
的估计如下:
. (13)
由
和
的估计式(12)和(13)代入式(11)得
. (14)
在上式两边同时除以
,在时间空间上积分,利用能量不等式(10)和式(3)得到
.
由式(14),上式和能量不等式(10)可得
.
所以由嵌入不等式得
.
所以得
.
同理可证
.
所以定理1第一种情况证明完成。
定理1第二种情况的证明。利用Hölder不等式,Yuong不等式和式(7),对式(11)右边第一项进行另一种估计得
(15)
同理可证
. (16)
由
和
的估计式(15)和(16)代入式(11)得
由上式两边同时除以
,并利用能量不等式(10)和式(4)得
.
同理定理1第一种情况的证明,可证得
,所以定理第二种情况得证。
基金项目
安徽省省级自然科学基金(KJ20180002)。