理论数学  >> Vol. 11 No. 4 (April 2021)

强泛Gorenstein FC-投射模
Strongly Universal Gorenstein FC-Projective Modules

DOI: 10.12677/PM.2021.114078, PDF, HTML, XML, 下载: 21  浏览: 73  国家自然科学基金支持

作者: 袁 倩*, 张文汇#:西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州

关键词: 弱Gorenstein FC-投射模Gorenstein FC-半单环强泛Gorenstein FC-投射模Weak Gorenstein FC-Projective Module Gorenstein FC-Semisimple Ring Strongly Universal Gorenstein FC-Projective Module

摘要: 引入弱Gorenstein FC-投射模和强泛Gorenstein FC-投射模,讨论了这两类模的同调性质,证明了在右余凝聚环R上,若r.FC.gl.dim(R)<∞,则FC-投射模类、Gorenstein FC-投射模类、弱Gorenstein FC-投射模类、强Gorenstein FC-投射模类和强泛Gorenstein FC-投射模类是同一个类。
Abstract: Weak Gorenstein FC-projective and Strongly universal Gorenstein FC-projective modules are in-troduced, the homological properties of the two types of modules are investigated. It is proved that on the right cocoherent ring R, if r.FC.gl.dim(R)<∞, then the class of FC-projective modules, the class of Gorenstein FC-projective modules, the class of weak Gorenstein FC-projective modules, the class of strongly Gorenstein FC-projective modules and the class of strongly universal Gorenstein FC-projective modules are the same class.

文章引用: 袁倩, 张文汇. 强泛Gorenstein FC-投射模[J]. 理论数学, 2021, 11(4): 647-653. https://doi.org/10.12677/PM.2021.114078

1. 引言

1995年,Enochs等人在一般环上引入Gorenstein投(内)射模的概念 [1]。称投射右R-模的正合列 P = P 1 P 0 P 1 P 2 是完全投射分解,如果对任意投射右R-模Q,序列 Hom R ( P , Q ) 正合。称右R-模M是Gorenstein投射模,如果存在一个完全投射分解 P 使得 M Ker ( P 1 P 2 ) 。Gorenstein内射模的定义可对偶给出。2007年,Bennis等人引入强Gorenstein投(内)射模的概念,证明了一个模是Gorenstein投(内)射模当且仅当它是一个强Gorenstein投(内)射模的直和项 [2]。称投射右R-模的正合列 P = P f P f P 是强完全投射分解,如果对任意投射右R-模Q,序列 Hom R ( P , Q ) 正合。称右R-模M是强Gorenstein投射模,如果存在一个强完全投射分解 P 使得 M Ker ( f ) 。强Gorenstein内射模的定义可对偶给出。2013年,高增辉引入弱Gorenstein投(内)射模的概念 [3]。称右R-模M是弱Gorenstein投射模,如果存在投射右R-模的正合列 P = P 1 P 0 P 0 P 1 ,使得 M Ker ( P 0 P 1 ) 。此时,称序列 P M的弱完全投射分解。弱Gorenstein内射模的定义可对偶给出。2014年,陈文静等人引入弱Gorenstein FP-内射模和强泛Gorenstein FP-内射模的概念,讨论了凝聚环上FP-内射模类、Gorenstein FP-内射模类和弱Gorenstein FP-内射模类三者之间的联系( [4] [5] )。2020年,王玉等人引入Gorenstein FC-投射模的概念,证明了Gorenstein FC-投射模和FC-投射模的等价性,并利用Gorenstein FC-投射模对右Gorenstein FC-半单环进行了刻画 [6]。

受以上文献的启发,我们引入弱Gorenstein FC-投射模和强泛Gorenstein FC-投射模的概念,讨论其同调性质,并研究了在右余凝聚环上这两类模的等价刻画。

本文中所提到的环均指有单位元的结合环。模均指酉模,除非特别说明,R-模指右R-模。本文中,我们用 P ( R ) ( FC- P ( R ) GFC- P ( R ) SGFC- P ( R ) w G- P ( R ) )表示投射R-模类(FC-投射R-模类,Gorenstein FC-投射R-模类,强Gorenstein FC-投射R-模类,弱Gorenstein投射R-模类);用 I ( R ) ( G- I ( R ) SG- I ( R ) SUG- I ( R ) w G- I ( R ) )表示内射R-模类(Gorenstein内射R-模类,强Gorenstein内射R-模类,强泛Gorenstein内射R-模类,弱Gorenstein内射R-模类);用 F C - p d ( M ) 表示R-模M的FC-投射维数。 表示整数集, 表示自然数集。未交待的概念和符号,参考文献 [6]。

2. 弱Gorenstein FC-投射模

称右R-模M是FC-投射模,如果对任意有限余表示模Q Ext R 1 ( M , Q ) = 0 [6]。称右R-模M是Gorenstein FC-投射模,如果存在FC-投射右R-模的正合列 P = P 1 P 0 P 0 P 1 ,使得 M Ker ( P 0 P 1 ) ,并且对任意内射维数有限的有限余表示模Q,序列 Hom R ( P , Q ) 正合 [6]。

本部分我们引入弱Gorenstein FC-投射模,将弱Gorenstein FC-投射R-模类记为 w GFC- P ( R ) ,讨论其同调性质以及在右余凝聚环上, FC- P ( R ) GFC- P ( R ) w GFC- P ( R ) 三者之间的联系。

定义2.1 称R-模M是弱Gorenstein FC-投射模,如果存在正合列

P = P 1 P 0 P 0 P 1

其中 P i , P i FC- P ( R ) ( i ) ,使得 M Ker ( P 0 P 1 ) 。此时,称正合列 P 是M的弱完全FC-投射分解。

关于定义,我们注意到

注记2.2 1) FC- P ( R ) SGFC- P ( R ) GFC- P ( R ) w GFC- P ( R )

2) w G- P ( R ) w GFC- P ( R )

3) 由对称性可知,定义2.1中的正合列 P 中所有同态的像、核和余核都是弱Gorenstein FC-投射R-模;

4) 由文献( [6],命题2.2)可知, w GFC- P ( R ) 关于直和封闭。

下面首先给出弱Gorenstein FC-投射模的一些等价刻画。

命题2.3 设M是一R-模,则以下等价:

1) M w GFC- P ( R )

2) 存在正合列 0 M P 0 P 1 ,其中 P i FC- P ( R ) ( i )

3) 存在正合列 0 M P N 0 ,其中 P FC- P ( R ) N w GFC- P ( R )

证明 1) Þ 2),1) Þ 3)由定义2.1易得。

3) Þ 2)因为 N w GFC- P ( R ) ,所以存在N的弱完全FC-投射分解

P = P 1 P 0 P 0 P 1

其中 P i , P i FC- P ( R ) ( i ) ,使得 N Ker ( P 0 P 1 ) ,故存在正合列 0 M P P 0 P 1 ,其中P

P i FC- P ( R ) ( i )

2) Þ 1) 任取M的一个投射分解 P 1 P 0 M 0 ,与条件中序列首尾相接就得到M的弱完全FC-投射分解

P = P 1 P 0 P 0 P 1

使得 M Ker ( P 0 P 1 ) ,故 M w GFC- P ( R )

称环R是右n-余凝聚环,如果每个n-余表示模是(n + 1)-余表示的。特别地,右1-余凝聚环也称为右余凝聚环 [6]。

命题2.4 设R是右余凝聚环, 0 N M P 0 R-模的正合列,其中 P FC- P ( R ) 。若 N w GFC- P ( R ) ,则 M w GFC- P ( R )

证明 设 N w GFC- P ( R ) ,则由命题2.3可知存在正合列 0 N P 0 K 0 ,其中 P 0 FC- P ( R ) K w GFC- P ( R ) 。考虑推出图

因为 P 0 , P FC- P ( R ) ,所以由文献( [6],定理2.5)可知 Q 0 FC- P ( R ) ,则对中间列用命题2.3可得 M w GFC- P ( R )

称环R是右Gorenstein FC-半单环(简称为rGF-半单环),如果每个R-模是Gorenstein FC-投射R-模 [6]。下面用弱Gorenstein FC-模给出rGF-半单环的等价刻画。

命题2.5 设R是环,M是一R-模,则以下等价:

1) R是rGF-半单环;

2) M w GFC- P ( R )

3) 若 M w G- I ( R ) ,则 M w GFC- P ( R )

4) 若 M G- I ( R ) ,则 M w GFC- P ( R )

5) 若 M SG- I ( R ) ,则 M w GFC- P ( R )

6) 若 M I ( R ) ,则 M w GFC- P ( R )

证明 1) Þ 2) Þ 3) Þ 4) Þ 5) Þ 6)显然。

6) Þ 1) 设 M I ( R ) ,则由条件可知 M w GFC- P ( R ) ,于是由命题2.3可知存在正合列 0 M P N 0 ,其中 P FC- P ( R ) N w GFC- P ( R ) 。因为 M I ( R ) ,所以正合列 0 M P N 0 可裂,故由文献( [6],命题2.2)可知 M FC- P ( R ) ,于是由文献( [6],命题6.3)可知R是rGF-半单环。

R-模类 X ( R ) 是投射可解类,如果 P ( R ) X ( R ) ,且对任意 X ( R ) 中的正合列 0 X X X 0 ,其中 X X ( R ) ,则 X X ( R ) X X ( R ) [7]。下面我们证明 w GFC- P ( R ) 是投射可解类,并且关于直和项封闭。

命题2.6 设R是右余凝聚环,则 w GFC- P ( R ) 关于扩张封闭当且仅当 w GFC- P ( R ) 是投射可解类。

证明 Ü) 显然。

Þ) 设 0 A B C 0 R-模的正合列,只需证当 B , C w GFC- P ( R ) 时, A w GFC- P ( R ) 即可。因为 B w GFC- P ( R ) ,所以由命题2.3可知存在正合列 0 B P N 0 ,其中 P FC- P ( R ) N w GFC- P ( R ) 。考虑推出图

因为 C , N w GFC- P ( R ) ,所以 Q w GFC- P ( R ) 。对中间行用命题2.3可得 A w GFC- P ( R )

推论2.7 设R是右余凝聚环,若 w GFC- P ( R ) 关于扩张封闭,则 w GFC- P ( R ) 关于直和项封闭。

证明 由文献( [7],命题1.4)易得。

推论2.8 设R是右余凝聚环,M是一R-模,考虑下面R-模的正合列

0 G n G n 1 G 0 M 0

0 H n H n 1 H 0 M 0 ,

其中 G 0 , , G n 1 w GFC- P ( R ) H 0 , , H n 1 w GFC- P ( R ) 。若 w GFC- P ( R ) 关于扩张封闭,则 G n w GFC- P ( R ) 当且仅当 H n w GFC- P ( R )

证明 类似于文献( [8],引理2.1])的证明。

下面我们讨论弱Gorenstein FC-投射R-模与强Gorenstein FC-投射R-模的关系。

命题2.9 设R是右余凝聚环, M w GFC- P ( R ) ,若 N SGFC- P ( R ) ,则MN的直和项。

证明 设 M w GFC- P ( R ) ,则存在正合列

P = P 1 d 1 P 0 d 0 P 1 d 1 P 2 d 2

其中 P i FC- P ( R ) ( i ) ,使得 M Im ( d 0 ) 。令 Q = i = P i f : Q Q ,其中对任意的 ( x i ) i Q f ( ( x i ) i ) = ( d i ( x i ) ) i 。易证f是右R-模同态且 f 2 = 0 。设 N = Im ( f ) = i = Im ( d i ) ,则 N Ker ( f ) 。对任意 ( x i ) i Ker ( f ) f ( ( x i ) i ) = ( d i ( x i ) ) i = ( 0 i ) i 。则对任意 i d i ( x i ) = 0 i ,即 x i Ker ( d i ) = Im ( d i + 1 ) ( i ),故存在 y i + 1 P i + 1 ,使得 d i + 1 ( y i + 1 ) = x i 。令 y = [ y i + 1 ] ,则 [ x i ] = [ d i + 1 ( y i + 1 ) ] = f ( y ) ,于是 Ker ( f ) Im ( f ) 。因此 N = Im ( f ) = K e r ( f ) ,由文献( [6],命题2.2)可知 Q FC- P ( R ) 。于是存在R-模的正合列 0 N Q N 0 ,由文献( [9],定理7)可知 N SGFC- P ( R ) N ( i 0 Im ( d i ) ) M ,即M是强Gorenstein FC-投射R-模的直和项,定理得证。

推论2.10 设R是右余凝聚环, M GFC- P ( R ) ,若 N SGFC- P ( R ) ,则MN的直和项。

定义环R的右FC-投射整体维数为 r .FC .gl .dim ( R ) = sup { F C - p d ( M ) | M R - } [4]。

显然, FC- P ( R ) GFC- P ( R ) w GFC- P ( R ) ,由文献( [6],推论3.9)可知,当R是右余凝聚环且 r .FC .gl .dim ( R ) < 时, GFC- P ( R ) FC- P ( R ) 。又由文献( [6],定理3.4)可知,当R是右余凝聚环时,R-模 M GFC- P ( R ) M w GFC- P ( R ) 。于是我们有以下结论。

推论2.11 设R是右余凝聚环,M是一R-模,若 r .FC .gl .dim ( R ) < ,则 M FC- P ( R ) M w GFC- P ( R )

3. 强泛Gorenstein FC-投射模

本部分我们引入强泛Gorenstein FC-投射模,将强泛Gorenstein FC-投射R-模类记为 SUGFC- P ( R ) ,讨论其同调性质以及在右余凝聚环上, FC- P ( R ) GFC- P ( R ) w GFC- P ( R ) SGFC- P ( R ) SUGFC- P ( R ) 类五者之间的联系。

定义3.1 称R-模M是强泛Gorenstein FC-投射模,如果存在正合列

P = P f P f P

其中 P FC- P ( R ) ,使得 M Ker ( f ) 。此时,称正合列 P M的强泛完全FC-投射分解。

注记3.2 1) 由注记2.2有包含关系:

FC- P ( R ) SGFC- P ( R ) SUGFC- P ( R ) w GFC- P ( R )

2) 由对称性可知,定义3.1中的正合列 P 中所有同态的像、核和余核都是强泛Gorenstein FC-投射R-模;

3) SUGFC- P ( R ) 关于直和封闭;

命题3.3 设M是一R-模,则以下等价:

1) M SUGFC- P ( R )

2) 存在正合列 0 M P P ,其中 P FC- P ( R )

3) 存在正合列 0 M P M 0 ,其中 P FC- P ( R )

证明 由定义3.1易得。

称环R是右强Gorenstein FC-半单环(简称为rSGF-半单环),如果每个R-模是强Gorenstein FC-投射R-模。下面用强泛Gorenstein FC-模给出rSGF-半单环的等价刻画。

命题3.4 设R是环,M是一R-模,则以下等价:

1) R是rSGF-半单环;

2) M SUGFC- P ( R )

3) 若 M SUG- I ( R ) ,则 M SUGFC- P ( R )

4) 若 M SG- I ( R ) ,则 M SUGFC- P ( R )

5) 若 M I ( R ) ,则 M SUGFC- P ( R )

证明 类似于命题2.5的证明。

命题3.5 设 M w GFC- P ( R ) ,若 N SUGFC- P ( R ) ,则MN的直和项。

证明 设 M w GFC- P ( R ) ,则存在M的弱完全FC-投射分解

P = P 1 d 1 P P 0 d 0 P P 1 d 1 P P 2

其中 P i FC- P ( R ) ( i ) ,使得 M Im ( d 0 P ) 。对 m ,通过增加指数m,由正合列 P 得到的正合列记为 m P ,对 i ( m P ) i = P i m d i m P = d i m P 。由文献( [6],命题2.2])可知, P i FC- P ( R ) 。考虑正合列

Q = m P = Q = P i d i P Q = P i d i P Q = P i d i P

显然 Im ( d i P ) SUGFC- P ( R ) 。又 Im ( d i P ) Im ( d i P ) ,故结论成立。

推论3.6 设R是右余凝聚环,M是一R-模,则 M SGFC- P ( R ) M SUGFC- P ( R )

证明 由注记3.2(1)、命题3.3和文献( [9],定理7]易见。

命题3.7 设R是右余凝聚环,M是一R-模, r .FC .gl .dim ( R ) < ,则 M FC- P ( R ) M SUGFC- P ( R )

证明 由注记3.2(1)和推论2.11易见。

定理3.8 设R是右余凝聚环,且 r .FC .gl .dim ( R ) < ,则 FC- P ( R ) GFC- P ( R ) w GFC- P ( R ) SGFC- P ( R ) SUGFC- P ( R ) 是同一个类。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11861055)。

参考文献

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