1. 引言
本函数空间理论是分析学中的一个经典问题,经典的
(
)空间可以看成
空间的一种扩展。早在1995年时,由Aulaskari、肖和赵等人建立了初始的
空间 [1] [2]。其最初是用来研究复平面
的单位圆盘
上全纯函数类的共性不变性质。
对任意的
,我们定义
是由全纯函数构成的函数空间,这些全纯函数需满足
,
其中
是
上的格林函数,
为
上的Lebesgue测度。
文献 [2] [3] [4] [5] 证明了在复平面上,p > 1时,
是Bloch空间B。
时,
仅包含常数函数。特别地,
为Dirichlet空间D;
。随后,Essen、彭与肖等人研究了
上的
空间 [6]。肖根据Q空间理论考虑了Navier-Stokes方程解的适定性问题 [7]。在文献 [8] [9] [10] 中有更多关于
的实际应用问题。Q型函数空间的结构与BMO的结构极其相似。对于非欧几里得空间,刘、彭和王将
空间推广到海森堡群
上 [11]。此外,Q型空间也被广泛地应用到偏微分方程中。在 [9] 中,李和翟研究了有初值的quasi-geostrophic方程的适定性与正则性问题。在研究某些极大算子的性质时,Carleson测度和帐篷空间是有效的工具。Carleson和Luecking利用Carleson测度分别刻画了Hardy空间及Bergman空间 [12] [13]。在 [14] 中,董利用Carleson测度证明了
的等价刻画。
本文主要研究海森堡型群
上的双指标Q型空间
。关于海森堡型群,1980年在文献 [15] 中Kaplan首次引入海森堡型群,并研究了海森堡型群上次Laplace算子基本解的表达式及其性质。本文结构如下,第一节介绍了海森堡型群及Poisson核的相关知识。第二节中给出
和
的定义,并给出了
和
的嵌入关系。最后,在第三节中利用Carleson测度及Poisson积分证明了
的等价刻画。
下面是本文的主要结果
定理1. i) 若
,且
,则
;
ii) 若有
或
,则
仅包含常数函数;
iii) 若任意的
,有
且
,那么
。
定理2. 假设
满足
。则对任意的
、
满足
及
,我们说
当且仅当存在一常数C使得
对所有的方体
,也就是,
是
-Carleson测度。
2. 预备知识
2.1. 海森堡型群
令
为二阶幂零李代数,其上有内积
,中心表示为
。我们称
为海森堡型李代数,若
且对任意的
,映射
表示为
,
,
且
时,Jt为正交映射。海森堡型群为单连通的二阶幂零李群,其李代数是海森堡型李代数。
给定
,且属于
的对偶,在
上定义一斜对称矩阵
为
,
。
中的元素
定义为
。
选择
的一组标准正交基
使得
。
若
,
为
的一组标准正交基,满足
,
,则
。
这样的坐标称为海森堡坐标。一般海森堡型群的运算为
,
其中
,
为合适的斜对称矩阵。特别地,
[16]。
本文中的海森堡型群
由集合
构成,其中
,
,且元素满足运算
,其中
,
为合适的斜对称矩阵。显然这里的p为偶数。对
,定义Siegel型上半空间
为
,其中
,
中的元素也可记为
。且定义
为
的边界,a则称为点
到
边界的高度。
在
上有保高度的作用。贯穿下面的文章,对
、
,我们写作
、
,其中
,、
、
。海森堡型群上的伸缩
定义为
。
上可以定义一组等价的范数
和
。
我们在
和
上分别使用Lebesgue测度
和
,在极坐标下
,
为单位球面的面积元。在
中以
为心半径为r的球体我们定义为
。而
中以
为心l(I)为边长的方体I则定义为
。
这里I的体积我们用
表示,易知
,其中
。以
为边长且与I同心的方体我们用
表示。
是与I同心边长为
的方体。
2.2. Carleson测度与Poisson积分
对任意以
为心的方体
,定义Carleson盒子
为
。
上的一正Borel测度
称为p-Carleson测度,如果对p > 0,存在常数M > 0,使得
这里
。
容易得到
为原点处
的左不变向量场,
为
的中心,其中
为结构常数 [17]。另外它们满足交换关系
,除此之外的交换子是0。
的李代数等同于
。
对
上任意的光滑函数f,f的梯度定义为
,
根据 [18],估计
时,我们仅考虑
。
令
,类似地,对
,
上函数的梯度及它的度量定义为
。
在估计
时,仅考虑
。
方便起见,下文中
和
中的梯度都用
表示。
上的Poisson核 [19],由
表示,定义为
,
其中
,c为常数。
假设f为
上的可测函数,且满足
,那么
上f的Poisson积分定义为
。
关于Poisson核。我们有下面的引理
引理1. i)
;
ii) 记Z为
中的任意一个,则
。
3.
空间结构
本节中,我们先给出
的空间结构,然后,给出
的定义。
定义3.1. 对任意的
,我们称
若f满足
,
这里
,sup取遍
上所有方体。
注意到由
的定义,容易得出
在
上是一个Banach空间。
引理2. 对任意方体I和J,若
则有
i)
;
ii)
;
iii)
;
iv)
。
证明 论证主要根据下面两个结果
(3.1)
和
(3.2)
由(3.2),对(3.1)的等式两边同时在方体I上积分即得到(i)。(ii)是(i)的直接结论。(iii)是根据
最后,(iv)是利用(ii),从而,
。
定义3.1. 任意的
,我们定义
为满足
,
的可测函数构成的函数空间,其中sup取遍
中所有方体。
注1. i)
为一线性空间;
ii)
;
iii)
在
伸缩、平移、旋转下不变。
命题 3.1. 一可测函数f属于
等价于
。
定理1的证明. i) 若
,
。令
,则对方体
,有
所以
。
ii) 考虑
,显然当
时有
。对于
,我们利用反证法。假设
是实值函数且不恒为常数。那么,存在一个包含
的锥体
,使得
时,任意的单位向量
,
。记
。若
,且
,则有
,以及有
矛盾。由恒同逼近,即得证。
iii) 由于
且
,根据(i),若
,从而
。反过来,若
,对任意的方体
,
且有
,我们可以得到
当
时,同样地由(i),得到
。那么,反过来,若
,对任意方体
,令
以及
,此时我们得到
从而证明了
。
定理3.
是一个Banach空间。
证明. 显然
是一个赋范空间。就完备性而言,我们令
为
中一Cauchy序列。由定理1,可以知道
,那么
也是
中的一Cauchy序列。若
,根据Fatou引理,对
,
,
故
。
4.
的刻画
在这一节中,我们将证明文章中的重要结果。基于这一目标,我们引入下面的引理( [6] [11] [17] 及 [20] )。
引理3. I,J是
中以w0为心的方体,且方体J的边长
。令
,对
,存在一独立的常数C使得
根据引理,我们利用Carleson测度具体的刻画海森堡型群上的双指标Q空间,即定理2。
定理2的证明. 必要性,给定
,由定理1,有
,从而
且
,这里
。令I为
中以原点为心的方体。易知若J = 3I,有
,则
根据引理3得到
即可知
是一
-Carleson测度。
现在我们转向证明它的必要性。要证明
。
对于被积函数,我们有下面这样的估计:
由于
,
对于A3,由闵可夫斯基不等式及Hardy不等式 [17],得
。
任意得n满足
,由于
,
所以
。
对于A2,我们有下面的估计
。
这里B为
上的单位球体。则根据闵可夫斯基不等式
从而
,
结合A1,A2和A3的估计,所以证得
。