理论数学  >> Vol. 11 No. 4 (April 2021)

海森堡型群上的 Qr1,r2函数空间
The Qr1,r2 Spaces on the H-Type Groups

DOI: 10.12677/PM.2021.114082, PDF, HTML, XML, 下载: 14  浏览: 46 

作者: 周 珊, 黄小青, 董建锋:上海大学理学院,上海

关键词: 海森堡型群Poisson核Carleson测度H-Type Group Poisson Kernel Carleson Measure

摘要: 函数空间理论在调和分析中有着十分重要的作用。本文研究海森堡型群N上的双指标Q型函数空间Qr1,r2(N)。在Siegel型上半空间N×R+上利用Carleson测度给出Qr1,r2(N)的等价刻画,并且给出了Qr1,r2(N)与BMOβ(N)的嵌入关系。
Abstract: Function spaces play an important role in harmonic analysis. In this paper, we study the Q-type space Qr1,r2(N) on the H-type group N. We show the characterization of Qr1,r2(N) by the Carleson measure on the Siegel type domain N×R+. Furthermore, the embedding result between Qr1,r2(N) and BMOβ(N) is founded.

文章引用: 周珊, 黄小青, 董建锋. 海森堡型群上的 Qr1,r2函数空间[J]. 理论数学, 2021, 11(4): 676-684. https://doi.org/10.12677/PM.2021.114082

1. 引言

本函数空间理论是分析学中的一个经典问题,经典的 Q p ( D ) ( 0 < p < 1 )空间可以看成 B M O A ( D ) 空间的一种扩展。早在1995年时,由Aulaskari、肖和赵等人建立了初始的 Q p 空间 [1] [2]。其最初是用来研究复平面 C 的单位圆盘 D 上全纯函数类的共性不变性质。

对任意的 p > 1 ,我们定义 Q p ( D ) 是由全纯函数构成的函数空间,这些全纯函数需满足

f Q P = ( sup w D D | f ( z ) | 2 g p ( z , w ) d A ( z ) ) 1 2 < +

其中 g ( z , w ) = log | ( 1 w ¯ z ) / ( z w ) | D 上的格林函数, d A ( z ) D 上的Lebesgue测度。

文献 [2] [3] [4] [5] 证明了在复平面上,p > 1时, Q p 是Bloch空间B。 1 < p < 0 时, Q p 仅包含常数函数。特别地, Q 0 为Dirichlet空间D; Q 1 = B M O A 。随后,Essen、彭与肖等人研究了 R n 上的 Q α 空间 [6]。肖根据Q空间理论考虑了Navier-Stokes方程解的适定性问题 [7]。在文献 [8] [9] [10] 中有更多关于 Q α ( R n ) 的实际应用问题。Q型函数空间的结构与BMO的结构极其相似。对于非欧几里得空间,刘、彭和王将 Q p ( D ) 空间推广到海森堡群 H n 上 [11]。此外,Q型空间也被广泛地应用到偏微分方程中。在 [9] 中,李和翟研究了有初值的quasi-geostrophic方程的适定性与正则性问题。在研究某些极大算子的性质时,Carleson测度和帐篷空间是有效的工具。Carleson和Luecking利用Carleson测度分别刻画了Hardy空间及Bergman空间 [12] [13]。在 [14] 中,董利用Carleson测度证明了 Q p ( N ) 的等价刻画。

本文主要研究海森堡型群 N 上的双指标Q型空间 Q r 1 , r 2 ( N ) 。关于海森堡型群,1980年在文献 [15] 中Kaplan首次引入海森堡型群,并研究了海森堡型群上次Laplace算子基本解的表达式及其性质。本文结构如下,第一节介绍了海森堡型群及Poisson核的相关知识。第二节中给出 B M O β ( N ) Q r 1 , r 2 ( N ) 的定义,并给出了 B M O β ( N ) Q r 1 , r 2 ( N ) 的嵌入关系。最后,在第三节中利用Carleson测度及Poisson积分证明了 Q r 1 , r 2 ( N ) 的等价刻画。

下面是本文的主要结果

定理1. i) 若 r 1 + r 2 = r 1 + r 2 ,且 r 1 < r 1 ,则 Q r 1 , r 2 ( N ) Q r 1 , r 2 ( N )

ii) 若有 r 2 < 0 r 1 > d + 2 d ,则 Q r 1 , r 2 ( N ) 仅包含常数函数;

iii) 若任意的 β > 0 ,有 r 1 < 1 β + 1 = r 1 + r 2 ,那么 Q r 1 , r 2 ( N ) = B M O β ( N )

定理2. 假设 f L l o c 2 ( N ) 满足 N f ( n ) 1 + | n | 2 d d n < 。则对任意的 r 1 r 2 满足 1 < r 1 d + 2 d r 1 + r 2 ( 1 , d + 2 d ) ,我们说 f Q r 1 , r 2 ( N ) 当且仅当存在一常数C使得

S ( I ) | F ( z ) | 2 a d ( 1 r 1 ) + 1 d z C | I | r 2

对所有的方体 I N ,也就是, | F ( z ) | 2 a d ( 1 r 1 ) + 1 d z r 2 -Carleson测度。

2. 预备知识

2.1. 海森堡型群 N

G 为二阶幂零李代数,其上有内积 , ,中心表示为 z 。我们称 G 为海森堡型李代数,若 [ z , z ] = z 且对任意的 t z ,映射 J t : z z 表示为

J t u , w : = t , [ u , w ] u , w z

| t | = 1 时,Jt为正交映射。海森堡型群为单连通的二阶幂零李群,其李代数是海森堡型李代数。

给定 ρ 0 ,且属于 z 的对偶,在 z 上定义一斜对称矩阵 A ( ρ ) A ( ρ ) u , w = ρ ( [ u , w ] ) u , w z z 中的元素 Z ρ 定义为

A ( ρ ) u , w = ρ ( [ u , w ] ) = J Z ρ u , w

选择 z 的一组标准正交基 { E 1 ( ρ ) , , E n ( ρ ) , E ¯ 1 ( ρ ) , E ¯ n ( ρ ) } 使得

A ( ρ ) E i ( ρ ) = | Z ρ | J Z ρ | Z ρ | E i ( ρ ) = | ρ | E ¯ i ( ρ ) , A ( ρ ) E ¯ i ( ρ ) = | ρ | E i ( ρ )

dim z = m { ε 1 , , ε m } z 的一组标准正交基,满足 ρ ( ε 1 ) = | ρ | ρ ( ε j ) = 0 ( 1 j m ) ,则

( z , t ) = ( x , y , t ) = i = 1 n ( x i E i + y i E ¯ i ) + j = 1 m t j ε j

这样的坐标称为海森堡坐标。一般海森堡型群的运算为

( z , t ) ( z , t ) = ( z + z , t + t + 1 2 [ z , z ] )

其中 [ z , z ] j = z , U j z U j ( j = 1 , , m ) 为合适的斜对称矩阵。特别地, z , U 1 z = j = 1 n ( x j y j y j x j ) [16]。

本文中的海森堡型群 N 由集合 R P × R q = { ( x , u ) : x R P , u R q } 构成,其中 x = ( x 1 , x 2 , , x p ) R p u = ( u 1 , u 2 , , u q ) R q ,且元素满足运算 ( x , u ) ( y , v ) = ( x + y , u + v + 1 2 [ x , y ] ) ,其中 [ x , y ] j = x , U j y U j ( j = 1 , , q ) 为合适的斜对称矩阵。显然这里的p为偶数。对 a R + ,定义Siegel型上半空间 N × R + S = { ( w , a ) : w N , a R + } ,其中 w = ( x , u ) N S 中的元素也可记为 ( x , u , a ) 。且定义 N S 的边界,a则称为点 ( w , a ) S 边界的高度。 N S 上有保高度的作用。贯穿下面的文章,对 z = ( x , u , a ) s = ( y , v , a 0 ) S ,我们写作 z = ( w , a ) s = ( n , a 0 ) ,其中 a , a 0 R + ,、 w = ( x , u ) n = ( y , v ) N 。海森堡型群上的伸缩 δ t ( w ) 定义为 t w = ( t x , t 2 u )

N 上可以定义一组等价的范数

| w | = ( 1 16 | x | 4 + | u | 2 ) 1 4

| w | = max { 1 2 | x 1 | , , 1 2 | x p | , | u 1 | , , | u q | }

我们在 N S 上分别使用Lebesgue测度 d w = d x d u d z = d w d a ,在极坐标下 d w = d x d u = r d 1 d r d σ w d σ w 为单位球面的面积元。在 N 中以 n = ( y , v ) 为心半径为r的球体我们定义为 { w = ( x , u ) : | n 1 w | < r } 。而 N 中以 n = ( y , v ) 为心l(I)为边长的方体I则定义为

I = { w : | n 1 w | l ( I ) 2 }

这里I的体积我们用 | I | 表示,易知 | I | = 2 p q [ l ( I ) ] d ,其中 d = p + 2 q 。以 2 k l ( I ) 为边长且与I同心的方体我们用 I k ( k N ) 表示。 t I ( t > 0 ) 是与I同心边长为 t l ( I ) 的方体。

2.2. Carleson测度与Poisson积分

对任意以 n = ( y , v ) 为心的方体 I N ,定义Carleson盒子 S ( I ) S

S ( I ) = { z = ( x , u , a ) = ( w , a ) S : | n 1 w | l ( I ) 2 , a l ( I ) }

S 上的一正Borel测度 μ 称为p-Carleson测度,如果对p > 0,存在常数M > 0,使得

μ ( S ( I ) ) M | I | p

这里 I N

容易得到

X j = x j + 1 2 x j C j i l u l , 1 j , i p , 1 l q ; T k = u k , 1 k q

为原点处 x j 的左不变向量场, T k N 的中心,其中 C j i l 为结构常数 [17]。另外它们满足交换关系 [ x j , y j ] = 1 2 ( x i + x j ) C j i l T l ,除此之外的交换子是0。 N 的李代数等同于 R p + q

N 上任意的光滑函数f,f的梯度定义为

f ( w ) = ( X 1 f ( w ) , , X p f ( w ) , T 1 f ( w ) , , T q f ( w ) )

根据 [18],估计 | f ( w ) | 2 时,我们仅考虑

f ( w ) = ( X 1 f ( w ) , , X p f ( w ) )

R = a ,类似地,对 z S S 上函数的梯度及它的度量定义为

˜ F ( z ) = ( X 1 F ( z ) , , X p F ( z ) , T 1 F ( z ) , , T q F ( z ) , R F ( z ) )

在估计 | ˜ F ( z ) | 2 时,仅考虑

| ˜ F ( z ) | 2 = k = 1 p | X k F ( z ) | 2 + | R F ( z ) | 2

方便起见,下文中 N S 中的梯度都用 表示。

S 上的Poisson核 [19],由 P a ( ) 表示,定义为

P ( z ) = P ( w , a ) = P a ( w ) = c a d [ ( a 2 + 1 4 | x | 2 ) 2 + | u | 2 ] d 2

其中 z = ( w , a ) S ,c为常数。

假设f为 N 上的可测函数,且满足 N | f ( w ) | 1 + | w | 2 d d w < + ,那么 S 上f的Poisson积分定义为

F ( z ) = f P ( z ) = N f ( n ) P a ( n 1 w ) d n

关于Poisson核。我们有下面的引理

引理1. i) N P a ( w ) d w = 1

ii) 记Z为 X j ( j = 1 , , p ) 中的任意一个,则

| Z P a ( w ) | { C a d 1 , a | w | C | w | d 1 , a < | w | , | R P ( z ) | { C a d 1 , a | w | C | w | d 1 , a < | w |

3. Q r 1 , r 2 空间结构

本节中,我们先给出 B M O β ( N ) 的空间结构,然后,给出 Q r 1 , r 2 ( N ) 的定义。

定义3.1. 对任意的 f L l o c ( N ) ,我们称 f B M O β ( N ) 若f满足

f ( w ) B M O β 2 = sup I 1 | I | β I | f ( w ) f ( I ) | 2 d w < +

这里 f ( I ) = 1 | I | I f ( w ) d w ,sup取遍 N 上所有方体。

注意到由 B M O β ( N ) 的定义,容易得出 B M O β N 上是一个Banach空间。

引理2. 对任意方体I和J,若 I J N 则有

i) 1 | I | β I | f ( w ) c | 2 d w = 1 | I | β I | f ( w ) f ( I ) | 2 d w + | f ( I ) c | 2 | I | 1 β , c C

ii) I | f ( w ) f ( I ) | 2 d w = inf c I | f ( w ) c | 2 d w

iii) 1 | I | 1 + β I I | f ( w ) f ( n ) | 2 d w d n = 2 | I | β I | f ( w ) f ( I ) | 2 d w

iv) I | f ( w ) f ( I ) | 2 d w J | f ( w ) f ( J ) | 2 d w

证明 论证主要根据下面两个结果

| f ( w ) c | 2 = | f ( w ) f ( I ) | 2 + [ f ( w ) f ( I ) ] [ f ( I ) c ] ¯ + [ f ( w ) f ( I ) ] ¯ [ f ( I ) c ] + | f ( I ) c | 2 (3.1)

I [ f ( w ) f ( I ) ] d w = I f ( w ) f ( I ) ¯ d w = 0 (3.2)

由(3.2),对(3.1)的等式两边同时在方体I上积分即得到(i)。(ii)是(i)的直接结论。(iii)是根据

1 | I | 1 + β I I | f ( w ) f ( n ) | 2 d w d n = 1 | I | β I d n ( 1 | I | I | f ( w ) f ( n ) | 2 d w ) = 2 | I | β I | f ( w ) f ( I ) | 2 d w

最后,(iv)是利用(ii),从而,

I | f ( w ) f ( I ) | 2 d w I | f ( w ) f ( J ) | 2 d w J | f ( w ) f ( J ) | 2 d w

定义3.1. 任意的 r 1 , r 2 R ,我们定义 Q r 1 , r 2 ( N ) 为满足

f Q r 1 , r 2 2 = sup I 1 | I | r 2 I I | f ( w ) f ( n ) | 2 | n 1 w | d r 1 d w d n < +

的可测函数构成的函数空间,其中sup取遍 N 中所有方体。

注1. i) Q r 1 , r 2 ( N ) 为一线性空间;

ii) Q 0 , 2 ( N ) = B M O 1 ( N )

iii) Q r 1 , r 2 ( N ) N 伸缩、平移、旋转下不变。

命题 3.1. 一可测函数f属于 Q r 1 , r 2 ( N ) 等价于

sup I 1 | I | r 2 | n | < l ( I ) I | f ( w n ) f ( w ) | 2 d w d n | n | d r 1 < +

定理1的证明. i) 若 r 1 + r 2 = r 1 + r 2 r 1 < r 1 。令 f Q r 1 , r 2 ( N ) ,则对方体 I N ,有

I I | f ( w ) f ( n ) | 2 | n 1 w | d r 1 d w d n = I I | f ( w ) f ( n ) | 2 | n 1 w | d r 1 | n 1 w | d ( r 1 r 1 ) d w d n C | I | r 1 f Q r 1 + r 2 2

所以 Q r 1 , r 2 ( N ) Q r 1 , r 2 ( N )

ii) 考虑 f Q r 1 , r 2 ,显然当 r 2 < 0 时有 f C 。对于 r 1 > d + 2 d ,我们利用反证法。假设 f Q r 1 , r 2 ( N ) C 1 ( N ) 是实值函数且不恒为常数。那么,存在一个包含 X 0 的锥体 V g ,使得 | n 1 w | < ε 时,任意的单位向量 X V X f ( w ) δ > 0 。记 D = { η = exp X : | η | < ε , X V } 。若 w , n I ,且 n 1 w D ,则有 f ( w ) f ( n ) δ | n 1 w | ,以及有

| n | < l ( I ) I | f ( w n ) f ( w ) | 2 d w d n | n | d r 1 δ 2 | I | n D d n | n | d r 1 2 = +

矛盾。由恒同逼近,即得证。

iii) 由于 β > 0 β + 1 = r 1 + r 2 ,根据(i),若 0 r 1 < 1 ,从而 Q r 1 , r 2 ( N ) Q 0 , β + 1 ( N ) = B M O β ( N ) 。反过来,若 f B M O β ( N ) ,对任意的方体 I N n N 且有 | n | < l ( I ) ,我们可以得到

1 | I | r 2 | n | < l ( I ) I | f ( w n ) f ( w ) | 2 d w d n | n | d r 1 C | I | β r 2 f B M O β 2 0 l ( I ) r d ( 1 r 1 ) 1 d r C f B M O β 2

r 1 < 0 时,同样地由(i),得到 B M O β ( N ) = Q 0 , β + 1 ( N ) Q r 1 , r 2 ( N ) 。那么,反过来,若 f Q r 1 , r 2 ( N ) ,对任意方体 I N ,令 E = { ξ I | min { | ξ 1 w | , | ξ 1 n | } > 1 8 l ( I ) } 以及 K ( w , n , ξ ) = min { | ξ 1 w | , | ξ 1 n | } d r 1 ,此时我们得到

| I | β I | f ( w ) f ( I ) | 2 d w C | I | 1 β I I | f ( w ) f ( n ) | 2 d w d n C | I | 2 β + r 1 I I I K ( w , n , ξ ) | f ( w ) f ( n ) | 2 d w d n d ξ C | I | r 2 I I | f ( w ) f ( ξ ) | 2 | ξ 1 w | d r 1 d w d ξ C f Q r 1 , r 2 2

从而证明了 f B M O β ( N )

定理3. Q r 1 , r 2 ( N ) 是一个Banach空间。

证明. 显然 Q r 1 , r 2 ( N ) 是一个赋范空间。就完备性而言,我们令 { f k } Q r 1 , r 2 ( N ) 中一Cauchy序列。由定理1,可以知道 Q r 1 , r 2 ( N ) B M O β ( N ) ,那么 { f k } 也是 B M O β ( N ) 中的一Cauchy序列。若 f k f B M O β ( N ) ,根据Fatou引理,对 k 1

f k f Q r 1 , r 2 lim j + sup f j f k Q r 1 , r 2

f k f Q r 1 , r 2 ( N )

4. Q r 1 , r 2 ( N ) 的刻画

在这一节中,我们将证明文章中的重要结果。基于这一目标,我们引入下面的引理( [6] [11] [17] 及 [20] )。

引理3. I,J是 N 中以w0为心的方体,且方体J的边长 l ( I ) 3 l ( I ) 。令 f L l o c ( N ) ,对 1 < r 1 d + 2 d ,存在一独立的常数C使得

S ( I ) | F ( z ) | 2 a d ( 1 r 1 ) + 1 d z C J J | f ( w ) f ( n ) | | n 1 w | d r 1 d w d n + C [ l ( I ) ] 2 ( d + 1 ) d r 1 ( N \ 2 3 J | f ( w ) f ( J ) | | w 0 1 w | d + 1 d w ) 2

根据引理,我们利用Carleson测度具体的刻画海森堡型群上的双指标Q空间,即定理2。

定理2的证明. 必要性,给定 f Q r 1 , r 2 ( N ) ,由定理1,有 Q r 1 , r 2 ( N ) B M O β ( N ) ,从而 f B M O β ( N ) f B M O β f Q r 1 , r 2 ,这里 r 1 + r 2 = β + 1 ( β > 0 ) 。令I为 N 中以原点为心的方体。易知若J = 3I,有 l ( J ) = 3 l ( I ) ,则

N \ 2 3 J f ( w ) f ( J ) | w | d + 1 d w k = 0 + 3 k J \ 3 k 1 J f ( w ) f ( 3 k J ) | w | d + 1 d w + k = 0 + 3 k J \ 3 k 1 J f ( 3 k J ) f ( J ) | w | d + 1 d w C [ l ( I ) ] 1 + β 1 2 d f B M O β

根据引理3得到

S ( I ) | F ( z ) | 2 a d ( 1 r 1 ) + 1 d z C f Q r 1 , r 2 2 | J | r 2 + C [ l ( I ) ] d + β d d r 1 f B M O β 2 C f Q r 1 , r 2 2 | I | r 2 C | I | r 2

即可知 | F ( z ) | 2 a d ( 1 r 1 ) + 1 d z 是一 r 2 -Carleson测度。

现在我们转向证明它的必要性。要证明

| n | < l ( I ) I | f ( w n ) f ( w ) | 2 d w d n | n | d r 1 C | I | r 2

对于被积函数,我们有下面这样的估计:

| f ( w n ) f ( w ) | | f ( w n ) F ( w n , | n | ) | + | F ( w n , | n | ) F ( w , | n | ) | + | F ( w , | n | ) f ( w ) | = A 1 + A 2 + A 3

由于

F ( w , | n | ) f ( w ) = 0 | n | f ( w , a ) a d a = 0 | n | ( R F ) d a

对于A3,由闵可夫斯基不等式及Hardy不等式 [17],得

| n | < l ( I ) 1 | n | d r 1 ( I | A 3 | 2 d w ) d n C 0 l ( I ) [ I | F ( w , a ) | 2 d w ] a d ( 1 r 1 ) + 1 d a C | I | r 2

任意得n满足 | n | < l ( I ) ,由于

I | A 1 | 2 d w = n I | A 3 | 2 d w 3 I | A 3 | 2 d w

所以

| n | < l ( I ) 1 | n | d r 1 ( I | A 1 | 2 d w ) d n C | I | r 2

对于A2,我们有下面的估计

A 2 C 0 | n | | F ( w r σ n , | n | ) | d r , σ n B

这里B为 N 上的单位球体。则根据闵可夫斯基不等式

( I | A 2 | 2 d w ) 1 2 C 0 | n | [ I | F ( w r σ n , | n | ) | 2 d w ] 1 2 d r C | n | [ 3 I | F ( w , | n | ) | 2 d w ] 1 2

从而

| n | < l ( I ) 1 | n | d r 1 ( I | A 2 | 2 d w ) d n C | I | r 2

结合A1,A2和A3的估计,所以证得 f Q r 1 , r 2 ( N )

参考文献

[1] John, F. and Nirenberg, L. (1961) On Functions of Bounded Mean Oscillation. Communications on Pure and Applied Math-ematics, 14, 785-799.
https://doi.org/10.1002/cpa.3160140317
[2] Aulaskari, R., Xiao, J. and Zhao, R. (1995) On Sub-spaces and Subsets of BMOA and UBC. Analysis, 15, 101-121.
https://doi.org/10.1524/anly.1995.15.2.101
[3] Aulaskari, R. and Lappan, P. (1994) Criteria for an Analytic Functions to Be Bloch and a Harmonic or Meromorphic Function to Be Normal, Complex Analysis and Its Applications. Pitman Research Notes in Mathematics: Longman Scientific & Technical, 305, 136-146.
[4] Aulaskari, R., Stegenga, D.A. and Xiao, J. (1996) Some Subclasses of BMOA and Their Characterization in Terms of Carleson Measure. Rocky Mountain Journal of Mathematics, 26, 485-506.
https://doi.org/10.1216/rmjm/1181072070
[5] Nicolau, A. and Xiao, J. (1997) Bounded Functions in Mӧbius Invariant Dirchlet Space. Journal of Functional Analysis, 150, 383-425.
https://doi.org/10.1006/jfan.1997.3114
[6] Essen, M., Janson, S., Peng, L. and Xiao, J. (2000) Q Space of Several Real Variables. Indiana University Mathematics Journal, 49, 575-615.
https://doi.org/10.1512/iumj.2000.49.1732
[7] Xiao, J. (2007) Homothetic Variant of Fractional Soblev Space with Application to Naiver-Stokes System. Dynamic of PDE, 2, 227-245.
https://doi.org/10.4310/DPDE.2007.v4.n3.a2
[8] Li, P. and Zhai, Z. (2010) Well-Posedness and Regularity of Generalized Naiver-Stokes Equations in Some Critical Q-Spaces. Journal of Functional Analysis, 259, 2457-2519.
https://doi.org/10.1016/j.jfa.2010.07.013
[9] Li, P. and Zhai, Z. (2012) Riesz Transforms on Q-Type Spaces with Ap-plication to Quasi-Geostrophic Equation. Taiwanese Journal of Mathematics, 16, 2017-2132.
https://doi.org/10.11650/twjm/1500406843
[10] Xiao, Z. and Zhou, Y. (2019) A Reverse Quasiconformal Composition Problem for . Arkiv för Matematik, 57, 451-469.
https://doi.org/10.4310/ARKIV.2019.v57.n2.a11
[11] 王春杰. 复区域上的几个问题研究[D]: [博士学位论文]. 北京: 北京大学, 2003.
[12] Carlesom, L. (1962) Interpolation of Bounded Analytic Functions and the Corona Problem. Arkiv för Matematik, 76, 547-559.
https://doi.org/10.2307/1970375
[13] Luecking, D.H. (1986) Multipliers of Bergman Spaces into Lebesgue Spaces. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 29, 125-131.
https://doi.org/10.1017/S001309150001748X
[14] 董建锋. H型群上的Q空间与Poisson积分[D]: [硕士学位论文]. 北京: 北京大学, 2004.
[15] Kaplan, A. (1980) Funda-mental Solutions for a Class of Hypoeliptic P.D.E Generated by Composition Quadratic Forms. Transactions of the American Mathematical Society, 258, 147-153.
https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1980-0554324-X
[16] Liu, H. and Song M. (2017) A Functional Calculus and Re-striction theorem on H-Type Groups. Pacific Journal of Mathmatics, 286, 291-305.
https://doi.org/10.2140/pjm.2017.286.291
[17] Stein, E.M. (1970) Singular Integrals and Differential Properties of Functions. Princeton University Press, Princeton.
[18] Folland, G.B. and Stein, E.M. (1982) Hardy Spaces on Homogeneous Groups. Princeton University Press, Princeton.
[19] Cygan, J. (1981) Subadditivity of Homogeneous Norms on Certain Nilpotent Lie Groups. Proceedings of the American Mathematical Society, 83, 69-70.
https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1981-0619983-8
[20] Stegenga, D. (1980) Multipliers of the Dirichlet Space. III. Journal of Mathematics, 24, 113-139.
https://doi.org/10.1215/ijm/1256047800