应用数学进展  >> Vol. 10 No. 4 (April 2021)

Burgers方程的时空Legendre谱配置方法
Space-Time Legendre Spectral Collocation Methods for Burgers Equation

DOI: 10.12677/AAM.2021.104147, PDF, HTML, XML, 下载: 20  浏览: 53  国家自然科学基金支持

作者: 宋 健, 王天军, 霍金键:河南科技大学数学与统计学院,河南 洛阳

关键词: Burgers方程初边值问题时空Legendre谱配置法Burgers Equation Initial-Boundary Value Problems Space-Time Legendre Spectral Collocation Method

摘要: 利用Legendre-Gauss-Lobatto节点为配置点,构造Burgers方程初边值问题的时空Legendre谱配置格式。即在时间和空间方向都用Lagrange插值多项式将其化为非线性方程组,数值实验证明了所提算法格式的有效性和高精度。
Abstract: A Legendre spectral collocation scheme is constructed for Burgers equation by using the Legendre collocation method in time and space, which is a nonlinear system using Lagrange interpolation polynomials. Numerical results demonstrate the efficiency and high accuracy of the proposed algorithm.

文章引用: 宋健, 王天军, 霍金键. Burgers方程的时空Legendre谱配置方法[J]. 应用数学进展, 2021, 10(4): 1380-1386. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.104147

1. 引言

Burgers方程由Bateman 1915年在研究流体运动时提出 [1]。浅水波以及一些物理系统中的波动过程可以归结为Burgers方程。一维Burgers方程精确解首先由Benton和Platzman得到 [2],因此,求解Burgers方程是科学或工程领域中的重要课题。一些作者用Chebyshev谱–Euler混合方法、高阶紧致有限体积、时空耦合谱元方法和迎风LDQ方法求解Burgers方程初边值问题 [3] [4] [5] [6]。由于时间和空间方向的误差阶不同,导致时间和空间方向的模数不平衡,这就会增加计算工作量,为克服这个局限性,有作者对发展型方程构造了时空谱方法 [7] [8]。最近,一些作者研究了以Legendre-Gauss-Lobatto节点为配置点的微分矩阵的一些性质 [9] [10],并用于求解常微分方程定解问题的数值解 [11] [12],特别有作者构造了KdV方程Cauchy问题的时空谱配置方法 [13] [14],基于这些工作,本文构造Burgers方程初边值问题的时空Legendre谱配置方法,具体地就是考虑如下Burgers方程初边值问题:

{ s u + u x u x 2 u = 0 , x ( 1 , 1 ) , s ( 0 , T ] , u ( 1 , s ) = g 1 ( s ) , u ( 1 , s ) = g 2 ( s ) , s [ 0 , T ] , u ( x , 0 ) = φ ( x ) , x [ 1 , 1 ] . (1)

用Lagrange二元插值多项式逼近(1)的精确解,在时间和空间方向用Legendre谱配置方法,将(1)式化为非线性矩阵方程,然后转化为非线性代数方程组,利用通常的不动点迭代方法求得数值解,显然在函数关于时间和空间两个变量充分光滑时,两个方向的数值误差阶是相同的,都具有谱精度,并且大大地减少了计算工作量。

2. 基于Gauss节点的插值多项式及其微分矩阵

L N ( x ) ( x I = ( 1 , 1 ) ) 为N次Legendre多项式。 x 0 = 1 ; x N = 1 ; x k ( 1 k N 1 ) x L N ( x ) = 0 的根 [11]。以 x k 为节点的Lagrange插值基函数为:

ψ k ( x ) = ( 1 x 2 ) x L N ( x ) N ( N + 1 ) ( x k x ) L N ( x k ) . (2)

P N ( I ) 为次数不超过 N 的多项式集合,对 u ( x ) C ( I ¯ ) ,其Lagrange插值多项式

p N ( x ) = j = 0 N u j ψ j ( x ) , u j = u ( x j ) , x I .

p N ( x ) 关于 x m 阶导数,并令 x = x k , k = 0 , 1 , , N ,得

x m p N ( x ) = j = 0 N u j x m ψ j ( x ) .

相应于 ψ j ( x ) m 阶微分矩阵和一阶微分矩阵分别记为:

D ( m ) = ( x m ψ j ( x k ) ) 0 k , j N , D = D ( 1 ) = ( d k j = x ψ j ( x k ) ) 0 k , j N .

引理 根据文献 [9] 中的(3.68)和(3.203)式,则有 [9] [10] [11]:

d k j = { N ( N + 1 ) 4 , k = j = 0 ; L N ( x k ) ( x k x j ) L N ( x j ) , k j ; N ( N + 1 ) 4 , k = j = N ; 0 , k = j , ( k , j = 1 , 2 , , N 1 ) . (3)

而且m阶微分矩阵是一阶微分矩阵的m次幂。

3. Burgers方程初边值问题的谱配置格式

对(1)式作变换 t = 2 s T 1 ,问题转化为:

{ 2 T t u + u x u x 2 u = 0 , x ( 1 , 1 ) , t ( 1 , 1 ] , u ( 1 , t ) = g 1 ( s ( t ) ) , u ( 1 , t ) = g 2 ( s ( t ) ) , t [ 1 , 1 ] , u ( x , 1 ) = φ ( x ) x [ 1 , 1 ] . (4)

Ω = I I , Q M , N ( Ω ) = P M ( I ) P N ( I ) 。式(4)的Legendre时空谱配置方法就是求 u M , N ( x , t ) Q M , N ( Ω ) 满足:

{ 2 T t u M , N + u M , N x u M , N x 2 u M , N = 0 , x ( 1 , 1 ) , t ( 1 , 1 ] , u M , N ( 1 , t ) = g 1 ( s ( t ) ) , u M , N ( 1 , t ) = g 2 ( s ( t ) ) , t [ 1 , 1 ] , u M , N ( x , 1 ) = φ ( x ) , x [ 1 , 1 ] . (5)

u M , N ( x , t ) = n = 0 N m = 0 M u ^ m , n ψ n ( x ) ψ m ( t ) 逼近(4)式的解,并将其带入到(5)式中,得:

{ 2 T n = 0 N m = 0 M u ^ m , n ψ n ( x k ) t ψ m ( t l ) + n = 0 N m = 0 M u ^ m , n ψ n ( x k ) ψ m ( t l ) n = 0 N m = 0 M u ^ m , n x ψ n ( x k ) ψ m ( t l ) n = 0 N m = 0 M u ^ m , n x 2 ψ n ( x k ) ψ m ( t l ) = 0 , k = 1 , 2 , , N 1 ; l = 1 , 2 , , M , n = 0 N m = 0 M u ^ m , n ψ n ( x 0 ) ψ m ( t l ) = g 1 ( t l + 1 2 T ) , n = 0 N m = 0 M u ^ m , n ψ n ( x N ) ψ m ( t l ) = g 2 ( t l + 1 2 T ) , l = 0 , 1 , M , n = 0 N m = 0 M u ^ m , n ψ n ( x k ) ψ m ( t 0 ) = φ ( x k ) , k = 0 , 1 , 2 , , N . (6)

d ^ l , m = t ψ m ( t l ) , d ˜ k , n = x ψ n ( x k ) , d ˜ k , n ( 2 ) = x 2 ψ j ( x k ) ,利用Lagrange插值多项式的性质,式(6)关于 l k 展开,则(6)式可转化成矩阵形式为:

A X X B T + X . * D = X . * ( X C T ) F . (7)

E n 表示 n 阶单位矩阵,“ ”表示Kronecker积, G 是矩阵 D 按行向量拉长后的转置向量, R 是矩阵 F 按行向量拉长后的转置向量,“ . * ”表示对应元素相乘,则(7)式可化为如下的非线性方程组:

( A E N 1 E M B ) Y + Y . * G = Y .* ( ( E M C ) Y ) R . (8)

Y = ( u ^ 1 , 1 , u ^ 1 , 2 , , u ^ 1 , N 1 , u ^ 2 , 1 , u ^ 2 , 2 , , u ^ 2 , N 1 , , u ^ M , 1 , u ^ M , 2 , , u ^ M , N 1 ) T , Y 0 = ( u ^ 0 , 1 , u ^ 0 , 2 , , u ^ 0 , N 1 , 0 , 0 , , 0 , , 0 , 0 , , 0 ) T , R = ( f 1 , 1 , f 1 , 2 , , f 1 , N 1 , f 2 , 1 , f 2 , 2 , , f 2 , N 1 , , f M , 1 , f M , 2 , , f M , N 1 ) T , G = ( d 1 , 1 , d 1 , 2 , , d 1 , N 1 , d 2 , 1 , d 2 , 2 , , d 2 , N 1 , , d M , 1 , d M , 2 , , d M , N 1 ) T .

4. 数值结果

Burgers方程有精确孤波解及初边值 [15]:

u ( x , s ) = 2 ω k e ω α k 2 ( k x ω s ) C 1 + e ω α k 2 ( k x ω s ) , φ ( x ) = 2 ω k e ω α k 2 k x C 1 + e ω α k 2 k x , g 1 ( s ) = 2 ω k e ω α k 2 ( k ω s ) C 1 + e ω α k 2 ( k ω s ) , g 2 ( s ) = 2 ω k e ω α k 2 ( k ω s ) C 1 + e ω α k 2 ( k ω s ) . (9)

这里 k , ω , α C 1 都是常数。

在(1)式中时间方向令 T = 1 。用下面的 L 范数度量数值误差

E M , N = max 1 l M , 1 k N 1 | u M , N ( x k , t l ) u ( x k , t l ) | .

图1是(1)式中时间方向 T = 1 ,(9)式中的参数 k = 0 .5 , ω = 0 .3 , C 1 = 2 ω / k , α = 1 ,时间方向插值多项式次数 M = 7 时最大值误差 E M , N 随空间插值多项式次数 N 的变化情况,可以看出误差随 N 的增大而快速减小,算法格式在空间方向有谱精度,而且空间方向和时间方向所用的模数相差不大,算法格式平衡了两个方向的代价,这是所提算法的一个优点。

图2的参数和图1相同,空间方向插值多项式次数 N = 1 5 时最大值误差 E M , N 随时间插值多项式次数 M 的变化情况,表明算法格式在时间方向有谱精度。

图3的参数和图1的参数相同,表明在迭代30次时CPU所耗费的时间秒数,表明算法格式的高效性。

图4是(1)式中时间方向 T = 10 ,(9)式中的参数 k = 0 .5 , ω = 0 .3 , C 1 = 2 ω / k , α = 1 ,时间方向插值多项式次数 M = 20 时最大值误差 E M , N 随空间插值多项式次数 N 的变化情况,可以看出算法格式对(1)式中时间方向 T 取较大值仍然得到很好的结果。

Figure 1. L error with M = 7 , k = 0 .5 , ω = 0.3 , C 1 = 2 ω / k , α = 1

图1. M = 7 , k = 0 .5 , ω = 0.3 , C 1 = 2 ω / k , α = 1 时的 L 误差

Figure 2. L error with N = 15 , k = 0 .5 , ω = 0 .3 , C 1 = 2 ω / k , α = 1

图2. N = 15 , k = 0 .5 , ω = 0 .3 , C 1 = 2 ω / k , α = 1 时的 L 误差

Figure 3. Costing seconds of CPU with M = 7 , k = 0 .5 , ω = 0 .3 , C 1 = 2 ω / k , α = 1

图3. M = 7 , k = 0 .5 , ω = 0 .3 , C 1 = 2 ω / k , α = 1 时CPU耗费时间秒数

Figure 4. L error with M = 20 , k = 0 .5 , ω = 0 .3 , C 1 = 2 ω / k , α = 1

图4. M = 20 , k = 0 .5 , ω = 0 .3 , C 1 = 2 ω / k , α = 1 时的 L 误差

5. 结论

本文针对Burgers方程初边值问题用时空Legendre-谱配置方法构造了问题的二元Lagrange插值逼近格式,利用已有的微分矩阵将Burgers方程转化为非线性矩阵方程,再转化为等价形式的非线性方程组,利用通常的不动点迭代求解。算法格式简单有效,数值实验表明在时间和空间方向所用节点数相差很小,总节点个数 21 M N 200 ,大大地减少了工作量,这是所提算法的主要优点。另外,本文所提算法格式也可以用来求解其他经典的数学物理问题。

基金项目

国家自然科学基金(批准号:11371123);河南科技大学srtp基金(批准号:202010464053);河南自然科学基金(批准号:202300410156)。

参考文献

[1] Burger, J.M. (1948) A Mathematical Model Illustrating the Theory of Turbulence. In: Von Mises, R. and Von Karman, T., Eds., Advances in Applied Mechanics, Academic Press, New York, 171-199.
https://doi.org/10.1016/S0065-2156(08)70100-5
[2] Benton, E. and Platzman, G.W. (1972) A Table of Solutions of the One-Dimensional Burgers’ Equation. Quarterly of Applied Mathematics, 30, 195-212.
https://doi.org/10.1090/qam/306736
[3] 闵涛, 任菊成, 耿蓓, 等. Chebyshev谱-Euler混合方法求解一类非线性Burgers方程[J]. 数值计算与计算机应用, 2013, 34(2): 3-10.
[4] 高巍, 张宝, 李宏, 刘洋. Burgers方程的高阶紧致有限体积解法[J]. 应用数学, 2016, 29(2): 331-339.
[5] 王亚洲, 秦国良, 和文强, 包振忠. 时空耦合谱元方法求解一维Burgers方程[J]. 西安交通大学学报, 2017, 51(1): 45-50.
[6] 陈龙, 张学莹, 胡婷婷. 基于迎风LDQ方法解Burgers方程[J]. 西北师范大学学报, 2017, 53(6): 10-15.
[7] Tang, J.G. and Ma, H.P. (2007) A Legendre Spectral Method in Time for First-Order Hyperbolic Equations. Applied Numerical Mathematics, 57, 1-11.
https://doi.org/10.1016/j.apnum.2005.11.009
[8] Liu, L. and Ma, H.P. (2020) Space-Time Spectral Method for Parabolic Inverse Problem with Unknown Control Parameter. Journal of Numerical Methods and Computer Applications, 41, 19-26.
[9] Shen, J., Tang, T. and Wang, L.L. (2011) Spectral Methods: Algorithms, Analysis and Applications. Springer-Verlag, Berlin.
[10] 王天军, 殷政伟. Legendre-Gauss-Lobatto节点的一个注记[J]. 河南科技大学学报: 自然科学版, 2012, 33(1): 71-74.
[11] Wang, Z.Q. and Guo, B.Y. (2012) Legendre-Gauss-Radau Collocation Method for Solving Initial Value Problems of First Order Ordinary Differential Equations. Journal of Scientific Computing, 52, 226-255.
https://doi.org/10.1007/s10915-011-9538-7
[12] 王天军. 一类线性奇异边值问题的谱配置方法[J]. 河南科技大学学报: 自然科学版, 2013, 34(6): 75-78.
[13] Jia, H.L. and Wang, Z.Q. (2013) Chebyshev-Hermite Spectral Collocation Method for KdV Equations. Communications on Applied Mathematics and Computation, 27, 1-8.
[14] 马亚楠, 王天军, 李冰冰. Korteweg-de Vries方程的时空谱置方法[J]. 数值计算与计算机应用, 2020. (接收)
[15] 杨先林. Burgers方程的精确解[J]. 动力学与控制学报, 2006, 4(4): 308-311.