理论数学  >> Vol. 11 No. 4 (April 2021)

涉及微分多项式分担函数的正规定则
Normal Criterion of Shared Function Concerning Differential Polynomials

DOI: 10.12677/PM.2021.114084, PDF, HTML, XML, 下载: 19  浏览: 72 

作者: 王 晗:上海理工大学,上海

关键词: 正规族分担函数微分多项式Normal Family Shared Function Differential Polynomials

摘要: 本文主要讨论了涉及微分多项式分担函数的正规定则,并且得到了以下结果:设F和G为区域D⊂ℂ的两族亚纯函数,所有零点的重级至少为k+1,其中k≥1且为整数。设b(z)≠0在D内全纯,ai,i=1, 2,…,k−1为有穷常数。若G正规,对于G中任意子列{gn},gn⇒g,在区域D上我们有g≢∞和L(g)≢b(z)(其中L(f)=f(k)+ak-1f(k-1)+…+a1f且L(g)=g(k)+ak-1g(k-1)+…+a1g)。若对于任意f∈F,存在g∈G使得:1)f(z)=0⇔g(z)=0;2)f(z)=∞⇔g(z)= ∞;3) L(f(z))=b(z)⇌L(g(z))=b(z);则F在D上正规。
Abstract: In this paper, we mainly discuss a normal criterion of shared function concerning differential polynomials and proved: Let F and G be two families of functions meromorphic on a domain D⊂ℂ, all of whose zeros have multiplicity at least k+1, where k≥1 is an integer. Let b(z)≠0 be a holomorphic function in the domain D, and ai,i=1, 2,…,k−1 be finite constant. Assume also that G is normal, and for any subsequence {gn},gn⇒g, we have g≢∞ and L(g)≢b(z) on D L(f)=f(k)+ak-1f(k-1)+…+a1f, L(g)=g(k)+ak-1g(k-1)+…+a1g). If for every f∈F, there exist g∈G such that: 1) f(z)=0⇔g(z)=0;2)f(z)=∞⇔g(z)= ∞;3) L(f(z))=b(z)⇌L(g(z))=b(z); Then F is normal on D.

文章引用: 王晗. 涉及微分多项式分担函数的正规定则[J]. 理论数学, 2021, 11(4): 694-700. https://doi.org/10.12677/PM.2021.114084

1. 引言

F 是区域D内的一族亚纯函数,若从函数族 F 中的每一个函数序列 { f n ( z ) } 中能够选出一个子序列 { f n k ( z ) } ,使得 { f n k ( z ) } 在D内按球面距离内闭一致收敛于一亚纯函数,或一致趋于∞,则称函数族 F 在区域D内正规。

设f和g是区域D内的两个亚纯函数,a是一个复数,如果 f ( z ) a g ( z ) a 在区域D内有相同的零点,则称f和g在区域D分担a,如果 f ( z ) a g ( z ) a 在区域D内有相同的零点并且所有零点的重级也相同,则称f和g在区域D内CM分担a,我们用 f = a g = a 来表示。

1992年,Nevanilnna证明了著名的五值定理。即设f和g为两个非常数亚纯函数,若f和g分担五个两两互异的值,那么这两个函数必定恒等。

对于正规族理论方面,由Bloch原理,刘晓俊、李三华和庞学诚 [1] 考虑了两族亚纯函数的分担值问题,得到了下面定理。

定理1.1. 设 F G 为区域 D 的两族亚纯函数, a 1 , a 2 , a 3 , a 4 为四个不同的复数,若 G 正规,且对于所有的 f F ,存在 g G 使得 f ( z ) g ( z ) 分担值 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,则 F 在D上正规。

在涉及分担值的正规族理论方面,1992年,W. Schwick [2] 证明了下面定理,建立了一个与分担值相关的正规定则。

定理1.2. 设 F 是区域D内的一族亚纯函数, a 1 , a 2 , a 3 是三个判别的有穷复数。如果对于 F 中的任意函数f,f和 f 在D内分担 a 1 , a 2 , a 3 ,则 F 在D内正规。

关于两个函数间分担的情况方 [3] [4] 证明了下面定理。

定理1.3. 设 F 为区域 D 的一族亚纯函数,其中每个函数的零点的重数至少为 k + 2 ,其中 k 1 且为整数,设b是非零有穷复数,若对于 F 中任意两个函数f和g,f和g在D内分担0, f ( k ) g ( k ) 在D内分担b,则 F 在D内正规。

2013年,刘晓俊、李三华和庞学诚 [1] 考虑与分担值相关的两族函数的情况并证明了下面定理。

定理1.4. 设 F G 为区域 D 的两族亚纯函数,其中每个函数的零点的重数至少为 k + 1 ,其中 k 1 且为整数。设b是非零有穷复数,若 G 正规,对于 G 中任意子列 { g n } g n g ,在区域D上我们有 g g ( k ) b 。若对于任意 f F ,存在 g G 使得。

1) f ( z ) = 0 g ( z ) = 0

2) f ( z ) = g ( z ) =

3) f ( k ) = b g ( k ) = b

F 在D上正规。

文本我们考虑将上述定理中非零有穷复数b换成非零的全纯函数 b ( z ) ,并且将 f ( k ) 替换为 f ( k ) + a k 1 f ( k 1 ) + + a 1 f ,以及 g ( k ) 替换为 g ( k ) + a k 1 g ( k 1 ) + + a 1 g a i , i = 1 , 2 , , k 1 为有穷常数,得到如下定理。

定理1.5. 设 F G 为区域 D 的两族亚纯函数,所有零点的重级至少为 k + 1 ,其中 k 1 且为整数。设 b ( z ) 是在D内不为零的全纯函数, a i , i = 1 , 2 , , k 1 为有穷常数。若 G 正规,对于 G 中任意子列 { g n } g n g ,在区域D上我们有 g L ( g ) b ( z ) (其中 L ( f ) = f ( k ) + a k 1 f ( k 1 ) + + a 1 f L ( g ) = g ( k ) + a k 1 g ( k 1 ) + + a 1 g )。若对于任意 f F ,存在 g G 使得

1) f ( z ) = 0 g ( z ) = 0

2) f ( z ) = g ( z ) =

3) L ( f ( z ) ) = b ( z ) L ( g ( z ) ) = b ( z )

F 在D上正规。

在给出证明之前,先介绍一些符号。本节中,D表示 中的区域。对于 z 0 r > 0 ,记 Δ ( z 0 , r ) = { z : | z z 0 | < r } 以及 Δ ( z 0 , r ) = { z : 0 < | z z 0 | < r } ,单位圆盘记作 Δ

2. 相关引理

引理2.1. [5] 设 F 为单位圆盘上的一族亚纯函数,其中每个函数的零点的重数至少为k,假设存在 A 1 ,使得当 f ( z ) = 0 | f ( k ) ( z ) | A 。如果 F z 0 D 处不正规,则对于任意 0 α k ,存在:

1) 实数r, 0 < r < 1

2) 一点列 z n : z n z 0

3) 一函数列 { f n } : f n F

4) 一正数列 ρ n : ρ n 0

使得

g n ( ξ ) = f n ( z n + ρ n ξ ) ρ n α

在复平面 上按球面距离内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数 g ( ξ ) ,且g的所有零点重级至少为k, g # ( ξ ) g # ( 0 ) = k A + 1 。此外,g的级至多是2。

引理2.2. [6] 设 f ( z ) 为复平面 上的亚纯函数,若球面导数 f # ( z ) 上有界,则 f ( z ) 的级至多为2,当 f ( z ) 是整函数, f ( z ) 的级至多为1。

引理2.3. [7] 设f为复平面 上的超越亚纯函数且级是有限的,所有零点的重数至少为 k + 1 ,k为一个正整数,则对于所有非零负数b, f ( k ) b 上有无限多个零点。

引理2.4. [8] 设 f ( z ) 为复平面 上的非常数亚纯映射且级是有限的,所有零点的重数至少为 k + 1 ,若在 f ( k ) b ,其中 b 0 ,则

f ( z ) = b k ! ( z a ) k + 1 z b

其中 a , b a b

3. 定理1.5的证明

不失一般性,我们假设 D = Δ ,若存在 z 0 Δ 使得 F z 0 处不正规,则由引理2.1,存在点 z n z 0 ,函数 f n F ,正数 ρ n 0 + ,使得在

F n ( ζ ) = f n ( z n + ρ n ζ ) ρ n k F ( ζ )

其中F为非常值亚纯函数,其零点的重级最少为 k + 1 ,由引理2.2知F的级至多为2。

相应的,由条件可知存在 g n G ,使得在 Δ g n ( z ) g ( z ) g g ( z ) 零点的重级最少为 k + 1 。我们分为以下三种情况讨论。

情形1. g ( z 0 ) 0 g ( z 0 )

在这种情形下,存在 z 0 的一些邻域 U ( z 0 ) 使得对每一个充分大的n, g n 0 , 。由条件(1)和条件(2),我们有在邻域 U ( z 0 ) f n 0 ,

我们断言 F ( ζ ) 0 , ζ 。否则,存在 ζ 0 使得 F ( ζ 0 ) = 0 。因为 F ( ζ ) 0 ,由Hurwitz’s定理知,存在 ζ n , 0 ζ 0 使得 F n ( ζ n , 0 ) = ρ n k f n ( z n + ρ n ζ n , 0 ) = 0 。所以我们有 f n ( z n + ρ n ζ n , 0 ) = 0 z n + ρ n ζ n z 0 。矛盾,这表明在 F 0 。同理可证 F

因此F为复平面 上的非零整函数。根据条件 L ( f ) = f ( k ) + a k 1 f ( k 1 ) + + a 1 f ,我们有 L ( f n ( z n + ρ n ζ ) ) = F n ( k ) ( ζ ) + a k 1 ρ n F n ( k 1 ) ( ζ ) + + a 0 ρ n k F n ( ζ ) ,因此 L ( f n ( z n + ρ n ζ ) ) F ( k ) ( ζ ) 。由引理2.3可知 F ( k ) b ( z 0 ) 上有无限多个零点。所以存在 η 0 使得 F ( k ) ( η 0 ) = b ( z 0 )

F ( k ) ( ζ ) b ( z 0 ) ,则F一定为k次多项式,和 F 0 矛盾。

因此 F ( k ) ( ζ ) b ( z 0 ) 0 。由Hurwitz’s定理知,这里存在 η n η 0 使得 L ( f n ( z n + ρ n η n ) ) b ( z n + ρ n η n ) = 0 ,由条件(3)我们可以得出 L ( g n ( z n + ρ n η n ) ) b ( z n + ρ n η n ) = 0 ,令 n ,我们得到 L ( g ( z 0 ) ) b ( z 0 ) = 0 ,因为 L ( g ( z ) ) b ( z ) ,所以在邻域 U ( z 0 ) L ( g n ( z ) ) b ( z ) 只有有限多个零点,由条件可知在邻域 U ( z 0 ) L ( f ( z ) ) b ( z ) 也只有有限多个零点,也就是说 L ( f n ( z n + ρ n ζ ) ) b ( z n + ρ n η n ) 在复平面 上有有限多个零点,因此 F ( k ) ( ζ ) b ( z 0 ) 在复平面 上有有限多个零点,矛盾。

情形2. g ( z 0 ) = 0

因为g零点的重数至少为 k + 1 ,我们有 L ( g ( z 0 ) ) b ( z 0 ) ,用同样类似的方法,我们可以证得在

F ( k ) ( ζ ) b ( z 0 )

由引理2.4

F ( ζ ) = b ( z 0 ) k ! ( ζ ζ 0 ) k + 1 ζ ζ 1

其中 ζ 0 ζ 1 为两个有限复数。则由Hurwitz’s定理知,存在 ζ n , 1 ζ 1 使得 F n ( ζ n , 1 ) = ρ n k f n ( z n + ρ n ζ n , 1 ) = f n ( z n + ρ n ζ n , 1 ) = 。由条件(2)知,我们得知 g n ( z n + ρ n ζ n , 0 ) = ,令 n g ( z 0 ) = ,矛盾。

情形3. g ( z 0 ) =

在这种情形下,我们有 L ( g ( z 0 ) ) b ( z 0 ) 。我们也分为两种情况讨论。

情形3.1. F ( ζ 0 ) = 0 ζ 0

因为在复平面 F 0 ,由Hurwitz’s定理知,存在 ζ n , 0 ζ 0 使得 F n ( ζ n , 0 ) = ρ n k f n ( z n + ρ n ζ n , 0 ) = 0 ,而且 f n ( z n + ρ n ζ n , 0 ) = 0 。由假设知,我们有 g n ( z n + ρ n ζ n , 0 ) = 0 。令 n ,我们得到 g ( z 0 ) = 0 ,矛盾。

情形3.2. 在 F 0 ,我们同样也分为两种情况讨论。

情形3.2.1. F为超越亚纯函数。

因为 F 0 ,由引理2.3可知 F ( k ) b ( z ) 上有无限多个零点,因为 g ( z ) ,存在 δ > 0 ,使得 g , g n 在圆 { z : | z z 0 | = δ } 上全纯,且在该圆上 g n ( j ) ( z ) 一致收敛到 g ( j ) ( z ) , j = 0 , 1 , 2 , , k , ,则我们有

1 2 π i | z z 0 | = δ ( L ( g n ( z ) ) b ( z ) ) L ( g n ( z ) ) b ( z ) d z 1 2 π i | z z 0 | = δ ( L ( g ( z ) ) b ( z ) ) L ( g ( z ) ) b ( z ) d z

因为上式两边均为整数,当n充分大时,我们有

1 2 π i | z z 0 | = δ ( L ( g n ( z ) ) b ( z ) ) L ( g n ( z ) ) b ( z ) d z = 1 2 π i | z z 0 | = δ ( L ( g ( z ) ) b ( z ) ) L ( g ( z ) ) b ( z ) d z

由于 b ( z ) 0 ,则

n ( Δ ( z 0 , δ ) , 1 L ( g n ( z ) ) b ( z ) ) n ( Δ ( z 0 , δ ) , L ( g n ( z ) ) ) = n ( Δ ( z 0 , δ ) , 1 L ( g ( z ) ) b ( z ) ) n ( Δ ( z 0 , δ ) , L ( g ( z ) ) )

因为 g ( z 0 ) = L ( g ( z 0 ) ) b ( z 0 ) ,对于充分小的 δ n ( Δ ( z 0 , δ ) , 1 L ( g ( z ) ) b ( z ) ) = 0 。所以

n ( Δ ( z 0 , δ ) , 1 L ( g n ( z ) ) b ( z ) ) n ( Δ ( z 0 , δ ) , L ( g n ( z ) ) ) = n ( Δ ( z 0 , δ ) , L ( g ( z ) ) )

g ( z ) = h ( z ) ( z z 0 ) τ z Δ ( z 0 , δ ) ,其中 h ( z ) Δ ( z 0 , δ ) 上全纯, h ( z 0 ) 0 τ 是一个正整数。因为 g n ( z ) g ( z ) ,我们有

g n ( z ) = h n ( z ) ( z z n , 1 ) τ n , 1 ( z z n , s n ) τ n , s n

其中 h n ( z ) Δ ( z 0 , δ ) 上全纯, h n ( z n , i ) 0 τ n , 1 1 且为整数, i = 1 , 2 , , s n i = 1 s n τ n , 1 = τ ,通过计算,我们得到

n ( Δ ( z 0 , δ ) , 1 L ( g n ( z ) ) b ( z ) ) = τ + s n k ( τ + k ) = ( s n 1 ) k ( τ 1 ) k

因此在 Δ ( z 0 , δ ) 上, L ( g n ( z ) ) b ( z ) 只有有限多个零点,由条件知,在 Δ ( z 0 , δ ) L ( f n ( z ) ) b ( z ) 也只有有限多个零点,则表示 L ( f n ( z n + ρ n ζ ) ) b ( z n + ρ n η n ) 在复平面 上有有限多个零点,继而可知 F ( k ) b ( z 0 ) 在复平面 上只有有限多个零点,矛盾。

情形3.2.2. F为有理函数。

因为 F 0 F ( ζ ) = 1 P ( ζ ) ,其中P为多项式。对于任意 z * Δ ( z 0 , δ ) ,因为 g ( z 0 ) = g ,若我们假设 g ( z * ) ,由情形1及情形2的讨论得知, { f n } z * 处正规,则 { f n } Δ ( z 0 , δ ) 处不正规。同样我们可以证得在 Δ ( z 0 , δ ) f n 0 ,所以在 Δ ( z 0 , δ ) 上我们有 f n 0 以及 L ( f n ) L ( f n ) 0 。则

1 2 π i | z z 0 | = δ ( L ( f n ( z ) ) b ( z ) ) L ( f n ( z ) ) b ( z ) d z 1 2 π i | z z 0 | = δ ( L ( f ( z ) ) b ( z ) ) L ( f ( z ) ) b ( z ) d z = 0

n ( Δ ( z 0 , δ ) , 1 L ( f n ( z ) ) b ( z ) ) n ( Δ ( z 0 , δ ) , L ( f n ( z ) ) ) = 0

由条件(2)和(3),我们有

n ( Δ ( z 0 , δ ) , 1 L ( f n ( z ) ) b ( z ) ) = n ( Δ ( z 0 , δ ) , 1 L ( g n ( z ) ) b ( z ) )

因为 g n ( z ) g ( z ) g ( z 0 ) = ,我们假设

g n ( z ) = h n ( z ) ( z z n , 1 ) τ n , 1 ( z z n , s n ) τ n , s n

其中 h n ( z ) Δ ( z 0 , δ ) 上全纯, h n ( z n , i ) 0 τ n , 1 1 且为整数, i = 1 , 2 , , s n ,由条件(2)知, f n s n 个单一极点 z n , i 且重数至少为1。

n ( Δ ( z 0 , δ ) , L ( f n ( z ) ) ) s n k

由同样的方法,我们有

n ( Δ ( z 0 , δ ) , 1 L ( g n ( z ) ) b ( z ) ) = ( s n 1 ) k

( s n 1 ) k = n ( Δ ( z 0 , δ ) , 1 L ( f n ( z ) ) b ( z ) ) = n ( Δ ( z 0 , δ ) , L ( f n ( z ) ) ) s n k

矛盾。则 F 在D上正规。

参考文献

[1] Liu, X.J., Li, S.H. and Pang, X.C. (2012) A Normal Criterion about Two Families of Meromorphic Function Concerning Shared Values. Acta Mathematica Sinica, English Series, 29, 151-158.
https://doi.org/10.1007/s10114-012-0600-7
[2] Schwick, W. (1992) Sharing Values and Nofmality. Archiv Der Mathematik, 59, 50-54.
[3] Fang, M.-L. and Zalcman, L. (2001) Normal Families and Shared Values of Meromorphic Functions II. Computational Methods and Function Theory, 1, 289-299.
[4] Fang, M.-L. and Zalcman, L. (2002) Normal Families and Shared Values of Meromorphic Functions III. Computational Methods and Function Theory, 2, 385-395.
https://doi.org/10.1007/BF03321856
[5] Pang, X.C. and Zalcman, L. (2000) Normal Families and Shared Values. Bulletin of the London Mathematical Society, 32, 325-331.
https://doi.org/10.1112/S002460939900644X
[6] Clunie, J. and Hayman, W.K. (1966) The Spherical Derivative of Integral and Meromorphic Functions. Commentarii Mathematici Helvetici, 40, 117-148.
https://doi.org/10.1007/BF02564366
[7] Bergwiler, W. and Eremenko, A.E. (1995) On the Singularities of the Inverse to a Meromerphic Function of Finite Order. Revista Matemática Iberoamericana, 11, 355-373.
https://doi.org/10.4171/RMI/176
[8] Wang, Y.F. and Fang, M.L. (1998) Picard Values and Normal Families of Meromerphic Function with Zeros. Acta Mathematica Sinica, English Series, 14, 17-26.
https://doi.org/10.1007/BF02563879