一类五阶Camassa-Holm方程的Blow-Up准则

Blow-Up Criteria for a Fifth-Order Camassa-Holm Equation

摘要: Camassa-Holm方程作为一个新的完全可积的色散浅水波方程，在过去的几十年内受到了广泛关注。本文中我们主要研究的是一类五阶Camassa-Holm方程的Blow-up准则。在三种不同情况下，我们通过对方程的解作估计，得到了这类方程的解在有限时间内爆破的一个必要条件。因此，本文的研究结果丰富了广义的Camassa-Holm方程的爆破性质。

Abstract: As a new completely integrable dispersive shallow-water wave equation, Camassa-Holm equation has been widely concerned in the past few decades. In this paper, we mainly study the blow-up criteria for a fifth-order Camassa-Holm equation. By estimating the solution of the equation in three different cases, we obtain a necessary condition for the solution of the equation to blow-up in finite time. Therefore, the results of this paper enrich the blow-up properties of the generalized Camassa-Holm equation.

1. 引言

1993年，Camassa和Holm得到了一类非常重要的浅水波方程

$u_t+2k{u}_x-u_{xxt}+3u{u}_x=2u_x{u}_{xx}+u{u}_{xxx},x\in R,t>0.$ (1)

(1)被称为经典的Camassa-Holm方程(CH方程) [1]。其中u表示x方向上的流体速度，k表示与临界浅水波波速相关的一个常数，下标x和t分别表示空间和时间变量。Camassa-Holm方程有两个显著的特征，一个是它的孤立子具有尖峰性质 [2] - [7]，另一个就是波的爆破现象 [8] - [14]。由于波爆破是一个物理现象，所以更有易于我们研究浅水波模型。

然而，对于五阶Camassa-Holm方程的一些爆破性质至今尚未研究，因此本文中我们研究的是一类五阶Camassa-Holm方程

$\{\begin{array}{l}{h}_t+u{h}_x+b{u}_{x}h=0,t>0\\ h=4u-5u_{xx}+u_{xxxx},x\in R\end{array}$ (2)

的解的爆破性质，通过输运方程理论，对解作估计，从而得到方程(2)的解在有限时间内爆破的一个必要条件。

本文的结构安排如下，第二部分是一些准备知识，第三部分研究解的爆破准则，第四部分阐述了本文的主要结果。

2. 准备知识

本文考虑的五阶Camassa-Holm方程如下

$\{\begin{array}{l}{h}_t+u{h}_x+b{u}_{x}h=0,\\ h=4u-5u_{xx}+u_{xxxx},t>0,x\in R\\ u\left(0,x\right)=u_0\left(x\right),x\in R\\ u,h\to 0,当\left|x\right|\to \infty .\end{array}$ (3)

首先，我们回顾一下一维Moser型估计，见参考文献 [6]。

命题2.1. 对于 $s\ge 0$，以下估计成立：

${\Vert fg\Vert }_{H^s\left(R\right)}\le C\left({\Vert f\Vert }_{H^s\left(R\right)}{\Vert g\Vert }_{L^{\infty }\left(R\right)}+{\Vert f\Vert }_{L^{\infty }\left(R\right)}{\Vert g\Vert }_{H^s\left(R\right)}\right),$ (4)

${\Vert f{\partial }_{x}g\Vert }_{H^s\left(R\right)}\le C\left({\Vert f\Vert }_{H^{s+1}\left(R\right)}{\Vert g\Vert }_{L^{\infty }\left(R\right)}+{\Vert f\Vert }_{L^{\infty }\left(R\right)}{\Vert {\partial }_{x}g\Vert }_{H^s\left(R\right)}\right),$ (5)

其中C是常数，与f和g无关。

定理2.2. 设 $h_0=\left(1-{\partial }_x^2\right)\left(4-{\partial }_x^2\right)u_0\in H^s\left(R\right),s>\frac{1}{2}$，那么存在时间 $T>0$，使得初值问题(3)有唯一的

强解 $h\in C\left(\left[0,T\right];H^s\right)\cap C^1\left(\left[0,T\right];H^{s-1}\right)$，且映射 $h_0\mapsto h$ 从 $H^s$ 中 $h_0$ 的一个邻域到 $C\left(\left[0,T\right];H^s\right)\cap C^1\left(\left[0,T\right];H^{s-1}\right)$ 是连续的 [15]。

引理2.3. 考虑一维线性输运方程 [6]：

${\partial }_{t}f+v{\partial }_{x}f=g,{f|}_{t=0}=f_0.$ (6)

设 $0\le \sigma <1$，假设

$f_0\in H^{\sigma }\left(R\right),g\in L^1\left(\left[0,T\right];H^{\sigma }\left(R\right)\right),$

$v_x\in L^1\left(\left[0,T\right];L^{\infty }\left(R\right)\right),f\in L^{\infty }\left(\left[0,T\right];H^{\sigma }\left(R\right)\right)\cap C\left(\left[0,T\right];S^{\prime }\left(R\right)\right),$

则有 $f\in C\left(\left[0,T\right];H^{\sigma }\left(R\right)\right)$。更准确地说，存在一个只依赖于 $\sigma$ 的常数C，使得对于每一个 $0<t\le T$，有

${\Vert f\left(t\right)\Vert }_{H^{\sigma }}\le {\Vert f_0\Vert }_{H^{\sigma }}+C{{\displaystyle {\int }_0^t\Vert g\left(\tau \right)\Vert }}_{H^{\sigma }}\text{d}\tau +C{{\displaystyle {\int }_0^t\Vert f\left(\tau \right)\Vert }}_{H^{\sigma }}{V}^{\prime }\left(\tau \right)\text{d}\tau ,$ (7)

因此，

${\Vert f\left(t\right)\Vert }_{H^{\sigma }}\le {\text{e}}^{CV\left(t\right)}\left({\Vert f_0\Vert }_{H^{\sigma }}+C{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert g\left(\tau \right)\Vert }_{H^{\sigma }}\text{d}\tau }\right)$,

其中 $V\left(t\right)={{\displaystyle {\int }_0^t\Vert {\partial }_{x}v\left(\tau \right)\Vert }}_{L^{\infty }}\text{d}\tau$。

3. Blow-Up准则

定理3.1 假设 $h_0=\left(1-{\partial }_x^2\right)\left(4-{\partial }_x^2\right)u_0\in H^s\left(R\right),s>\frac{1}{2}$，且h是方程(3)对应的解。如果 $T_{h_0}^{*}>0$ 是解h的

最大存在时间，那么有

$T_{h_0}^{*}<\infty \Rightarrow {{\displaystyle {\int }_0^{T_{h_0}^{*}}\Vert h\left(\tau \right)\Vert }}_{L^{\infty }}\text{d}\tau =\infty .$ (8)

根据方程(3)，我们得到

$h_t+u{h}_x=-b{u}_{x}h.$ (9)

引理3.2 方程(3)满足引理2.3的四个条件。

证明：对于 $\frac{1}{2}<s<1$，由第一个Moser型估计(4)，有

${\Vert u_{x}h\Vert }_{H^s}\le C\left({\Vert u_x\Vert }_{H^s}{\Vert h\Vert }_{L^{\infty }}+{\Vert u_x\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert h\Vert }_{H^s}\right).$ (10)

因为

$\hat{h}=\mathcal{F}\left(4u-5u_{xx}+u_{xxxx}\right)=\mathcal{F}\left[\left(1-{\partial }_x^2\right)\left(4-{\partial }_x^2\right)u\right]=\left(1+{\xi }^2\right)\left(4+{\xi }^2\right)\hat{u}$，

所以

$\hat{u}=\frac{1}{1+{\xi }^2}\cdot \frac{1}{4+{\xi }^2}\hat{h}$，

于是得到

${\hat{u}}_x=i\xi \hat{u}=\frac{i\xi }{1+{\xi }^2}\cdot \frac{1}{4+{\xi }^2}\hat{h}$，

因此，我们有

$\begin{array}{c}{\Vert u_x\Vert }_{H^s}={\left[{\displaystyle {\int }_R{\left|\xi \right|}^{2s}{\left|{\hat{u}}_x\right|}^2\text{d}\xi }\right]}^{\frac{1}{2}}\\ ={\left[{\displaystyle {\int }_R{\left|\xi \right|}^{2s}{\left|\frac{i\xi }{1+{\xi }^2}\cdot \frac{1}{4+{\xi }^2}\hat{h}\right|}^2\text{d}\xi }\right]}^{\frac{1}{2}}\\ ={\left[{\displaystyle {\int }_R{\left|\xi \right|}^{2s}\cdot \frac{{\xi }^2}{{\left(1+{\xi }^2\right)}^2}\cdot \frac{1}{{\left(4+{\xi }^2\right)}^2}{\left|\hat{h}\right|}^2\text{d}\xi }\right]}^{\frac{1}{2}}\\ \le {\left[{\displaystyle {\int }_R{\left|\xi \right|}^{2s}{\left|\hat{h}\right|}^2\text{d}\xi }\right]}^{\frac{1}{2}}\\ ={\Vert h\Vert }_{H^s}.\end{array}$ (11)

此外，

$u_x={\partial }_x\left\{{\left[\left(1-{\partial }_x^2\right)\left(4-{\partial }_x^2\right)\right]}^{-1}h\right\}={\partial }_x\nu *h,$ (12)

其中

$\nu ={\nu }_1\ast {\nu }_2=\frac{1}{2}{e}^{-\left|x\right|}\ast \frac{1}{4}{e}^{-2\left|x\right|}=\frac{1}{8}{\displaystyle {\int }_R{e}^{-\left|x-y\right|}}{e}^{-2\left|y\right|}dy,$

故有

${\partial }_x\nu =\frac{1}{8}{\displaystyle {\int }_R-sign\left(x-y\right){\text{e}}^{-\left|x-y\right|}\cdot {\text{e}}^{-2\left|y\right|}\text{d}y}$.

Young不等式意味着

${\Vert u_x\Vert }_{L^{\infty }}\le {\Vert {\partial }_x\nu \Vert }_{L^1}{\Vert h\Vert }_{L^{\infty }}\le C{\Vert h\Vert }_{L^{\infty }}.$ (13)

结合(11)和(13)，对于 $\frac{1}{2}<s<1$，式子(10)可以整理为

${\Vert u_{x}h\Vert }_{H^s}\le C{\Vert h\Vert }_{H^s}{\Vert h\Vert }_{L^{\infty }},$ (14)

由Sobolev嵌入不等式，当 $\frac{1}{2}<s<1$ 时，有

${\Vert u_x\Vert }_{L^{\infty }}\le C{\Vert h\Vert }_{L^{\infty }}\le C{\Vert h\Vert }_{H^s}.$ (15)

因此，对于 $\frac{1}{2}<s<1$，以下结论成立：

$h_0\in H^s\left(R\right),$ $u_x\in L^1\left(\left[0,T\right];L^{\infty }\left(R\right)\right),$

$u_{x}h\in L^1\left(\left[0,T\right];H^s\left(R\right)\right),h\in L^{\infty }\left(\left[0,T\right];H^s\left(R\right)\right)\cap C\left(\left[0,T\right];S^{\prime }\left(R\right)\right);$

同理，对于 $1\le s<2$，我们有

${\partial }_x{h}_0\in H^{s-1}\left(R\right),$ $u_x\in L^1\left(\left[0,T\right];L^{\infty }\left(R\right)\right),$

$u_x{h}_x+u_{xx}h\in L^1\left(\left[0,T\right];H^{s-1}\left(R\right)\right),{\partial }_{x}h\in L^{\infty }\left(\left[0,T\right];H^{s-1}\left(R\right)\right)\cap C\left(\left[0,T\right];S^{\prime }\left(R\right)\right);$

并且对于 $s\ge 2$，以下结论成立。

${\partial }_x^k{h}_0\in H^{s-k}\left(R\right),{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{k-1}{\sum }}{C}_k^l}{\partial }_x^{k-1}u{\partial }_x^{l+1}h+{\partial }_x^k\left(u_{x}h\right)\in L^1\left(\left[0,T\right];H^{s-k}\left(R\right)\right),$

$u_x\in L^1\left(\left[0,T\right];L^{\infty }\left(R\right)\right),{\partial }_x^{k}h\in L^{\infty }\left(\left[0,T\right];H^{s-k}\left(R\right)\right)\cap C\left(\left[0,T\right];S^{\prime }\left(R\right)\right).$

得证。

下面我们将分三步来证明定理3.1。

第一步 对于 $s\in \left(\frac{1}{2},1\right)$，对等式(9)应用引理2.3，我们得到对所有 $0<t<T_{h_0}^{*}$，

${\Vert h\left(t\right)\Vert }_{H^s}\le {\Vert h_0\Vert }_{H^s}+C{{\displaystyle {\int }_0^t\Vert u_x\left(\tau \right)\Vert }}_{L^{\infty }}{\Vert h\left(\tau \right)\Vert }_{H^s}\text{d}\tau +C{{\displaystyle {\int }_0^t\Vert u_{x}h\left(\tau \right)\Vert }}_{H^s}\text{d}\tau .$ (16)

将(13)和(14)代入(16)，有

${\Vert h\left(t\right)\Vert }_{H^s}\le {\Vert h_0\Vert }_{H^s}+C{{\displaystyle {\int }_0^t\Vert h\left(\tau \right)\Vert }}_{L^{\infty }}{\Vert h\left(\tau \right)\Vert }_{H^s}\text{d}\tau ,$ (17)

根据Gronwall不等式，对任意的 $0<t<T_{h_0}^{*}$，

${\Vert h\left(t\right)\Vert }_{H^s}\le {\Vert h_0\Vert }_{H^s}{\text{e}}^{C{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert h\left(\tau \right)\Vert }_{L^{\infty }}\text{d}\tau }},$ (18)

所以，如果最大存在时间 $T_{h_0}^{*}<\infty$ 满足 ${{\displaystyle {\int }_0^{T_{h_0}^{*}}\Vert h\left(\tau \right)\Vert }}_{L^{\infty }}\text{d}\tau <\infty$，那么(18)意味着

$\underset{t\to T_{h_{{}_0}}^{*}}{\lim \sup }{\Vert h\left(t\right)\Vert }_{H^s}<\infty .$ (19)

这与最大存在时间 $T_{h_0}^{*}<\infty$ 的假设相矛盾。对于 $s\in \left(\frac{1}{2},1\right)$，这就完成了定理3.1的证明。

第二步 对于 $s\in \left[1,2\right)$，对(9)关于x求一阶导数，得到

${\partial }_t\left(h_x\right)+u{\partial }_x\left(h_x\right)=-\left(b+1\right)u_x{h}_x-b{u}_{xx}h,$ (20)

对(20)应用引理2.3，有

${\Vert {\partial }_{t}h\left(t\right)\Vert }_{H^{s-1}}\le {\Vert {\partial }_t{h}_0\Vert }_{H^{s-1}}+C{{\displaystyle {\int }_0^t\Vert u_x\left(\tau \right)\Vert }}_{L^{\infty }}{\Vert {\partial }_{x}h\left(\tau \right)\Vert }_{H^{s-1}}\text{d}\tau +C{\displaystyle {\int }_0^t\left({\Vert u_x{h}_x\left(\tau \right)\Vert }_{H^{s-1}}+{\Vert u_{xx}h\left(\tau \right)\Vert }_{H^{s-1}}\right)\text{d}\tau }.$ (21)

由式(5)，(11)和(13)，得到

${\Vert u_x{\partial }_{x}h\Vert }_{H^{s-1}}\le C\left({\Vert u_x\Vert }_{H^s}{\Vert h\Vert }_{L^{\infty }}+{\Vert u_x\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\partial }_{x}h\Vert }_{H^{s-1}}\right)\le C{\Vert h\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert h\Vert }_{H^s}.$ (22)

由 $h=4u-5u_{xx}+u_{xxxx}$，故下列不等式成立

$\begin{array}{c}{\Vert u_{xx}\Vert }_{L^{\infty }}\le C\left({\Vert u\Vert }_{L^{\infty }}+{\Vert u_{xxxx}\Vert }_{L^{\infty }}+{\Vert h\Vert }_{L^{\infty }}\right)\\ =C\left({\Vert \nu *h\Vert }_{L^{\infty }}+{\Vert {\partial }_x^4\nu *h\Vert }_{L^{\infty }}+{\Vert h\Vert }_{L^{\infty }}\right)\\ \le C\left({\Vert \nu \Vert }_{L^1}{\Vert h\Vert }_{L^{\infty }}+{\Vert {\partial }_x^{4}v\Vert }_{L^1}{\Vert h\Vert }_{L^{\infty }}+{\Vert h\Vert }_{L^{\infty }}\right)\\ \le C{\Vert h\Vert }_{L^{\infty }}.\end{array}$ (23)

利用式子(11)，得到

${\Vert u_{xx}\Vert }_{H^{s-1}}={\Vert u_x\Vert }_{H^s}\le C{\Vert h\Vert }_{H^s}.$ (24)

根据(4)，并结合(23)和(24)，有

${\Vert u_{xx}h\Vert }_{H^{s-1}}\le C\left({\Vert u_{xx}\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert h\Vert }_{H^{s-1}}+{\Vert u_{xx}\Vert }_{H^{s-1}}{\Vert h\Vert }_{L^{\infty }}\right)\le C{\Vert h\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert h\Vert }_{H^s}.$ (25)

根据(13)，(22)和(25)，(21)化为

${\Vert h\left(t\right)\Vert }_{H^s}\le {\Vert h_0\Vert }_{H^s}+C{{\displaystyle {\int }_0^t\Vert h\left(\tau \right)\Vert }}_{L^{\infty }}{\Vert h\left(\tau \right)\Vert }_{H^s}\text{d}\tau .$

故对于 $1\le s<2$，(18)依然成立。重复第一步中相同的过程，我们发现对于 $1\le s<2$，定理3.1成立。

第三步 设 $2\le k\in N$。通过归纳法，我们假设(8)在 $k-1\le s<k$ 时成立，并且证明了它在 $k\le s<k+1\left(2\le k\in N\right)$ 时也成立。

对(9)关于x求k阶导数，得到

${\partial }_t{\partial }_x^{k}h+u{\partial }_x\left({\partial }_x^{k}h\right)=-{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{k-1}{\sum }}{C}_k^l}{\partial }_x^{k-1}u{\partial }_x^{l+1}h-b{\partial }_x^k\left(u_{x}h\right),$ (26)

对(26)再次应用引理2.3，意味着

$\begin{array}{c}{\Vert {\partial }_x^{k}h\left(t\right)\Vert }_{H^{s-k}}\le {\Vert {\partial }_x^k{h}_0\Vert }_{H^{s-k}}+C{{\displaystyle {\int }_0^t\Vert u_x\left(\tau \right)\Vert }}_{L^{\infty }}{\Vert {\partial }_x^{k}h\left(\tau \right)\Vert }_{H^{s-k}}\text{d}\tau \\ +C{{\displaystyle {\int }_0^t\Vert \left({\displaystyle \underset{l=0}{\overset{k-1}{\sum }}{C}_k^l{\partial }_x^{k-1}u{\partial }_x^{l+1}h+b{\partial }_x^k\left(u_{x}h\right)}\right)\left(\tau \right)\Vert }}_{H^{s-k}}\text{d}\tau .\end{array}$ (27)

利用(4)，(11)和(13)，我们推出

${\Vert b{\partial }_x^k\left(u_{x}h\right)\Vert }_{H^{s-k}}\le C\left({\Vert u_x\Vert }_{H^s}{\Vert h\Vert }_{L^{\infty }}+{\Vert u_x\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert h\Vert }_{H^s}\right)\le C{\Vert h\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert h\Vert }_{H^s}.$ (28)

利用(5)和Sobolev嵌入不等式，我们得到

$\begin{array}{l}{\Vert {\displaystyle \underset{l=0}{\overset{k-1}{\sum }}{C}_k^l{\partial }_x^{k-1}u{\partial }_x^{l+1}h}\Vert }_{H^{s-k}}\\ \le C{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{k-1}{\sum }}{C}_k^l}\left({\Vert u\Vert }_{H^{s-k+k-l+1}}{\Vert {\partial }_x^{l}h\Vert }_{L^{\infty }}+{\Vert {\partial }_x^{k-1}u\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert h\Vert }_{H^{s-k+l+1}}\right)\\ \le C{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{k-1}{\sum }}{C}_k^l}\left({\Vert u\Vert }_{H^{s-l+1}}{\Vert h\Vert }_{H^{l+\frac{1}{2}+{\epsilon }_0}}+{\Vert u\Vert }_{H^{k-l+\frac{1}{2}+{\epsilon }_0}}{\Vert h\Vert }_{H^{s-k+l+1}}\right)\\ \le C_k{\Vert h\Vert }_{H^{k-\frac{1}{2}+{\epsilon }_0}}{\Vert h\Vert }_{H^s},\end{array}$ (29)

其中，常数 ${\epsilon }_0\in \left(0,\frac{1}{4}\right)$，使得 $H^{\frac{1}{2}+{\epsilon }_0}\left(R\right)$ 嵌入到 $L^{\infty }\left(R\right)$ 成立。将(13)，(28)和(29)代入到(27)，得到

${\Vert h\left(t\right)\Vert }_{H^s}\le {\Vert h_0\Vert }_{H^s}+C{{\displaystyle {\int }_0^t\Vert h\left(\tau \right)\Vert }}_{L^{\infty }}{\Vert h\left(\tau \right)\Vert }_{H^s}\text{d}\tau +C{\displaystyle {\int }_0^t\left({\Vert h\left(\tau \right)\Vert }_{H^{k-\frac{1}{2}+{\epsilon }_0}}+{\Vert h\left(\tau \right)\Vert }_{L^{\infty }}\right)}{\Vert h\left(\tau \right)\Vert }_{H^s}\text{d}\tau ,$

那么

${\Vert h\left(t\right)\Vert }_{H^s}\le {\Vert h_0\Vert }_{H^s}+C{{\displaystyle {\int }_0^t\Vert h\left(\tau \right)\Vert }}_{H^{k-\frac{1}{2}+{\epsilon }_0}}{\Vert h\left(\tau \right)\Vert }_{H^s}\text{d}\tau .$ (30)

在这里，我们使用了Sobolev嵌入定理，对于 $k\ge 2$， $H^{k-\frac{1}{2}+{\epsilon }_0}\left(R\right)$ 可嵌入到 $L^{\infty }\left(R\right)$ 中。

应用Gronwall不等式，整理(30)，得到

${\Vert h\left(t\right)\Vert }_{H^s}\le {\Vert h_0\Vert }_{H^s}{\text{e}}^{C{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert h\left(\tau \right)\Vert }_{H^{k-\frac{1}{2}+{\epsilon }_0}}\text{d}\tau }},$ (31)

因此，如果最大存在时间 $T_{h_0}^{*}<\infty$ 满足 ${{\displaystyle {\int }_0^{T_{h_0}^{*}}\Vert h\left(\tau \right)\Vert }}_{L^{\infty }}\text{d}\tau <\infty$，根据定理2.2中解的唯一性，我们通过归纳假设，我们发现， ${\Vert h\left(t\right)\Vert }_{H^{k-\frac{1}{2}+{\epsilon }_0}}$ 在 $t\in \left(0,T_{h_0}^{*}\right)$ 上是一致有界的，又根据(31)，得到

$\underset{t\to T_{h_0}^{*}}{\lim \sup }{\Vert h\left(t\right)\Vert }_{H^s}<\infty .$

这就产生了矛盾。

因此，步骤1到3完成了定理3.1的证明。

4. 结论

本文研究了一类广义的五阶Camassa-Holm方程的爆破准则。通过输运方程理论和Moser型估计，利用归纳法我们得到了该类方程在有限时间内解的爆破的必要条件。本文的研究结果丰富了广义的Camassa-Holm方程的解的爆破性质。