n-赋范空间中欧拉差分序列空间的几个性质

Some Properties of Euler Difference Sequence Spaces in n-Normed Spaces

摘要: 在这篇文章中，我们主要研究定义在实线性n-赋范空间下欧拉序列空间在适当n-范数下的完备性，同时得到某些序列空间之间的相互包含关系。

Abstract: In this paper, we mainly study the completeness of Eulerian sequence spaces defined in real linear n-normed spaces under appropriate n-norms, and obtain the mutual inclusion relations between some sequence spaces.

1. 引言

在本篇文章中， $w,l_{\infty },l_p,c,c_0$ 分别代表任意数列，有界数列，p-绝对可和数列，收敛数列和收敛到零的数列。这些空间中的元素用 $x=\left(x_k\right)$ 来表示， $\theta =\left(\text{0,0,}\cdots \right)$ 表示零序列。Kizmaz在文献 [1] 中定义了序列空间 $c_0\left(\Delta \right)$， $c\left(\Delta \right)$， $l_{\infty }\left(\Delta \right)$ ：

$\begin{array}{l}{c}_0\left(\Delta \right)=\left\{x=\left(x_k\right)\in w:\left(\Delta x_k\right)\in c_0\right\};\\ c\left(\Delta \right)=\left\{x=\left(x_k\right)\in w:\left(\Delta x_k\right)\in c\right\};\\ l_{\infty }\left(\Delta \right)=\left\{x=\left(x_k\right)\in w:\left(\Delta x_k\right)\in l_{\infty }\right\}.\end{array}$

其中 $\left(\Delta x_k\right)=\left(x_k-x_{k-1}\right)$， $k\in N$。Kizmaz证明得到上面这些差分序列空间是赋范空间，其中范数的定义为 $\Vert x\Vert =\left|x\right|+{\Vert \left(\Delta x_k\right)\Vert }_{\infty }$。

Et和Colak在文献 [2] 中推广了序列空间的定义，也就是 $c_0\left({\Delta }^m\right)$， $c\left({\Delta }^m\right)$， $l_{\infty }\left({\Delta }^m\right)$。通过计算它等价于 ${\displaystyle \underset{v=0}{\overset{m}{\sum }}{\left(-1\right)}^v}\left(\begin{array}{l}m\\ v\end{array}\right)x_{k+v}$。Tripathy和Esi在文献 [3] 中推广了序列空间的另一种定义形式，即 $c_0\left({\Delta }_r\right)$， $c\left({\Delta }_r\right)$， $l_{\infty }\left({\Delta }_r\right)$。Dutta在文献 [4] 中定义了差分序列空间 $c_0\left({\Delta }_r^s\right)$， $c\left({\Delta }_r^s\right)$， $l_{\infty }\left({\Delta }_r^s\right)$ 的相关形式。

在文献 [5] 中，令 $n\in N$，X为维数为d的实向量空间，且 $n\le d$。定义在 $X^n$ 上的范数形式如果满足下面四条：

1) $\Vert x_1,x_2,\cdots ,x_n\Vert =0$ 当且仅当 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 是线性相关的；

2) 对于每个 $\left(1,2,\cdots ,n\right)$ 的排列 $\left(j_1,j_2,\cdots ,j_n\right)$ 有 $\Vert x_1,x_2,\cdots ,x_n\Vert =\Vert x_{j_1},x_{j_2},\cdots ,x_{j_n}\Vert$ ；

3) $\Vert \alpha x_1,x_2,\cdots ,x_n\Vert =\left|\alpha \right|\Vert x_1,x_2,\cdots ,x_n\Vert$ ；

4) $\Vert x+y,x_2,\cdots ,x_n\Vert \le \Vert x,x_2,\cdots ,x_n\Vert +\Vert y,x_2,\cdots ,x_n\Vert$.

则称 $\left(X,\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$ 为n-赋范空间，函数 $\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert$ 为n-范数。

如果对于X中某个序列 $\left(x_k\right)$ 来说，对任意的 $u_2,\cdots ,u_n\in X$ 有式子

$\underset{k\to \infty }{\lim }\Vert x_k-x,u_2,\cdots ,u_n\Vert =0$

成立，其中 $x\in X$，那么称 $\left(x_k\right)$ 收敛于 $x$。

如果对于X中某个序列 $\left(x_k\right)$ 来说，对任意的 $u_2,\cdots ,u_n\in X$ 有式子

$\underset{k,l\to \infty }{\lim }\Vert x_k-x_l,u_2,\cdots ,u_n\Vert =0$

成立，那么称 $\left(x_k\right)$ 为X中的柯西列。如果对于X中任意柯西列都收敛，那么X称作完备的n-赋范空间，任意的一个完备的n-赋范空间称作n-巴拿赫空间。

2. 预备工作

在文献 [6] 中，Zeller介绍了BK空间为复数序列下的巴拿赫空间，并验证得到该范数是连续的，即当 $n\to \infty$ 时，若有 $\left|x_k^n-x_k\right|\to 0$ 时，有 $\Vert x^n-x\Vert \to 0$。在1972年，Powell和Shah在文献 [7] 中定义了参数为r的欧拉矩阵，其中 $E^r=\left(e_{n,k}^r\right)$， $0<r<1$。

$e_{n,k}^r=\{\begin{array}{l}\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right){\left(1-r\right)}^{n-k}{r}^{k}0\le k\le n\\ 0k>n\end{array}$

在2006年，Altay，Basar和Mursaleen在文献 [8] [9] 中定义了欧拉序列空间 $e_0^r$， $e_c^r$， $e_{\infty }^r$ ：

$e_0^r=\left\{x=\left(x_k\right)\in w:\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right){\left(1-r\right)}^{n-k}{r}^k{x}_k=0}\right\}$

$e_c^r=\left\{x=\left(x_k\right)\in w:\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right){\left(1-r\right)}^{n-k}{r}^k{x}_k存在}\right\}$

$e_{\infty }^r=\left\{x=\left(x_k\right)\in w:\underset{n\in N}{\sup }\left|{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right){\left(1-r\right)}^{n-k}{r}^k{x}_k}\right|<\infty \right\}$

2006年，Altay和Polat在文献 [10] 中定义了差分序列空间 $e_0^r(\nabla )$， $e_c^r(\nabla )$， $e_{\infty }^r(\nabla )$ ：

$e_0^r(\nabla )=\left\{x=\left(x_k\right)\in w:\left(\nabla x_k\right)\in e_0^r\right\}$

$e_c^r(\nabla )=\left\{x=\left(x_k\right)\in w:\left(\nabla x_k\right)\in e_c^r\right\}$

$e_{\infty }^r(\nabla )=\left\{x=\left(x_k\right)\in w:\left(\nabla x_k\right)\in e_{\infty }^r\right\}$

其中 $\left(\nabla x_k\right)=\left(x_k-x_{k-1}\right)$， $k\in N$。在2007年，Polat和Basar在文献 [10] 中定义了矩阵 ${\nabla }^{\left(m\right)}=\left({\delta }_{n,k}^{\left(m\right)}\right)$，也就是

${\delta }_{n,k}^{\left(m\right)}=\{\begin{array}{l}{\left(-1\right)}^{n-k}\left(\begin{array}{l}m\\ n-k\end{array}\right)\max \left\{0,n-m\right\}\le k\le n\\ 00\le k<\max \left\{0,n-m\right\}k>n\end{array}$

因此，Polat和Basar进一步给出了相关序列空间的定义：

$\begin{array}{l}{e}_0^r\left({\nabla }^{\left(m\right)}\right)=\left\{x=\left(x_k\right)\in w:\left({\nabla }^{\left(m\right)}{x}_k\right)\in e_0^r\right\};\\ e_c^r\left({\nabla }^{\left(m\right)}\right)=\left\{x=\left(x_k\right)\in w:\left({\nabla }^{\left(m\right)}{x}_k\right)\in e_c^r\right\};\\ e_{\infty }^r\left({\nabla }^{\left(m\right)}\right)=\left\{x=\left(x_k\right)\in w:\left({\nabla }^{\left(m\right)}{x}_k\right)\in e_{\infty }^r\right\}.\end{array}$

令 $\left(X,\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$ 为n-赋范实线性空间， $w\left(n-X\right)$ 为实值序列，m为非负整数且 $\text{1}\le p<\infty$，对于任意的 $z_1,z_2,\cdots ,z_{n-1}\in X$ 定义了下面的欧拉序列空间：

$E_p\left(e_p^r\left({\nabla }^{\left(m\right)}\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)=\left\{\left(x_k\right)\in w\left(n-X\right):{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(\Vert \frac{1}{i}\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}{e}_p^r\left({\nabla }^m{x}_k\right)}\right|,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert \right)}^p}\right\}<\infty$

$E_{\infty }\left(e_{\infty }^r\left({\nabla }^{\left(m\right)}\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)=\left\{\left(x_k\right)\in w\left(n-X\right):\left(\underset{i}{\sup }\Vert \frac{1}{i}\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}{e}_{\infty }^r\left({\nabla }^m{x}_k\right)}\right|,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert \right)\right\}<\infty$

$E_c\left(e_c^r\left({\nabla }^{\left(m\right)}\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)=\left\{\left(x_k\right)\in w\left(n-X\right):{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(\Vert \frac{1}{i}\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}{e}_c^r\left({\nabla }^m{x}_k\right)}\right|,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert \right)}^p}\right\}<\infty$

$E_{\text{0}}\left(e_{\text{0}}^r\left({\nabla }^{\left(m\right)}\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)=\left\{\left(x_k\right)\in w\left(n-X\right):{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(\Vert \frac{1}{i}\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}{e}_{\text{0}}^r\left({\nabla }^m{x}_k\right)}\right|,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert \right)}^p}\right\}=\text{0}$

3. 结论

定理3.1 令X是n-巴拿赫空间，那么可以推得 $E\left(e^r\left({\nabla }^m\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$ 也是n-巴拿赫空间。对于任意的 $z_1,z_2,\cdots ,z_n\in X$， $x^1,x^2,\cdots ,x^n$ 线性无关，其范数定义形式为 $f\left(x\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert e^r{x}_k,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert }+h\left(e^r\left({\nabla }^m{x}_k\right)\right)$，如果 $x^1,x^2,\cdots ,x^n$ 线性相关，那么 ${\Vert x^1,x^2,\cdots ,x^n\Vert }_E^{{\nabla }^m}=0$。

证明：首先容易证得 $E\left(e^r\left({\nabla }^m\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$ 是一个度量空间，所以我们可以在空间 $E\left(e^r\left({\nabla }^m\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$ 中选柯西列 ${\left(e^r{x}^s\right)}_{s=1}^{\infty }$，对于任意的 $s\in N$，都有 $x^s={\left(x_i^s\right)}_{i=1}^{\infty }=\left(x_1^s,x_2^s,x_3^s,\cdots \right)$。对于任意给定的 $\epsilon$，存在 $n_0$ 使得当 $s,t\ge n_0$ 时 ${\Vert e^r{x}^s-e^r{x}^t,u^2,\cdots ,u^n\Vert }_E^{{\nabla }^m}<\epsilon$，对于任意的 $u^2,\cdots ,u^n\in E\left(e^r\left({\nabla }^m\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$，可得

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert e^r{x}_k-e^r{x}_k^t,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert }+h\left(e^r\left({\nabla }^m{x}_k\right)\right)<\epsilon$，那么也就有

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert e^r{x}_k-e^r{x}_k^t,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert }<\epsilon 和h\left(e^r\left({\nabla }^m{x}_k\right)\right)<\epsilon$

成立。因此，对于所有的k，由 ${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert e^r{x}_k-e^r{x}_k^t,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert }<\epsilon$ 可得 $\left(e^r{x}_k^s\right)$ 是X中的柯西列，又因为X是n-巴拿赫空间，所以 $\left(e^r{x}_k^s\right)$ 在X中收敛，即 $\underset{s\to \infty }{\text{lim}}{e}^r{x}_k^s=e^r{x}_k$。

接下来，由 $h\left(e^r\left({\nabla }^m{x}_k\right)\right)<\epsilon$ 可知 $e^r\left({\nabla }^m{x}_k\right)$ 是E中柯西列，且是完备的，对于所有的 $k\in N$，有 $\underset{s\to \infty }{\lim }{e}^r\left({\nabla }^m{x}_k\right)=y_k$，特别地，当 $k=1$ 时， $\underset{s\to \infty }{\lim }{e}^r\left({\nabla }^m{x}_k\right)=\underset{s\to \infty }{\lim }{\displaystyle \underset{v=0}{\overset{n}{\sum }}\left(\begin{array}{l}n\\ v\end{array}\right){\left(1-r\right)}^{n-v}{r}^v{x}_{1+mv}=}{y}_1$， $\underset{s\to \infty }{\lim }{e}^r{x}_k^s=e^r{x}_k$，其中 $k=1+mv$， $v=0,1,\cdots ,n-1.$

最后，有 $\underset{s\to \infty }{\lim }{e}^r{x}_{\text{1}+mv}^s=e^r{x}_{1+m}$，也就等价于

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}\left|e^r{x}_r^s-e^r{x}_k^t\right|}+h\left(e^r{\nabla }^m\left(x_k^s-x_k^t\right)\right)<\epsilon \\ \Rightarrow \underset{s\to \infty }{\lim }{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}\left|e^r{x}_r^s-e^r{x}_k^t\right|+h\left(e^r{\nabla }^m\left(x_k^s-x_k^t\right)\right)<\epsilon }\\ \Rightarrow {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}\left|e^r{x}_r^s-e^r{x}_k^t\right|}+h\left(e^r{\nabla }^m\left(x_k^s-x_k^t\right)\right)\le \epsilon \end{array}$

其中 $u^2,\cdots ,u^n\in E\left(e^r\left({\nabla }^m\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$， $f\left(e^r{x}^s-e^{r}x\right)\le \epsilon$。因此， $\left(e^r{x}^s-e^{r}x\right)\in E\left(e^r\left({\nabla }^m\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$。根据 $E\left(e^r\left({\nabla }^m\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$ 是线性空间，可以得出 $e^{r}x=e^r{x}^s-\left(e^r{x}^s-e^{r}x\right)\in E\left(e^r\left({\nabla }^m\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$。最终证得 $E\left(e^r\left({\nabla }^m\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$ 是完备的n-赋范空间。

推论3.2 如果X是n-巴拿赫空间，那 $E_p\left(e_p^r\left({\nabla }^m\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$， $E_c\left(e_c^r\left({\nabla }^m\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$， $E_{\infty }\left(e_{\infty }^r\left({\nabla }^m\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$， $E_{\text{0}}\left(e_{\text{0}}^r\left({\nabla }^m\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$ 是n-BK空间。

定理3.3 空间 $E\left(e^r\left({\nabla }^{m-1}\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)\subset E\left(e^r\left({\nabla }^m\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$，或者 $E\left(e^r\left({\nabla }^i\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)\subset E\left(e^r\left({\nabla }^m\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$， $i=1,2,\cdots ,m-1$。其中 $E=E_p,E_c,E_{\infty },E_0$。

证明：下面以 $E=E_p$ 为例进行推导，令 $x=\left(x_k\right)\in E_p\left(e_p^r\left({\nabla }^{m-1}\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right).$ 对于非零的 $z_1,\cdots ,z_{n-1}\in X$ 可以得到 $\underset{i=1}{\overset{\infty }{\lim }}\left(\Vert \frac{1}{i}\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}{e}_p^r\left({\nabla }^{m-1}{x}_k\right)}\right|,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert \right)<\infty$，接下来，进一步可以推得

$\Vert \frac{1}{i}\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}{e}_p^r\left({\nabla }^m{x}_k\right)}\right|,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert \le \Vert \frac{1}{i}\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}{e}_p^r\left({\nabla }^{m-1}{x}_k\right)}\right|,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert +\Vert \frac{1}{i}\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}{e}_p^r\left({\nabla }^{m-1}{x}_{k+\text{1}}\right)}\right|,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert .$

根据不等关系式 ${\left|a+b\right|}^p\le 2^p\left({\left|a\right|}^p+{\left|b\right|}^p\right)$，其中 $\text{1}\le p<\infty$，上面不等式化简：

$\begin{array}{l}{\left(\Vert \frac{1}{i}\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}{e}_p^r\left({\nabla }^m{x}_k\right)}\right|,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert \right)}^p\\ \le {\text{2}}^p{\left(\Vert \frac{1}{i}\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}{e}_p^r\left({\nabla }^{m-1}{x}_k\right)}\right|,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert \right)}^p+{\left(\Vert \frac{1}{i}\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}{e}_p^r\left({\nabla }^{m-1}{x}_{k+\text{1}}\right)}\right|,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert \right)}^p.\end{array}$

那么，对于任意得正整数r，可以得到

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{r}{\sum }}{\left(\Vert \frac{1}{i}\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}{e}_p^r\left({\nabla }^m{x}_k\right)}\right|,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert \right)}^p}\\ \le {\text{2}}^p{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{r}{\sum }}{\left(\Vert \frac{1}{i}\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}{e}_p^r\left({\nabla }^{m-1}{x}_k\right)}\right|,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert \right)}^p}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{r}{\sum }}{\left(\Vert \frac{1}{i}\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}{e}_p^r\left({\nabla }^{m-1}{x}_{k+\text{1}}\right)}\right|,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert \right)}^p}.\end{array}$

最后，令 $r\to \infty$，得到结果 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{r}{\sum }}{\left(\Vert \frac{1}{i}\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}{e}_p^r\left({\nabla }^m{x}_k\right)}\right|,z_1,\cdots ,z_{n-1}\Vert \right)}^p}<\infty$。也就是说 $E\left(e^r\left({\nabla }^{m-1}\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)\subset E\left(e^r\left({\nabla }^m\right),\Vert \cdot ,\cdots ,\cdot \Vert \right)$。