1. 引言
在1834年,英国著名科学家、造船工程师Russell在运河河道中观察到水波运行的奇特现象,这种奇特的现象后来被称为孤立子现象。Russell的发现导致了Korteweg和他的学生G. de Vries在1895年导出著名的KdV方程,KdV方程作为一类重要的浅水波方程,涵盖了浅水波传播问题中的许多重要物理性质。
水波一般可定义为水中质点的往复性运动,是自然界中广泛存在的一种物理现象,波浪作为重要的物理现象和海洋、海岸工程中主要动力因素之一,一直受到广泛关注,对波浪复杂现象的正确描述和呈现也一直是学者研究的重点。
研究发现,常系数非线性方程只能近似地反映实际物质运动变化规律,而变系数非线性方程却能更加准确地描述物质的属性,因此研究变系数非线性方程的精确解显得十分重要,人们可以利用这些解来研究解的稳定性和波的运动规律,而且新的精确解可以帮助人们发现新的非线性现象及其规律,进而推动相关领域的发展。近年来,人们已经发现了一些有效的求解方法,如变分法、截断展开法、分离变量法 [1]、齐次平衡法 [2]、Backlund变换法、函数展开法、Jacobi椭圆函数法 [3] 等。
本文将利用指数函数法构造出广义二维变系数KdV方程 [4] 的精确解,对于广义二维变系数KdV方程
本文研究当参数
时的情形,则上述方程变为
(1)
我们得到了方程(1)的精确解,并简单研究了解的演化性态。本文的内容安排如下:第二节简单介绍了指数函数方法的主要思想,然后利用这种方法研究了方程(1)的精确解构造问题,得到了3组精确解,并画出它们的演化图像。最后一节对本文的内容进行了简单的总结。
2. 方程求解
2.1. 方法概述
以下面的非线性偏微分方程:
(2)
为例,给出指数函数法的主要方法步骤,具体细节可参考 [5] [6] [7]:
1) 假设非线性偏微分方程(2)的解为
,其中
将,则偏微分方程(2)转化为非线性常微分方程:
2) 假设方程(2)具有以下形式的解
其中c和p,q和d之间的关系可以通过平衡给定待解非线性偏微分方程(2)的最高阶导数项和最高次非线性项来确定。
3) 通过平衡指数函数的幂次得到关于
,
超定代数方程 [8] 来确定,求解代数方程组即可得到(2)精确解。
2.2. 方程(1)的精确解
本节利用上面的指数函数方法构造出方程(1)的几组精确解,并研究了它们的性态。具体的实施步骤如下:
第一步:假设非线性偏微分方程(1)的解为
,其中
,将偏微分方程转化为常微分方程:
(3)
其中
,
,
分别表示
的一阶导数、二阶导和四阶导数。
第二步:假设方程(1)具有以下形式的解
(4)
为了确定c和p,q和d之间的关系,联立方程(3)和(4),之后平衡
和
的最高次数:
。
解得
;
同理,平衡
和
的最低次数:
解得
。
令
,代入方程(4)得到方程:
(5)
第三步:将方程(5)代入常微分方程(3)中,之后令分子中所含
项的系数等于零,得到关于待定系数
的代数方程组,得出精确解。
2.3. 图像分析
本节我们利用上面的方法使用Mathematica软件 [9] 得到如下三组精确解,并描绘了它们的图像:
1)
得到精确解:
特别地,取
时,将精确解简化为:
当
,画出以下图像。
由图1~3的演化过程可以看出波峰随着时间
取值的不同而产生位移。
2)
将方程(5)中的待定系数
,得到精确解
特别地,取
时,将精确解简化为:
当
时,画出图像。
由图4~6的演化过程可以看出在此精确解的形状随时间t的取值不同而产生位移。
3)
将方程(5)中的待定系数
,得到精确解
取
,
,则精确解简化为:
当
,
时,画出图像:
由图7~9的演化过程可以看出在此精确解的形状随时间t的取值不同而产生位移。同时,由图像可以看出此精确解存在奇异点,以
为例,通过分析简化的精确解
可以看出当
时存
在奇异点,解得
,即
满足关系式
的区域上
是连续的。特别地,当
,
时,解的图像如图10所示。
3. 结论
本文利用指数函数方法深入系统地分析了一类(2 + 1)维KdV型方程的精确解,并利用Mathematica软件描绘解的图像,精确地刻画了解的性态,由此分析不同因素对方程的影响程度,从而促进该方程在物理学等领域中的应用。
致谢
感谢中央民族大学本科生研究训练计划(URTP)——BEIJ2020110001和中央民族大学本科教学创新项目(CX2008)的支持,感谢张智勇导师的指导。
参考文献